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| A001353号 |
| a（n）=4*a（n-1）-a（n-2），a（0）=0，a（1）=1。
（原M3499 N1420）
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187
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0, 1, 4, 15, 56, 209, 780, 2911, 10864, 40545, 151316, 564719, 2107560, 7865521, 29354524, 109552575, 408855776, 1525870529, 5694626340, 21252634831, 79315912984, 296011017105, 1104728155436, 4122901604639, 15386878263120, 57424611447841, 214311567528244
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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3*a（n）^2+1是一个正方形。此外，3*a（n）^2+1=（2*a（n）-a（n-1））^2。
2Xn网格中生成树的数量：通过检查右端发生的情况，我们可以看到a（n）=3*a（n-1）+2*a（n-2）+2*a（n-3）+…+2*a（1）+1，其中最后的1对应于树==…=|！。求解此方程，我们得到a（n）=4*a（n-1）-a（n-2）。
2Xn网格的复杂性。
对于n>0，比值a（n+1）/a（n）可以作为2+sqrt（3）的连分式展开的收敛：作为[4；-4]的连续收敛或作为[3；1，2]的奇收敛-Lekraj Beedassy公司2003年9月19日
a（n+1）是4^n的切比雪夫变换，其中带有g.f.g（x）的序列被发送到带有g.f.（1/（1+x^2））g（x/（1+x2））的序列-保罗·巴里2004年10月25日
这个序列是无素数的，因为a（2n）=a（n）*（a（n+1）-a（n-1））和a（2n+1）=a-宋嘉宁2019年7月6日
对于n>1，原始毕达哥拉斯三角形的中间边（或长腿）的角度接近Pi/3，边值较大。[完全三元组（X，Y，Z），X<Y<Z，由X给出=A120892号（n） ，Y=a（n），Z=A120893号（n） ，递归关系X（i+1）=2*{X（i）-（-1）^i}+a（i）；Z（i+1）=2*{Z（i）+a（i）}-（-1）^i.]-Lekraj Beedassy公司2006年7月13日
2 X n个简单矩形迷宫的数量。一个简单的矩形mXn迷宫是一个图G，其顶点集{0，1，…，m}X{0，1，…，n}满足以下两个性质：（i）G由两个正交树组成；（ii）一棵树的路径顺序连接（0,0），（0,1）。。。，（0，n），（1，n）。。。，（m-1，n）和另一棵树有一条路径，该路径依次连接（1,0），（2,0）。。。，（m，0），（m，1）。。。，（m，n）。例如，a（2）=4，因为有四个2X2简单矩形迷宫：
__ __ __ __
||||__||||__|
| __| | __| | |__| | __|
（结束）
A001353号和A001835号=连分数[1,2,1,2,1,2，…]的二分，即[1,3,4,11,15,41，…]。
对于n>0，a（n）等于一个（n-1）X（n-1）三对角矩阵的行列式，其中上对角线和次对角线中有一个矩阵，（4，4，4…）是主对角线。[由更正Johannes靴子2011年9月4日]
a（n）等于沿着主对角线有4个，沿着上对角线和次对角线（i是虚单位）有1个，其他地方都有0个的（n-1）X（n-1”Hessenberg矩阵的永久值-约翰·M·坎贝尔，2011年6月9日
2a（n）是仅由偶数部分组成的2n的n种颜色成分的数量；参见参考文献中的郭-布莱恩·霍普金斯2011年7月19日
皮萨诺周期长度：1，2，6，4，3，6，8，4，18，6，10，12，12，8，8，18，18，5，12-R.J.马塔尔2012年8月10日
a（n）也由递归a（1）=1定义；对于n>1，a（n+1）=2*a（n）+sqrt（3*a（n）^2+1），其中a（n。。。其中b（n，m）是每个n的整数。
第一个对应的序列是
....................
我们得到了多项式的一般序列{b（n，x）}={1，2*x，4*x^2-1，8*x^3-4*x，16*x^4-12*x^2+1，32*x^5-32*x^3+6*x，…}，其中每个b（n，x）是由递推b（n，x）-2*x*b（n-1，x）+b（n-2，x）=0定义的Gegenbauer多项式，与切比雪夫递推关系相同，但具有初始条件b（x，0）对于切比雪夫多项式，=1和b（x，1）=2*x，而不是b（x、0）=1和b（x、1）=x。（结束）
如果a（n）表示上述序列的第n项，并且我们构造了一个三角形，它的边是a（n。我们的这一结果发表在《数学谱》（2012/2013）第45卷第3期第126-128页-K.S.巴努和M.N.Deshpande博士，印度那格浦尔科学研究所统计系教授（Retd）。
对于n>=1，a（n）等于字母{0，1，2，3}中长度为n-1的01-避免单词的数量-米兰Janjic，2015年1月25日
对于n>0，10*a（n）是{4,5}镶嵌图第n层上的顶点和根数（见L.németh表1第6页）-米歇尔·马库斯2015年10月30日
（2+平方米（3））^n=A001075号（n） +a（n）*sqrt（3），n>=0；二次数字段Q中的整数（sqrt（3））-沃尔夫迪特·朗2018年2月16日
一个强可除序列，即所有正整数n和m的gcd（A（n），A（m））=A（gcd（n，m））-迈克尔·索莫斯2019年12月12日
对于A[i，i]=4且A[i+1，i]=A[i、i+1]=-1的三对角A，其Cholesky分解A=C C*出现在离散化的2D拉普拉斯算子（泊松方程…）中，具有非零元素C[i，i]=sqrt（A（i+1）/A（i））=-1/C[i+1、i]，i=1、2、3、-M.F.哈斯勒2021年3月12日
三元组（a（n-1），2a（n），a（n+1）），n=2,3，。。。，正是算术级数中正整数a<b<c的三元组（a，b，c），使得a*b+1、b*c+1和c*a+1是完美平方-伯恩德·穆兰斯基2021年7月10日
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参考文献
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链接
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配方奶粉
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G.f.:x/（1-4*x+x^2）。
a（n）=（（2+平方码（3））^n-（2-平方码（三））^n）/（2*sqrt（三）。
对于所有整数n，a（n）=-a（-n）-迈克尔·索莫斯2008年9月19日
极限{n->infinity}a（n）/a（n-1）=2+sqrt（3）-格雷戈里·理查德森2002年10月6日
例如：exp（2*x）*sinh（平方码（3）*x）/sqrt（3）。
a（n）=S（n-1,4）=U（n-1,2）；S（-1，x）：=0，第二类切比雪夫多项式A049310型.
a（n+1）=和{k=0..floor（n/2）}二项式（n-k，k）（-1）^k*4^（n-2*k）-保罗·巴里2004年10月25日
a（n）=和{k=0..n-1}二项式（n+k，2*k+1）*2^k-保罗·巴里2004年11月30日
序列满足1=f（a（n），a（n+1）），其中f（u，v）=u^2+v^2-4*u*v-迈克尔·索莫斯2008年9月19日
有理递归：对于n>3，a（n）=（17*a（n-1）*a（n-2）-4*（a（n-1）^2+a（n-2）^2））/a（n-3）-杰姆·奥利弗·拉丰2009年12月5日
如果p[i]=斐波那契（2i），并且如果A是由A[i，j]=p[j-i+1]，（i<=j），A[i，j]=-1，（i=j+1）和A[i，j]=0定义的n阶Hessenberg矩阵，否则，对于n>=1，A（n）=det A-米兰Janjic2010年5月8日
a（n）=C_{n-1}^{（1）}（2），其中C_n^{-埃里克·韦斯特因2011年7月16日
a（n）=-i*sin（n*arccos（2））/sqrt（3）-埃里克·韦斯特因2011年7月16日
a（n）=sinh（n×arccosh（2））/sqrt（3）-埃里克·韦斯特因2011年7月16日
a（n）=b，这样积分{x=0..Pi/2}（sin（n*x））/（2-cos（x））dx=c+b*log（2）-弗朗西斯科·达迪2011年8月2日
1, 4, 15, 56, 209, ... = 反转（反转（1、2、3、4、5…））-大卫·卡伦2012年10月13日
产品{n>=1}（1+1/a（n））=1+sqrt（3）-彼得·巴拉2012年12月23日
产品{n>=2}（1-1/a（n））=1/4*（1+sqrt（3））-彼得·巴拉2012年12月23日
a（n）=-（-i）^（n+1）*Fibonacci（n，4*i），i=sqrt（-1）-G.C.格鲁贝尔，2019年6月6日
a（n）^2-a（m）^2=a（n+m）*a（n-m），a（n+2）*a-迈克尔·索莫斯2019年12月12日
a（n）=2^n*Sum_{k>=n}二项式（2*k，2*n-1）*（1/3）^（k+1）。囊性纤维变性。A102591号. -彼得·巴拉2021年11月29日
a（n）=和{k>0}（-1）^（（k-1）/2）*二项式（2*n，n+k）*（k|12），其中（k|12）是克罗内克符号-格雷格·德累斯顿2022年10月11日
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例子
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例如，当n=3时：
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.***
***
多米诺骨牌可以用4种不同的方式包装：3种方式是顶行平铺两个水平多米诺，1种方式是首行有两个垂直和一个水平的多米诺，如下所示，因此a（2）=4。
---- ---- ---- ||--
.||| .--| .|-- .|||
.||| .--| .|-- .|||
G.f.=x+4*x^2+15*x^3+56*x^4+209*x^5+780*x^6+2911*x^7+10864*x^8+。。。
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MAPLE公司
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seq（简化（切比雪夫U（n-1，2）），n=0..20）#G.C.格鲁贝尔2019年12月23日
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数学
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a[n]：=（矩阵幂[{{1，2}，{1，3}}，n].{{1}，}}）[[2，1]]；表[a[n]，{n，0，30}](*罗伯特·威尔逊v2005年1月13日*）
表[GegenbauerC[n-1，1，2]]，{n，0，30}](*零入侵拉霍斯2009年7月14日*）
表[-（（I Sin[n ArcCos[2]）/Sqrt[3]），{n，0，30}]//函数展开(*埃里克·韦斯特因2011年7月16日*）
表[Sinh[n-ArcCosh[2]]/Sqrt[3]，｛n，0，30｝]//FunctionExpand(*埃里克·韦斯特因2011年7月16日*）
表[ChebyshevU[n-1，2]，{n，0，30}](*埃里克·韦斯特因2011年7月16日*）
a[0]：=0；a[1]：=1；a[n]：=a[n]=4a[n-1]-a[n-2]；表[a[n]，{n，0，30}](*阿隆索·德尔·阿特2011年7月19日*）
线性递归[{4，-1}，{0，1}，30](*斯图尔·舍斯特特2011年12月6日*）
圆形@桌子[Fibonacci[2n，Sqrt[2]]/Sqrt[2]，{n，0，30}](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年9月15日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）M=[1,1,0；1,3,1；0,1,1]；对于（i=0,30，print1（（[1,0,0]*M^i）[2]，“，”）\\Lambert Klasen（Lambert.Klasen，AT）gmx.net），2005年1月25日
（PARI）{a（n）=实（（2+quadgen（12））^n/quadgen[12）]}/*迈克尔·索莫斯2008年9月19日*/
（PARI）{a（n）=polchebyshev（n-1，2，2）}/*迈克尔·索莫斯2008年9月19日*/
（PARI）连接（0，Vec（x/（1-4*x+x^2）+O（x^30））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月30日
（鼠尾草）[lucas_number1（n，4，1）代表范围（30）内的n]#零入侵拉霍斯2009年4月22日
（Sage）[chebyshev_U（n-1，2）代表n in（0..20）]#G.C.格鲁贝尔2019年12月23日
（哈斯克尔）
a001353 n=a001353_列表！！n个
a001353_列表=
0:1:zipWith（-）（map（4*）$tail a001353_list）a001353列表
（间隙）a:=[0,1]；；对于[3.30]中的n，做a[n]：=4*a[n-1]-a[n-2]；od；a#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年2月16日
（岩浆）I:=[0,1]；[n le 2选择I[n]else 4*Self（n-1）-Self[n-2）：n in[1..30]]//G.C.格鲁贝尔，2019年6月6日
（Python）
a001353=[0，1]
对于范围（30）内的n：a001353.追加（4*a001353[-1]-a001353[2]）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A001075号,A001542号,A001571号,A001834号,A001835号,A002531号,A003500型,A005246号,A016064号,A079935号,A082840号.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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