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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A001353型 a(n)=4*a(n-1)-a(n-2),其中a(0)=0,a(1)=1。
(原名M3499 N1420)
164
0、1、4、15、56、209、780、2911、10864、40545、151316、564719、2107560、7865521、29354524、109552575、408855776、1525870529、5694626340、21252634831、79315912984、296011017105、1104728155436、41229016039、15386878263120 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,3个

评论

3*a(n)^2+1是正方形。此外,3*a(n)^2+1=(2*a(n)-a(n-1))^2。

连续项给出x^2-4*x*y+y^2=1的非负解。-马克斯·阿列克谢耶夫2012年12月12日

数值y求解Pellian x^2-3*y^2=1;对应的x值由A001075型(n) 一。此外,我们有a(n)=2*a(n-1)+A001075型(n-1)。-莱克莱·比达西2006年7月13日

在n*2的右端,我们可以看到n*2在n*2的右端发生了什么。。。+2*a(1)+1,其中最后的1对应于树==…=|!。解这个我们得到a(n)=4*a(n-1)-a(n-2)。

2xn网格的复杂性。

A016064号还描述了边是连续整数且内接圆半径为整数的三角形。A001353型精确地映射到这些内接圆的整数半径,即A016064号,对应术语A001353型给出内接圆的半径。-哈维·P·戴尔2000年12月28日

n使得3*n^2=地板(sqrt(3)*n*天花板(sqrt(3)*n))。-贝诺伊特·克罗伊特2003年5月10日

对于n>0,比率a(n+1)/a(n)可以作为2+sqrt(3)的连分式展开的收敛点得到:要么作为[4;-4]的连续收敛,要么作为[3;1,2]的奇收敛。-莱克莱·比达西2003年9月19日

将一个3 X(2*n-1)长方形与多米诺骨牌打包的方法,在长度为3的边的一端附加一个额外的正方形。关于A001835型,因此:a(n)=a(n-1)+A001835型(n-1)和A001835型(n) =3*A001835型(n-1)+2*a(n-1)。-约书亚·祖克卡斯蒂利亚学校数学俱乐部,2003年10月28日

a(n+1)是4^n的Chebyshev变换,其中g.f.g(x)的序列被发送到具有g.f.(1/(1+x^2))g(x/(1+x^2))的序列。-保罗·巴里2004年10月25日

这个序列产生了许多辉煌(A078972号)带素数p的a(p)的数:a(2)=4=2*2,a(3)=15=3*5,a(5)=209=11*19,a(7)=2911=41*71,a(19)=21252634831=110771*191861,a(37)=419245718107612602961=15558008491*2694721171。这是素数自由序列吗?如果不是,它的第一个素数是多少?-乔纳森·沃斯·波斯特,2005年2月8日[答:是的,这个序列是无素数的,因为a(2n)=a(n)*(a(n+1)-a(n-1)),a(2n+1)=a(n+1)^2-a(n)^2=(a(n+1)+a(n))*(a(n+1)-a(n))。-宋佳宁2019年7月6日]

有m且t(n+m)=3*t(m)的数,其中t(n)是三角形数A000217. 例如,t(35)=3*t(20)=630,所以35-20=15在序列中。-范拉莫地板2005年10月13日

a(n)=(a+B+C+D)^n中不同矩阵乘积的个数,其中交换子[a,B]=0,但a或B都不与C或D交换-保罗·D·汉娜马克斯·阿列克谢耶夫2006年2月1日

n>1时,原始毕达哥拉斯三角形的中间边(或长腿),其角度接近Pi/3,边值较大。[完全三重(X,Y,Z),X<Y<Z,由X给出=邮编:A120892(n) ,Y=a(n),Z=邮编:A120893(n) ,递归关系为X(i+1)=2*{X(i)-(-1)^i}+a(i);Z(i+1)=2*{Z(i)+a(i)}-(-1)^i.]-莱克莱·比达西2006年7月13日

2 X n个简单矩形迷宫的数量。一个简单的矩形m×n迷宫是一个顶点集为{0,1,…,m}X{0,1,…,n}的图G,它满足以下两个性质:(i)G由两个正交树组成;(ii)一棵树有一条依次连接(0,0),(0,1),…,(0,n),…,(m-1,n)的图,另一棵树的路径依次连接(1,0),(2,0)。。。,(m,0),(m,1),…,(m,n)。例如,a(2)=4,因为有四个2x2简单的矩形迷宫:

.__.............__ ...........__.............__

|..|..|........|__...|.......|.....|........|...__|

|...__|........|...__|.......|..|__|........|...__|. -丹尼斯·P·沃尔什2006年10月4日

[1,4,15,56,209,…]是[1,1,5,26,139,758,…]的汉克尔变换(参见A005573号). -菲利普·德莱厄姆2007年4月14日

从2/1、7/4、26/15、97/56开始,上主元收敛到3^(1/2),组成一个严格递减的序列;分子=A001075号,分母=A001353型. -克拉克·金伯利2008年8月27日

加里·W·亚当森2009年6月21日:(开始)

A001353型A001835型=连分式[1,2,1,2,1,2,…],即[1,3,4,11,15,41,…]的等分。

当n>0时,a(n)等于一个(n-1)X(n-1)三对角矩阵的行列式,其中一个在上、下对角线上,且(4,4,4,…)为主对角线。[更正人Johannes靴子2011年9月4日]

A001835型A001353型=三角形的右边界A125077号. (结束)

a(n)的单位数属于周期序列:0,1,4,5,6,9。-穆罕默德·布哈米达2009年9月4日

a(n)等于(n-1)X(n-1)Hessenberg矩阵的永久数,主对角线上有4个,超对角线和次对角线上有i(i是虚单位),其他地方都是0。-约翰·M·坎贝尔2011年6月9日

2a(n)是2n只由偶数部分组成的n色组分的数目;参见参考文献中的Guo。-布莱恩·霍普金斯2011年7月19日

Pisano周期长度:1,2,6,4,3,6,8,4,18,6,10,12,12,8,6,8,18,5,12。。。-R、 J.马萨2012年8月10日

米歇尔·拉格诺2014年7月8日:(开始)

a(n)也由递归a(1)=1来定义;对于n>1,a(n+1)=2*a(n)+sqrt(3*a(n)^2+1),其中a(n)是每个n的整数。该序列可由参数m的序列b(n,m)推广,初始条件为b(1,m)=1,且n>1b(n+1,m)=m*b(n,m)+sqrt((m^2-1)*b(n,m)^2+1),对于m=2,3,4。。。n.m为整数,其中n.m为。

第一个对应的序列是

b(n,2)=a(n)=A001353型(n) ;

b(n,3)=A001109(n) ;

b(n,4)=A001090型(n) ;

(五牛)=A004189号(n) ;

b(n,6)=A004191号(n) ;

b(n,7)=A007655号(n) ;

b(n,8)=A077412号(n) ;

b(n,9)=A049660号(n) ;

b(n,10)=A075843号(n) ;

b(n,11)=A077421号(n) ;

   ....................

我们得到了一般多项式序列{b(n,x)}={1,2*x,4*x^2-1,8*x^3-4*x,16*x^4-12*x^2+1,32*x^5-32*x^3+6*x。。。}当x=m时,其中每个b(n,x)是一个由递归b(n,x)-2*x*b(n-1,x)+b(n-2,x)=0定义的Gegenbauer多项式,与Chebyshev递归的关系相同,但对于Chebyshev多项式,初始条件b(x,0)=1和b(x,1)=2*x,而不是b(x,0)=1和b(x,1)=x。(结束)

如果a(n)表示上述序列的第n项,并且我们构造一个边为a(n)-1、a(n)+1和sqrt(3a(n)^2+1的三角形,那么,对于每n个这样构造的三角形,其中一个角的测量值将始终为120度。我们的这一结果发表在《数学光谱》(2012/2013)第45卷第3期,第126-128页。-K、 巴努M.N.Deshpande博士,印度那格浦尔科学研究所统计系教授(Retd)。

当n>=1时,a(n)等于字母表{0,1,2,3}上避免长度为n-1的单词的数量。-米兰-扬吉奇2015年1月25日

对于n>0,10*a(n)是{4,5}镶嵌图的n层顶点和根的数目(见L.németh表1第6页)。-米歇尔·马库斯2015年10月30日

(2+sqrt(3))^n=A001075型(n) +a(n)*sqrt(3),n>=0;二次数域Q中的整数(sqrt(3))。-狼牙2018年2月16日

强整除序列,即所有正整数n和m的gcd(A(n),A(m))=A(gcd(n,m))-迈克尔·索莫斯2019年12月12日

参考文献

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常系数线性递归的索引项,签名(4,-1)

与切比雪夫多项式相关的序列的索引项。

公式

G、 f.:x/(1-4*x+x^2)。

a(n)=((2+sqrt(3))^n-(2-sqrt(3))^n)/(2*sqrt(3))。

a(n)=平方英尺((A001075型(n) ^2-1)/3)。

a(n)=2*a(n-1)+sqrt(3*a(n-1)^2+1)。-莱克莱·比达西2002年2月18日

a(n)=-a(-n)表示所有整数n-迈克尔·索莫斯2008年9月19日

Lim{n->infinity}a(n)/a(n-1)=2+sqrt(3)。-格雷戈里诉理查森案2002年10月6日

二项式变换A002605型.

E、 g.f.:经验值(2*x)*信度(sqrt(3)*x)/sqrt(3)。

a(n)=S(n-1,4)=U(n-1,2);S(-1,x):=0,第二类切比雪夫多项式A049310型.

a(n+1)=和{k=0..floor(n/2)}二项式(n-k,k)(-1)^k*4^(n-2*k)。-保罗·巴里2004年10月25日

a(n)=和{k=0..n-1}二项式(n+k,2*k+1)*2^k-保罗·巴里2004年11月30日

a(n)=3*a(n-1)+3*a(n-2)-a(n-3),n>=3。-莱克莱·比达西2006年7月13日

a(n)=-A106707号(n) 一。-R、 J.马萨2006年7月7日

a(n)=3*(a(n-1)+a(n-2))-a(n-3),a(n)=5*(a(n-1)-a(n-2))+a(n-3)。-穆罕默德·布哈米达2006年9月20日

M^n*[1,0]=[A001075型(n) 你说,A001353型(n) ,其中M=2x2矩阵[2,3;1,2];例如,a(4)=56,因为M^4*[1,0]=[97,56]=[A001075型(4) 你说,A001353型(4) ]。-加里·W·亚当森2006年12月27日

序列满足1=f(a(n),a(n+1)),其中f(u,v)=u^2+v^2-4*u*v-迈克尔·索莫斯2008年9月19日

有理递归:当n>3时,a(n)=(17*a(n-1)*a(n-2)-4*(a(n-1)^2+a(n-2)^2))/a(n-3)。-詹姆·奥利弗·拉丰2009年12月5日

如果p[i]=斐波纳契(2i),如果A是由A[i,j]=p[j-i+1],(i<=j),A[i,j]=-1,(i=j+1),A[i,j]=0定义的n阶Hessenberg矩阵,则对于n>=1,A(n)=det A-米兰-扬吉奇2010年5月8日

a(n)=C{n-1}^{(1)}(2),其中Cün^{(m)}(x)是Gegenbauer多项式。-埃里克·W·维斯坦2011年7月16日

a(n)=-i*sin(n*arccos(2))/sqrt(3)。-埃里克·W·维斯坦2011年7月16日

a(n)=sinh(n*arccosh(2))/sqrt(3)。-埃里克·W·维斯坦2011年7月16日

a(n)=b使得积分{x=0..Pi/2}(sin(n*x))/(2-cos(x))dx=c+b*log(2)。-弗朗西斯科·达迪2011年8月2日

平方米=(A098301号(n) )=平方英尺([A055793号/3]),基3模拟A031150型. -M、 哈斯勒2012年1月16日

a(n+1)=和{k=0..n}A101950年(n,k)*3^k-菲利普·德莱厄姆2012年2月10日

1,4,15,56,209。。。=反转(反转(1,2,3,4,5…)。-大卫·凯伦2012年10月13日

{1+1>=1(1+1)乘积(1+n)。-彼得·巴拉2012年12月23日

积{n>=2}(1-1/a(n))=1/4*(1+sqrt(3))。-彼得·巴拉2012年12月23日

a(n+1)=(A001834号(n)+A001835型(n) )/2。a(n+1)+a(n)=A001834号(n) 一。a(n+1)-a(n)=A001835型(n) 一。-理查德·R·福伯格2013年9月4日

a(n)=-(-i)^(n+1)*斐波纳契(n,4*i),i=sqrt(-1)。-G、 C.格雷贝尔2019年6月6日

a(n)^2-a(m)^2=a(n+m)*a(n-m),a(n+2)*a(n-2)=16*a(n+1)*a(n-1)-15*a(n)^2,a(n+3)*a(n-2)=15*a(n+2)*a(n-1)-14*a(n+1)*a(n)-迈克尔·索莫斯2019年12月12日

例子

例如,当n=3时:

****

.***

.***

可以用4种不同的方式来包装多米诺骨牌:3,最上面一行是用两个水平多米诺骨牌平铺的;1个是顶行有两个垂直多米诺骨牌和一个水平多米诺骨牌,如下所示,因此a(2)=4。

---- ---- ---- ||--

.||| .--| .|-- .|||

.||| .--| .|-- .|||

G、 f.=x+4*x^2+15*x^3+56*x^4+209*x^5+780*x^6+2911*x^7+10864*x^8+。。。

枫木

A001353型:=proc(n)选项记住;如果n<=1,则1+3*n否则为4*A001353型(n-1)-A001353型(n-2);fi;结束;

A001353型:=z/(1-4*z+z**2)#西蒙·普劳夫在他1992年的论文中。

seq(简化(ChebyshevU(n-1,2)),n=0..20#G、 C.格雷贝尔2019年12月23日

数学

a[n}:=(矩阵幂[{1,2},{1,3}},n].{1},{1}})[[2,1]];表[a[n],{n,0,30}](*罗伯特·G·威尔逊五世,2005年1月13日*)

表[GegenbauerC[n-1,1,2]],{n,0,30}](*泽伦瓦拉乔斯2009年7月14日*)

Table[-((I Sin[n ArcCos[2]])/Sqrt[3]),{n,0,30}]//函数展开(*埃里克·W·维斯坦2011年7月16日)

Table[Sinh[n ArcCosh[2]]/Sqrt[3],{n,0,30}]//函数展开(*埃里克·W·维斯坦2011年7月16日*)

表[ChebyshevU[n-1,2],{n,0,30}](*埃里克·W·维斯坦2011年7月16日)

a[0]:=0;a[1]:=1;a[n_]:=a[n]=4a[n-1]-a[n-2];表[a[n],{n,0,30}](*阿尔特阿隆索2011年7月19日*)

LinearRecurrence[{4,-1},{0,1},30](*斯图尔斯约斯特德2011年12月6日*)

{30[2平方米,平方米](*弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2016年9月15日*)

黄体脂酮素

(PARI)M=[1,1,0;1,3,1;0,1,1];对于(i=0,30,print1(([1,0,0]*M^i)[2],”,“)\\Lambert Klasen(Lambert.Klasen(AT)gmx.net),2005年1月25日

(PARI){a(n)=实((2+quadgen(12))^n/quadgen(12))}/*迈克尔·索莫斯2008年9月19日*/

(PARI){a(n)=波尔切比雪夫(n-1,2,2)}/*迈克尔·索莫斯2008年9月19日*/

(平价)concat(0,Vec(x/(1-4*x+x^2)+O(x^30))\ \阿尔图阿尔坎2015年10月30日

(Sage)[范围(30)内n的lucas iu数字1(n,4,1)]#泽伦瓦拉乔斯2009年4月22日

(Sage)[chebyshev_U(n-1,2)表示n in(0..20)]#G、 C.格雷贝尔2019年12月23日

(哈斯克尔)

a001353 n=a001353 U列表!!n

a001353 U列表=

0:1:zipWith(-)(地图(4*)$tail a001353 U列表)a001353 U列表

--莱因哈德·祖姆凯勒2011年8月14日

(间隙)a:=[0,1];对于[3..30]中的n,做a[n]:=4*a[n-1]-a[n-2];od;a#阿西鲁2018年2月16日

(岩浆)I:=[0,1];[n le 2选择I[n]否则4*自身(n-1)-自身(n-2):n in[1..30]]//G、 C.格雷贝尔2019年6月6日

交叉引用

囊性纤维变性。A001075型,A001542号,A001571,A001834号,A001835型,A002531号,A003500型,A005246号,A016064号,A078972号,A079935号,A082840号.

一分为二A002530.

囊性纤维变性。A125077号. -加里·W·亚当森2009年6月21日

一排A116469号.

切比雪夫序列U(n,m):A000027号(m=1),这个序列(m=2),A001109(m=3),A001090型(m=4),A004189号(m=5),A004191号(m=6),A007655号(m=7),A077412号(m=8),A049660号(m=9),A075843号(m=10),A077421号(11米),A077423号(m=12),A097309号13米(13米),A097311号(m=14),A097313号(m=15),A029548号(m=16),A029547号(m=17),邮编:A144128(m=18),A078987号(m=19),A097316型(m=33)。

囊性纤维变性。A323182型.

上下文顺序:A191606号 A2495年 A221859号*A106707号 A125905号 A195503号

相邻序列:A001350号 A001351号 A001352型*A001354号 A001355 A001356号

关键字

,容易的,美好的

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

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