搜索： 编号：a001075
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A001075号
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| a（0）=1，a（1）=2，a（n）=4*a（n-1）-a（n-2）。
（原名M1769 N0700）
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+0
104
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1, 2, 7, 26, 97, 362, 1351, 5042, 18817, 70226, 262087, 978122, 3650401, 13623482, 50843527, 189750626, 708158977, 2642885282, 9863382151, 36810643322, 137379191137, 512706121226, 1913445293767, 7141075053842, 26650854921601, 99462344632562, 371198523608647
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.2个
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评论
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切比雪夫的T（n，x）多项式在x＝2时被求值。
x=2^n-1是素数，当且仅当x除a（2^（n-2））。
对于序列中的所有元素x，12*x^2-12是一个正方形。Lim_{n->infinity}a（n）/a（n-1）=2+sqrt（3）=（4+sqert（12））/2，它保留了与等式“12*x^2-12是一个正方形”的亲缘关系，其中初始的“12”以平方根结尾-格雷戈里·理查德森2002年10月10日
a（n）是三个连续整数列表中中心值的一半，即具有整数边和面积的三角形边的长度尤金·麦克唐奈（eemcd（AT）mac.com），2003年10月19日
皮萨诺周期长度：1、2、2、4、3、2、8、4、6、6、10、4、12、8、6、8、18、6、5、12-R.J.马塔尔2012年8月10日
除第一项外，x（或y）的正值满足x^2-4*x*y+y^2+3=0-科林·巴克2014年2月4日
除第一项外，x（或y）的正值满足x^2-14*x*y+y^2+48=0-科林·巴克2014年2月10日
通过取生产矩阵M，可以构造一个具有生成序列的行和的三角形。取M的幂，提取顶行。
M（M）=
1, 1, 0, 0, 0, 0, ...
2, 0, 3, 0, 0, 0, ...
2, 0, 0, 3, 0, 0, ...
2, 0, 0, 0, 3, 0, ...
2, 0, 0, 0, 0, 3, ...
...
由M生成的三角形为：
1,
1, 1,
3, 1, 3,
11, 3, 3, 9,
41, 11, 9, 9, 27,
...
均匀诱导项是奇数，而奇数诱导项是偶数。事实上，a（2*n）=2*（a（n））^2-1和a（2*n+1）=2*a（n）*a（n+1）-2-蒂莫西·提芬，2016年10月11日
对于每一个n，a（0）除以a（n），a（1）除a（2n+1），a。这一点的证明可以在第76届普特南数学竞赛的第一个问题A2的解答中找到。以下是考试及其解决方案的链接-蒂莫西·提芬2016年10月12日
如果任何项a（n）是质数，那么它的指数n将是2的幂。这是前两条评论中给出的结果的结果。请参见A277434型对于那些主要条款。
a（2n）==1（6模）和a（2*n+1）==2（6模组）。因此，a（n）的每个奇数素数因子将与1模6同余，因此，在A002476号.
如果n==0（mod 6），a（n）==1（mod 10）；如果n=={1，-1}（mod6），b（n）==2（mod10）。因此，a（n）最右边的数字形成了一个长度为6:1、2、7、6、7、2的重复循环。（结束）
（2+平方（3））^n=a（n）+A001353号（n） *sqrt（3），n>=0；二次数字段Q中的整数（sqrt（3））-沃尔夫迪特·朗2018年2月16日
正数k，使得3*（k-1）*（k+1）是一个正方形-大卫·罗通多2020年10月25日
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参考文献
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谢尔盖·朗（Serge Lang），《丢番图近似介绍》（Introduction to Diophantine Approximations），艾迪森·韦斯利出版社，纽约，1966年。
尤金·麦克唐纳（Eugene McDonnell），“Heron法则和整数面积三角形”，向量12.3（1996年1月），第133-142页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
P.-F.Teilhet，对问题2094的答复，《数学国际》，10（1903），235-238。
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链接
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克里斯蒂安·埃比和格兰特·凯恩斯，格等价平行四边形，arXiv:2006.07566[math.NT]，2020年。
Krassimir T.Atanassov和Anthony G.Shannon，关于插层斐波那契数列《数论与离散数学注释》（2020）第26卷，第3期，218-223。
哈塞内·贝尔巴希尔、索梅亚·梅尔瓦·特布图和拉兹洛·内梅特，椭圆链及其相关序列，J.国际顺序。，第23卷（2020年），第20.8.5条。
J.B.Cosgrave和K.Dilcher，广义费马数的作用，数学。公司。，2016
G.Dresden和Y.Li，二项式系数的周期加权和，arXiv:2210.04322[math.NT]，2022。
Margherita Maria Ferrari和Norma Zagaglia Salvi，非周期合成与经典整数序列《整数序列杂志》，第20卷（2017年），第17.8.8条。
瓦尔乔·米尔切夫（Valcho Milchev）和茨维特琳娜·卡拉姆菲洛娃（Tsvetelina Karamfilova），网格中的Domino平铺-新的依赖性，arXiv:1707.09741[math.HO]，2017年。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
F.V.Waugh和M.W.Maxfield，侧面和对角线数字，数学。Mag.，40（1967），74-83。
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公式
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通用名称：（1-2*x）/（1-4*x+x^2）-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
例如：exp（2*x）*cosh（sqrt（3）*x）。
a（n）=4*a（n-1）-a（n-2）=a（-n）。
a（n）=（S（n，4）-S（n-2，4））/2=T（n，2），其中S（n、x）:=U（n，x/2），S（-1，x）:=0，S（-2，x）：=-1。U、 相应的。T、 分别是切比雪夫第二多项式。首先，善良。S（n-1，4）=A001353号（n） ，n>=0。请参见A049310型和A053120号.
a（n）=平方（1+3*A001353号（n） （参见Richardson评论，2002年10月10日）。
a（n）=（（2+sqrt（3））^n+（2-sqrt）（3）^n）/2；a（n）=天花板（1/2）*（2+平方（3））^（n））。
a（n）=cosh（n*log（2+sqrt（3）））。
a（n）=Sum_{k=0.floor（n/2）}二项式（n，2*k）*2^（n-2*k）*3^k-保罗·巴里2003年5月8日
a（n+2）=2*a（n+1）+3*Sum_｛k>=0｝a（n-k）*2^k-菲利普·德尔汉姆2004年3月3日
序列满足-3=f（a（n），a（n+1）），其中f（u，v）=u^2+v^2-4*u*v-迈克尔·索莫斯2008年9月19日
G.f.：G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x*（3*k-4）/（x*（3*k-1）-2/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月28日
a（n）=（tan（Pi/12）^n+tan（5*Pi/12，^n）/2-格雷格·德累斯顿2020年10月1日
a（n）=（1/2）^n*[x^n]（4*x+sqrt（1+12*x^2））^n。
g.f.A（x）满足A（2*x）=1+x*B'（x）/B（x），其中B（x）=1/sqrt（1-8*x+4*x^2）是A069835号.
高斯同余a（n*p^k）==a（n*p^（k-1））（mod p^ k）适用于所有素数p>=3以及正整数n和k。
和{n>=1}1/（a（n）-（3/2）/a（n））=1。
和{n>=1}（-1）^（n+1）/（a（n）+（1/2）/a（n））=1/3。
和{n>=1}1/（a（n）^2-3/2）=1-1/sqrt（3）。（结束）
a（n）=二项式（2*n，n）+2*Sum_{k>0}二项式（2*n，n+2*k）*cos（k*Pi/3）-格雷格·德累斯顿2022年10月11日
2*a（n）+2^n=3*Sum_{k=-n.n}（-1）^k*二项式（2*n，n+6*k）-格雷格·德累斯顿2023年2月7日
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例子
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2^6-1=63不除以a（2^4）=708158977，因此63是复合的。2^5-1=31除以a（2^3）=18817，因此31是素数。
G.f.=1+2*x+7*x^2+26*x^3+97*x^4+362*x^5+1351*x^6+5042*x^7+。。。
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MAPLE公司
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矫形[T]（n，2）；
结束进程：
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数学
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表[天花板[（1/2）*（2+Sqrt[3]）^n]，｛n，0，24｝]
线性递归[{4，-1}，{1，2}，30](*哈维·P·戴尔2015年8月22日*）
圆形@桌子[LucasL[2n，Sqrt[2]]/2，{n，0，20}](*弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2016年9月15日*）
a[n_]：=卢卡斯L[2*n，x]/2/。x->平方码[2]；(*迈克尔·索莫斯2022年9月5日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=subst（poltchebi（abs（n）），x，2）}；
（PARI）{a（n）=实（（2+quadgen（12））^abs（n））}；
（PARI）{a（n）=polsym（1-4*x+x^2，abs（n））[1+abs（n）]/2}；
（PARI）我的（x='x+O（'x^30））；Vec（（1-2*x）/（1-4*x+x^2））\\G.C.格鲁贝尔2017年12月19日
（鼠尾草）[lucas_number2（n，4，1）/2代表范围（0，25）内的n]#零入侵拉霍斯2009年5月14日
（哈斯克尔）
a001075 n=a001075_列表！！n个
a001075_列表=
1:2:zipWith（-）（map（4*）$tail a001075_list）a001075列表
（鼠尾草）
定义a（n）：
Q=二次域（3，'t'）
u=Q.单位（）[0]
return（u^n）.lift（）.coeffs（）[0]#拉尔夫·斯蒂芬2014年6月19日
（岩浆）I:=[1,2]；[n le 2选择I[n]else 4*Self（n-1）-Self[n-2）：n in[1..30]]；(*G.C.格鲁贝尔2017年12月19日*）
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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