搜索： a009545-编号：a009595
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无符号序列包含2的严格正幂的3个副本。
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a（n）=2a（n-2）-2a（n-4）。a（n）=-4a（n-8），n>7。
外径：x（1+x-x^2）/（1-2x^2+2x^4）-R.J.马塔尔2008年7月8日
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数学
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使用[{c=LinearRecurrence[{2，-2}，{0，1}，40]}，Riffle[c，Differences[c]]（*或*）LinearReurrence[{0，2，0，-2}，{0、1、1}、80](*哈维·P·戴尔2017年10月15日*）
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A009545号是退化情形a（n）=2a（n-1）-2a（n-2）的主序列，这意味着与序列相反的第二个差分，对于这里无限制地保持不变的a（n，n）=4a（n-l）-6a（n-2）+4a（n-3）。
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配方奶粉
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矩形（垂直和=0）：0，0，1，2，2；0, 1, 1, 0, -2; 1, 0, -1, -2, -2; -1, -1 -1, 0, 2;
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签名,未经编辑的
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作者
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A007318号
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| 按行读取的帕斯卡三角形：C（n，k）=二项式（n，k）=n/（k！*（n-k）！），0<=k<=n。
（原M0082）
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2065
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1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1, 1, 5, 10, 10, 5, 1, 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1, 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1, 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1, 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1, 1, 11, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55, 11, 1
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A.W.F.Edwards写道：“它（三角形）早在1654年，也就是布莱斯·帕斯卡（Blaise Pascal）写下三角算术的那一年，这本书就被首次记录下来了，但正是这本书首次将数字的所有不同方面结合在一起。在这本书中，帕斯卡将数字的性质发展成为一个纯粹的数学。。。然后，在一系列附录中，展示了这些性质如何与数字的研究、组合理论、二项式表达式的展开以及概率论中一个重要问题的解决相关。”（A.W.F.Edwards，《帕斯卡的算术三角》，约翰·霍普金斯大学出版社（2002），第xiii页）
爱德华兹（Edwards）报告称，1708年，蒙莫特（Montmort）首先以帕斯卡（Pascal）命名三角形，称之为“帕斯卡组合表”（Table de M.Pascal pour les combinations），1730年，德莫伊夫（de Moivre）将其命名为“三角算术PASCALANIUM”。（爱德华兹，第xiv页）
在中国，杨辉在1261年列出了（a+b）^n到n=6的系数，将这种扩展归功于大约1100年的嘉欣的《世素算书》。另一个突出的早期应用是1303年朱世嘉的《四行宝镜》。（爱德华兹，第51页）
在波斯，Al-Karaji在“1007年后不久的某个时间”发现了二项式三角形，而Al-Samawal在1180年前的某个时候在Al-bahir杂志上发表了它。（Edwards，第52页）
在印度，Halayuda对Pingala关于音节组合的论文（约公元前200年）的评论（约900年）清楚地描述了三角形的加法计算。（Amulya Kumar Bag，古印度二项式定理，第72页）
同样在印度，C（n，k）的乘法公式于850年为Mahavira所知，并于1150年由Bhaskara重申。（爱德华兹，第27页）
在意大利，塔塔格里亚（Tartaglia）在他的《将军特拉塔托》（General trattato，1556年）中发表了三角图，而卡达诺（Cardano）则在他的《新作品》（Opus novum，1570年）中出版了三角图。（爱德华兹，第39、44页）-俄罗斯考克斯2022年3月29日
有时也称为Omar Khayyam三角形。
有时也称为杨辉三角形。
C（n，k）=n元集的k元子集的数目。
第n行给出了（1+x）^n展开式中的系数。
二项式（n+k-1，n-1）是将k个无法区分的球放入n个盒子中的方法数（“条形和星形”参数-参见Feller）。
二项式（n-1，k-1）是n与k和的组合数（有序分区）。
二项式（n+k-1，k-1）是n的弱成分（有序弱分区）精确到k个和的数量-尤根·威尔2016年1月23日
二项式（n，k）是使用步骤（1,0）和（1,1）从（0,0）到（n，k）的晶格路径数-约尔格·阿恩特2011年7月1日
如果将其视为无限下三角矩阵，则逆矩阵开始：
+1
-1 +1
+1 -2 +1
-1 +3 -3 +1
+1 -4 +6 -4 +1
可以看作是一个数组，由反对偶读取，其中第一行和第一列中的条目都是1，对于所有其他条目，A（i，j）=A（i-1，j）+A（i、j-1）。从（0,0）开始的每个n×n子数组的行列式为1-杰拉尔德·麦卡维2004年8月17日
此外，矩阵指数的下三角读数，其条目{j+1，j}等于j+1（所有其他条目都为零）Joseph Biberstine（jrbibers（AT）indiana.edu），2006年5月26日
二项式（n-3，k-1）计算S_n中图案231零次出现、图案132和k下降一次出现的排列。二项式（n-3，k-1）还计算S_n中模式231零次出现、模式213和k下降一次出现的排列David Hoek（David.hok（AT）telia.com），2007年2月28日
考虑整数列表LL的列表L的形式LL=[m#L]=[m#[k#2]]（其中“#”表示“时间”），如LL（m=3，k=3）=[2,2,2]，[2,2,2]，[2,2]]。如果像[1,1]、[2]、[2]和[2]、[2]、[1,1]]和[2]、[2]、[1,1]]和[2]、[1]、[2]这样的多个分区只计算一次，LL（m，k）的整数列表分区数等于二项式（m+k，k）。例如，我们发现4*5*6/3！=20=二项式（6,3）-托马斯·维德2007年10月3日
来自Lee Naish（Lee（AT）cs.mu.oz.au），2008年3月7日：（开始）
二项式（n+k-1，k）是将长度为k的序列划分为n个子序列的方法数（参见Naish链接）。
二项式（n+k-1，k）也是以至少k为基数写的n个（或更少）数字的数目，其数字总和为k。例如，在十进制中，有二项式的（3+3-1,3）=10个3位数，其数字之和为3（参见A052217号)二项式（4+2-1,2）=10个四位数，其数字之和为2（参见A052216号). 这个关系可以用来生成序列的数量A052216号到A052224号（以及使用大于10的基数的进一步序列）。（完）
用sigma_k（x_1，x_2，…，x_n）表示初等对称多项式。然后：
二项式（2n+1,2k+1）=σ{n-k}（x_1，x_2，…，x_n），其中x_i=tan^2（i*Pi/（2n+1）），（i=1,2，…，n）。
二项式（2n，2k+1）=2n*sigma{n-1-k}（x_1，x_2，…，x_{n-1}），其中x_i=tan^2（i*Pi/（2n）），（i=1,2，…，n-1）。
二项式（2n，2k）=σ{n-k}（x_1，x_2，…，x_n），其中x_i=tan^2（（2i-1）Pi/（4n）），（i=1,2，…，n）。
二项式（2n+1,2k）=（2n+1）σ{n-k}（x_1，x_2，…，x_n），其中x_i=tan^2（（2i-1）Pi/（4n+2）），（i=1,2，…，n）。（完）
给定矩阵R和S，其中R（n，k）=二项式（n，k）*R（n-k）和S（n，k-）=二项式（n、k）*S（n-k。并且，R、s和T的行多项式的例如fs分别是exp（x*T）*exp[R（.）*x]、exp（x*T）*exp[s（.）*x]和exp（x*T）*exp[R（.）*x]*exp[s（.）*x]=exp{[T+R（.）+s（.）]*x}。行多项式本质上是Appell多项式。请参见A132382号例如-汤姆·科普兰2008年8月21日
如果A007318号=M作为无限下三角矩阵，M^n给出A130595型,A023531号,A007318号,A038207年,A027465号,A038231号,A038243号,A038255号,A027466号,A038279号,A038291号,A038303美元,A038315号,A038327美元,A133371号,A147716号,A027467号n分别为-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15-菲利普·德尔汉姆2008年11月11日
多项式的系数，例如f.exp（x*t）*（cosh（t）+sinh（t））-彼得·卢什尼2009年7月9日
三角形或国际象棋的总和，参见A180662号有关它们的定义，请将帕斯卡三角形与20个不同的序列联系起来，请参阅交叉参考。由于这个三角形的对称性，所有的总和都成对出现。骑士总金额Kn14-Kn110已添加。值得注意的是，所有骑士和都与斐波那契数相关，即。，A000045号，但其他都没有-约翰内斯·W·梅耶尔2010年9月22日
二项式（n，k）也是将n+1个球分布到k+1个瓮中的方法数，以便每个瓮至少得到一个球。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年1月29日
二项式（n，k）是从{1，…，k}增加到{1，..，n}的函数数，因为有二项式的（n，k）方法从共域{1，，…，n}.中选择范围内k个不同的有序元素。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年4月7日
二项式（n，k）是以k+1为中间元素的{1，…，n+1}的子集数。要了解这一点，请注意总和{j=0..min（k，n-k）}二项式（k，j）*二项式。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年12月15日
这是晶格Z^n的坐标三角形，参见Conway-Sloane，1997-N.J.A.斯隆2012年1月17日
定义一个有n行的有限三角形T（m，k），使T（m、0）=1为左列，T（m）=二项式（n-1，m）为右列，其他条目为T（m；k）=T（m-1，k-1）+T（m-l，k）（如帕斯卡三角形中所示）。T中所有项目的总和（有A000217号（n） 元素）为3^（n-1）-J.M.贝戈，2012年10月1日
集合{1，…，n}的置换p_1…p_n在位置i处下降，如果p_i>p_（i+1）。设S（n）表示{1，…，n}的置换p_1…p_n的子集，使得p_（i+1）-p_i<=1，。。。，n-1。然后二项式（n，k）给出了S（n+1）中k下降的置换数。或者，二项式（n，k）给出了S（n+1）中随k+1增加的排列数-彼得·巴拉2013年3月24日
和{n=>0}二项式（n，k）/n！=e/k！，其中e=exp（1），同时允许n<k，其中二项式（n，k）=0。同时求和{n>=0}二项式（n+k-1，k）/n！=e（电子）*A000262号（k） /k！，对于k>=1等于e*A067764号（k）/A067653号（k） ●●●●-理查德·福伯格2014年1月1日
当在左边乘以Vandermonde矩阵V（X_1，…，X_n）（第一行中有1）时，下式中定义的Pascal矩阵P（X）的平方n×n子矩阵（前n行和n列）将矩阵转换为V（X_1+X，…，X_n+X），同时保持行列式不变-汤姆·科普兰2014年5月19日
设G_（2n）是对称群S_（2n。G_（2n）的阶数为2^n。二项式（n，k）给出了具有n+k个循环的G_（2 n）中的置换数。囊性纤维变性。A130534型和A246117号. -彼得·巴拉2014年8月15日
C（n，k）=半长n+1的Dyck路径数，其中k+1“u”位于奇数位置，k+1返回x轴。示例：{U=U在奇数位置，_=返回x轴}二项式（3,0）=1（Uududd_）；二项式（3,1）=3[（Uudd_Und），（Ud_Uudd_Und），（Uudd_Und）]；二项式（3,2）=3[（Ud_Ud_U udd_），（Uudd_U d_U d），（U d_Uudd_ d）]；二项式（3,3）=1（Ud_Ud_uUd_）-罗杰·福特2014年11月5日
二项式系数二项式（n，k）给出了n个种群加倍后第k代的个体数。每增加一倍种群，每个个体的克隆都会使其世代指数增加1，从而转到下一行。只需将每一行从0到2^n-1相加即可得到二项式系数。
0 1 3 7 15
0:O|.|..|….||
1:|O|O.|O…|（O…|）O|
2:||O|O操作。|O O O。哦|
3:|||O|O O O O|
4:||||O|
这是一个分形过程：要获得从0到2^n-1的图案，请在图案右侧附加一个从0到2 ^（n-1）-1的图案下移（一行）副本。（灵感来自“二项式堆”数据结构。）
生成指数序列：1’s计数序列：n的二进制展开中的1’s数（或n的二进制权重）（参见A000120号):
{0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, ...}
0到15的二进制扩展：
0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1111
（完）
T（n，k）是[n+1]的集合分区w的数量，它们以rb（w）=k避免了1/2/3。对于ls（w）=k也适用，其中避免是在Klazar和ls的意义上，rb由Wachs和White定义。
满足本福德定律[Diaconis，1977]-N.J.A.斯隆2017年2月9日
设{A（n）}是一个有n个完全相同元素的集，{A（0）}为空集E。{A（n，1）}=A{（n）}的所有子集的集合，包括{A（n-）}和E。设A（n，k）是{A（n、k）}中的元素数。然后A（n，k）=C（n+k，k），每次迭代都复制帕斯卡三角形第k对角线的成员。请参见示例-格雷戈里·西蒙，2018年8月6日
二项式（n-1，k）也是避免213和312的排列数，其中k个上升-劳拉·普德威尔2018年12月19日
二项式（n-1，k）也是避免132和213的排列数，其中k个上升-劳拉·普德威尔2018年12月19日
二项式（n，k）是维数n的向量空间的第k次外幂的维数-斯特凡诺·斯佩齐亚，2018年12月22日
C（n，k-1）是使用k种颜色的n维单纯形的面（或顶点）的无方向着色数。在列举无定向排列时，每个手性对都算作一对-罗伯特·拉塞尔2020年10月20日
Dilcher和Stolarsky：“数学中最普遍的两个对象是素数序列和二项式系数（以及Pascal三角形）这两者之间的联系是由素数的一个著名特征给出的：考虑帕斯卡三角形第k行中的项，不包括首项和尾项。它们都可以被k整除当且仅当k是素数。" -汤姆·科普兰，2021年5月17日
皮埃尔·雷蒙德·德·蒙莫特（1708）以法国数学家、物理学家和哲学家布莱斯·帕斯卡（1623-1662）的名字命名为“帕斯卡组合表”-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月11日
将三角形的第n条对角线视为序列b（n），n从0开始。通过保持第0项不变，然后考虑n的所有组成，从中形成一个新序列，取b（i）对每个组成中相应数字i的乘积，加上与偶数部分组成对应的项，减去与奇数部分组成相对应的项。然后得到三角形的第n行，每第二项乘以-1，后面跟着无穷多个零。对于以1开头的序列，此操作是自反转操作的特例，因此反之亦然-托马斯·安东2021年7月5日
C（n，k）是n维单位超立方体中距给定顶点L1距离k（或：具有k 1d条最短路径）处的顶点数-艾坦·莱文2023年5月1日
C（n+k-1，k-1）是无限维框中距给定顶点L1距离处的顶点数，对于每m>=0，该框具有长度为2^m的k条边。等价地，给定一组包含k个可区分令牌的令牌，每个m>=0的值为2^m，C（n+k-1，k-1）是总值为n的令牌子集的数量-艾坦·莱文，2023年6月11日
第k列中的数字，即n>=k的C（n，k）形式的数字，称为k单纯形数-蓬图斯·冯·布罗姆森2023年6月26日
设r（k）是第k行，c（k）为第k列。用*表示卷积，用^表示重复卷积。然后r（k）*r（m）=r（k+m）和c（k）*c（m）=c（k+m+1）。这是因为r（k）=r（1）^k和c（k）=c（0）^k+1-艾坦·莱文2023年7月23日
长度n的排列数同时避免了图案231和312（分别为213和231；213和312）和k个下降（相当于k个上升）。排列a（1）a（2）…中的上升（即下降）。。。a（n）是位置i，使得a（i）<a（i+1）（相应地，a（i-田汉2023年11月25日
C（n，k）是m=0阶的广义二项式系数。通过公式C（n，k）=和{i=0..n-k}二项式（n+1，n-k-i）*斯特林2（i+m+1，i+1）*（-1）^i计算，其中m=0表示n>=0，0<=k<=n-伊戈尔·维克托维奇·斯塔森科2023年2月26日
Akiyama-Tanigawa算法应用于对角线二项式（n+k，k），得出n的幂-谢尔·卡潘2024年5月3日
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参考文献
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配方奶粉
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a（n，k）=C（n，k）=二项式（n，克）。
C（n，k）=C（n-1，k）+C（n-1，k-1）。
三角形是对称的：C（n，k）=C（n、n-k）。
a（n+1，m）=a（n，m）+a（n、m-1），a（n；-1）：=0，a（m，n）:=0，n<m；a（0，0）=1。
C（n，k）=n/（k！（n-k）！）如果0<=k<=n，则为0。
G.f.：1/（1-y-x*y）=和_（C（n，k）*x^k*y^n，n，k>=0）
G.f.：1/（1-x-y）=和_（C（n+k，k）*x^k*y^n，n，k>=0）。
第n行的G.f:（1+x）^n=Sum_{k=0..n}C（n，k）*x^k。
柱k的G.f:x^k/（1-x）^（k+1）；[由更正维尔纳·舒尔特，2022年6月15日]。
例如：A（x，y）=exp（x+x*y）。
例如，对于n列：x^n*exp（x）/n！。
一般来说A007318号表示为：T（0，0）=1，T（n，k）=T（n-1，k-1）+m*T（n-1，k），其中n是行index，k是列；T（n，k）=m^（n-k）*C（n，k）。
设P（n+1）=（n+1）的整数分区数；设p（i）=（n+1）的第i个分区的部分数；设d（i）=（n+1）的第i个分区的不同部分的数目；设m（i，j）=（n+1）的第i分区的第j部分的重数。将运算符Sum_{i=1..P（n+1），P（i）=k+1}定义为从i=1到i=P（n/1）的和，但只考虑具有P（i）=（k+1）部分的分区。定义操作符Product_{j=1..d（i）}=Product从j=1运行到j=d（i）。那么C（n，k）=和{p（i）=（k+1），i=1.p（n+1）}p（i[产品{j=1..d（i）}m（i，j）！]。例如，C（5，3）=10，因为n=6有以下m=3部分的分区：（114），（123），（222）。对于它们的多重性，我们有：（114）：3/(2!*1!) = 3; (123): 3!/(1!*1!*1!) = 6; (222): 3!/3! = 1.总和为3+6+1=10=C（5，3）-托马斯·维德，2005年6月3日
通用格式：1+x*（1+x）+x^3*（1++x）^2+x^6*（1+x）^3+-迈克尔·索莫斯2006年9月16日
C（t+p-1，t）=和{i=0..t}C（i+p-2，i）=和}i=1..p}C（i+t-2，t-1）。二项式数是它的左亲和所有右祖先的和，等于它的右亲和所有左祖先的和Lee Naish（Lee（AT）cs.mu.oz.au），2008年3月7日
设A（x）=Sum_{n>=0}x^（n*（n+1）/2）*（1+x）^n是平面三角形的g.f:
A（x）=1+（x+x^2）+（x^3+2*x^4+x^5）+（x ^6+3*x^7+3*x ^8+x^9）+。。。
则A（x）等于级数Sum_{n>=0}（1+x）^n*x^n*Product_{k=1..n}（1-（1+x）*x^（2*k-1））/（1-（1+x）*x ^（2*k））；
此外，A（x）等于连分数1/（1-x*（1+x）/（1+x*（1-x）*（1+x）/）。
这些公式是由于（1）q级数恒等式和（2）部分椭圆θ函数表达式。（完）
三角形的第n行（n>=0）由无穷矩阵P^n的第n对角化给出，其中P=（P_{i，j}），i，j>=0是生产矩阵
0, 1,
1, 0, 1,
0, 1, 0, 1,
0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
…（结束）
三角形的第n行也由多项式P_n（x）的n+1个系数给出，多项式P_n（x）由递推式P_0（x）=1，P_1（x）=x+1，P_n（x）=x*P_{n-1}（x）+P_{n-2}（x），n>1定义-L.埃德森·杰弗里2013年8月12日
（1+x）^n=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*和{i=0..k}k^（i-i）*二项式（k，i）*x^（n-i）/（n-i）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2013年10月21日
例如：A（x，y）=exp（x+x*y）=1+（x+y*x）/（E（0）-（x+y*x）），其中E（k）=1+；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月8日
例如：E（0）-1，其中E（k）=2+x*（1+y）/（2*k+1-x*（1+y）/E（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年12月24日
G.f.：1+x*（1+x）*（1+x^2*（1+x）/（W（0）-x^2-x^3）），其中W（k）=1+（1+x）*x^（k+2）-（1+x）*x^（k+3）/W（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年12月24日
和{n>=k}1/C（n，k）=k/（k-1）对于k>=1-理查德·福伯格2014年2月10日
将Pascal下三角矩阵的每个第n对角线乘以x^n，并将结果指定为A007318号（x） =P（x）。然后用：xD:^n=x^n*（d/dx）^n和B（n，x），Bell多项式(A008277号),
A） P（x）=经验（x*dP）=经验[x*（e^M-I）]=经验[M*B（.，x）]=（I+dP）^B（.、x）
C） P（x）^y=P（y*x）。P（2倍）=A038207年（x） =exp[M*B（.，2x）]，n维超立方体的面向量。
D） P（x）=[St2]*exp（x*M）*[St1]=[St2]*（I+dP）^x*[St1）
E） =[St1]^（-1）*（I+dP）^x*[St1]=[St2]*
递归方程：T（n，k）=T（n-1，k）*（n+k）/（n-k）-T。注意，将递推式中的减号改为加号可以使二项式系数的平方递推-请参阅A008459号.
行的e.g.f.和三角形的对角线之间有一种关系，即exp（x）*e.g.f.对于行n=e.g.f.对于对角线n。例如，对于n=3，我们有exp（x）*（1+3*x+3*x^2！+x^3/3！）=1+4*x+10*x^2！+20*x^3/3！+35*x^4/4！+。。。。此属性更普遍地适用于形式为（f（x），x/（1-x））的Riordan数组，其中f（x）是形式为1+f_1*x+f_2*x^2+…的o.g.f。。。。例如，请参见，A055248美元和A106516号.
让P表示现在的三角形。对于k=0,1,2，。。。定义P（k）为下单位三角形块数组
/确定0（_k）\
\0 P/将k X k单位矩阵I_k作为左上块；特别地，P（0）=P。无穷乘积P（0，P（1）*P（2）*。。。，这是明确定义的，等于第二类斯特林数的三角形A008277号.按相反顺序的无穷乘积，即*P（2）*P（1）*PA130534型.（结束）
C（a+b，C）=和{k=0..a}C（a，k）*C（b，b-C+k）。这是普鲁德尼科夫等人参考文献第4.2.5节方程式1的推广，其中a=b=c=n:c（2*n，n）=Sum_{k=0..n}c（n，k）^2。有关新公式的动画，请参见“链接”部分-赫尔曼·斯坦姆·威尔勃朗2015年8月26日
Pascal矩阵P（n，x）=（1+x）^n的行多项式与Bernoulli多项式Br（n，x）及其本影合成逆Bv（n，x=（-Br（.，-Bv（.，x））^n=（-1）^n Br，M是对角矩阵diag（1，-1，1，-1，…），Br是伯努利多项式系数的矩阵，Bv是由Br（n，Bv（.，x））=x^n=Bv（n，Br（.，x））定义的本影逆多项式的矩阵。注M=M^（-1）-汤姆·科普兰2015年9月5日
1/（1-x）^k=（r（x）*r（x^2）*r其中r（x）=（1+x）^k-加里·亚当森2016年10月17日
Riordan阵列k列的Boas-Buck型递归（参见2017年8月10日的备注A046521号，也供参考），Boas-Buck序列b（n）={repeat（1）}。T（n，k）=（（k+1）/（n-k））*Sum_{j=k..n-1}T（j，k），对于n>=1，T（n、n）=1。通过T（n，k）=二项式（n，k），这可以简化为已知的二项式恒等式（例如，Graham等人，第161页）-沃尔夫迪特·朗2018年11月12日
C（（p-1）/a，b）==（-1）^b*fact_a（a*b-a+1）/fact_a（a*b）（mod p），其中fact_n表示第n个多因子，a除以p-1，方程式右侧分数的分母表示模逆-艾萨克·萨福克2019年1月7日
和{k=0..n}C（n+k，2*k+1）=F（2*n）。
和{k=0..n}C（n+k，2*k）=F（2*n+1）。（完）
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11。。。
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
...
有C（4,2）=6种方式在3个不同的瓮中分配5个球BBBBB，<>（）[]，以便每个瓮获得至少一个球，即<BBB>（B）[B]、<B>（BBB。
有C（4,2）=6个从{1,2}到{1,2,3,4}的递增函数，即{（1,1），（2,2）}，{（1,1），（2,3）}，{（1,1），（2,4）}，{（1,2），（2,3）}，{（1,2），（2,4）}和{（1,3），（2,4）}-丹尼斯·沃尔什2011年4月7日
含有中间元素3的{1,2,3,4,5}的C（4,2）=6个子集，即{3}、{1,3,4}、}1,3,5}、{2,3,4]、{2,5}和{1,2,4,5{-丹尼斯·沃尔什2011年12月15日
{A（0）}=E的连续k次迭代是E；E；E、 ；。。。；相应的元素数为1,1,1，。。。{A（1）}={A}的连续k次迭代是（省略括号）A；a、 E；a、 E，E；。。。；相应的元素数为1,2,3，。。。{A（2）}＝{A，A}的连续k次迭代是aa；aa、a、E；aa、a、E和a、E与E；。。。；相应的元素数为1,3,6-格雷戈里·西蒙，2018年8月6日
k列的Boas-Buck型递推=4:T（8，4）=（5/4）*（1+5+15+35）=70。请参阅上面的Boas-Buck评论-沃尔夫迪特·朗2018年11月12日
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MAPLE公司
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数学
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扁平[表[二项式[n，k]，{n，0，11}，{k，0，n}]](*罗伯特·威尔逊v2004年1月19日*）
压扁[系数列表[系数列表[Series[1/（1-x-x*y），{x，0，12}]，x]，y]](*Mats Granvik公司2014年7月8日*）
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黄体脂酮素
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（公理）--（开始）
)设置expose添加构造函数OutputForm
帕斯卡（0，n）==1
帕斯卡（n，n）==1
帕斯卡（i，j|0<i和i<j）==帕斯卡
pascalRow（n）==[pascal（i，n）for i in 0..n]
displayRow（n）==输出中心空白分隔行（n）
对于0..20中的i，重复显示第i行--（结束）
（Python）#请参阅Hobson链接。其他计划：
从数学导入prod，阶乘
定义C（n，k）：返回prod（范围（n，n-k，-1））//阶乘（k）#M.F.哈斯勒，2019年12月13日，2022年4月29日更新，2023年2月17日
（哈斯克尔）
a007318 n k=a007318_tabl！！不！！k个
a007318_row n=a007318-tabl！！n个
a007318_list=连接a007318-tabl
a007318_tabl=迭代（\row->zipWith（+）（[0]++行）（row++[0]））[1]
--参见。http://www.haskell.org/haskellwiki/Blow_your_mind#Mathematical_sequences
（极大值）create_list（二项式（n，k），n，0，12，k，0，n）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月11日*/
（Sage）def C（n，k）：返回子集（range（n），k）.cardinality（）#拉尔夫·斯蒂芬2014年1月21日
（岩浆）/*作为三角形：*/[[二项式（n，k）：k in[0..n]]：n in[0..10]]//文森佐·利班迪2015年7月29日
（GAP）平面（列表（[0.12]，n->列表（[0.n]，k->二项式（n，k）））#斯特凡诺·斯佩齐亚，2018年12月22日
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交叉参考
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等于A102363号——David G.Williams（大卫·威廉姆斯（AT）Paxway.com），2006年1月23日
囊性纤维变性。A008277号,2013年12月11日,A132312号,A052216号,A052217号,A052218号,A052219号,A052220型,A052221号,A052222美元,A052223美元,A144225号,A202750型,A211226型,A047999号,A026729号,A052553号,A051920美元,A193242号.
斐波那契-泛三角形：A027926号,A036355号,A037027号,A074829号,A105809号,A109906号,A111006号,A114197号,A162741号,A228074号,A228196型,A228576号.
m=2的广义二项式系数（n，k）_m（或广义Pascal三角形）的三角形。.12:A001263号,A056939号,A056940号,A056941号,A142465号,A142467号,A142468号,A174109号,A342889型,A342890型,A342891型.
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关键词
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作者
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扩展
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检查了所有链接，删除了8个似乎永远丢失的链接，这些链接可能并不重要-N.J.A.斯隆2018年5月8日
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状态
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经核准的
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0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, 131071, 262143, 524287, 1048575, 2097151, 4194303, 8388607, 16777215, 33554431, 67108863, 134217727, 268435455, 536870911, 1073741823, 2147483647, 4294967295, 8589934591
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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这是q=2的高斯二项式系数[n，1]。
S_n上秩-1拟阵的个数。
此外，贝拿勒斯神庙问题的解决方案（移动次数最少），即三个菱形针，其中n个针盘按第一个针的大小递减，以相同的顺序放置在第三个针盘上，每次移动不超过一个针盘，也不将一个针盘放在较小的针盘的顶部Xavier Acloque，2003年10月18日
a（0）=0，a（1）=1；a（n）=最小值，使得a（n，a（m）==0（mod（n-m+1）），对于所有m-阿玛纳斯·穆尔西2003年10月23日
[1，1/2，1/3，…]=[1/1，3/2，7/3，…]的二项式变换；（2^n-1）/n，n=1,2,3-加里·亚当森2005年4月28日
二进制表示为111…1的数字。例如，第7项为（2^7）-1=127=1111111（以2为基数）-亚历山大·瓦恩伯格2005年6月8日
对于n>=2，a（n）是不是2的幂的最小斐波那契n阶数-里克·L·谢泼德2007年11月19日
设P（A）是n元集A的幂集，则A（n+1）=P（A-罗斯·拉海耶2008年1月10日
2^n-1是深度n的帕斯卡三角形中元素的总和。-布莱恩·刘易斯（bsl04（AT）uark.edu），2008年2月26日
从偏移量1开始=Jacobsthal序列，A001045号，（1，1，3，5，11，21，…）与（1，2，2，…）卷积-加里·亚当森2009年5月23日
如果n是偶数a（n）mod 3=0。这来自同余2^（2k）-1~2*2**2 - 1 ~ 4*4*...*4 - 1 ~ 1*1*...*1-1 ~ 0（模式3）。（请注意，2*2*…*2有偶数个术语。）-华盛顿·邦菲姆2009年10月31日
设A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=2，（i>1），A[i，i-1]=-1，否则A[i、j]=0。然后，对于n>=1，a（n）=det（a）-米兰Janjic2010年1月26日
这是G.Detlefs考虑的序列家族[A，b:c，d:k]中的序列A（0,1；1,2；2）=A（0,1；3，-2；0），在下面给出的W.Lang链接中被视为A（A，b；c，d；k）-沃尔夫迪特·朗2010年10月18日
a（n）=S（n+1，2），第二类斯特林数。请参见下面的示例-丹尼斯·沃尔什2011年3月29日
帕斯卡三角形中a（n）行的条目都是奇数，而a（n。。。，奇怪。
将条形操作定义为对有符号排列的操作，该操作翻转每个条目的符号。那么a（n+1）是长度为2n的有符号置换的数量，它等于它们的反向补足的条，并且避免了模式集{（-2，-1），（-1，+2），（+2，+1）}。（参见Hardt和Troyka参考。）-贾斯汀·特洛伊卡2011年8月13日
a（n）是数字k，使得映射k->（3k+1）/2==1（mod 2）直到达到（3k+1/2==0（mod 2中）为止的迭代次数等于n（参见Collatz问题）-米歇尔·拉格诺2012年1月18日
对于整数a，b，用a<+>b表示，最小c>=a，使得Hd（a，c）=b（注意，一般来说，a<+>b与b<+>a不同）。则a（n+1）=a（n）<+>1。因此，这个序列是非负整数的汉明模拟-弗拉基米尔·舍维列夫，2012年2月13日
皮萨诺周期长度：1、1、2、1、4、2、3、1、6、4、10、2、12、3、4、1、8、6、18、4。。。显然地A007733号. -R.J.马塔尔2012年8月10日
从n开始。每个n生成一个子列表{n-1，n-2，…，1}。每个子列表的每个元素也会生成一个子列表。取所有的总和。例如，3->{2,1}和2->{1}，因此a（3）=3+2+1=7-乔恩·佩里2012年9月2日
这是卢卡斯U（P=3，Q=2）序列-R.J.马塔尔2012年10月24日
梅森数>=7都是巴西数，以二为基数。参见链接中的命题1和5.2：“Les nombres brésiliens”-伯纳德·肖特2012年12月26日
a（n）是2的最高幂，因此2^a（n）除以（2^n）-伊万·伊纳基耶夫，2013年8月17日
在计算机编程中，这些是唯一的无符号数字，例如k&（k+1）=0，其中&是按位AND运算符，数字用二进制表示-斯坦尼斯拉夫·西科拉2013年11月29日
青蛙问题中交换n只青蛙所需的最少移动次数（例如，参见下面的NRICH1246链接或Britton链接）-N.J.A.斯隆2014年1月4日
a（n）！==4（第5版）；a（n）！==10（模式11）；a（n）！==2、4、5、6（第7版）-卡米娜·苏里亚诺，2014年4月6日
在0之后，由整数（1，2，3，4，…）的部分和组成的数组的反对角线和-卢西亚诺·安科拉2015年4月24日
a（n+1）等于长度为n的三元字的数量，避免了01,02-米兰Janjic2015年12月16日
当偏移量为0且另一个初始值为0时，第n项为0，0，1，3，7，15。。。是序数n的完全扩展von Neumann定义中所需的逗号数。例如，4:={0，1，2，3}:={{}，{}}，}}。此外，对于n>0，a（n）是序数n-1的完全扩展von Neumann定义中所需的符号总数，其中总是使用单个符号（通常）表示空集，空格被忽略。例如，a（5）=31，表示序号4的此类符号总数-里克·L·谢泼德2016年5月7日
除初始项外，二维细胞自动机第n个生长阶段的x轴的十进制表示，由“规则659”、“规则721”和“规则734”定义，基于用单个on细胞初始化的5细胞von Neumann邻域-罗伯特·普莱斯，2017年3月14日
a（n），n>1，是具有n个元素的集上保序部分内射映射的幺半群的最大子半群的个数-詹姆斯米切尔和威尔夫·威尔逊2017年7月21日
给出了完备二部图K_{n-1，n-1}中独立顶点集和顶点覆盖的个数-埃里克·韦斯特因2017年9月21日
和{k=0..n}p^k是n X n矩阵M_（i，j）=二项式（i+j-1，j）*p+二项式的行列式（i+j-1，i），在这种情况下p=2（经验观察）-托尼·福斯特三世2019年5月11日
有理数r（n）=a（n+1）/2^（n+1/A000079号（n+1）也作为第n次迭代f^{[n]}（c；x）=2^（n+1 2）*24=21作为溶液。请参阅链接和参考。有关第二个问题（也涉及当前序列），请参阅中的注释A130330型. -沃尔夫迪特·朗2019年10月28日
a（n）是包含n的{1,2，..，n}的所有子集中最小元素的和。例如，a（3）=7；{1,2,3}中包含3的子集是{3}、{1,3}，{2,3}、{1,2,3，最小元素之和为7-恩里克·纳瓦雷特，2020年8月21日
a（n-1）是{1,2，..，n}的非空子集的数目，其中没有与集合大小相同的元素。例如，对于n=4，a（3）=7，并且子集是{2}、{3}、}4}、[1,3}，{1,4}，}3,4}和{1,2,4}-恩里克·纳瓦雷特2020年11月21日
也是完全图K_n中支配集的数目。
此外，当n>=3时，n-helm图中的最小支配集数。（完）
猜想：除了a（2）=3之外，数字m使得2^（m+1）-2^j-2^k-1对所有0<=j<k<=m都是复合的-柴华武2021年9月8日
a（n）是n维tic-tac-toe中通过角单元的三行数-本·奥尔林2022年3月15日
当n==1（mod 4）时，a（n）==1（mod 30）；
对于n==3（mod 4），a（n）==7（mod 120）；
（a（n）-1）/30=（a（n+2）-7）/120，对于n奇数；
此外，高度为n-1的完美二叉树中的节点数，或：毕达哥拉斯树构造第n步后的正方形（或三角形）数：从线段开始。在每个步骤中，构造以最近的线段为底的正方形，以及以正方形的对边为斜边的等轴直角三角形（位于每个正方形的“顶部”）。在下一步中，这些三角形的腿将用作方块的底线段-M.F.哈斯勒2024年3月11日
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参考文献
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Ralph P.Grimaldi，《离散和组合数学：应用导论》，第五版，Addison-Wesley，2004年，第134页。
约翰·彼得·赫贝尔（Johann Peter Hebel），《赫拉斯盖伯州第二大道的Gesammelte Werke》：简·克诺普夫（Jan Knopf），弗兰兹·利特曼（Franz Littmann）和汉斯格·施密特·伯格曼（Hansgeorg Schmidt-Bergmann unter Mitarbeit von Ester Stern），沃尔斯泰·弗拉格。波段3，S.20-21，Loesung，S.36-37。另请参阅下面的链接。
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
D.Wells，《企鹅奇趣数字词典》，“河内塔”，企鹅图书，1987年，第112-113页。
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链接
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伯纳德·肖特，布列西利安裸鼠，转载自Quarture，编号76，avril-juin 2010，第30-38页，经Quarture编辑许可收录于此。
阿米莉亚·卡罗琳娜·斯巴维尼亚（Amelia Carolina Sparavigna），广义熵的合成运算在数字研究中的应用《国际科学杂志》（2019）第8卷，第4期，第87-92页。
阿米莉亚·卡罗琳娜·斯巴维尼亚（Amelia Carolina Sparavigna），一些群胚及其整数序列表示《国际科学杂志》（2019）第8卷第10期。
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配方奶粉
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G.f.:x/（（1-2*x）*（1-x））。
例如：exp（2*x）-exp（x）。
例如，如果偏移量1:（（exp（x）-1）^2）/2。
a（n）=和{k=0..n-1}2^k-保罗·巴里，2003年5月26日
a（n）=a（n-1）+2*a（n-2）+2，a（0）=0，a（1）=1-保罗·巴里2003年6月6日
设b（n）=（-1）^（n-1）*a（n）。那么b（n）=和{i=1..n}i*i*斯特林2（n，i）*（-1）^（i-1）。b（n）的E.g.f.：（exp（x）-1）/exp（2x）-马里奥·卡塔拉尼（Mario.Catalani（AT）unito.it），2003年12月19日
a（n+1）=2*a（n）+1，a（0）=0。
a（n）=和{k=1..n}二项式（n，k）。
a（n）=n+和{i=0..n-1}a（i）；a（0）=0-里克·L·谢泼德2004年8月4日
a（n+1）=（n+1）*Sum_{k=0..n}二项式（n，k）/（k+1）-保罗·巴里2004年8月6日
a（n+1）=和{k=0..n}二项式（n+1，k+1）-保罗·巴里，2004年8月23日
Stirling_2（n-k，2）从n=k+1开始-阿图尔·贾辛斯基2006年11月18日
a（n）=箍筋S2（n+1,2）-罗斯·拉海耶2008年1月10日
a（n）=J_n（2），其中J_n是第n个Jordan Totient函数：(A007434美元，是J_2）。
a（n）=和{d|2}d^n*mu（2/d）。（完）
a（n）=det（|s（i+2，j+1）|，1<=i，j<=n-1），其中s（n，k）是第一类斯特林数-米尔恰·梅卡2013年4月6日
G.f.：Q（0），其中Q（k）=1-1/（4^k-2*x*16^k/（2*x*4^k-1/（1-1/（2*4^k-8*x*16 ^k/）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月22日
例如：Q（0），其中Q（k）=1-1/（2^k-2*x*4^k/（2*xx2^k-（k+1）/Q（k+1；（续分数）。
G.f.：Q（0），其中Q（k）=1-1/（2^k-2*x*4^k/（2*xx2^k-1/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基，2013年5月23日
a（n）=和{t1+2*t2+…+n*tn=n}n*多项式（t1+t2+…+t_n，t1，t2，…，t_n）/（t1+t1+…+tn）-米尔恰·梅卡2013年12月6日
对于所有k>=3，二项式系数C（n，a（k））与其自身的卷积是C（n、a（k+1））-安东·扎哈罗夫2016年9月5日
a（n）=n+和{j=1..n-1}（n-j）*2^（j-1）。参见2017年6月14日的公式A000918号（n+1）和解释-沃尔夫迪特·朗，2017年6月14日
a（n）=和{k=0..n-1}和{i=0..n-1}C（k，i）-韦斯利·伊万·赫特2017年9月21日
a（n+m）=a（n）*a（m）+a（n-宇春记2018年7月27日
a（n+m）=a（n+1）*a（m）-2*a（n）*a-塔拉斯·戈伊2018年12月23日
a（n+1）是n X n矩阵M_（i，j）=二项式（i+j-1，j）*2+二项式-托尼·福斯特三世2019年5月11日
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例子
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对于n=3，a（3）=S（4,2）=7，第二类斯特林数，因为有7种方法可以将{a，b，c，d}划分为2个非空子集，即：，
{a} 单位{b，c，d}，{b} U型{a，c，d}，{c} U型{a，b，d}，{d} U型{a，b，c}，{a，b}U{c，d}，{a，c}U{b、d}和{a，d}U{b，c}-丹尼斯·沃尔什2011年3月29日
因为a（3）=7，所以有7个4的有符号置换，它们等于它们的反向补足的条，并避免{（-2，-1），（-1，+2），（+2，+1）}。这些是：
(+1,+2,-3,-4),
(+1,+3,-2,-4),
(+1,-3,+2,-4),
(+2,+4,-1,-3),
(+3,+4,-1,-2),
(-3,+1,-4,+2),
(-3,-4,+1,+2). （完）
G.f.=x+3*x^2+7*x^3+15*x^4+31*x^5+63*x^6+127*x^7+。。。
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MAPLE公司
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A000225号：=n->2^n-1；[seq（2^n-1，n=0..50）]；
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数学
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a[n]：=2^n-1；表[a[n]，{n，0，30}](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年3月30日*）
阵列[2^#-1&，50，0]（*Joseph Biberstine（jrbibers（AT）indiana.edu），2006年12月26日*）
线性递归[{3，-2}，{1，3}，20](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*）
系数列表[系列[1/（1-3 x+2 x ^2），｛x，0，20｝]，x](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a000225=（减去1）。(2 ^)
a000225_list=迭代（（+1）。(* 2)) 0
（PARI）连接（0，Vec（x/（（1-2*x）*（1-x））+O（x^100））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月28日
（SageMath）
def-isMesenne（n）：return n==sum（[（1-b）<<s表示枚举中的（s，b）（（n+1）.bits（）]）#彼得·卢什尼2019年9月1日
（Python）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,核心,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000749号
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| a（n）=4*a（n-1）-6*a。
（原名M3383 N1364）
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+10
43
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0, 0, 0, 1, 4, 10, 20, 36, 64, 120, 240, 496, 1024, 2080, 4160, 8256, 16384, 32640, 65280, 130816, 262144, 524800, 1049600, 2098176, 4194304, 8386560, 16773120, 33550336, 67108864, 134225920, 268451840, 536887296, 1073741824, 2147450880
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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长度为n的Z_2上带有跟踪1和子跟踪1的字符串数。
与GF（2）上长度为n、记录道1和子记录道1的字符串数相同。
还扩展了括号功能。
a（n）也是完备图K（n-1）中具有奇数边的诱导子图的数目Alessandro Cosentino（cosenal（AT）gmail.com），2009年2月2日
其中M=4 X 4矩阵[1,1,0,0；0,1,1,0；O,0,1,1；1,0,0,1]。
四项之和=2^n。
例子；M^6*[1,0,0,0]=[16，20，16，12]和=64=2^6。（完）
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参考文献
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《高等超越功能》，贝特曼手稿项目，第3卷，A.Erdelyi编，1983年（第十八章）。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
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配方奶粉
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通用格式：x^3/（（1-x）^4-x^4）。
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，4*k+3）。
a（n）=（2^n-2^（n/2+1）*sin（Pi*n/4）-0^n）/4。
a（n；t，s）=a（n-1；t，s）+a（n-1；t+1，s+t+1），其中t是记录道，s是子记录道。
如果没有初始的三个零，则=[1，3，3，1，1，3，3,1，1，3,3,3,1,3，…]的二项式变换-加里·亚当森2008年6月19日
1） 对于n>=1，a（n）=（1/4）*（2^n+i*（1+i）^n-i*（1-i）^n），其中i=sqrt（-1）；
2） a（n+m）=a（n）*H_1（m）+H_3（n）*H_2（m）+H_2，
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例子
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a（4；1,1）=4，因为记录道1、子记录道1和长度4的四个二进制字符串是{0111、1011、1101、1110}。
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MAPLE公司
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A000749号：=进程（n）局部k；加法（二项式（n，4*k+3），k=0..floor（n/4））；结束；
a： =n->如果n=0，则0 else（矩阵（3，（i，j）->如果（i=j-1），则1 elif j=1，然后[4，-6，4][i]else 0 fi）^（n-1））[1，3]fi:seq（a（n），n=0..33）#阿洛伊斯·海因茨2008年8月26日
#或者：
s：=sqrt（2）：h：=n->[0，-s，-2，-s、0，s，2，s][1+（n mod 8）]：
a:=n->`如果`（n=0，0，（2^n+2^（n/2）*h（n））/4）：
seq（a（n），n=0..33）#彼得·卢什尼，2017年6月14日
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数学
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联接[{0}，线性递归[{4，-6，4}，{0，0，1}，40]](*哈维·P·戴尔2012年3月31日*）
系数列表[系列[x^3/（1-4x+6x^2-4x^3），{x，0，80}]，x](*文森佐·利班迪2015年12月31日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=总和（k=0，n4，二项式（n，4*k+3））
（哈斯克尔）
a000749 n=a000749_列表！！n个
a000749_list=0:0:0:1:zipWith3（\u v w->4*u-6*v+4*w）
（删除3 a000749_list）（删除2 a000749-list）
（岩浆）I:=[0,0,0,1]；[n le 4选择I[n]else 4*Self（n-1）-6*Self-（n-2）+4*Self:n in[1..40]]//文森佐·利班迪2015年12月31日
（SageMath）
@缓存函数
如果（n<4）：返回（n//3）
else：返回4*a（n-1）-6*a（n-2）+4*a（n-3）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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Antonio G.Astudillo（afg_Astudillo（AT）hotmail.com）的补充评论，2002年11月22日
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状态
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经核准的
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1, 1, 0, -2, -4, -4, 0, 8, 16, 16, 0, -32, -64, -64, 0, 128, 256, 256, 0, -512, -1024, -1024, 0, 2048, 4096, 4096, 0, -8192, -16384, -16384, 0, 32768, 65536, 65536, 0, -131072, -262144, -262144, 0, 524288, 1048576, 1048576, 0, -2097152, -4194304
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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评论
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序列项位于三角形的右边缘
(1)
(1)
2 (0)
2 (-2)
4 0 (-4)
4 -4 (-4)
8 0 -8 (0)
8 -8 -8 (8)
16 0 -16 0 (16)
16 -16 -16 16 (16)
32 0 -32 0 32 (0)
32 -32 -32 32 32 (-32)
64 0 -64 0 64 0 (-64)
...
（1+i）^n=a（n）+A009545号（n） *i，其中i=sqrt（-1）。（完）
此数组是加泰罗尼亚族的成员(A091867号)由C（x）=（1-sqrt（1-4*x））/2组成，加泰罗尼亚数的o.g.f.相关A000108号它的逆Cinv（x）=x（1-x），以及特殊的线性分数（Möbius）变换P（x，t）=x/（1+t*x）与x中的逆P（x、-t）。
O.g.f.：g（x）=P[P[Cinv（x），-1]，-1]=P[Cin（x）、-2]=x*（1-x）/（1-2*x*（1-x））=x*A146599号（x） ●●●●。
Ginv（x）=C[P（x，2）]=（1-平方米（1-4*x/（1+2*x）））/2=x*A126930号（x） ●●●●。
G（-x）=-（x*（1+x）-2*（x*，因此该数组包含A030528型*诊断（1，（-2）^1，2^2，（-2，^3，…）。
G（-x）的逆函数是-C[-P（x，-2）]=（-1+sqrt（1+4*x/（1-2*x）））/2，对于A210736号将（0）设置为零。（完）
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链接
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配方奶粉
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当n>1时，a（0）=1，a（1）=1、a（n）=2*a（n-1）-2*a（n-2）。
例如：exp（x）*cos（x）-零入侵拉霍斯2009年4月5日
例如：cos（x）*exp（x）=1+x/（g（0）-x），其中g（k）=4*k+1+x+（x^2）*（4*k+1）/（（2*k+1）*（4*k+3）-（x^2）-x*（2*k+1）*（4*k+3）/（2*k+2+x-x*（2*k+2）/g（k+1）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年11月26日
a（n）=Re（（1+i）^n），其中i=sqrt（-1）-斯坦尼斯拉夫·西科拉2012年6月11日
通用系数：1/（1-x/（1+x/（1-2*x）））=1+x/-迈克尔·索莫斯2013年1月3日
G.f.:G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x*（k+1）/（x*（k+2）+1/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月25日
a（n）=2^（n/2）*cos（Pi*n/4）-彼得·卢什尼2021年10月9日
a（n）=2^（n/2）*ChebyshevT（n，1/sqrt（2））-G.C.格鲁贝尔2023年4月17日
a（n）=和{n=0..floor（n/2）}二项式（n，2j）*（-1）^j=A121625型（n） /编号。
当且仅当n==2 mod 4时，a（n）=0。
（完）
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例子
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G.f.=1+x-2*x ^3-4*x ^4-4*x^5+8*x ^7+16*x ^8+16*x^9-32*x ^11-64*x ^12-。。。
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MAPLE公司
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G（x）：=exp（x）*cos（x）:f[0]：=G（x#零入侵拉霍斯2009年4月5日
seq（2^（n/2）*cos（Pi*n/4），n=0..44）#彼得·卢什尼，2021年10月9日
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数学
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系数列表[级数[（1-x）/（1-2x+2x^2），{x，0，50}]，x]（*或*）线性递归[{2，-2}，{1，1}，50](*哈维·P·戴尔，2011年10月13日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）Vec（（1-x）/（1-2*x+2*x^2）+O（x^99））\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年1月11日
（鼠尾草）
x、 y=-1，0
为True时：
产量-x
x、 y=x-y，x+y
（岩浆）I:=[1,1,0]；[n le 3选择I[n]else 2*Self（n-1）-2*Self:n in[1..45]]//文森佐·利班迪，2014年11月10日
（SageMath）
定义A146559号（n） ：返回2^（n/2）*chebyshev_T（n，1/sqrt（2））
（Python）
定义146559英镑（n） ：return（（1，1，0，-2）[n&3]<<（（n>>1）&-2））*（如果n为-1，则为-1，否则为4 1）#柴华武，2024年2月16日
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A190958号
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| a（n）=2*a（n-1）-10*a（n-2），其中a（0）=0，a（1）=1。 |
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+10
37
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0, 1, 2, -6, -32, -4, 312, 664, -1792, -10224, -2528, 97184, 219648, -532544, -3261568, -1197696, 30220288, 72417536, -157367808, -1038910976, -504143872, 9380822016, 23803082752, -46202054656, -330434936832, -198849327104, 2906650714112, 7801794699264
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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对于差分方程a（n）=c*a（n-1）-d*a（n-2），当a（0）=0，a（1）=1时，解是a（n）=d^（（n-1。在c^2=4*d的情况下，解是a（n）=n*d^（（n-1）/2）。生成函数为x/（1-c*x+d^2），指数生成函数的形式为（2/sqrt（c^2-4*d））*exp 2=4*d-G.C.格鲁贝尔2022年6月10日
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链接
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配方奶粉
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G.f.:x/（1-2*x+10*x^2）-R.J.马塔尔2011年6月1日
a（n）=10^（（n-1）/2）*切比雪夫（n-1，1/sqrt（10））-G.C.格鲁贝尔2022年6月10日
a（n）=（1/3）*10^（n/2）*sin（n*arctan（3））=Sum_{k=0..floor（n/2）}（-1）^k*3^（2*k）*二项式（n，2*k+1）-格里·马滕斯2022年10月15日
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数学
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线性递归[{2，-10}，{0，1}，50]
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黄体脂酮素
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（岩浆）I:=[0,1]；[n le 2选择I[n]else 2*Self（n-1）-10*Self:n in[1..30]]//文森佐·利班迪2011年9月17日
（PARI）a（n）=（[0，1；-10，2]^n*[0；1]）[1，1]\\查尔斯·格里特豪斯四世，2016年4月8日
（SageMath）[（0..50）中n的lucas_number1（n，2，10）]#G.C.格鲁贝尔2022年6月10日
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交叉参考
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形式a（n）=c*a（n-1）-d*a（n-2）的序列，其中a（0）=0，a（1）=1：
抄送……1…………..2……..3………..4……..5……..6……..7……..8……..9…….10
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关键词
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签名,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, -1, 0, 2, -4, 4, 0, -8, 16, -16, 0, 32, -64, 64, 0, -128, 256, -256, 0, 512, -1024, 1024, 0, -2048, 4096, -4096, 0, 8192, -16384, 16384, 0, -32768, 65536, -65536, 0, 131072, -262144, 262144, 0, -524288, 1048576, -1048576, 0, 2097152, -4194304
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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除符号外，由H_2^n=[1，1；-1,1]^n的1,1位置生成；和a（n）=2^（n/2）*cos（Pi*n/2）-保罗·巴里2004年2月18日
等于“周期4，重复[1，0，-1，0]”的二项式变换-加里·亚当森2009年3月25日
皮萨诺周期长度：1、1、8、1、4、8、24、1、24、4、40、8、12、24、8、16、24、72、4-R.J.马塔尔2012年8月10日
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链接
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配方奶粉
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a（n）=-2*（a（n-1）+a（n-2））；a（0）=1，a（1）=-1-迈克尔·索莫斯2002年11月17日
通用名称：（1+x）/（1+2*x+2*x^2）。
例如：cos（x）/exp（x）。
a（n）=-4*a（n-4）。
例如：cos（x）/exp（x）=1-x/（g（0）+1），其中g（k）=4k+1-x+（x^2）*（4k+1）/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年11月24日
G.f.:G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x*（k+1）/（x*（k+2）-1/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月20日
a（n）=（-1）^n*2^（n/2）*cos（n*Pi/4）-诺丁·法西，2013年12月18日
a（n）=（-1）^楼层（（n+1）/2）*2^（n-1）*H（n，n mod 2，1/2）对于n>=3，其中H（n、a、b）=高地层（[a-n/2，b-n/2]，[1-n]，2）-彼得·卢什尼2019年9月3日
a（n）=2^（n/2）*ChebyshevT（n，-1/sqrt（2））-G.C.格鲁贝尔2023年4月17日
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例子
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G.f.=1-x+2*x^3-4*x^4+4*x^5-8*x^7+16*x^8-16*x^9+32*x^11-64*x^12+。。。
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MAPLE公司
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A009116号：=n->加（（-1）^j*二项式（n，2*j），j=0..层（n/2））；
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数学
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n=50；（*n=2 mod 4*）（系数列表[系列[Cos[x]/Exp[x]，{x，0，n}]，x]*表[k！，{k，0，n-1}]）[[1；；45]](*Jean-François Alcover公司2011年5月18日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（（1+x）/（1+2*x+2*x^2）+x*O（x^n），n））}/*迈克尔·索莫斯2002年11月17日*/
（Magma）R<x>：=PowerSeriesRing（基本原理（），50）；系数（R！（拉普拉斯（Exp（-x）*Cos（x）））//G.C.格鲁贝尔2018年7月22日；2023年4月17日
（SageMath）
定义A009116号（n） ：返回2^（n/2）*chebyshev_T（n，-1/sqrt（2））
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A163403号
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| 当n>2时，a（n）=2*a（n-2）；a（1）=1，a（2）=2。 |
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+10
27
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1, 2, 2, 4, 4, 8, 8, 16, 16, 32, 32, 64, 64, 128, 128, 256, 256, 512, 512, 1024, 1024, 2048, 2048, 4096, 4096, 8192, 8192, 16384, 16384, 32768, 32768, 65536, 65536, 131072, 131072, 262144, 262144, 524288, 524288, 1048576, 1048576, 2097152, 2097152
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1, 2
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评论
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a（n+1）是使用双字母字母表的长度为n的回文单词数-迈克尔·索莫斯2011年3月20日
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链接
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配方奶粉
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a（n）=2^（（1/4）*（2*n-1+（-1）^n））。
G.f.:x*（1+2*x）/（1-2*x^2）。
通用公式：x/（1-2*x/（1+x/（l+x）））=x*（1+2*x/-迈克尔·索莫斯2013年1月3日
例如：cosh（sqrt（2）*x）+sinh（sqrt（2）*x）/sqrt（2）-1-斯特凡诺·斯佩齐亚2023年2月5日
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例子
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x+2*x^2+2*x^3+4*x^4+4*x^5+8*x^6+8*x ^7+16*x^8+16*x ^9+32*x ^10+。。。
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数学
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线性递归[{0，2}，{1，2}，50](*保罗·沙萨，2024年2月2日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[1..43]]；
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，2^（n\2））}/*迈克尔·索莫斯2011年3月20日*/
（鼠尾草）
x、 y=1，1
为True时：
收益率x
x、 y=x+y，x-y
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交叉参考
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以下序列在本质上都是相同的，因为它们是彼此之间的简单转换A029744号={s（n），n>=1}，数字2^k和3*2^k，作为父项：A029744号（s（n））；A052955号（s（n）-1），A027383号（s（n）-2），A354788型（s（n）-3），A347789型（s（n）-4），A209721型（s（n）+1），A209722型（s（n）+2），A343177型（s（n）+3），A209723型（s（n）+4）；A060482号,A136252号（与A354788型开始时）；A354785型（3*s（n）），A354789型（3*s（n）-7）。的第一个区别A029744号是1,1,2,2,4,4,8,8，。。。基本上匹配八个序列：A016116号,A060546号,A117575号,A131572号,A152166号,A158780个,A163403号,A320770型.的二等分A029744号是A000079号和A007283号. -N.J.A.斯隆2022年7月14日
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 2, 0, -4, -8, -8, 0, 16, 32, 32, 0, -64, -128, -128, 0, 256, 512, 512, 0, -1024, -2048, -2048, 0, 4096, 8192, 8192, 0, -16384, -32768, -32768, 0, 65536, 131072, 131072, 0, -262144, -524288, -524288, 0, 1048576, 2097152, 2097152, 0, -4194304, -8388608, -8388608, 0, 16777216
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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Pisano周期长度：1，1，8，1，4，8，24，1，24，4，40，8，12，24，8，1，16，24，72，4-R.J.马塔尔2012年8月10日
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链接
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Karl Dilcher和Maciej Ulas，一类稀疏多项式的可除性和算术性质，arXiv:2008.13475[math.NT]，2020年。见表1，第1栏，第3页。
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配方奶粉
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例如：exp（x）*（cos（x）+sin（x，））。
a（n）=2^（n/2）*（cos（Pi*n/4）+sin（Pi*n/4））。
a（n）=求和{k=0..n}求和{i=0..k}二项式（n-k，k-i）*二项式（n，i）*（-1）^（k-i）。
a（n）=2*（a（n-1）-a（n-2））。
a（n）=（1-i）^（n-1）+。
a（n）=2和{k=0..（n-1）/2}（-1）^k*二项式（n-1,2k），如果n>0。（完）
例如：（cos（x）+sin（x））*exp（x”）=g（0）；G（k）=1+2*x/（4*k+1-x*（4*k+1）/（2*（2*k+1）+x-2*（x^2）*（2*k+1）/（（x^2）-（2*k+2）*（4*k+3）/G（k+1））））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年11月26日
G.f.:U（0），其中U（k）=1+x*（k+3）-x*（k+1）/U（k+1）；（连分数，1步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年10月10日
a（n）=和{j=0..n}二项式（n，j）*（-1）^二项（j，2）；这是f（m，n）（z）=Sum{j=0..n}二项式（n，j）*z^二项法（j，m）的m=2和z=-1的情况。参见Dilcher和Ulas-米歇尔·马库斯2020年9月1日
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数学
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系数列表[级数[1/（1-2x+2x^2），{x，0，50}]，x](*迈克尔·德弗利格2015年12月24日*）
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黄体脂酮素
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（Sage）[lucas_number1（n，2，2）表示范围（1，50）内的n]#零入侵拉霍斯2009年4月23日
（PARI）x='x+O（'x^50）；Vec（1/（1-2*x+2*x^2））\\阿尔图·阿尔坎2015年12月24日
（岩浆）I:=[1,2]；[n le 2选择I[n]else 2*（Self（n-1）-Self（n-2））：n in[1..50]]//G.C.格鲁贝尔，2019年3月16日
（间隙）a:=[1,2]；；对于[3..50]中的n，做a[n]：=2*a[n-1]-2*a[n-2]；od；a#G.C.格鲁贝尔，2019年3月16日
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交叉参考
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关键词
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容易的,签名
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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