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河内大厦三杆四圆盘塔Hanoi问题的求解

河内塔(俗称“河内”),是一个令人费解的事1883年由E.Lucas发明。它也是被称为梵天塔谜题,是对猿类的智力测试在电影里人猿星球的崛起(2011)名称为“Lucas塔楼。"

给定一堆n个从底部最大到顶部最小排列的圆盘放在一根杆上用两根空杆,河内之塔拼图要求最少的移动次数将堆垛从一根杆移动到另一根杆所需的,其中只允许移动如果他们把较小的磁盘放在较大的磁盘上。谜题n=4个销钉和n个磁盘有时被称为Reve的拼图。

问题是同构的找到一个哈密顿路径在上n个-超立方体(加德纳1957年、1959年)。

汉诺威大厦

给定三根杆和n个磁盘,序列S_1={a_k}给出磁盘的编号(i=1n个)将在k个步骤由非常简单的递归过程给出从列表开始S_1={1}对于单个磁盘,递归计算

 S_n={S_(n-1),n,S_(n-1)}。
(1)

对于的前几个值n个,这给出了下表中显示的序列。A类上面说明了三杆四圆盘问题的解决方法。

n个S_n(_n)
11
21, 2, 1
1, 2, 1, 3, 1, 2, 1
41, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1

随着圆盘数量的增加(同样适用于三根棒),获得了无限序列,其前几个项如上表所示(OEISA001511号). 令人惊讶的是,这正是二进制进位序列再加上一个。更令人惊讶的是,后移动的磁盘数k个第步与需要添加的元素相同或在中删除k个加数Ryser公式(加德纳1988年,瓦尔迪1991年)。一种简单的手解决问题的方法是使用涂有交替的颜色。从来没有两个颜色相同的磁盘放在一起,没有磁盘连续移动两次(P.Tokarczuk,pers.comm.Jun.23,2004).

根据上述步骤,移动次数hn(小时)需要解决的难题n个三根杆上的圆盘由重现关系

 hn=2小时(n-1)+1
(2)

具有h1=1.解决给予

 h_n=2^n-1,
(3)

梅森数.

对于三根棒,可以使用卢卡斯通信这与帕斯卡三角形河内图表.同时算法以转移而闻名四根棒上的圆盘,没有一个被证明是最小的。

A类河内图可以构造为图形顶点符合法律配置n个塔楼,其中图形顶点如果可以通过合法移动获得相应的配置,则相邻。谜题本身可以用二进制来解决格雷码.

Poole(1994)和Rangel-Mondragón给出Wolfram语言解决河内塔问题的例行程序。普尔的算法有效对于任意磁盘配置,并尽可能少地提供解决方案移动。

订购所需的最少移动次数n=1, 2, ... 四根杆上的圆盘由1、3、5、9、13、17给出,25, 33, ... (OEIS)A007664号). 这是推测这个序列是由递归给出的

 s_n=s_(n-1)+2^x,
(4)

具有s_1=1x个正楼层整数解

 n-1=1/2x(x+1),
(5)

即。,

 x=|_(平方码(8n-7)-1)/2_|。
(6)

然后给出显式公式

 s_n=1+[n-1/2x(x-1)-1]2^x。
(7)

Wolfram(2022)将河内塔分析为多重计算的过程,包括通过使用鳃图.


另请参见

二进制进位序列,格雷代码,煎饼分拣,Puz图,Ryser公式

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Allouche,J.-P.和Shallit,J.“指环k个-常规序列。"理论。计算。科学。 98,163-197, 1992.Allouche,J.-P.《河内循环塔笔记》西奥。计算。科学。 123, 3-7, 1994.Bogomolny,A.“塔楼河内。"http://www.cut-the-knot.org/recurrence/hanoi.shtml.布鲁索,A.“有更多木桩的河内塔”J.记录。数学。 8, 169-176,1972Chartrand,G.“河内之塔之谜”§6.3在里面引导的图论。纽约:多佛,第135-139页,1985年。戴耶夫,V.“问题636:偶整数的最大除数。”数学。美格。 40,164-165, 1967.杜布罗夫斯基,V.“嵌套难题,第一部分:移动东方塔。"量子 61996年1月第53-57页和2月第49-51页。弗拉乔莱特,体育。;拉乌尔,J.-C。;和Vuillemin,J.“评估所需的寄存器数量算术表达式。"理论。计算。科学。 91979年9月99日至125日。框架,J.S.公司。“问题3918的解决方案。”阿默尔。数学。每月 41,216-217, 1941.数学游戏:关于非凡伊科西亚游戏和河内塔的相似性。"科学。阿默尔。 196,1957年5月150-156日。加德纳,M.“伊科西亚游戏和河内。“第6章英寸六屈肌和其他数学转移:美国第一本科学难题书和游戏。纽约:Simon和Schuster,第55-62页,1959年。Kai,Y.和Chuan,X.“4号Peg河内塔的初步探索”《科学学报》。自然。Univers大学。北京。 40, 99-106, 2004.Kasner,E.和Newman,J.R.公司。数学和想象力。华盛顿州雷蒙德:Tempus Books,第169-171页,1989年。科拉尔,M.“河内塔(TH)谜题。”http://HanoiTower.mkolar.org/.克拉奇克,M.《河内塔》§3.12.4数学娱乐。纽约:W.W。诺顿,第91-93页,1942年。卢卡斯,É.简历数学竞赛,第3卷。巴黎:1891-1894年,戈蒂尔·维拉斯。重印阿尔伯特·布兰查德(Albert Blanchard),1960年。D.G.普尔。“塔楼和三角形克劳斯教授(或帕斯卡认识河内)。"数学。美格。 67, 323-344,1994D.G.普尔。“河内塔项目”http://mathworld.wolfram.com/packages/Hanoi.m.Rangel-Mondragón,J.“广义河内塔”http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/4861/.拉斯基,F.“河内塔”网址:http://www.theory.csc.uvic.ca/~cos/inf/comb/SubsetInfo.html#河内.学校,P.H.公司。“德林根·梵布拉马。”艾根·哈德 22, 274-276,1884新泽西州斯隆。A。序列A001511号/M0127,A007664号/M2449和A007665号/M2414型在“整数序列在线百科全书”中斯图尔特,B.M.公司。“问题3918。”阿默尔。数学。每月 39, 363, 1939.斯图尔特,B.M.公司。“问题3918的解决方案。”阿默尔。数学。每月 41,216-219, 1941.瓦尔迪一世。计算型数学娱乐。马萨诸塞州雷丁:Addison-Wesley,第111-112页,1991Wolfram,S.“游戏和谜题作为多计算系统”2022年6月8日。https://writings.stephenwolfram.com/2022/06/games-and-puzzles-as-multicomputational-systems/.木材,D.“梵天塔和河内塔重游”J.重建。数学。 14,17-24, 1981.

参考Wolfram | Alpha

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引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“河内塔”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/TowerofHanoi.html

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