%I M2655 N1059#788 2024年4月13日22:58:32

%S 0,1,3,7,15,31,63127255511023204740958191163833276765535，

%电话131071262143524287104857520971514194303838860716777215，

%电话：33554431671088631342177272684354555368709111073741823214748364742949672958589934591

%N a（N）=2^N-1。（有时称为梅森数字，尽管该名称通常是为A001348保留的。）

%这是q=2的高斯二项式系数[n，1]。

%S_n上秩-1拟阵的个数。

%C数字k，使得第k个中心二项式系数为奇数：A001405（k）mod 2=1.-_Labos Elemer，2003年3月12日

%C这给出了以下卷积序列中奇数项的（基于零的）位置：A000108、A007460、A007461、A00746、A0074、A061922。

%C还有贝拿勒斯神庙问题的解决方案（移动次数最少），即三个钻石针，其中n个圆盘按第一个针的大小递减，以相同的顺序放置在第三个针上，每次移动的圆盘不得超过一个，也不得将一个圆盘放置在较小圆盘的顶部Xavier Acloque，2003年10月18日

%C a（0）=0，a（1）=1；a（n）=最小值，使得a（n

%[1，1/2，1/3，…]=[1/1，3/2，7/3，…]的C二项式变换；（2^n-1）/n，n=1,2,3，…-_Gary W.Adamson，2005年4月28日

%二进制表示为111…1的C数字。例如，第7项为（2^7）-1=127=1111111（以2为基数）_Alexandre Wajnberg，2005年6月8日

%C具有n个元素的集合的非空子集的数目。-_Michael Somos_，2006年9月3日

%C对于n>=2，a（n）是不是2的幂的最小斐波那契n阶数。-_Rick L.Shepherd_，2007年11月19日

%C设P（A）是n元集A的幂集。然后A（n+1）=P（A

%C一种更简单的表述方式是，它是对的数量（x，y），其中x和y中至少有一个是空集_富兰克林·亚当斯·沃特斯，2011年10月28日

%C 2^n-1是深度n的帕斯卡三角形中元素的总和。-布莱恩·刘易斯（bsl04（AT）uark.edu），2008年2月26日

%广义C序列：a（n）=（a^n-1）/（a-1），n>=1，a整数>=2。该序列A=2；A003462有A=3；A002450有A=4；A003463具有A=5；A003464具有A=6；A023000具有A=7；A023001有A=8；A002452有A=9；A002275具有A=10；A016123具有A=11；A016125具有A=12；A091030具有A=13；A135519的A=14；A135518的A=15；A131865的A=16；A091045具有A=17；A064108的A=20.-_Ctibor O.Zizka，2008年3月3日

%当n是A000043中的素数时，C a（n）也是梅森素数A000668_Omar E.Pol_，2008年8月31日

%当n为素数时，C a（n）也是梅森数A001348_Omar E.Pol，2008年9月5日

%C偏移量1，=三角形A144081的行和；以及A009545从偏移量1开始的INVERT变换；其中A009545=sin（x）*exp（x_Gary W.Adamson_，2008年9月10日

%C编号n，以便A000120（n）/A070939（n）=1.-_Ctibor O.Zizka，2008年10月15日

%C对于n>0，序列等于A000079的部分和；a（n）=A0000203（A00079（n-1））。-_Lekraj Beedassy_，2009年5月2日

%C从偏移量1开始=雅各布斯塔尔序列，A001045，（1，1，3，5，11，21，…）与（1，2，2，2，…）卷积。-_Gary W.Adamson_，2009年5月23日

%C编号n，使n=2*phi（n+1）-1.-_Farideh Firoozbakht，2009年7月23日

%对于n>=1，C a（n）=（a（n-1）+1）-第个奇数=A005408（a（n-1））。-_雅罗斯拉夫·克里泽克，2009年9月11日

%C对于n>=0，a（n）的部分和为A000295（n+1）。n>=1时，a（n）的部分和为A000295（n+1）和A130103（n+1。a（n）=A006127（n）-（n+1）。-_雅罗斯拉夫·克里泽克，2009年10月16日

%C如果n是偶数a（n）mod 3=0。这来自同余2^（2k）-1~2*2**2 - 1 ~ 4*4*...*4 - 1 ~ 1*1*...*1-1~0（mod 3）。（请注意，2*2*…*2有偶数个术语。）-Washington Bomfim_，2009年10月31日

%C设A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=2，（i>1），A[i，i-1]=-1，否则A[i、j]=0。那么，对于n>=1，a（n）=det（a）.-_米兰Janjic_，2010年1月26日

%C这是G.Detlefs考虑的序列家族[A，b:C，d:k]中的序列A（0,1；1,2；2）=A（0,1；3，-2；0），在下面给出的W.Lang链接中被视为A（A，b；C，d；k）_Wolfdieter Lang，2010年10月18日

%Ca（n）=S（n+1，2），第二类斯特林数。请参阅下面的示例_Dennis P.Walsh，2011年3月29日

%C帕斯卡三角形中a（n）行的条目都是奇数，而a（n。。。，奇怪。

%C将bar操作定义为对有符号排列的操作，该操作翻转每个条目的符号。那么a（n+1）是长度为2n的有符号置换的数量，它等于它们的反向补足的条，并且避免了模式集{（-2，-1），（-1，+2），（+2，+1）}。（见Hardt和Troyka参考）——Justin M.Troyka_，2011年8月13日

%C A159780（a（n））=n，对于m<a（n_Reinhard Zumkeller，2011年10月21日

%这个序列也是一个含有n个元素的集合的适当子集的数目_Mohammad K.Azarian，2011年10月27日

%C a（n）是数字k，使得映射k->（3k+1）/2==1（mod 2）直到达到（3k+1）/2==0（mod 2中）为止的迭代次数等于n（参见Collatz问题）_Michel Lagneau，2012年1月18日

%C对于整数a，b，用a<+>b表示最小C>=a，使得Hd（a，C）=b（注意，一般来说，a<+>b与b<+>a不同）。则a（n+1）=a（n）<+>1。因此，这个序列是非负整数的Hamming模拟。-_弗拉基米尔·谢维列夫，2012年2月13日

%C Pisano周期长度：1，1，2，1，4，2，3，1，6，4，10，2，12，3，4，1，8，6，18，4。。。显然是A007733。-_R.J.Mathar，2012年8月10日

%C以n开头。每个n生成一个子列表{n-1，n-2，…，1}。每个子列表的每个元素也会生成一个子列表。取所有的总和。例如，3->{2,1}和2->{1}，因此a（3）=3+2+1=7_乔恩·佩里（Jon Perry），2012年9月2日

%这是卢卡斯U（P=3，Q=2）序列_R.J.Mathar，2012年10月24日

%梅森数>=7都是巴西数字，以二为基数。参见链接中的命题1和5.2：“Les nombres brésiliens”_Bernard Schott，2012年12月26日

%C H树中第n阶段之后的线段数。-_Omar E.Pol_，2013年2月16日

%C A162741中三角形的行和。-_Reinhard Zumkeller，2013年7月16日

%C a（n）是2的最高幂，因此2^a（n）除以（2^n）！.-_Ivan N.Ianakiev，2013年8月17日

%在计算机编程中，这些是唯一的无符号数字，例如k&（k+1）=0，其中&是按位AND运算符，数字用二进制表示_Stanislav Sykora，2013年11月29日

%C青蛙问题中交换n只青蛙所需的最少移动次数（例如，参见下面的NRICH 1246链接或Britton链接）_N.J.A.Sloane，2014年1月4日

%Ca（n）！==4（第5版）；a（n）！==10（11年款）；a（n）！==2、4、5、6（第7版）_Carmine Suriano，2014年4月6日

%C在0之后，由整数（1，2，3，4，…）的部分和组成的数组的反对角线和_卢西亚诺·安科拉（Luciano Ancora），2015年4月24日

%C a（n+1）等于长度为n的三元字数，避免了01、02。-_米兰Janjic_，2015年12月16日

%C偏移量为0，另一个初始值为0，第n项为0，0，1，3，7，15。。。是序数n的完全扩展von Neumann定义中所需的逗号数。例如，4:={0，1，2，3}:={{}，{}}，}}。此外，对于n>0，a（n）是序数n-1的完全展开的冯·诺依曼定义中所需的符号总数，其中总是使用单个符号（像往常一样）来表示空集，并且忽略空格。例如，a（5）=31，序数为4的符号总数。-_Rick L.Shepherd_，2016年5月7日

%C在量子整数由[n+1]_q=（q^（n+1）-q^，（-n-1））/（q-q ^（-1））定义的情况下，梅森数是a（n+1）=q^n[n+1）_q，q=sqrt（2），而有符号雅可比数A001045是由i^2=-1的q=i*sqrt。参见A239473.-_汤姆·科普兰，2016年9月5日

%C对于n>1：数字n，使得n-1除以σ（n+1）_Juri-Stepan Gerasimov，2016年10月8日

%C这也是斯特林2三角形A008277的第二列（另见A048993）_Wolfdieter Lang，2017年2月21日

%C除初始项外，二维细胞自动机第n个生长阶段的x轴的十进制表示，由“规则659”、“规则721”和“规则734”定义，基于用单个on细胞初始化的5细胞von Neumann邻域_Robert Price_，2017年3月14日

%C a（n），n>1，是具有n个元素的集上的序-保部分内射映射的幺半群的最大子半群的个数_James Mitchell和Wilf A.Wilson，2017年7月21日

%C也是完全二部图K_{n-1，n-1}中独立顶点集和顶点覆盖的个数_Eric W.Weisstein_，2017年9月21日

%C和{k=0..n}p^k是n X n矩阵M_（i，j）=二项式（i+j-1，j）*p+二项式_托尼·福斯特三世，2019年5月11日

%C有理数r（n）=a（n+1）/2^（n+1，a（n+1）/A000079（n+1 merkwürdiges Rechnungs-Exempel），1803年，c=24和n=2，得到根r（2）*24=21作为解。请参阅链接和参考。关于第二个问题，也涉及当前序列，请参阅A130330中的注释_Wolfdieter Lang，2019年10月28日

%C a（n）是包含n的{1,2，..，n}的所有子集中最小元素的和。例如，a（3）=7；包含3的{1,2,3}的子集是{3}、{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，最小元素之和是7_Enrique Navarrete，2020年8月21日

%C a（n-1）是{1,2，..，n}的非空子集的数目，其中没有与集合大小相同的元素。例如，对于n=4，a（3）=7，并且子集是{2}、{3}、}4}、[1,3}，{1,4}，}3,4}和{1,2,4}_Enrique Navarrete，2020年11月21日

%C摘自_Eric W.Weisstein_，2021年9月4日：（开始）

%C也是完全图K_n中的支配集数。

%C也是n>=3时n-helm图中的最小支配集数。（结束）

%C猜想：除了a（2）=3之外，数字m使得2^（m+1）-2^j-2^k-1对所有0都是复合的

%C a（n）是n维tic-tac-toe中通过角单元的三行数_本·奥尔林，2022年3月15日

%C From _Vladimir Pletser，2023年1月27日：（开始）

%对于n==1（mod 4），C a（n）==1（mod 30）；

%对于n==3（mod 4），C a（n）==7（mod 120）；

%对于n奇数，C（a（n）-1）/30=（a（n+2）-7）/120；

%C（a（n）-1）/30=（a（n+2）-7）/120=A131865（m），其中n==1（mod 4），并且m>=0，其中A131865（0）=0。（结束）

%C a（n）是最小十进制数字为8的n位数字的数目_斯特凡诺·斯佩齐亚（Stefano Spezia），2023年11月15日

%C此外，高度为n-1的完美二叉树中的节点数，或：毕达哥拉斯树构造第n步后的正方形（或三角形）数：从线段开始。在每个步骤中，构造以最近的线段为底的正方形，以及以正方形的对边为斜边的等轴直角三角形（位于每个正方形的“顶部”）。在下一步中，这些三角形的腿将作为作为正方形基础的线段_M.F.Hasler，2024年3月11日

%C a（n）是n维超立方体中最长路径的长度_Christian Barrients，2024年4月13日

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%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>

%H<a href=“/index/Di#divseq”>可除序列索引</a>

%H<a href=“/index/Rec#order_02”>带常系数的线性重复出现的索引条目，签名（3，-2）。

%F G.F.:x/（（1-2*x）*（1-x））。

%F例如：exp（2*x）-exp（x）。

%F例如，如果偏移量1:（（exp（x）-1）^2）/2。

%F a（n）=总和{k=0..n-1}2^k.-Paul Barry，2003年5月26日

%F a（n）=a（n-1）+2*a（n-2）+2，a（0）=0，a（1）=1.-_保罗·巴里（Paul Barry），2003年6月6日

%F设b（n）=（-1）^（n-1）*a（n）。那么b（n）=和{i=1..n}i*i*斯特林2（n，i）*（-1）^（i-1）。b（n）的示例：（exp（x）-1）/exp（2x）.-马里奥·卡塔拉尼（Mario.Catalani（AT）unito.it），2003年12月19日

%F a（n+1）=2*a（n）+1，a（0）=0。

%F a（n）=和{k=1..n}二项式（n，k）。

%F a（n）=n+和{i=0..n-1}a（i）；a（0）=0.-_Rick L.Shepherd_，2004年8月4日

%F a（n+1）=（n+1）*和{k=0.n}二项式（n，k）/（k+1）.-_Paul Barry，2004年8月6日

%F a（n+1）=和{k=0..n}二项式（n+1，k+1）_Paul Barry，2004年8月23日

%F A001047的二项式逆变换。Lucas序列L（3，2）的U序列_Ross La Haye_，2005年2月7日

%对于n>0，F a（n）=A099393（n-1）-A020522（n-1_Reinhard Zumkeller，2006年2月7日

%对于n>0.-，F a（n）=A119258（n，n-1）_Reinhard Zumkeller_，2006年5月11日

%F a（n）=3*a（n-1）-2*a（n-2）；a（0）=0，a（1）=1。-_Lekraj Beedassy，2006年6月7日

%F总和{n>0}1/a（n）=1.606695152…=A065442，见A038631_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2006年6月27日

%F箍筋_2（n-k，2）从n=k+1.-开始_阿图尔·贾辛斯基（Artur Jasinski），2006年11月18日

%对于n>0.-，F a（n）=A125118（n，1）_Reinhard Zumkeller，2006年11月21日

%F a（n）=箍筋S2（n+1,2）.-_Ross La Haye_，2008年1月10日

%F a（n）=A024036（n）/A000051（n）.-_Reinhard Zumkeller，2009年2月14日

%F a（n）=A024088（n）/A001576（n）-_Reinhard Zumkeller，2009年2月15日

%F a（2*n）=a（n）*A000051（n）；a（n）=A173787（n，0）_Reinhard Zumkeller，2010年2月28日

%F对于n>0：A179857（a（n））=A024036_Reinhard Zumkeller，2010年7月31日

%F From _Enrique Pérez Herrero_，2010年8月21日：（开始）

%F a（n）=J_n（2），其中J_n是第n个Jordan Totient函数：（A007434，是J_2）。

%F a（n）=和{d|2}d^n*mu（2/d）。（结束）

%F A036987（a（n））=1.-_Reinhard Zumkeller，2012年3月6日

%F a（n+1）=A044432（n）+A182028（n）。-_Reinhard Zumkeller，2012年4月7日

%F a（n）=A007283（n）/3-1.-_Martin Ettl，2012年11月11日

%F a（n+1）=A001317（n）+A219843（n）；A219843（a（n））=0.-_Reinhard Zumkeller，2012年11月30日

%F a（n）=det（|s（i+2，j+1）|，1<=i，j<=n-1），其中s（n，k）是第一类斯特林数_Mircea Merca，2013年4月6日

%F G.F.：Q（0），其中Q（k）=1-1/（4^k-2*x*16^k/（2*x*4^k-1/（1-1/（2*4^k-8*x*16 ^k/）））；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年5月22日

%例如：Q（0），其中Q（k）=1-1/（2^k-2*x*4^k/（2*xx2^k-（k+1）/Q（k+1；（续分数）。

%F G.F.：Q（0），其中Q（k）=1-1/（2^k-2*x*4^k/（2*x*2^k-1/Q（k+1）））；（连分数）。-_Sergei N.Gladkovskii_，2013年5月23日

%F a（n）=A0000203（2^（n-1）），n>=1.-_Ivan N.Ianakiev，2013年8月17日

%F a（n）=和{t1+2*t2+…+n*tn=n}n*多项式（t1+t2+…+t_n，t1，t2，…，t_n）/（t1+t_2+…+tn）_Mircea Merca，2013年12月6日

%F a（0）=0；当n>=1时，a（n）=a（n-1）+2^（n-1_Fred Daniel Kline，2014年2月9日

%F a（n）=A125128（n）-A000325（n）+1.-_Miquel Cerda，2016年8月7日

%F From _Ilya Gutkovskiy_，2016年8月7日：（开始）

%A057427的F二项式变换。

%F和{n>=0}a（n）/n！=A090142.（结束）

%F a（n）=A000918（n）+1.-_Miquel Cerda，2016年8月9日

%F a（n+1）=（A095151（n+1）-A125128（n））/2.-_Miquel Cerda，2016年8月12日

%F a（n）=（A079583（n）-A000325（n+1））/2.-_Miquel Cerda，2016年8月15日

%F二项式系数C（n，a（k））与其自身的卷积是C（n、a（k+1）），对于所有k>=3.-_安东·扎哈罗夫（Anton Zakharov），2016年9月5日

%F a（n）=（A083706（n-1）+A000325（n））/2.-_Miquel Cerda，2016年9月30日

%F a（n）=A005803（n）+A005408（n-1）_Miquel Cerda，2016年11月25日

%F a（n）=A279396（n+2,2）_Wolfdieter Lang，2017年1月10日

%F a（n）=n+和{j=1..n-1}（n-j）*2^（j-1）。参见2017年6月14日A000918（n+1）的公式及其解释_Wolfdieter Lang，2017年6月14日

%F a（n）=和{k=0..n-1}和{i=0..n-1}C（k，i）.-_韦斯利·伊万·赫特，2017年9月21日

%F a（n+m）=a（n）*a（m）+a（n_季宇春2018年7月27日

%F a（n+m）=a（n+1）*a（m）-2*a（n）*a_Taras Goy_，2018年12月23日

%Fa（n+1）是nXn矩阵M_（i，j）=二项式（i+j-1，j）*2+二项式（i+j-1，i）的行列式（经验观察）_托尼·福斯特III_，2019年5月11日

%e对于n=3，a（3）=S（4,2）=7，第二类斯特灵数，因为有7种方法可以将{a，b，c，d}划分为2个非空子集，即，

%e（电子）{a} U型{b，c，d}，{b} U型{a，c，d}，{c} U型{a，b，d}，{d} U型{a，b，c}，{a，b}U{c，d}，{a，c}U{b、d}和{a，d}U{b，c}.-_Dennis P.Walsh，2011年3月29日

%e摘自Justin M.Troyka，2011年8月13日：（开始）

%e由于a（3）=7，所以有7个4的有符号置换，它们等于它们的反向补足的条，并避免{（-2，-1），（-1，+2），（+2，+1）}。这些是：

%e（+1，+2，-3，-4），

%e（+1，+3，-2，-4），

%e（+1，-3，+2，-4），

%e（+2，+4，-1，-3），

%e（+3，+4，-1，-2），

%e（-3，+1，-4，+2），

%e（-3，-4，+1，+2）。（结束）

%e.G.f.=x+3*x^2+7*x^3+15*x^4+31*x^5+63*x^6+127*x^7+。。。

%p A000225:=n->2^n-1；[seq（2^n-1，n=0..50）]；

%p A000225：=1/（2*z-1）/（z-1）；#_西蒙·普劳夫（Simon Plouffe）在1992年的论文中，顺序从a（1）开始

%tα[n]：=2^n-1；表[a[n]，{n，0，30}]（*_Stefan Steinerberger_，2006年3月30日*）

%t阵列[2^#-1&，50，0]（*Joseph Biberstine（jrbibers（AT）indiana.edu），2006年12月26日*）

%t嵌套列表[2#+1&，0，32]（*_Robert G.Wilson v_，2011年2月28日*）

%t 2^范围[0，20]-1（*_Eric W.Weisstein_，2017年7月17日*）

%t线性递归[{3，-2}，{1，3}，20]（*_Eric W.Weisstein_，2017年9月21日*）

%t系数列表[系列[1/（1-3 x+2 x ^2），｛x，0，20｝]，x]（*_Eric W.Weisstein_，2017年9月21日*）

%o（PARI）A000225（n）=2^n-1\\_迈克尔·波特，2009年10月27日

%o（哈斯克尔）

%o a000225=（减去1）。(2 ^)

%o a000225_list=迭代（（+1）。(* 2)) 0

%o——Reinhard Zumkeller，2012年3月20日

%o（PARI）concat（0，Vec（x/（（1-2*x）*（1-x））+o（x^100）））\\阿尔图·阿尔坎，2015年10月28日

%o（SageMath）

%o def isMersenne（n）：返回n==总和（[（1-b）<<s for（s，b）in enumerate（（n+1）.bits（））]）#_Peter Luschny_，2019年9月1日

%o（Python）

%o定义A000225（n）：返回（1<<n）-1#恰瓦乌，2022年7月6日

%Y参考A000043（梅森指数）。

%Y参见A000668（梅森素数）。

%Y参考A001348（带n素数的梅森数）。

%Y参见A000079、A001045、A009545、A016189、A052955、A083329、A085104、A144081。

%Y参考a（n）=A112492（n，2）。A008969的最右侧列。

%当n>0时，Y a（n）=A118654（n，1）=A18654（n-1，3）。

%Y A132781的后续序列。

%Y以b为底的数字和为n的最小数：此序列（b=2）、A062318（b=3）、A180516（b=4）、A181287（b=5）、A1181288（b=6）、A181 303（b=7）、A165804（b=8）、A140576（b=9）、A051885（b=10）。

%Y参见A000203、A239473、A279396。

%Y参见A008277、A048993（列k=2）、A000918、A130330。

%K nonn，easy，core，nice，changed

%0、3

%A _N.J.A.斯隆_

%E Name部分编辑人：_Eric W.Weisstein_，2021年9月4日