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| A003462号 |
| a（n）=（3^n-1）/2。
（原名M3463）
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289
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0, 1, 4, 13, 40, 121, 364, 1093, 3280, 9841, 29524, 88573, 265720, 797161, 2391484, 7174453, 21523360, 64570081, 193710244, 581130733, 1743392200, 5230176601, 15690529804, 47071589413, 141214768240, 423644304721, 1270932914164
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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评论
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a（n）=（3^n-1）/2也是n维超立方体中由一对顶点决定的不同非平行线的数目。示例：当n=2时，正方形有4个顶点，然后相关的线是：x=0，y=0，x=1，y=1，y=x，y=1-x，当我们确定平行线时，只剩下4条：x=O，y=O，y=x，y=1-x所以a（2）=4Noam Katz（noamkj（AT）hotmail.com），2001年2月11日
除了a（0）和a（1）两个术语外，可以通过n次称重识别较轻或较重的假币（但不一定标记为较重或较轻）的最大硬币数量-汤姆·弗霍夫，2002年6月22日，2017年3月23日更新
考虑映射f（a/b）=（a+2b）/（2a+b）。从a=1，b=2开始，在每个新的（约化的）有理数上重复进行映射，得到序列1/2，4/5，13/14，40/41。。。收敛到1。序列包含分子=（3^n-1）/2。N的相同映射，即f（a/b）=（a+Nb）/（a+b）给出了收敛到N^（1/2）的分数-阿玛纳斯·穆尔西2003年3月22日
路径图P_5中长度为2*n+2的从一端到另一端的行走次数。示例：a（2）=4，因为在路径ABCDE中有ABABCDE、ABCBCDE、BACDE和ABCDEDE-Emeric Deutsch公司2004年4月2日
刻了n个铭文后，Sierpiñnski三角形中所有大小的三角形（不包括孔）的数量Lee Reeves（leereeves（AT）fastmail.fm），2004年5月10日
数量（0），s（1）。。。，s（2n+1）），使得0<s（i）<6和|s（i。。。，2*n+1，s（0）=1，s（2n+1）=4-赫伯特·科西姆巴2004年6月10日
周长是形状4k+1的n个不同素数乘积的非退化直角非协调积分边Heron三角形的个数-亚历克斯·芬克和R.K.盖伊2005年8月18日
也是3的前n次幂倒数之和的分子A000244号分母序列。除了n＜2之外，a（n）的基数10的数字根总是4。在基数3中，a（n）的数字根与n的数字根相同-阿隆索·德尔·阿特2006年1月24日
序列3*a（n），n>=1，给出了Hanoi图H_3^{n}的边数-丹尼尔·帕里斯2006年7月28日
a（n）为素数的数字n列在A028491号＝{3，7，13，71，103，541，1091，…}。对于m>0，2^（m+1）除以a（2^m*k）。5除以a（4k）。5^2除以a（20k）。7除以a（6k）。7^2除以a（42k）。11^2除以a（5k）。13除以a（3k）。17除以a（16k）。19除以a（18k）。1093除以a（7k）。41除以a（8k）。p为素数p={41，431，491，661，761，1021，1051，1091，1171，…}除以a（（p-1）/5）。p为素数p={13，109，181，193，229，277，313，421，433，541，…}除以a（（p-1）/4）。p为素数p={61，67，73，103，151，193，271，307，367，…}除以a（p-1）/3=A014753号，3和-3都是立方体（一个意味着另一个）mod，这些素数p=1mod6。p为素数p={11，13，23，37，47，59，61，71，73，83，97，…}除以a（p-1）/2=A097933号（n） ●●●●。p除以素数p>7的a（p-1）。p^2将a（p*（p-1）k）除以除p=3以外的所有素数p。p^3除以素数p=11的a（p*（p-1）*（p-2）k）-亚历山大·阿达姆楚克2007年1月22日
设P（A）是n元素集A的幂集。则A（n）=P（A）的元素{x，y}的[无序]对的数量，其中x和y是不相交的[并且都是非空的]。维德将这些称为“不相交的常见2组合”-罗斯·拉海伊2008年1月10日[这是因为{1，2，…，n}的每个元素都可以在第一个子集中，也可以在第二个子集中，或者两者都不在。因为每个元素都有三个选项，所以选项的总数是3^n。然而，由于集合为空不是一个选项，我们要减去1，因为子集是无序的，所以我们要除以2！（两个物体排列的次数。）因此我们得到（3^n-1）/2=a（n）-查伊姆·洛文2015年3月3日]
同样，当P（A）是n元集A的幂集时，A（n）是P（A）的2元子集{x，y}的个数，使得x和y的并集等于A。A341590型. -法比奥·维索纳2021年2月20日
从偏移量1开始=的二项式变换A003945号：（1，3，6，12，24，…）和（1，2，1，2，1，2，…）的双bt；等于（1，-4，3，0，0，…）的polceoff逆-加里·亚当森，2009年5月28日
此外，多项式C（x）=3x+1的常数通过重复执行此操作并将每个步骤的结果作为下一步的输入而形成序列Nishant Shukla（n.shukla722（AT）gmail.com），2009年7月11日
设A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=3，（i>1），A[i，i-1]=-1，否则A[i、j]=0。然后，对于n>=1，a（n）=det（a）-米兰Janjic2010年1月27日
这是Gary Detlefs考虑的序列家族[A，b:c，d:k]中的序列A（0，1；2，3；2）=A（0、1；4，-3；0），在下面给出的Wolfdieter Lang链接中被视为A（A，b；c，d；k）-沃尔夫迪特·朗2010年10月18日
似乎，如果s（n）是形式s（0）=0，s（n-加里·德特利夫斯2010年11月16日
a（n）是奇数组成小于3的n部分的个数。例如，a（3）=13，并且有13个组成奇数分为3部分<3：
1: (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0);
3: (0, 1, 2), (0, 2, 1), (1, 0, 2), (1, 2, 0), (2, 0, 1), (2, 1, 0), (1, 1, 1);
5: (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1).
（结束）
皮萨诺周期长度：1,2,2,4,2,6,4,1,4,5,2,3,6,4,8,16,2,18,4-R.J.马塔尔2012年8月10日
a（n）是Sierpin ski三角生产第n步后的孔总数（删除的三角形）-伊万·伊纳基耶夫2013年10月29日
a（n）求解某些整数k的求和{j=a（n+1）}j=k^2，给定a（0）=0，并且需要最小的a（n+1>a（n）。相应的k=3^n-理查德·福伯格2015年3月11日
a（n+1）等于长度n超过{0，1，2，3}避免01，02和03的单词数-米兰Janjic2015年12月17日
对于n>=1，a（n）也是长度为n的单词的总数，在由三个字母组成的字母表中，其中一个字母出现奇数次（参见A006516号对于4个字母的单词，以及Balakrishnan的引用）-沃尔夫迪特·朗2017年7月16日
此外，n-Apollonian网络中最大团、最大团和大小为4的团的数量-安德鲁·霍罗伊德2017年9月2日
对于n>1，（n-1）-Apollonian网络中三角形（团大小为3）的数量-安德鲁·霍罗伊德，2017年9月2日
a（n）是平衡三元系中用n个trits表示的最大数。相应地，-a（n）是平衡三元系中可用n trits表示的最小数-托马斯·科尼2020年4月26日
这些形成了Sierpinski嵌套恒星，它们在3^n+1/2星号上交替排列A003154号，基于9^n的正方形配置。3^n的部分和是根据六边形的几何图形绘制的，请参阅链接中的插图。（3*a（n-1）+1）创建Sierpinski-反三角形，表示（n+1）Sierpinski三角形中的孔数（参见插图）-约翰·埃利亚斯2021年10月18日
对于n>1，a（n）是使用CORDIC计算双曲函数所需的迭代次数-马蒂亚斯·泽奇梅斯特2022年7月26日
对于所有n>=0，求和{k=a（n）+1..a（n+1）}1/k<求和{j=a（n+1）+1..a（n+2）}1/j。这些是将无限调和级数划分为单调递增序列的最小点。当n趋于无穷大时，每个分区从下面近似对数（3）-约瑟夫·麦特2023年4月15日
a（n）也是n-Dorogovtsev-Goltsev-Mendes图中的3个循环数（使用约定，0-Dorogov tsev-Gol tsev-Mndes图为P_2）-埃里克·韦斯特因2023年12月6日
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参考文献
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J.G.Mauldon，《假币问题的强力解决方案》，IBM研究报告RC 7476（#31437）9/15/78，IBM Thomas J.Watson研究中心，P.O.Box 218，Yorktown Heights，N.Y.10598。
保罗·里本博伊姆（Paulo Ribenboim），《素数记录簿》（The Book of Prime Number Records），纽约州斯普林格·弗拉格（Springer-Verlag），第二版，1989年，第60页。
保罗·里本博伊姆（Paulo Ribenboim），《大素数小书》（The Little Book of Big Primes），纽约州斯普林格·弗拉格（Springer-Verlag），1991年，第53页。
阿米尔·萨皮尔（Amir Sapir），《禁止移动的河内塔》（The Tower of Hanoi with Forbidden Moves），《计算机杂志》（The Computer）J.47（1）（2004）20，连续第三个案例，序列a（n）。
Robert Sedgewick，《算法》，1992年，第109页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Max A.Alekseyev和Toby Berger，用随机运动求解河内塔摘自：J.Beineke，J.Rosenhouse（编辑）《各种娱乐学科的数学：娱乐数学研究》，普林斯顿大学出版社，2016年，第65-79页。国际标准图书编号978-0-691-16403-8
Beáta Bényi和Toshiki Matsusaka，多贝努利数组合的推广，arXiv:2106.05585[math.CO]，2021。
格雷厄姆·埃弗勒斯（Graham Everest）、肖恩·史蒂文斯（Shaun Stevens）、邓肯·塔姆塞特（Duncan Tamsett）和汤姆·沃德（Tom Ward），由递归序列生成的素数阿默尔。数学。《月刊》，第114卷，第5期（2007年），第417-431页。
G.Kreweras，细分市场调查巴黎大学统计研究所，巴黎大学统计局，第15号（1970年），3-41。[带注释的扫描副本]
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
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摩根·沃德，关于可除序列的注记，公牛。阿默尔。数学。《社会学》，42（1936），843-845。
Thomas Wieder，n-集的某些k-组合的数目，应用数学电子笔记，第8卷（2008）。
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公式
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G.f.：x/（（1-x）*（1-3*x））。
a（n）=4*a（n-1）-3*a（n-2），n>1。a（0）=0，a（1）=1。
a（n）=3*a（n-1）+1，a（0）=0。
例如：（exp（3*x）-exp（x））/2-保罗·巴里2003年4月11日
a（n+1）=和{k=0..n}二项式（n+1，k+1）*2^k-保罗·巴里2004年8月20日
a（n）=Sum_{i=0..n-1}3^i，对于n>0；a（0）=0。
a（n）=箍筋S2（n+1,3）+箍筋S2（n+1，2）-罗斯·拉海伊2008年1月10日
a（n）=2*a（n-1）+3*a（n-2）+2，n>1-加里·德特利夫斯2010年6月21日
a（n）=3*a（n-1）+a（n-2）-3*a（n-3）=5*a（-1-）-7*a（-2-）+3*a（-n-3），a（0）=0，a（1）=1，a（2）=4。G.Detlefs的观察。请参阅W.Lang的评论和链接-沃尔夫迪特·朗2010年10月18日
G.f.：Q（0）/2，其中Q（k）=1-1/（9^k-3*x*81^k/（3*xx9^k-1/（1-1/（3*9^k-27*x*81 ^k/））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年4月12日
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例子
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一个3集有4个3块双覆盖：。
三元。。。。。。。。十进制的
0.................0
1.................1
11................4
111..............13
1111…………..40等-零入侵拉霍斯2007年1月14日
{a，B，C}上共有a（3）=13个三字母单词，例如a，出现次数为奇数：AAA；ABC、ACB、ABB、ACC；BAC、CAB、BAB、CAC；BCA、CBA、BBA、CCA-沃尔夫迪特·朗2017年7月16日
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MAPLE公司
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数学
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（3^范围[0，30]-1）/2(*哈维·P·戴尔2011年7月13日*）
线性递归[{4，-3}，{0，1}，30](*哈维·P·戴尔2011年7月13日*）
系数列表[系列[x/（1-4x+3x^2），{x，0，30}]，x](*埃里克·韦斯特因2017年9月28日*）
表[起始数字[PadRight[{}，n，1]，3]，{n，0，30}](*哈维·P·戴尔2022年6月1日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=（3^n-1）/2
（鼠尾草）[（3^n-1）/2代表范围（0，30）内的n]#零入侵拉霍斯，2009年6月5日
（哈斯克尔）
a003462=（`div`2）。（减去1）。(3 ^)
a003462_list=迭代（（+1）。(* 3)) 0 --莱因哈德·祖姆凯勒2012年5月9日
（岩浆）[（3^n-1）/2:n in[0..30]]//文森佐·利班迪2015年2月21日
（PARI）连接（0，Vec（x/（（1-x）*（1-3*x））+O（x^30））\\阿尔图·阿尔坎2015年11月1日
（间隙）
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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更正了我2008年1月10日的评论-罗斯·拉海伊2008年10月29日
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状态
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经核准的
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