|
| |
|
| A112492号 |
| 反比例Pochhammer符号的三角形。 |
|
11
|
|
|
|
1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 7, 11, 1, 1, 15, 85, 50, 1, 1, 31, 575, 1660, 274, 1, 1, 63, 3661, 46760, 48076, 1764, 1, 1, 127, 22631, 1217776, 6998824, 1942416, 13068, 1, 1, 255, 137845, 30480800, 929081776, 1744835904, 104587344, 109584, 1, 1, 511, 833375, 747497920, 117550462624, 1413470290176, 673781602752, 7245893376, 1026576, 1
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
偏移
|
0,5
|
|
|
评论
|
此展开式基于部分分式恒等式：1/Product_{j=1..m}（x+j）=（1+Sum_{j=1..m}（-1）^j*二项式（m，j）*x/（x+j））/m！，例如，约旦参考文献第37页。
三角形作为矩阵M的LDU分解中的U因子出现，该矩阵由M（r，c）=1/（1+r）^c（r，c从0开始）定义。
然后
a（r，c）=m（r，c）*（1+r）^（c-r）。
基于此，可以通过定义“递归谐波数”（rhn）进行显式展开。（这种表示只是一种启发式的模式解释，还没有可用的分析证明）。
考虑
对于k>0，h（k，0）=1，作为零阶（0）的rhn。
然后考虑
h（1,1）=1*h（1,0）
h（2,1）=1*h（1,0）+1/2*h（2,0）
h（3.1）=1*h（1,0）+1/2*h（2,0）+1/3*h（3,0）=h（2,1）+1/3*h（3,1）
...
并递归地
h（1，r）=1*h（1、r-1）
h（2，r）=1*h（1，r-1）+1/2*h（2，r-1）
h（3，r）=1*h（1，r-1）+1/2*h（2，r-1
...
h（k，r）=h（k-1，r）+1/k*h（k、r-1）
则上三角A:=A（r，c），对于c-r>0
a（r，c）=h（r，c-r）*（1+r）^（c-r）。
（结束）
|
|
|
参考文献
|
查尔斯·乔丹，《有限差分演算》，切尔西，1965年。
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
柱m>=1的G.f:（x^m）/乘积（1-m！*x/j，j=1..m）。
T（n，m）=-（m！^（n-m+1））*和{j=1..m}（-1）^j*二项式（m，j）/j^（n-m+1），m>=1。如果n+1<m，T（n，m）=0。
k列的G.f:x^k/Product_{j=0..k}（j+1-x）=Sum_{n>=k}T（n，k）*x^k/（k+1）^（n-k+1）-保罗·D·汉纳2012年10月20日
T（n，k）=（k+1）^（n-k+1）*[x^n]x^k/产品{j=0..k}（j+1-x）-保罗·D·汉纳2012年10月20日
第n行的G.f:Sum_{j>=0}（j+1）^（j-n-1）*exp（（j+1）*x）*（-x）^j/j！=求和{k>=0}T（n，k）*x^k/（k+1）^（n-k+1）-保罗·D·汉纳2012年10月20日
T（n，k）=（k+1）^（n-k+1）*[x^k]求和{j>=0}（j+1）^（j-n-1）*exp（（j+1）*x）*（-x）^j/j-保罗·D·汉纳2012年10月20日
对于0<k<n，T（n，0）=T（n；n）=1和T（n、k）=（k+1）^（n-k）*T（n-1，k-1）+（k！）*T-沃纳·舒尔特2016年12月14日
|
|
|
例子
|
三角形开始：
1；
1, 1;
1、3、1；
1, 7, 11, 1;
1, 15, 85, 50, 1;
1, 31, 575, 1660, 274, 1;
1, 63, 3661, 46760, 48076, 1764, 1;
1, 127, 22631, 1217776, 6998824, 1942416, 13068, 1; ...
各行的g.f.s如下图所示：
求和{n>=0}（n+1）^（n-1）*exp（n+1*x）*（-x）^n/n！=1；
求和{n>=0}（n+1）^（n-2）*exp（n+1*x）*（-x）^n/n！=1+1*x/2！；
求和{n>=0}（n+1）^（n-3）*exp（n+1*x）*（-x）^n/n！=1+3*x/2^2+1*x^2/3！；
求和{n>=0}（n+1）^（n-4）*exp（n+1*x）*（-x）^n/n！=1+7*x/2^3+11*x^2/3^2+1*x^3/4！；
求和{n>=0}（n+1）^（n-5）*exp（n+1*x）*（-x）^n/n！=1+15*x/2^4+85*x^2/3^3+50*x^3/4^2+1*x^4/5。。。
它们派生自LambertW（）标识-保罗·D·汉纳2012年10月20日
|
|
|
数学
|
T[_，0]=1；T[n_，m_]：=-m^（n-m+1）*和[（-1）^j*二项式[m，j]/j^（n-m+1），{j，m}]；表[T[n，m]，{n，10}，{m，0，n}]//扁平(*Jean-François Alcover公司，2013年7月9日，来自第二配方*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）：{h（n，recurse=1）=if（recurse==0，return（1））；
返回（和（k=0，n，h（k，递归-1）/（1+k））；}
（PARI）/*根据k列的g.f.：*/
T（n，k）=（k+1）^（n-k+1）*polcoeff（prod（j=0，k，1/（j+1-x+x*O（x^（n-k））），n-k）
对于（n=0，10，对于（k=0，n，print1（T（n，k），“，”））；打印（））\\保罗·D·汉纳2012年10月20日
（PARI）/*来自第n行的g.f.：*/
T（n，k）=（k+1）^（n-k+1）*polcoeff（sum（j=0，k，（j+1）^（j-n-1）*exp（（j+1）*x+x*O（x^k））*（-x）^j/j！），k）
对于（n=0，10，对于（k=0，n，print1（T（n，k），“，”））；打印（））\\保罗·D·汉纳2012年10月20日
（岩浆）
如果k当量0或k当量n，则返回1；
否则返回（k+1）^（n-k）*T（n-1，k-1）+阶乘（k）*T（n-1、k）；
结束条件：；
端函数；
[T（n，k）:k在[0.n]中，n在[0.12]]中//G.C.格鲁贝尔2023年7月24日
（SageMath）
如果（k==0或k==n）：返回1
else：返回（k+1）^（n-k）*T（n-1，k-1）+阶乘（k）*T（n-1，k）
压扁（[[T（n，k）代表范围（n+1）中的k]代表范围（13）中的n]）#G.C.格鲁贝尔2023年7月24日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
