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跑步是由一个以上连续的相同结果组成的序列，也称为丛。

让R_p（R，n）是跑步的概率属于第页 或更多出现连续的头部在里面n个a的独立抛掷硬币（即。，n个 伯努利试验). 这相当于从包含两个可区分的东西的瓮中重复拾取对象，每次拾取后都会进行替换。让获得头部的概率是0<p<1。然后是一个美丽的公式R_p（R，n）用系数表示的生成函数

F_p（r，s）=（p^rs^r（1-ps））/（1-s+（1-p）p^rs~（r+1））=总和_（i=r）^inftyc_i^ps^i
(1)

（费勒1968年，第300页）。然后

R_p（R，n）=总和_（i=R）^nc_i^p。
（2）

下表给出了数字的三角形2^nR_（1/2）（r，n）对于n=1, 2, ... 和r=1, 2, ...,n个（组织环境信息系统A050227号).

斯隆A000225号A008466元A050231号A050233号
n\r公司12三45678
110000000
2三1000000
三7三100000
4158三10000
531198三1000
66343208三100
71279447208三10
825520110748208三1

特殊情况r=2给出了序列

R_（1/2）（2，n）=2^（n+1）-F_（n+3），
(3)

哪里表格（_n）是一个斐波那契数类似地k个连续尾部将出现在n个掷骰子是由F_（n+2）^（（k））/2^n，其中F_l^（（k））是一个斐波那契k个-步骤号.

Feller（1968年，第278-279页）证明了w（n）=1-R_（1/2）（3，n）,

lim（n->infty）w（n）α^（n+1）=β，
(4)

哪里

阿尔法=（x^3+2x^2+4x-8）_1
(5)
=1.087378025...
(6)

（组织环境信息系统A086253号)是的正根上述多项式和

贝塔=（2-α）/（4-3-α）
(7)
=（11x^3-22x^2+12x-2）_1
(8)
=1.236839844...
(9)

（组织环境信息系统A086254号)是上述多项式的正根。运行的相应常量k> 1个头部是字母（_k），最小的积极的 根属于

1-x+（1/2x）^（k+1）=0，
(10)

和

βk=（2-α）/（k+1-kalphak）。
(11)

这些被修改为不公平的硬币P（H）=P和P（T）=q=1-P到字母_k^'，最小的积极的 根属于

1-x+qp^kx^（k+1）=0，
(12)

和

beta_k^'=（1-pallha_k^’）/（（k+1-kalpha_k'）p）
(13)

（费勒1968年，第322-325页）。

鉴于n个 伯努利试验有成功的可能性第页，预期尾数为n（1-p），所以预期的尾流数量>=1是 近似n（1-p）p.持续的，

N_R=N（1-p）p^R
(14)

是预期的运行次数>=R.因此，最长的预期运行由下式给出

R=log_（1/p）[n（1-p）]
(15)

（戈登等。1986年，先令，1990年）。鉴于米0s和n个1s，可能的安排数量u个跑步次数为

fu={2（m-1；k-1）
(16)

对于k个一个整数,哪里（n；k）是一个二项式系数（约翰逊和科茨1968年，第268页）。然后

P（u<=u^'）=sum_（u=2）^（u^’）（f_u）/（（m+n；m））。
(17)

现在考虑选择N个物体无需更换来自N个包含米一种类型的不可区分对象和k个另一个无法区分的物体。让N（r；m，k）表示这些对象的排列数在哪儿不 第页-运行发生。例如，类型为的两个对象有6个排列A类和两种类型B类其中，阿拉伯联合酋长国,ABBA公司,BAAB公司、和英国建筑协会包含长度为2的行程，因此N（2；2,2）=2.一般来说第页-运行做发生由以下公式给出

P（r；m，k）=1-（N（r；m，k））/（（m+k；k）），
(18)

哪里（a；b）是一个二项式系数Bloom（1996）给出了以下重现序列N（r；m，k）,

N（r；m，k）=e（r；m，k）+总和_（i=0），
(19)

哪里N（r，m，k）=0对于米或k个负值和

e（r；m，k）={1，如果m=0和0<=k<r；-1，如果m=r和0<=k<r，否则为0。
(20)

只有固定数量的项的另一个循环由下式给出

N（r；m，k）=N（r，m-1，k）+N，
(21)

哪里

如果（m，k）=（0,0）或（r，r），则er^*（m，k）={1；如果（m、k）=
(22)

（古尔登和杰克逊，1983年，布鲁姆，1996年）。

这些公式可用于计算运行n个一副同色卡片52张卡片。对于N=1,2。。。，这产生序列1247959266474051/247959264474052。。。（组织环境信息系统A086439号和A086440型).通过乘以进行规格化(52; 26)给出495918532948104，495918532.948102，495891608417946，483007233529142。。。（组织环境信息系统A086438号). 结果

P（6；26,26）=（2740784175881）/（5903792058906）=0.46424。。。
(23)

推翻了Gardner（1982）的断言，即“几乎总是会有六到七个丛卡片“相同颜色”普通甲板卡片.

Bloom（1996）给出了非连续的预期数量第页-运行（即，将序列拆分为相同的值并计算此类长度束的数量>=r)按以下顺序米0s和n个1s作为

E（n，m，r）=（（m+1）（n）_r+（n+1）（m）_r）/（（m+n）_r，
(24)

哪里（a） _n（n）是下落阶乘。对于m> 10个,u个具有近似值正常的分布具有意思是和方差

多个（_u）=1+（2mn）/（m+n）
(25)
西格玛u^2=（2mn（2mn-m-n））/（（m+n）^2（m+n-1））。
(26)

另请参见

卡片,投币,欧拉数,超几何的分发,置换,置换运行,秒-运行

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工具书类

D.M.布鲁姆。“二进制序列中丛的概率（以及如何在不知道很多的情况下评估它们）。”数学。美格。 69,366-372, 1996.西弗勒。一个概率论及其应用导论，第1卷，第3版。纽约：威利出版社，1968年。芬奇，S.R。“费勒抛硬币常量。“第5.11条数学常量。英国剑桥：剑桥大学出版社，第339-342页，2003M.加德纳。啊哈！明白了：困惑与快乐的悖论。纽约：W.H。弗里曼，第124页，1982戈德博尔，A.P。“关于超几何和相关分布订单的k个."Commun公司。统计：Th.和Meth。 19,1291-1301, 1990.戈德博尔，A.P。和Papastavridis，G.（编辑）。跑概率模式：论文选集。纽约：Kluwer，1994年。戈登，法律。；席林，M.F。；和Waterman，M.S。“极值理论用于长距离跑步。"探针。Th.和相关字段 72, 279-287,1986古尔登，I.P。和D.M.Jackson。组合枚举。纽约：Wiley，1983年。Johnson，N.和Kotz，S。离散分布。纽约：威利出版社，1968年。心情，A.M。“跑步分布理论。”安。数学。统计 11,367-392, 1940.菲利普·A.N。和F.S.Makri。“成功，跑步和最长跑步。"统计概率。让。 4, 211-215, 1986.先令，M.F.公司。“最长距离的冲刺。”科尔。数学。J。 21,196-207, 1990.E.F.舒斯特。在跑概率与模式：论文选（编辑：A.P.Godbole和S.Papstavridis）。马萨诸塞州波士顿：Kluwer，第91-111页，1994年。斯隆，新泽西州。答：。序列A000225号/M2655，A008466元,A050227号,A050231号,A050232美元,A050233号,A086253号,A086254号,A086438号,A086439号、和A086440型在“整数序列在线百科全书”中

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引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Run.”来源数学世界--A类Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Run.html

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