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A000295号 欧拉数(欧拉三角形:第k列=第2列A008292号,第k列=第1列,共列A173018型).
(原名M3416 N1382)
198
0, 0, 1, 4, 11, 26, 57, 120, 247, 502, 1013, 2036, 4083, 8178, 16369, 32752, 65519, 131054, 262125, 524268, 1048555, 2097130, 4194281, 8388584, 16777191, 33554406, 67108837, 134217700, 268435427, 536870882, 1073741793, 2147483616, 4294967263, 8589934558 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
偏移
0,4
评论
欧拉三角形有两种版本:
*A008292号Comtet(1974)使用的欧拉三角形的经典版本。
*A173018型格雷厄姆、克努特和帕塔什尼克在《混凝土数学》中使用的欧拉三角形版本。(1990).
Euler的三角形行和列索引约定:
*A008292号欧拉三角形的行和列都是从1开始索引的。(经典版本:在Riordan和Comtet的经典著作中使用。)
*A173018型欧拉三角形的行和列都是从0开始索引的。(格雷厄姆等人)
具有恰好一个长上坡(即,长度至少为两个上坡)的半长Dyck路径的数量。例如:a(4)=11,因为在半长4的14条Dyck路径中,没有一条长上升的路径是UDUDUD(无长上升)、UUDDUUD和UUDUUDDD(两条长上升)。这里U=(1,1)和D=(1,-1)。还有n条边正好有一个分支节点的有序树的数量(即至少有两个分支节点)-Emeric Deutsch公司2004年2月22日
{1,2,…,n}的置换数正好有一个下降(即置换(p(1),p(2),。。。,p(n))使得{i:p(i)>p(i+1)}=1)。例如,a(3)=4,因为{1,2,3}的一个下降排列是132、213、231和312。
a(n+1)是非负整数的卷积(A001477号)和二次幂(A000079号). -格雷姆·麦克雷2006年6月7日
主对角线的部分和A125127号. -乔纳森·沃斯邮报,2006年11月22日
恰好有一个块大小大于1的n个集合的分区数。例如:a(4)=11,因为如果分区集是{1,2,3,4},那么我们有1234、123|4、124|3、134|2、1|234、12|3|4、13|2|4、14|2|3、1|23 |4、1|24 |3和1|2|34-Emeric Deutsch公司2006年10月28日
n将a(n+1)除以n=A014741号(n) ={1、2、6、18、42、54、126、162、294、342、378、486、882、1026…}-亚历山大·阿达姆楚克2006年11月3日
(避开模式321、2413、3412、21534的排列数)减1-珍妮·卢克·巴里尔2007年11月1日,2008年3月21日
棱镜图P_n在n>=3时的色不变量-乔纳森·沃斯邮报2008年8月29日
与2^n-1的二进制表示和n的二进制表示用前导零进行XOR运算的结果相对应的十进制整数。这个序列和其他几个序列在句法上相似。对于n>0,设D(n)表示与具有n个连续1的二进制数对应的十进制整数。OP.n表示序列的第n项。OP.表示二进制运算符,如“+”、“-”、“*”、“quotentof”、“mod”、“choose”。然后我们得到各种序列136556英镑,A082495号,A082482美元,A066524号,A000295号,A052944号当我们将第n项取为f(D(n))时,会产生另一个语法上类似的序列。OP.f(n)。例如,如果f='factorial'和。OP.=“/”,我们得到(A136556号)(A000295号) ; 如果f=“平方”和。OP.=“-”,我们得到(A000295号)(A052944号). -K.V.Iyer公司2009年3月30日
棱镜图Y_n的色不变量。
高度为n-1的完整二叉树的标签数,这样从根到任何叶的每条路径都包含{1,2,…,n-1}中的每个标签一次迈克尔·维埃哈伯(Vielhaber(AT)gmail.com),2009年11月18日
另外,弱结合律X((YZ)T)=(X(YZ,))T在带有n个开括号和n个闭括号的单词上生成的非平凡等价类的数目。同时还研究了n片叶子二叉树剪枝嫁接格中的join(resp.met)-不可约元素的个数Jean Pallo,2010年1月8日
该序列的非零项可以从从帕斯卡三角形中提取的第三个子三角形的行和中找到,如下括号所示:
1;
1, 1;
{1}, 2, 1;
{1, 3}, 3, 1;
{1, 4, 6}, 4, 1;
{1, 5, 10, 10}, 5, 1;
{1, 6, 15, 20, 15}, 6, 1;
... -L.埃德森·杰弗里2011年12月28日
对于整数a、b,用a<+>b表示最小c>=a,使得汉明距离D(a,c)=b(注意,一般来说,a<+>b与b<+>a不同)。那么对于n>=3,a(n)=n<+>n。这有一个简单的解释:对于二进制中的n>=3,我们有一个(n)=(2^n-1)-n=“anti-n”-弗拉基米尔·舍维列夫2012年2月14日
a(n)是具有至少一对01的长度为n的二进制序列的数目-布兰科·柯格斯2012年5月23日
非零项是存在完美(汉明)纠错码的整数k-L.埃德森·杰弗里2012年11月28日
a(n)是按以下方式构造的长度n个二进制单词的数量:选择两个位置,在其中放置单词的前两个0。用1填充第二个0之前的所有位置(可能没有),然后用0或1的任意字符串完成单词。因此a(n)=Sum_{k=2..n}(k-1)*2^(n-k)-杰弗里·克雷策,2013年12月12日
如果没有第一个0:a(n)/2^n等于Sum_{k=0..n}k/2^k。例如:a(5)=57,57/32=0/1+1/2+2/4+3/8+4/16+5/32-鲍勃·塞尔科2014年2月25日
假设这些数字是权重,则Pascal三角形前n行质心的第一个重心坐标为A000295号(n+1)/A000337号(n) ●●●●。见附图-塞萨尔·埃利乌德·洛扎达2014年11月14日
从(0,1,4,11,…)开始,这是(0,12,2,2,…)的二项式变换-加里·亚当森2015年7月27日
同时给出了n三角蜂巢图中(非空)连通诱导子图的个数-埃里克·韦斯特因2017年8月27日
a(n)是在最坏的情况下,使用(自底向上)heapify将具有n个完整级别的二叉树转换为堆所需的交换次数-鲁迪·范·弗利特2017年9月19日
具有n个参与者的大型网络,特别是社交网络的效用由该序列的项a(n)给出。这种说法被称为里德定律,请参阅维基百科链接-约翰内斯·梅耶尔2019年6月3日
a(n-1)是{1..n}的子集数,其中集合中的最大元素超过了下一个最大元素至少2。例如,对于n=5,a(4)=11,11个集合是{1,3}、{1,4}、}1,5}、2,4},{2,5},}3,5}和{1,2,4}-恩里克·纳瓦雷特2020年4月8日
a(n-1)也是{1..n}的子集数,其中集合的第二个最小元素至少超过最小元素2。例如,对于n=5,a(4)=11,11个集合是{1,3}、{1,4}、}1,5}、2,4},{2,5},}3,5}和{1,3,4}-恩里克·纳瓦雷特2020年4月9日
a(n+1)是{1..n}所有子集的最小元素之和。例如,对于n=3,a(4)=11;{1,2,3}的子集为{1}、{2}、}3}、[1,2},{1,3},[2,3}和[1,1,3}],最小元素之和为11-恩里克·纳瓦雷特2020年8月20日
具有多个元素的n个集合的子集数-埃里克·施密特2021年3月13日
在不同比赛中,对n-1匹马、狗等进行“全场”下注的个人下注次数。每匹马等可以下注或不下注,下注2^n次。但是,按照惯例,单打(只在一场比赛中下注)不包括在内,因此下注总数减少了n。也不可能完全不下注,下注数量再减少1。因此,4匹马、4条狗等的完全覆盖是6个双打、4个高音和1个四马等累加器。在英国博彩业中,这种对4匹马等的赌注是扬基队的;5号,超级洋基队-保罗·杜克特2021年11月17日
发件人恩里克·纳瓦雷特2022年5月25日:(开始)
长度为n且至少有两个1的二进制序列的数量。
a(n-1)是从n个元素中选择奇数个大于或等于3个元素的方法的数量。
a(n+1)是将[n]={1,2,…,n}拆分为两个(可能为空)互补间隔{1,2…,i}和{i+1,i+2,…,n},然后从第一个间隔(2^i选项,0<=i<=n)中选择子集,从第二个间隔(n-i选项,0<=i<=n)选择一个块/单元(即子间隔)的方法数。
(结束)
n个行星系统中可能的连词数;例如,可以有0个与一颗行星的合相,一个与两颗行星的合相,四个与三颗行星的合相(三对行星加一个与所有三颗行星的合相),依此类推-温迪·阿普尔比2023年1月2日
2^m除以(2^n-1)!的最大指数m-弗兰兹·弗拉贝克2023年8月18日
参考文献
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链接
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P.A.Piza,Kummer数字《数学杂志》,21(1947/1948),257-260。[带注释的扫描副本]
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D.P.Roselle,按上升和连续次数排列,程序。阿默尔。数学。《社会学杂志》,20(1968),8-16。
D.P.Roselle,按上升和连续次数排列,程序。阿默尔。数学。Soc.,19(1968),8-16。[带注释的扫描副本]
埃里克·魏斯坦的数学世界,彩色不变量
埃里克·魏斯坦的数学世界,棱镜图形
维基百科,里德定律
安西·伊利·杰拉,基于收缩和加权FST的依赖性分析,在《我们可以玩节日游戏吗?》中?,施普林格,2012年,第133-158页-N.J.A.斯隆2012年12月25日
常系数线性递归的索引项,签名(4,-5,2)。
配方奶粉
a(n)=2^n-n-1。
通用格式:x^2/((1-2*x)*(1-x)^2)。
A107907号(a(n+2))=A000079号(n+2)-莱因哈德·祖姆凯勒2005年5月28日
例如:exp(x)*(exp(x)-1-x)-Emeric Deutsch公司2006年10月28日
a(0)=0、a(1)=0,a(n)=3*a(n-1)-2*a(n-2)+1-米克洛斯·克里斯托夫2005年3月9日
对于Z中的所有n,a(0)=0,a(n)=2*a(n-1)+n-1。
a(n)=和{k=2..n}二项式(n,k)-保罗·巴里2003年6月5日
a(n+1)=和{i=1..n}和{j=1..i}C(i,j)-贝诺伊特·克洛伊特2003年9月7日
a(n+1)=2^n*和{k=0..n}k/2^k-贝诺伊特·克洛伊特2003年10月26日
当i>1时,a(0)=0,a(1)=0、a(n)=Sum_{i=0..n-1}i+a(i)-杰拉尔德·麦卡维2004年6月12日
a(n+1)=和{k=0..n}(n-k)*2^k-保罗·巴里2004年7月29日
a(n)=和{k=0..n}二项式(n,k+2);a(n+2)=和{k=0..n}二项式(n+2,k+2)-保罗·巴里2004年8月23日
a(n)=和{k=0..floor((n-1)/2)}二项式(n-k-1,k+1)*2^(n-k-2)*(-1/2)^k-保罗·巴里2004年10月25日
a(0)=0;a(n)=箍筋2(n,2)+a(n-1)=A000225号(n-1)+a(n-1-托马斯·维德2007年2月18日
a(n)=A000325号(n) -1-乔纳森·沃斯邮报2008年8月29日
a(0)=0,a(n)=Sum_{k=0..n-1}2^k-1-道格·贝尔2009年1月19日
a(n)=A000225号(n) -编号-泽因瓦利·拉霍斯,2009年5月29日
a(n)=n*(2F1([1,1-n],[2],-1)-1)-奥利维尔·杰拉德2011年3月29日
第k列=第1列,共列A173018型开始a'(n)=0,1,4,11。。。并具有超几何表示n*超几何([1,-n+1,[-n],2)。这可以被视为更倾向于欧拉的正式论点173018年结束A008292号. -彼得·卢什尼2014年9月19日
例如:exp(x)*(exp(x)-1-x);这是U(0),其中U(k)=1-x/(2^k-2^k/(x+1-x^2*2^(k+1)/;(连分数,第3类,4步)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月1日
a(n)=A079583号(n)-A000225号(n+1)-米奎尔·塞尔达2016年12月25日
a(0)=0;a(1)=0;对于n>1:a(n)=和{i=1..2^(n-1)-1}A001511号(i) ●●●●-大卫·西格斯2019年2月26日
a(n)=A007814号(A028366号(n) )-弗兰兹·弗拉贝克2023年8月18日
例子
G.f.=x^2+4*x^3+11*x^4+26*x^5+57*x^6+120*x^7+247*x^8+502*x^9+。。。
MAPLE公司
[seq(2^n-n-1,n=1..50)];
A000295号:=-z/(2*z-1)/(z-1)**2#西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
#语法规范:
规范:=[S,{B=集合(Z,1<=卡),C=序列(B,2<=卡”),S=生产(B,C)},未标记]:
结构:=n->combstruct[count](规范,大小=n+1);
seq(结构(n),n=0..33)#彼得·卢什尼2014年7月22日
数学
a[n]=n*(超几何PFQ[{1,1-n},{2},-1]-1);表[a[n],{n,1,30}](*奥利维尔·杰拉德2011年3月29日*)
线性递归[{4,-5,2},{0,0,1},40](*文森佐·利班迪2015年7月29日*)
表[2^n-n-1,{n,20}](*埃里克·韦斯特因2017年11月16日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=2^n-n-1\\查尔斯·格里特豪斯四世,2011年6月10日
(哈斯克尔)a000295 n=2^n-n-1--莱因哈德·祖姆凯勒2013年11月25日
(岩浆)[0..40]]中[2^n-n-1:n//文森佐·利班迪2015年7月29日
交叉参考
囊性纤维变性。A008292号(Comtet(1974)使用的欧拉三角形的经典版本)。
囊性纤维变性。A173018型(Graham、Knuth和Patashnik在《混凝土数学》(1990)中使用的欧拉三角形版本)。
的部分总和A000225号.
三角形的行和A014473号.第二列三角形A112493号A112500型.
囊性纤维变性。A000325号.
a(n)-A002662号(n)=A000217号(n-1)对于n>0-杰弗里·克雷策2009年2月11日
的行总和A143291号. -阿洛伊斯·海因茨2009年6月1日
序列A125128号A130103号基本上是一样的-M.F.哈斯勒2015年7月30日
第k列=第1列,共列A124324号.
关键词
非n,容易的,美好的
作者
状态
经核准的

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