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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A000295型 欧拉数(欧拉三角形:第k列=2,共A008292号,第k列=1,共A173018型).
(原M3416 N1382)
171
0,0,1,4,11,26,57,120,247,502,1013,2036,4083,8178,16369,32752,65519,131054,262125,524268,1048555,2097130,4194281,8388584,16777191,33554406,67108837,134217700,268435427,536870882,1073741793,2147483616,4294967263,8589934558 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,4个

评论

欧拉三角形有两种版本:

*A02908年Comtet(1974)使用的欧拉三角形的经典版本。

*A173018型由格雷厄姆,克努斯和帕塔什尼克在具体数学中使用的欧拉三角形版本。(1990年)。

Euler的三角形行和列索引约定:

*A008292号欧拉三角形的行和列都是从1开始索引的。(经典版本:在里奥丹和康泰特的经典著作中使用。)

*A173018型欧拉三角形的行和列都是从0开始索引的。(格雷厄姆等人)

半长n的Dyck路径数,正好有一个长的上升(即,长度至少上升两个)。示例:a(4)=11,因为在14条半长4的Dyck路径中,没有正好一个长上升的路径是UDUDUDUD(无长上升)、UUDDUUDD和uudududdd(两个长上升)。这里U=(1,1)和D=(1,-1)。也就是具有n条边且恰好有一个分支节点(即至少两个出度顶点)的有序树的数目。-德国金刚砂2004年2月22日

{1,2,…,n}的排列数(即,排列(p(1),p(2),…,p(n)),使得#{i:p(i)>p(i+1)}=1)。E、 g,a(3)=4,因为{1,2,3}有一个下降的排列是132,213,231和312。

A107907电话(a(n+2))=A000079号(n+2)。-莱因哈德·祖姆凯勒2005年5月28日

a(n+1)是非负整数的卷积(A0477号)和二次幂(A000079号). -格雷姆·麦克雷2006年6月7日

中定义的数组主对角线的部分和A125127号逆对角线(k)数组:k-k。-乔纳森·沃斯·波斯特2006年11月22日

一个n-集中只有一个块大小大于1的分区数。例如:a(4)=11,因为如果分块集是{1,2,3,4},那么我们有1234,123 | 4,124 | 3,134 | 2,1 | 234,12 | 3,13 | 2 | 4,14 | 2 | 3,1 | 23 | 4,1 | 24 | 3和1 | 2 | 34。-德国金刚砂2006年10月28日

n将a(n+1)除以n=A014741号(n) ={1,2,6,18,42,54,126,162,294,342,378,486,882,1026,…}。-亚历山大·阿达姆丘克2006年11月3日

(避免模式321、2413、3412、21534的置换数)减1。-让-吕克-巴里尔2008年11月21日

n>=3时棱镜图P n的色不变量。-乔纳森·沃斯·波斯特2008年8月29日

与2^n-1的二进制表示和n的二进制表示用前导零进行异或运算的结果相对应的十进制整数。这个序列和其他一些序列在句法上是相似的。对于n>0,设D(n)表示与具有n个连续1的二进制数相对应的十进制整数。然后D(n).OP.n表示序列的第n项,当.OP.代表二进制运算符时,如“+”、“-”、“*”、“quotentof”、“mod”、“choose”。然后我们得到不同的序列邮编:A136556,A082495号,A0822号,A066524号,A000295型,A052944号. 当我们把第n项取为f(D(n)).OP.f(n)时,另一个在句法上相似的序列也会产生。例如,如果f='factorial'和.OP.='/',我们得到(A1366号)(A000295型);如果f='squaring'和.OP.='-',我们得到(A000295型)(A052944号). -K、 V.伊耶2009年3月30日

棱镜图的色不变量。

高度为n-1的完整二叉树的标号数,使得从根到任何叶的每条路径只包含一次{1,2,…,n-1}的每个标签。-Michael Vielhaber(Vielhaber(AT)gmail.com),2009年11月18日

由弱结合律X((YZ)T)=(X(YZ))T在n个开括号和n个闭括号的词上生成的非平凡等价类的个数。以及连接的数量(分别为。n叶二叉树剪枝嫁接格中的不可约元素。-Jean Pallo,2010年1月8日

该序列的非零项可以从从Pascal三角形中提取的第三个子三角形的行和中找到,如下括号所示:

1个;

1,1;

{1},2,1;

{1,3},3,1;

{1,4,6},4,1;

{1,5,10,10},5,1;

{1,6,15,20,15},6,1;

  ... -五十、 埃德森·杰弗瑞2011年12月28日

对于整数a,b,用a<+>b表示最小c>=a,使得汉明距离D(a,c)=b(注意,一般来说,a<+>b与b<+>a不同)。对于n>=3,a(n)=n<+>n。这有一个简单的解释:对于二进制中的n>=3,我们有a(n)=(2^n-1)-n=“反n”。-弗拉基米尔·谢韦列夫2012年2月14日

a(n)是长度为n的至少有一对01的二进制序列的数目。-布兰科库格斯2012年5月23日

非零项是那些存在完美(汉明)纠错码的整数k。-五十、 埃德森·杰弗瑞2012年11月28日

a(n)是按以下方式构造的长度为n的二进制字的数目:选择两个位置来放置单词的前两个0。用1填充第二个0之前的所有位置(可能没有),然后用任意字符串0或1来完成该单词。因此a(n)=Sum{k=2..n}(k-1)*2^(n-k)。-杰弗里·克里特2013年12月12日

没有前0:a(n)/2^n等于和{k=0..n}k/2^k。例如:a(5)=57,57/32=0/1+1/2+2/4+3/8+4/16+5/32。-鲍勃塞尔科2014年2月25日

假设数字为权重,帕斯卡三角形前n行质心的第一个重心坐标为A000295型(n+1)/A000337号(n) 一。见附图。-塞萨尔·埃利乌德·洛扎达2014年11月14日

从(0,1,4,11,…)开始,这是(0,1,2,2,…)的二项式变换。-加里·W·亚当森2015年7月27日

同时给出了n-三角蜂窝rook图中(非空)连通诱导子图的个数。-埃里克·W·维斯坦2017年8月27日

a(n)是在最坏的情况下,使用(自下而上)heapify将具有n个完整级别的二叉树转换为堆所需的交换数。-鲁迪·范维利2017年9月19日

大型网络的效用,特别是有n个参与者的社交网络,由该序列的a(n)项给出。这一主张被称为里德定律,见维基百科链接。-约翰内斯W.梅杰2019年6月3日

a(n-1)是{1..n}的子集数,其中集合的最大元素至少超过下一个最大元素2。例如,对于n=5,a(4)=11,11个集合是{1,3},{1,4},{1,5},{2,4},{2,5},{3,5},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,5},{2,3,5},{1,2,3,5},{1,2,3,5},{1,2,3,5}。-恩里克·纳瓦雷特2020年4月8日

a(n-1)也是{1..n}的子集数,其中集合的第二最小元素超过最小元素至少2。例如,对于n=5,a(4)=11,11个集合是{1,3},{1,4},{1,5},{2,4},{2,5},{3,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,4,5},{1,3,4,5},{1,3,4,5},{1,3,4,5}。-恩里克·纳瓦雷特2020年4月9日

a(n+1)是{1..n}所有子集的最小元素之和。例如,对于n=3,a(4)=11;{1,2,3}的子集是{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},最小元素之和为11。-恩里克·纳瓦雷特2020年8月20日

参考文献

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链接

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埃里克·韦斯坦的数学世界,棱镜图

维基百科,里德定律

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常系数线性递归的索引项,签名(4,-5,2)。

公式

n-2(不适用)=。

G、 f.:x^2/((1-2*x)*(1-x)^2)。

E、 g.f.:实验(x)*(实验(x)-1-x)。-德国金刚砂2006年10月28日

a(0)=0,a(1)=0,a(n)=3*a(n-1)-2*a(n-2)+1。-米克洛斯·克里斯托夫2005年3月9日

a(0)=0,a(n)=2*a(n-1)+n-1表示Z中的所有n。

a(n)=和{k=2..n}二项式(n,k)。-保罗·巴里2003年6月5日

a(n+1)=和{i=1..n}和{j=1..i}C(i,j)。-贝诺伊特·克罗伊特2003年9月7日

a(n+1)=2^n*和{k=0..n}k/2^k-贝诺伊特·克罗伊特2003年10月26日

{0。-杰拉尔德·麦加维2004年6月12日

a(n+1)=和{k=0..n}(n-k)*2^k-保罗·巴里2004年7月29日

a(n)=和{k=0..n}二项式(n,k+2);a(n+2)=和{k=0..n}二项式(n+2,k+2)。-保罗·巴里2004年8月23日

a(n)=和{k=0..floor((n-1)/2)}二项式(n-k-1,k+1)*2^(n-k-2)*(-1/2)^k-保罗·巴里2004年10月25日

a(0)=0;a(n)=斯特林2(n,2)+a(n-1)。-托马斯·威德2007年2月18日

a(n)=A000325号(n) —1。-乔纳森·沃斯·波斯特2008年8月29日

a(0)=0,a(n)=和{k=0..n-1}2^k-1。-道格·贝尔2009年1月19日

a(n)=A000225(n) -不-泽伦瓦拉乔斯2009年5月29日

a(n)=n*(2F1([1,1-n],[2],-1)-1)。-奥利维尔·杰拉德2011年3月29日

第k列=1,共A173018型开始a'(n)=0,1,4,11。。。并具有超几何表示n*超几何([1,-n+1],[-n],2)。欧拉的论证可以看作是一个形式化的论点A173018型结束A008292号. -彼得·卢什尼2014年9月19日

E、 g.f.:exp(x)*(exp(x)-1-x);这是U(0),其中U(k)=1-x/(2^k-2^k/(x+1-x^2*2^(k+1)/(x*2^(k+1)-(k+1)/U(k+1));(连分式,第三类,4步)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月1日

a(n)=A079583号(n)-A000225(n+1)。-米克尔·塞尔达2016年12月25日

a(0)=0;a(1)=0;对于n>1:a(n)=和{i=1..2^(n-1)-1}A001511号(i) 一。-大卫·西格斯2019年2月26日

例子

G、 f.=x^2+4*x^3+11*x^4+26*x^5+57*x^6+120*x^7+247*x^8+502*x^9+。。。

枫木

[顺序(2^n-n-1,n=1..50)];

A000295型:=-z/(2*z-1)/(z-1)**2#西蒙·普劳夫在他1992年的论文中

#语法规范:

规范:=[S,{B=集合(Z,1<=卡片),C=序列(B,2<=卡片),S=生产(B,C)},未标记]:

struct:=n->combstruct[count](规格,大小=n+1);

seq(结构(n),n=0..33)#彼得·卢什尼2014年7月22日

数学

a[n}=n*(超几何pfq[{1,1-n},{2},-1]-1);表[a[n],{n,1,30}](*奥利维尔·杰拉德2011年3月29日*)

LinearRecurrence[{4,-5,2},{0,0,1},40](*文琴佐·利班迪2015年7月29日*)

表[2^n-n-1,{n,20}](*埃里克·W·维斯坦2017年11月16日*)

黄体脂酮素

(平价)a(n)=2^n-n-1\\查尔斯R格雷特豪斯四世2011年6月10日

(哈斯克尔)a000295 n=2^n-n-1--莱因哈德·祖姆凯勒2013年11月25日

(岩浆)[2^n-n-1:n in[0..40]]//文琴佐·利班迪2015年7月29日

交叉引用

囊性纤维变性。A008292号(Comtet(1974)使用的欧拉三角形的经典版本)。

囊性纤维变性。A173018型(欧拉三角的版本由格雷厄姆,克努斯和帕塔什尼克在具体数学中使用。(1990年)。

囊性纤维变性。A008949号,A000079号,A000225,A002663号,A002664号,A035039号-A035042号,A000108号,A014741号,A130128,A130330,邮编:A131768,A130321号,邮编:A131816,A000975型,A016031号.

部分和A000225.

三角形行和A014473号. 第二列三角形A112493号A112500号.

囊性纤维变性。A000325号. -乔纳森·沃斯·波斯特2008年8月29日

A000295型(n)-A002662号(牛)=A000217(n-1)对于n>0。-杰弗里·克里特2009年2月11日

行和A143291号. -海因茨2009年6月1日

序列A125128号A130301号基本上是一样的。-M、 哈斯勒2015年7月30日

第k列=1,共A124324号.

上下文顺序:A030196号 邮编:A248425 A130103号*A125128号 A034334号 A036891号

相邻序列:A000292号 A000293号 A000294号*A000296号 A000297号 A000298号

关键字

,容易的,美好的,改变

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

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