二项式恒等式：

A000984号中心二项式系数：

回顾一些OEIS二项式相关序列，我们注意到某些p和q的以下形式：

{\显示样式{\开始{对齐}（n） &=\left（-q^{2}\right）^{n}{\binom{\frac{p}{q}}{n}}=q^{2 n}{\ binom{n-1-{\frac{p}{q}{}}{-1-{\frac-{p}}{q{}}}={\frac.{q^{2n}}{n！}}}\left裂缝{q^{n}}{n！}}\prod_{k=0}^{n-1}{qk-p}=q^{2n}C_{n} ^{{-{\frac{p}{2q}}}{（1）}=\left[x^{n}\right]\left（1-q^{2} x\右）^{\frac{p}{q}}\end{aligned}}}

通过赋值p=1和q=-2，序列a（n）是中心二项式系数，并获得以下恒等式：

{\显示样式{\begin{aligned}{\binom{2n}{n}}=\左（-4\右）^{n}{\biom{-{\frac{1}{2}}{n{}}=4^{n{{\binom{n-{\frac{1}}{2{}}{-{\ frac{1'{2}{}}}}={\frac:{4^{n}}{n！}}}左（{\frac.{1}{2}}\右）{n}={frac{（-2）^{n}}{n！}}\生成{k=0}^{n-1}{-2k-1}=4^{n} C类_{n} ^{{{\frac{1}{4}}}}{（1）}=\left[x^{n}\right]{\frac{1}}{\sqrt{1-4x}}}\end{aligned}}}

{\显示样式{\binom{k}{i}}={\binom{k}}{i{}}^{2}+2\sum_{j=1}^{i}{（-1）^{j}{\binome{k}{i-j}}{\biom{k{i+j}}}}

相关的顺序	姓名
A108958号	具有相同数量1的不同长度n个二进制单词的无序对的数量。
A054563美元	a（n）=n（n ^2-1）（n+2）（n^2+4n+6）/72。

{\显示样式{\开始{对齐}{\二进制{n+k}{k}}&={\二进制}n+k{k}{2}+2\sum_{i=1}^{k}（-1）^{i}{{n+k}{k+i}}{二进制{n+k}{k-i}}\；\&\对于所有\；\；{\；k\in\mathbb{N}}\\&={\binom{N+k}{k}}^{2}-2{\binom{n+k}{k+1}}{\binom{n+k}{k-1}}\_{3} F类_{2} （1,1-k，1-n；2+k，2+n；-1）\；\&\对于所有\；\；{\；k\in\mathbb{Q}}\end{aligned}}}