A002450-OEIS公司

抵消

0,3

对于n>0，a（n）是5的次数（n-1）“数字”幂（参见A048888号用于数字算术的定义）。例如：a（3）=21，因为5的数字平方是5（*）5=101（*）101（以2为底）=101或10100=10101（以2为主）=21-约翰·莱曼2001年12月18日

a（n）是所有n>2的组合，具有因子x，（3*x+2*（-1）^n），其中x属于A001045号在二进制中，大于0的项是1、101、10101、1010101等-约翰·麦克纳马拉2002年1月16日

从左上角到右列的路径相邻为1的n X 2二进制数组的数目-R.H.哈丁2002年3月16日

Collatz-function迭代从a（n）开始，对于n>=1，将在2*n+1步后的1结束-拉博斯·埃利默，2002年9月30日[由更正沃尔夫迪特·朗，2021年8月16日]

的二次二项式变换A001045号. -保罗·巴里2003年3月28日

序列的所有成员也是广义八角数(A001082号). -马修·范德马斯特2003年4月10日

2^（n-1）的除数平方和：a（n）=A001157号(A000079号（n-1）），对于n>0-保罗·巴里2003年4月11日

的二项式变换A000244号（以零开头）-保罗·巴里2003年4月11日

循环图C_6中距离为2的两个顶点之间长度为2n的行走次数。例如，对于n=2，我们有5条从顶点A到顶点C的4长度行走：ABABC、ABCBC、ABCDC、AFABC和AFEDC-赫伯特·科西姆巴，2004年5月31日

在循环图C_12中距离为3的两个顶点之间长度为2n+1的行走次数-赫伯特·科西姆巴2004年7月5日

a（n+1）是生成从二维方格上给定点P开始的所有n步随机行走时所执行的步数。进行一步意味着在晶格上标记一个顶点（比较A080674号). - Pawel P.Mazur（Pawel.Mazure（AT）pwr.wroc.pl），2005年3月13日

a（n+1）是4^n的平方因子之和-保罗·巴里2005年10月13日

a（n+1）是规则250基本细胞自动机第n代中二进制位生成的十进制数-埃里克·韦斯特因2006年4月8日

a（k）=[M^k]_2,1，其中M是3X3矩阵，定义如下：M=[1,1,1；1,3,1；1,1,1]-西蒙·塞韦里尼2006年6月11日

a（n-1）/a（n）=如果单个图像存储为金字塔，每个后续的高分辨率层包含四倍于前一层的像素，则浪费的存储百分比。n是层数Victor Brodsky（victorbrodsky（AT）gmail.com），2006年6月15日

k在序列中当且仅当C（4k+1，k）(A052203号)很奇怪-保罗·巴里2007年3月26日

这个序列也给出了奇数循环C（2*n-1）的不同三色数-凯斯·布里格斯2007年6月19日

所有形式为m*4^m+（4^m-1）/3的数都具有这样的性质，即它们是两个平方的和，并且它们的指数是两个平方的和。这源于恒等式m*4^m+（4^m-1）/3=4（4（..4（4m+1）+1）+1…）+1. -阿图尔·贾辛斯基2007年11月12日

对于n>0，项是以4为基数的重复单位：1_4、11_4、111_4、111 1_4等-阿图尔·贾辛斯基2008年9月30日

设A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=5，（i>1），A[i，i-1]=-1，否则A[i、j]=0。然后，对于n>=1，a（n）=charpoly（a，1）-米兰扬吉奇，2010年1月27日

这是G.Detlefs考虑的序列家族[A，b:c，d:k]中的序列A（0，1；3，4；2）=A（0、1；4，0；1），在下面给出的W.Lang链接中被视为A（A，b；c，d；k）-沃尔夫迪特·朗2010年10月18日

6*a（n）+1是每秒大于或等于M3的梅森数，因此所有大于M2的梅森素数都必须是这个序列的6*a-罗德里克·麦克菲2010年11月1日

具有交替位和n.Cf.的最小数。A065359号.

对于n=1，2。。。，a（n）的最后一位是1，5，1，5-华盛顿·邦菲姆2011年1月21日

规则50基本细胞自动机生成这个序列。此序列也出现在中数组的第二列中A173588号. -保罗·穆尔贾迪2011年1月27日

从0开始，沿0、5……方向读取行，找到序列。。。和从1开始的直线，在方向1，21。。。，在边为雅各布斯塔尔数的方形螺旋中A001045号其顶点是数字A000975号这些平行线是螺旋线中的两条半对角线-奥马尔·波尔2011年9月10日

a（n），n>=1，也是3的倒数，用3^（-1），Modd（2^（2*n-1））表示。对于Modd n，请参阅A203571型例如，a（2）=5，3*5=15==1（Modd 8），因为楼层（15/8）=1是奇数，-15==1（mod 8）。对于n=1，请注意3*1=3==1（Modd 2），因为楼层（3/2）=1，而-3==1（mod 2）。取模2^（2*n）的3的逆函数与A007583号（n），n>=1-沃尔夫迪特·朗2012年3月12日

如果AVL树在深度n处有一个叶子，那么该树包含的节点总数不能超过（n+1）个-迈克·罗苏莱克2012年11月20日

此外，这是卢卡斯序列V（5，4）-布鲁诺·贝塞利，2013年1月10日

此外，对于n>0，a（n）是奇数，其Collatz轨迹不包含除n和1以外的奇数-贾扬达·巴苏2013年3月24日

和{n>=1}1/a（n）收敛到（3*（log（4/3）-QPolyGamma[0,1,1/4]））/log（4）=1.263293058100271=A321873型. -K.G.斯蒂尔2014年6月23日

考虑R^n中的n个球体：第i个球体（i=1，…，n）的半径为R（i）=2^（1-i），其中心坐标为（0，0，…，0，R（i。。。，0）其中r（i）位于位置i。这些球体正方向上的交点坐标为（2/a（n）、4/a（n。例如，在R^2中，圆心位于（1，0）和（0，1/2），半径为1和1/2的圆在（2/5，4/5）处相交-让·莫拉莱斯2015年5月19日

发件人彼得·巴拉2015年10月11日：（开始）

a（n）给出了m的值，使得二项式（4*m+1，m）是奇数。囊性纤维变性。A003714号,A048716号,A263132型.

2*a（n）=A020988号（n）给出了m的值，使得二项式（4*m+2，m）是奇数。

4*a（n）=A080674号（n）给出了m的值，使得二项式（4*m+4，m）是奇数。（结束）

Collatz猜想推论：除2的幂外，任何正整数的Collatz迭代都必须最终达到a（n），因此终止于1-格雷戈里·西蒙，2016年5月9日

基于5细胞von Neumann邻域，“规则598”定义的二维细胞自动机第2^n-1阶段的活动（ON，黑色）细胞数-罗伯特·普莱斯2016年5月16日

发件人卢卡·马里奥和恩里科·福门蒂2016年9月26日：（开始）

a（n）也是GF（2）上多项式（f，g）的互质对的数目，其中f和g都具有阶n+1和非零常数项。

a（n）也是具有邻域大小为n+1的线性和双交错局部规则的一维二元细胞自动机对的数目，产生2^m级正交拉丁方，其中m是n的倍数（End）

除了0、1和5之外，所有术语都是以4为基数的巴西repunits数字，因此属于A125134号对于n>=3，所有这些项都是复合的，因为a（n）={（2^n-1）*（2^n+1）}/3和（2^n-1）或（2^n+1）都是3的倍数-伯纳德·肖特2017年4月29日

给定3X3矩阵A=[2,1,1；1,2,1；1,1,2]和3X3单位矩阵I_3，A^n=A（n）（A-I_3）+I_3-尼古拉斯·帕特罗斯2017年7月5日

a（n）（n>=1）的二进制展开式由n 1与n-10交替组成。例如：a（4）=85=1010101_2-Emeric Deutsch公司2017年8月30日

a（n）（n>=1）是整数分区的高架桥编号[n，n-1，n-2，…，2，1]（有关高架桥编号的定义，请参阅A290253型). 例如：a（4）=85=1010101_2；因此，相应整数分区的Ferrers板的东南边界为ENENENEN，其中E=（1,0），N=（0,1）；这导致整数分区[4,3,2,1]-Emeric Deutsch公司2017年8月30日

二进制和格雷码表示都是回文的数字（即A006995号和A281379号). -阿米拉姆·埃尔达尔2021年5月17日

从n=1开始，序列满足{a（n）mod6}=repeat{1,5,3}-沃尔夫迪特·朗2022年1月14日

项>=5是指2模q的乘法阶为floor（log_2（q））+2（且比任何q的最小可能阶多1）的q-蒂姆·塞雷2024年3月9日

当n>=2时，2模a（n）的阶数为2*n-乔格·阿恩特2024年3月9日

参考文献

A.Fletcher、J.C.P.Miller、L.Rosenhead和L.J.Comrie，《数学表格索引》。卷。1和2，第2版，布莱克威尔，牛津和艾迪森·韦斯利，马萨诸塞州雷丁，1962年，第1卷，第112页。

J.Riordan，《组合恒等式》，威利出版社，1968年，第217页。

N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

链接

T.D.Noe，n=0..200时的n，a（n）表

彼得·巴拉，A002450、A020988和A080674的特征.

亨利·博托姆利，初始术语说明

Sung-Hyuk Cha，完全和大小平衡的k元树整数序列，《国际应用数学与信息学杂志》，2012年第6卷第2期，第67-75页发件人N.J.A.斯隆2012年12月24日

Robert Coquereaux和Jean-Bernard Zuber，按属计算分区。二、。结果概要，arXiv:2305.01100[数学.CO]，2023年。见第8页。

卡洛斯·达·丰塞卡（Carlos M.da Fonseca）和安东尼·香农（Anthony G.Shannon），涉及费马数的形式算子，注释编号Theor。光盘。数学。（2024）第30卷，第3期，491-498。

D.Dumont，Genocchi nombres的解释组合杜克大学数学系。J.，41（1974），305-318。（带注释的扫描副本）

David Eppstein，2048年的变革，arXiv:1804.07396[cs.DM]，2018年。

C.Ernst和D.W.Sumners，素数结数的增长，数学。程序。剑桥菲洛斯。Soc.102303-3151987年

埃内斯托·埃斯特拉达和何塞·德拉佩尼亚，图中行走的整数序列《数论和离散数学笔记》，第19卷，2013年，第3期，78-84。

里戈伯托·弗洛雷斯（Rigoberto Flórez）、罗宾逊·A·希吉塔（Robinson A.Higuita）和安塔拉·穆克吉（Antara Mukherjee），Hosoya多项式三角形中的交替和第14.9.5条《整数序列杂志》，第17卷（2014年）。

Enrico Formenti和Luca Mariot，线性正交CA的穷举生成《Automata 2023》，特温特大学（荷兰），见第22页，共38页。

马蒂亚·弗雷戈拉，基本元胞自动机规则1生成OEIS序列A277799、A058896、A141725、A002450

A.Frosini和S.Rinaldi，序列A079500及其组合解释，J.整数序列。，第9卷（2006年），第06.3.1条。

Andreas M.Hinz和Paul K.Stockmeyer，贵金属序列与Sierpinski型图，J.整数序列。，第25卷（2022），第22.4.8条。

INRIA算法项目，组合结构百科全书373

彼得·科索布茨基和娜塔莉娅·内斯特，关于分裂型函数变换自然数的数学模型，压缩机。设计。系统。西奥。实践（2024）第6卷，第2期。见第7页。

Petro Kosobutskyy、Anastasiia Yedyharova和Taras Slobodzyan，从牛顿二项式和帕斯卡三角形到科拉茨问题，公司。设计。系统。，西奥。实践（2023）第5卷，第1期，121-127。

沃尔夫迪特·朗，关于某些非均匀三项循环的注记。

J.V.Leyendekers和A.G.Shannon，模环与整数3，《数论与离散数学笔记》，17（2011），47-51。

卢卡·马里奥，元胞自动机密码学, 2017.

卢卡·马里奥，de Bruijn图中的正交标号《IWOCA 2020——开放问题会议》，代尔夫特理工大学（荷兰）。

卢卡·马里奥，拉丁方、元胞自动机和互质多项式之间的联系特温特大学（荷兰，2023年）。见第16/37页。

卢卡·马里奥特和恩里科·福门蒂，具有n次非零常数项的F_2上多项式的互素/非互素对的个数.

卢卡·马里奥（Luca Mariot）、恩里科·福门蒂（Enrico Formenti）和阿尔贝托·莱波拉蒂（Alberto Leporati），从线性元胞自动机构造正交拉丁方收录于：2016年AUTOMATA的探索性论文。

Luca Mariot、Maximilien Gadouleau、Enrico Formenti和Alberto Lepori，基于元胞自动机的互正交拉丁方，arXiv:1906.08249[cs.DM]，2019年。

卢卡·马里奥，用形式语言和自然数合成计算有限域上的互质多项式特温特大学（荷兰2023年）。见第11页。

米尔恰·梅尔卡，关于余弦幂和的一个注记《整数序列》，第15卷（2012年），第12.5.3条。

梅兹·伊斯坦，二阶递归序列的几种生成函数，JIS 12（2009）09.3.7。

西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。

西蒙·普劳夫，1031生成函数，论文附录，蒙特利尔，1992年。

卡利卡·普拉萨德（Kalika Prasad）、穆内什·库马里（Munesh Kumari）、拉比兰詹·莫汉塔（Rabiranjan Mohanta）和赫里西基什·马哈托（Hrishikesh Mahato），高阶梅森数序列及其二项式变换，arXiv:2307.08073[math.NT]，2023年。

A.G.香农，二元序列矩阵的一些递推关系，NNTDM 17（2011），4913.-发件人N.J.A.斯隆2012年6月13日

T.N.Thiele，插值技术《莱比锡特伯纳》，1909年，第35页。

埃里克·魏斯坦的数学世界，重新命名,规则250,素数结.

维基百科，基本细胞自动机

维基百科，Lucas序列：特定名称.

迈克尔·威廉姆斯，Collatz猜想：一个序同构递归机器，ResearchGate（2024）。见第8、13页。

常系数线性递归的索引项，签名（5，-4）。

配方奶粉

发件人沃尔夫迪特·朗2001年4月24日：（开始）

a（n+1）=和{m=0..n}A060921型（n，m）。

G.f.:x/（（1-x）*（1-4*x））。（结束）

a（n）=和{k=0..n-1}4^k；a（n）=A001045号（2*n）-保罗·巴里2003年3月17日

例如：（exp（4*x）-exp（x））/3-保罗·巴里2003年3月28日

a（n）=(A007583号（n） -1）/2-N.J.A.斯隆2003年5月16日

a（n）=A000975号（2*n）/2-N.J.A.斯隆2003年9月13日

a（n）=A084160号（n） /2-N.J.A.斯隆2003年9月13日

a（n+1）=4*a（n）+1，a（0）=0-菲利普·德尔汉姆2004年2月25日

a（n）=总和{i=0..n-1}C（2*n-1-i，i）*2^i.-Mario Catalani（Mario.Catalani（AT）unito.it），2004年7月23日

a（n+1）=和{k=0..n}二项式（n+1，k+1）*3^k-保罗·巴里2004年8月20日

a（n）=M^n*[1 0 0]中的中心项，其中M是3X3矩阵[1 1 1/1 3 1/1 1]。M^n*[10 0]=[A007583号（n-1）a（n）A007583号（n-1）]。例如，a（4）=85，因为M^4*[1 0 0]=[43 85 43]=[A007583号（3） a（4）A007583号(3)]. -加里·亚当森2004年12月18日

a（n）=Sum_{k=0..n，j=0..n}C（n，j）*C（j，k）*A001045号（j-k）-保罗·巴里2005年2月15日

a（n）=和{k=0..n}C（n，k）*A001045号（n-k）*2^k=和{k=0..n}C（n，k）*A001045号（k） *2^（n-k）-保罗·巴里2005年4月22日

a（n）=2015年11月18日（n，3）对于n>2-莱因哈德·祖姆凯勒2006年11月21日

a（n）=和{k=0..n}2^（n-k）*A128908号（n，k），n>=1-菲利普·德尔汉姆2008年10月19日

a（n）=和{k=0..n}A106566号（n，k）*A100335号（k） ●●●●-菲利普·德尔汉姆2008年10月30日

如果我们定义f（m，j，x）=Sum_{k=j.m}二项式（m，k）*stirling2（k，j）*x^（m-k），那么a（n-1）=f（2*n，4，-2），n>=2-米兰扬吉奇2009年4月26日

a（n）=A014551号（n）*A001045号（n） ●●●●-R.J.马塔尔2009年7月8日

a（n）=4*a（n-1）+a（n-2）-4*a（n-3）=5*a（n1）-4*a[n-2），a（0）=0，a（1）=1，a（2）=5-沃尔夫迪特·朗2010年10月18日

a（0）=0，a（n+1）=a（n）+2^（2*n）-华盛顿·邦菲姆2011年1月21日

A036555号（a（n））=2*n-莱因哈德·祖姆凯勒2011年1月28日

a（n）=和{k=1..层（（n+2）/3）}C（2*n+1，n+2-3*k）-米尔恰·梅卡2011年6月25日

a（n）=和{i=1..n}二项式（2*n+1，2*i）/3-韦斯利·伊万·赫特2015年3月14日

a（n+1）=2^（2*n）+a（n），a（0）=0-本·保罗·瑟斯顿2015年12月27日

a（k*n）/a（n）=1+4^n+…+4^（（k-1）*n）-格雷戈里·西蒙2016年6月9日

Dirichlet g.f.：（PolyLog（s，4）-zeta（s））/3-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月26日

A000120号（a（n））=n-安德烈·达尔威克2018年3月26日

a（m）除以a（m*n），特别是：a（2*n）==0（mod 5），a（3*n）==0（mod 3*7），a-M.F.哈斯勒2018年10月19日

a（n）=4^（n-1）+a（n-1）-鲍勃·塞尔科2020年1月1日

a（n）=A178415号（1，n）=A347834飞机（1，n-1），数组，对于n>=1-沃尔夫迪特·朗2021年11月29日

a（n）=A000225号（2*n）/3-约翰基斯2022年1月22日

a（n）=A080674号（n） +1个=A047849号（n） -1个=A163834号（n） -2个=A155701型（n） -3个=A163868号（n） -4个=A156605号（n） -7-雷·钱德勒2023年6月16日

例子

将Collatz迭代应用于9:9、28、14、7、22、11、34、17、52、26、13、40、20、10、5以及16、8、4、2、1。

将Collatz迭代应用于27:27、82、41、124、62、31、94、47、142、71、214、107、322、161、484、242、121、364、182、91、274、137、412、206、103、310、155、466、233、700、350、175、526、263、790、395、1186、593、1780、890、445、1336、668、334、167、502、251、754、377、1132、566、283、850、425、1276、638、319 958、479、1438、719、2158、1079、3238、，1619、4858、2429、7288、3644、1822、911、2734、1367、4102、2051、6154、3077、9232、4616、2308、1154、577、1732、866、433、1300、650、325、976、488、244、122、61、184、92、46、23、70、35、106、53、160、80、40、20、10、5以及因此产生的16、8、4、2、1。[由更正肖恩·A·欧文应Stephen Cornelius的建议，2024年3月4日]

a（5）=（4^5-1）/3=341=11111_4={（2^5-1”）*（2^5+1）}/3=31*33/3=31*11-伯纳德·肖特2017年4月29日

枫木

[序列（（4^n-1）/3，n=0..40）]；

A002450型：=1/（4*z-1）/（z-1）#西蒙·普劳夫在他1992年的论文中，去掉了最初的零

数学

表[（4^n-1）/3，{n，0，127}](*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基，2008年9月29日*）

线性递归[{5，-4}，{0，1}，30](*哈维·P·戴尔2013年6月23日*）

黄体脂酮素

（岩浆）[（4^n-1）/3:n in[0..25]]//克劳斯·布罗克豪斯，2008年10月28日

（岩浆）[n le 2选择n-1其他5*自我（n-1）-4*自我（n-2）：n in[1..70]]//文森佐·利班迪2015年6月13日

（PARI）a（n）=（4^n-1）/3；

（PARI）我的（z='z+O（'z^40））；Vec（z/（1-z）*（1-4*z））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月11日

（哈斯克尔）

a002450=（`div`3）。a024036号

a002450_list=迭代（（+1）。(* 4)) 0

--莱因哈德·祖姆凯勒2012年10月3日

（Maxima）标记列表（（4^n-1）/3，n，0，30）/*马丁·埃特尔2012年11月5日*/

（GAP）列表（[0..25]，n->（4^n-1）/3）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年2月18日

（Scala）（（List.fill（20）（4:BigInt））.scanLeft（1:Big Int）（_*_））.scan Left（0:BigInt）（_+_）//阿隆索·德尔·阿特2019年9月17日

（Python）

定义A002450型（n）：返回（（1<<（n<<1））-1）//3#柴华武2023年1月29日

交叉参考

4的部分幂和，A000302号.

当转换为二进制时，这将给出A094028号.

的后续A003714号.

原始因素：A129735号.

上下文中的序列：A255451型 A028948号 A084241号*A187063号 A026855号 A272832型

相邻序列：A002447号 A002448号 A002449号*A002451号 A002452号 A002453号

关键字

非n,容易的,美好的

作者

N.J.A.斯隆

状态

经核准的