搜索： a016742-编号：a016743
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1, 1, 2, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 4, 3, 4, 2, 2, 5, 3, 5, 3, 5, 4, 5, 7, 3, 4, 4, 6, 6, 4, 6, 3, 5, 7, 6, 4, 1, 7, 7, 6, 5, 6, 9, 5, 7, 7, 8, 6, 8, 4, 6, 6, 7, 9, 4, 10, 3, 6, 9, 7, 8, 5, 9, 7, 6, 7, 5, 11, 9, 7, 3, 7, 12, 13, 7, 7, 6, 9, 11, 6, 11, 8, 7, 10, 10, 8, 8, 8, 11, 5, 8, 5, 8, 11, 10, 10, 6, 14, 10, 6, 7, 7
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评论
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假设（1.1），然后通过定理1.2证明，所有正整数都可以这样表示[Sun，pp.4-5]。
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链接
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孙志伟，关于多边形数的泛和，arXiv:0905.0635v18[math.NT]2011年10月26日
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数学
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平面图形[n_，r_]：=pf[n，r]=（n-2）二项式[r，2]+r；s=排序@表[planeFigurative[3，i]+平面Figuratio[3，j]+平面图[3，k]，{i，0，14}，{j，0，10，2}，｛k，-8，8}]；表[Count[s，n]，{n，0，50}]
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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0, 1, 2, 1, 4, 5, 10, 9, 16, 17, 26, 25, 36, 37, 50, 49, 64, 65, 82, 81, 100, 101, 122, 121, 144, 145, 170, 169, 196, 197, 226, 225, 256, 257, 290, 289, 324, 325, 362, 361, 400, 401, 442, 441, 484, 485, 530, 529, 576, 577, 626, 625, 676, 677, 730, 729, 784
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链接
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配方奶粉
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G.f.：x*（1+x-2*x^2+2*x^3+x^4+x^5）/（（1-x）^3*（1+x）^2*（1+x^2））。
当n>6时，a（n）=a（n-1）+a（n-2）-a（n-3）+a。
（结束）
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数学
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压扁[表[{4n^2，4n^2+1，（2n+1）^2+1、（2n+1）^2}，{n，0，20}]]（*或*）线性递归[{1，1，-1，-1，1}，0,1，4,5,10}，80](*哈维·P·戴尔2016年3月18日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）连接（0，Vec（x*（1+x-2*x^2+2*x^3+x^4+x^5）/（（1-x）^3*（1+x）^2*（1+/x^2））+O（x^60））\\科林·巴克2018年4月1日
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A002378美元
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| 长椭圆形（或短圆形、短圆形或短圆形）数字：a（n）=n*（n+1）。
（原名M1581 N0616）
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+10
771
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0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462, 506, 552, 600, 650, 702, 756, 812, 870, 930, 992, 1056, 1122, 1190, 1260, 1332, 1406, 1482, 1560, 1640, 1722, 1806, 1892, 1980, 2070, 2162, 2256, 2352, 2450, 2550
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0,2
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评论
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根据韦伯斯特第二版，正确的单词是“promic”-R.K.盖伊
a（n）是根晶格a_n中的最小向量数（见Conway和Sloane，第109页）。
设M_n表示n×n矩阵M_n（i，j）=（i+j）；那么M_n的特征多项式是x^（n-2）*（x^2-a（n）*x-A002415号（n） ）-贝诺伊特·克洛伊特2002年11月9日
对于j<k<=n，对于n>1，所有对（j，k）的最大LCM-罗伯特·威尔逊v2004年6月19日
第一个差异是a（n+1）-a（n）=2*n+2=2，4，6。。。（而平方的第一个差是（n+1）^2-n^2=2*n+1=1，3，5，…）-亚历山大·瓦恩伯格2005年12月29日
一种快速（心理）乘法/因子分解技术——Lekraj Beedassy评论的推广：对于所有基数b>=2和c+d=b^k的正整数n，c，d，k，我们有（n*b^k+c）*（n*b^k+d）=A（n）*b^（2*k）+c*d。因此，乘积的最后2*k个基数b数字正是c*d的数字，包括前导0（s）根据需要--前面的以b为基数的数字与a（n）的数字相同。示例：十进制中，113*117=13221（n=11，b=10=3+7，k=1，3*7=21，a（11）=132）；在八进制中，61×67=5207（52是八进制中的a（6））。特别是，对于偶数b=2*m（m>0）和c=d=m，这样的乘积就是这种类型的平方。小数因式分解：5609立即被视为71*79。同样，120099=301*399（此处k=2）和99990000001996=9999002*9999998（k=3）-里克·L·谢泼德2021年7月24日
迭代平方根序列sqrt（N+sqrt（N+…））对于N=1，2。。。限制（1+sqrt（1+4*N））/2。对于N=a（N），该极限为N+1，N=1，2。。。。对于所有其他数字N，N>=1，此极限不是自然数。示例：n=1，a（1）=2:sqrt（2+sqrt…））=1+1=2；n=2，a（2）=6:sqrt（6+sqrt，6+…））=1+2=3-沃尔夫迪特·朗2006年5月5日
可被上限（sqrt（m））整除的非方形整数m，m=0除外-马克斯·阿列克塞耶夫2006年11月27日
（n+1）X（n+1”）矩阵的非对角元素数-阿图尔·贾辛斯基2007年1月11日
a（n）等于函数f:{1，2}->{1，2，…，n+1}的个数，因此对于{1，2]中的固定x和{1，2中，…，n+1}中的一个固定y，我们有f（x）<>y.-Aleksandar M.Janjic和米兰Janjic2007年3月13日
数字m>=0，使fract（sqrt（m+1））>1/2，fract（mqrt（m））<1/2，其中fract（x）是分数部分（fract（x）=x-floor（x），x>=0）-Hieronymus Fischer公司，2007年8月6日
方程4*X^3+X^2=Y^2的解的X值。要查找Y值：b（n）=n（n+1）（2n+1）-穆罕默德·布哈米达2007年11月6日
如果Y是n集X的2个子集，那么，对于n＞＝2，a（n-2）是X的2个子集和3个子集的数量，它们与Y正好有一个共同元素-米兰Janjic2007年12月28日
a（n）与Redheffer矩阵中均匀宽度抛物线的顶点重合，指向零。整数p是素数当且仅当对于所有整数k，抛物线y=kx-x^2在y=p时没有1<x<k的整数解；a（n）对应奇数k-莱库·库隆2008年11月30日
超几何函数3F2某些值的第三个差导致长圆数的平方，即3F2（[1，n+1，n+1），[n+2，n+2]，z=1）-3*3F2 1/（（n+2）*（n+3））^2表示n=-1， 0, 1, 2, ... . 另请参见A162990型. -约翰内斯·梅耶尔2009年7月21日
对于n>1，a（n）是函数f:{1，2}->{1，…，n+2}的数目，其中f（1）>1和f（2）>2。注意，f（1）有n+1个可能值，f（2）有n个可能值。例如，a（3）=12，因为有12个函数f从{1,2}到{1,2,3,4,5}，其中f（1）>1和f（2）>2-丹尼斯·沃尔什2011年12月24日
a（n）给出了包含两个1的对称（0，1）-矩阵（n+1）X（n+1）的个数（参见[Cameron]）-L.埃德森·杰弗里，2012年2月18日
a（n）是[n+2]x[n+2]中具有x-y>1的有序对（x，y）的数量-丹尼斯·沃尔什2012年11月27日
a（n）是从{1，2}到{1，2，…，n+1}的内射函数数-丹尼斯·沃尔什2012年11月27日
a（n）是2n+2的分区部分的正差之和，正好分成两部分（参见示例）-韦斯利·伊万·赫特2013年6月2日
a（n）/a（n-1）对e^（2/n）是渐近的-理查德·福伯格2013年6月22日
D_{n+1}型根系中的正根数（对于n>2）-汤姆·埃德加2013年11月5日
A_n型根系统中的根数（对于n>0）-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于m>=1，a（m）是唯一的正整数值t，对于该正整数值，b（0）=0且b（1）=1的递归b（n）=b（n-1）+t*b（n-2）的Binet-de-Moivre公式具有平方根。证明（根据建议沃尔夫迪特·朗（2014年3月26日）：如果4t+1=（2m+1）^2，即t=a（m），m>=1，则出现在特征方程的零点r1和r2中的sqrt（1+4t）是正整数t的（正）整数。因此，特征根是整数：r1=m+1和r2=-m。
设m>1为整数。如果b（n）=b（n-1）+a（m）*b（n-2），n>=2，b（0）=0，b（1）=1，那么当n接近无穷大时，lim b（n+1）/b（n）=m+1。（结束）
囊性纤维变性。A130534型对于与彩色森林的关系，旗杆上旗帜的布置，以及完整图（这里简称为K_2）的顶点（彩色多项式）的着色-汤姆·科普兰2014年4月5日
整数n的集合，其中n+sqrt（n+sqrt（n+sqrt（n+sqrt（n+…）。。。是一个整数-莱斯利·科勒2014年4月11日
a（n-1）是最大的数字k，使得（n*k）/（n+k）是整数-德里克·奥尔2014年5月22日
将domino和singleton放置在长度为n-2的条带上的方法的数量-拉尔夫·斯蒂芬2014年6月9日
对于n>1，n值a（1）到a（n）的调和平均值为n+1。累加调和平均数为整数的递增正整数的最小无限序列-伊恩·达夫2015年2月1日
a（n）是在[n+2]X[n+2]棋盘上，一种颜色的皇后可以共存而不攻击对手颜色的皇后的最大数量。单独的皇后可以放在木板周边的任何位置-鲍勃·塞尔科2015年2月7日
当a（0）=1时，a（n-1）是序列中最小的正数，使得和{i=1..n}1/a（i-1）的分母等于n-德里克·奥尔2015年6月17日
这个序列的正成员是所谓的1-幸福夫妇产品的适当子序列A007969号参见W.Lang链接，等式（4），Y_0=1，末尾有一个表格-沃尔夫迪特·朗，2015年9月19日
对于n>0，a（n）是区间[0，1]中x的上边界为y=x^（n-1），下边界为y=x^n的面积的倒数。对所有这些面积求和直观地演示了下面的公式，即求和{n>=1}1/a（n）=1-里克·L·谢泼德2015年10月26日
看起来，除了a（0）=0之外，这是一组正整数n，因此x*floor（x）=n没有解。（例如，要得到3，取x=-3/2。）-梅尔文·佩拉尔塔2016年4月14日
如果两个独立的实随机变量x和y按照相同的指数分布进行分布：pdf（x）=lambda*exp（-lambda*x），lambda>0，则n-1<=x/y<n的概率由1/a（n）给出-安德烈斯·西卡廷，2016年12月3日
a（n）等于n对不同的连续奇数之间所有可能的差异之和（参见示例）-米奎尔·塞尔达2016年12月4日
a（n+1）是平面上多项式系数高达n阶的向量场空间的维数-马丁·利希特2016年12月4日
此外，（n+3）-三角形蜂窝状锐角骑士图中的3个圈数-埃里克·韦斯特因，2017年7月27日
由偶数组成的弗洛伊德三角形的左边缘：0；2, 4; 6, 8, 10; 12, 14, 16, 18; 20, 22, 24, 26, 28; ... 给出0、2、6、12、20。。。右边缘生成A028552号. -Waldemar Puszkarz公司2018年2月2日
a（n+1）是偏序集上的行运动顺序，通过将唯一的最小（或最大）元素与至少两个n个元素链的不相交并邻接而获得-尼克·迈尔斯，2018年6月1日
对于n>0，1/a（n）=n/（n+1）-（n-1）/n。
例如，1/6=2/3-1/2；1/12 = 3/4 - 2/3.
由此推论：
服用1/2粒。
第二天，服用1/6粒。1/2+1/6=2/3，所以你的日平均值是1/3。
第二天，服用1/12粒。2/3+1/12=3/4，所以你的日平均值是1/4。
依此类推。（结束）
对于一个长方形数m>=6，存在一个欧几里德除法m=d*q+r，其中q<r<d按此顺序以公共整数比b进行几何级数。对于b>=2和q>=1，欧几里得除法为m=qb*（qb+1）=qb^2*q+qb，其中（q，qb，qb^2）是几何级数。
具有不同比率和商的一些示例：
6 | 4 30 | 25 42 | 18
----- ----- -----
2 | 1 , 5 | 1 , 6 | 2 ,
以及：
42 | 12 420 | 100
----- -----
6 | 3 , 20 | 4 .
一些长方形数也满足欧几里德除法m=d*q+r，其中q<r<d按此顺序进行几何级数，但具有共同的非整数比b>1（参见A335064型). （结束）
a（n-2）是所有n个顶点树的最大不规则度。极值图是恒星。（图形的不规则性是图形所有边上度数差的总和。）-艾伦·比克2023年5月29日
a（n-1）是具有n个顶点的所有树的最大萨格勒布指数。极值图是恒星。（图的萨格勒布指数是图的所有顶点上度数的平方和。）-艾伦·比克，2024年4月11日
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参考文献
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W·W·伯曼和D·E·史密斯，《数学简史》，1910年，公开法庭，第67页。
J.H.Conway和R.K.Guy，《数字之书》，1996年，第34页。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag。
L.E.Dickson，《数字理论史》，第1卷：可除性和素数。纽约：切尔西，第357页，1952年。
L.E.Dickson，《数字理论史》，第2卷：丢番图分析。纽约：切尔西，第6、232-233、350和407页，1952年。
H.Eves，《数学史导论》，修订版，霍尔特、莱茵哈特和温斯顿，1964年，第72页。
杰拉萨的尼科马科斯，《算术导论》，马丁·路德·多吉译，安娜堡，密歇根大学出版社，1938年，第254页。
Granino A.Korn和Theresa M.Korn，《科学家和工程师数学手册》，McGraw-Hill图书公司，纽约（1968年），第980-981页。
C.S.Ogilvy和J.T.Anderson，《数字理论的旅行》，牛津大学出版社，1966年，第61-62页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
F.J.Swetz，《从五指到无限》，公开法庭，1994年，第219页。
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链接
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L.B.W.Jolley，级数求和1961年，多佛
Refik Keskin和Olcay Karaatli，平衡数和方三角数的一些新性质《整数序列杂志》，第15卷（2012年），第12.1.4条。
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Lee Melvin Peralta，方程[x]x=n的解，《数学教师》，第111卷，第2期（2017年10月），第150-154页。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
路易斯·曼努埃尔·里维拉，整数序列与k-交换置换，arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO]，2014-2015。
J.Striker和N.Williams，晋升和赛艇运动，arXiv预印本arXiv:1108.1172[math.CO]，2011-2012。
D.Suprijanto和Rusliansyah，关于四除整数幂和的观察《应用数学科学》，第8卷，2014年，第45期，2219-2226页。
R.Tijdeman，丢番图逼近的一些应用《数论调查》（Urbana，2000年5月21日）第261-284页，M.A.Bennett等人编辑，Peters，2003年。
Wolfram研究公司，超几何函数3F2，Wolfram Functions网站。
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配方奶粉
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总尺寸：2*x/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中。
a（n）=a（n-1）+2*n，a（0）=0。
和{n>=1}a（n）=n*（n+1）*（n+2）/3（比较。A007290号，部分总和）。
和{n>=1}1/a（n）=1。（参考蒂德曼）
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=log（4）-1=A016627美元-1[乔利方程（235）]。
1=1/2+和{n>=1}1/[2*a（n）]=1/2+1/4+1/12+1/24+1/40+1/60+。。。部分和：1/2、3/4、5/6、7/8、9/10、11/12、13/14-加里·亚当森2003年6月16日
a（n）*a（n+1）=a（n*（n+2））；例如，a（3）*a（4）=12*20=240=a（3*5）-查理·马里恩，2003年12月29日
Sum_{k=1..n}1/a（k）=n/（n+1）-罗伯特·威尔逊v2005年2月4日
对数2=和{n>=0}1/a（2n+1）=1/2+1/12+1/30+1/56+1/90+…=(1 - 1/2) + (1/3 - 1/4) + (1/5 - 1/6) + (1/7 - 1/8) + ... = 和{n>=0}（-1）^n/（n+1）=A002162号. -加里·亚当森2003年6月22日
（2，6，12，20，30，…）=（2，4，2）的二项式变换-加里·亚当森2007年11月28日
a（n-1）=楼层（n^5/（n^3+n^2+1））-加里·德特利夫斯2010年2月11日
对于n>0，a（n）=1/（积分_｛x=0.Pi/2｝2*（sin（x））^（2*n-1）*（cos（x））^3）-弗朗切斯科·达迪2011年8月2日
求和{n>=1}1/（a（n））^（2s）=求和{t=1..2*s}二项式（4*s-t-1，2*s-1）*（（1+（-1）^t）*zeta（t）-1）。参见Arxiv:1301.6293-R.J.马塔尔2013年2月3日
当n>0时，a（n）^2+a（n+1）^2=2*a（n+1^2）-伊凡·伊纳基耶夫2013年4月8日
a（n）=楼层（n^2*e^（1/n））和a（n-1）=楼层-理查德·福伯格2013年6月22日
[0,2,2,0,0,0，…]的二项式变换-阿洛伊斯·海因茨2015年3月10日
对于n>0，a（n）=1/（积分_{x=0..1}（x^（n-1）-x^n）dx）-里克·L·谢泼德2015年10月26日
对于n>0，a（n）=Lim_{m->infinity}（1/m）*1/（Sum_{i，m*n..m*（n+1）}1/i^2），误差约为1/m-理查德·福伯格2016年7月27日
Dirichlet g.f.：zeta（s-2）+zeta（s-1）。
和{n>=0}a（n）/n！=3*经验（1）。（结束）
a（n）*a（n+2k-1）+（n+k）^2=（（2n+1）*k+n^2）^2。
a（n）*a（n+2k）+k^2=（（2n+1）*k+a（n））^2。（结束）
产品{n>=1}（1+1/a（n））=cosh（sqrt（3）*Pi/2）/Pi-阿米拉姆·埃尔达尔2021年1月20日
2003年12月29日公式A（n）*A（n+1）=A（n*（n+2））的推广如下。a（n）*a（n+k）=a（n*（n+k+1））+（k-1）*n*（n+k+1）-查理·马里恩2023年1月2日
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例子
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a（3）=12，因为2（3）+2=8有4个分区，正好有两部分：（7,1），（6,2），（5,3），（4,4）。将每个分区中各部分的正差异相加，得到：6+4+2+0=12-韦斯利·伊万·赫特2013年6月2日
G.f.=2*x+6*x^2+12*x^3+20*x^4+30*x^5+42*x^6+56*x^7+。。。
a（1）=2，因为45-43=2
a（2）=6，因为47-45=2和47-43=4，那么2+4=6
a（3）=12，因为49-47=2，49-45=4，49-43=6，然后2+4+6=12-米奎尔·塞尔达2016年12月4日
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MAPLE公司
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n*（n+1）；
结束进程：
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数学
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表[n（n+1），{n，0，50}](*罗伯特·威尔逊v2004年6月19日*）
oblongQ[n_]：=整数Q@Sqrt[4n+1]；选择[范围[0，2600]，长方形Q](*罗伯特·威尔逊v2011年9月29日*）
2累计[范围[0，50]](*哈维·P·戴尔2011年11月11日*）
线性递归[{3，-3，1}，{2，6，12}，｛0，20}](*埃里克·韦斯特因2017年7月27日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=n*（n+1）}；
（PARI）concat（0，Vec（2*x/（1-x）^3+O（x^100））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月26日
（PARI）是（n）=我的（m=平方（n））；m*（m+1）==n\\查尔斯·格里特豪斯四世2018年11月1日
（哈斯克尔）
a002378 n=n*（n+1）
a002378_list=zipWith（*）[0..][1..]
（岩浆）[0..100]]中的[n*（n+1）:n//韦斯利·伊万·赫特2015年10月26日
（标量）（2到100乘2）.scanLeft（0）（_+_）//阿隆索·德尔·阿特2019年9月12日
（Python）
定义a（n）：返回n*（n+1）
打印（[a（n）代表范围（51）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2022年1月13日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A035106型,A087811型,A119462年,A127235号,A049598号,A124080型,A033996号,A028896号,A046092号,A000217号,A005563号,A046092号,A001082号,A059300型,A059297号,A059298美元,A166373号,A002943号（平分），A002939号（平分），A078358号（补语）。
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关键词
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非n,容易的,核心,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A002061号
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| 中心多边形数：a（n）=n^2-n+1。
（原名M2638 N1049）
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+10
347
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1, 1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73, 91, 111, 133, 157, 183, 211, 241, 273, 307, 343, 381, 421, 463, 507, 553, 601, 651, 703, 757, 813, 871, 931, 993, 1057, 1123, 1191, 1261, 1333, 1407, 1483, 1561, 1641, 1723, 1807, 1893, 1981, 2071, 2163, 2257, 2353, 2451, 2551, 2653
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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这些是霍格本的中心多边形数字，由符号表示
...2....
……第…页。。。
…2.无。。
（P带有三个附件）。
同时也是n×n可逆{0,1}矩阵可以具有的最大1个数。（见哈尔莫斯的证明）-费利克斯·戈德伯格（felixg（AT）tx.technion.ac.il），2001年7月7日
当n>=1时，由n个相交圆形成的内部区域的最大数量-阿玛纳斯·穆尔西，2001年7月7日
这些项是n个连续奇数中最小的一个，其和为n^3:1，3+5=8=2^3，7+9+11=27=3^3，依此类推-阿玛纳斯·穆尔西2001年5月19日
（n*a（n+1）+1）/（n^2+1）是形式（n*k+1）/-贝诺伊特·克洛伊特2002年5月2日
对于n>=3，a（n）也是n阶车轮图W（n）中的循环数-Sharon Sela（sharonsela（AT）hotmail.com），2002年5月17日
设b（k）定义如下：b（1）=1，b（k+1）>b（k；则对于n>0，b（n）=a（n）-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月23日
删除前三个术语。那么n*a（n）+1=（n+1）^3。例如，7*1+1=8=2^3，13*2+1=27=3^3，21*3+1=64=4^3，等等-阿玛纳斯·穆尔西2002年10月20日
第一项为1，公差为n的算术级数的第n项：a（1）=1->1，2，3，4，5。。。；a（2）=3->1，3。。。；a（3）=7->1、4、7。。。；a（4）=13->1、5、9、13-阿玛纳斯·穆尔西2004年3月25日
完全图K_{n+1}（n>=1）的任意两个不同顶点之间长度为3的游动次数。示例：a（2）=3，因为在完整的图ABC中，在a和B之间有以下长度为3的游程：ABAB、ACAB和ABCB-Emeric Deutsch公司2004年4月1日
[1，2，0，0，0，…]的Narayana变换=[1，3，7，13，21，…]。设M=的无限下三角矩阵A001263号设V=向量[1，2，0，0，…]。然后A002061号启动（1、3、7…）=M*V-加里·亚当森，2006年4月25日
序列3、7、13、21、31、43、57、73、91、111。。。是重复应用映射n->n+2*n的平方余时3的轨迹，cf。A094765号.
也是n^3 mod（n^2+1）-扎克·塞多夫2006年8月31日
忽略第一个，这些是具有整数尺寸的矩形平行六面体，具有整数内部对角线。使用毕达哥拉斯：sqrt（a^2+b^2+c^2）=d，一个整数；那么这个序列：sqrt（n^2+（n+1）^2+（n（n+1））^2）=2T_n+1是第一个也是最简单的例子。问题：是否存在不满足以下一般公式的整数对角线？sqrt（（k*n）^2+（k*（n+（2*m+1）））^2+-马可·马托西奇2006年11月10日
a（n）为素数的数字n列在A055494号质数a（n）列在A002383号。所有术语都是奇数。a（n）的基本因子列于A007645号.3除a（3*k-1），7除a（7*k-4）和a），13^2除a（13^2*k+23）和a（13|2*k-22），13|3除a（13 ^3*k+1037）和a（13^3*k-1036）-亚历山大·阿达姆楚克2007年1月25日
2n X 2n螺旋的主对角线上的数字（已排序）。例如，当n=2时：
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7---8---9--10
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6 1---2 11
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5---4---3 12
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16--15--14--13
.
a（n）=AlexanderPolynomial[n]定义为Det[Transpose[S]-n S]，其中S是Seifert矩阵{{-1，1}，{0，-1}}-阿图尔·贾辛斯基2008年3月31日
起始（1，3，7，13，21，…）=[1，2，2，0，0，0]的二项式变换；例如：a（4）=13=（1，3，3，1）点（1，2，2，0）=（1+6+6+0）-加里·亚当森2008年5月10日
a（n）也是扇形图F（n）的维纳指数。扇形图F（n）定义为通过将n节点路径图的每个节点与一个附加节点连接而获得的图。连通图的维纳指数是图中所有无序顶点对之间距离的总和。图F（n）的维纳多项式是（1/2）t[（n-1）（n-2）t+2（2n-1）]。示例：a（2）=3，因为相应的扇形图是3个节点（三角形）上的循环，距离为1、1和1。
（结束）
对于序列的所有元素k=n^2-n+1，sqrt（4*（k-1）+1）是一个整数，因为4*（k-1）+1=（2*n-1）^2是一个完美的正方形。构建此序列的交点A000225号，k还可以是k=2^x-1的形式，这只发生在k=1、3、7、31和8191的情况下。[证明：仍然4*（k-1）+1=2^（x+2）-7必须是一个完美的正方形，它具有由A060728号：x=1、2、3、5或13。]换句话说，序列A038198号定义此序列中形式2^x-1的所有元素。例如k=31=6*6-6+1；平方（（31-1）*4+1）=平方（121）=11=A038198号(4). -阿尔茨海耶夫·阿斯卡尔M型2011年6月1日
如果你画一个三角形，它的一边是单位长度，一边是长度n，中间有Pi/3弧度的角，那么三角形第三条边的长度就是a（n）的平方根-Elliott线2013年1月24日
设p（x）通过n个点（n，n）和（1,1），（2,1），…的n-1次插值多项式。。。，（n-1，1）。那么p（n+1）=a（n）-乔瓦尼·雷斯塔2014年2月9日
对于n>1:a（n）是[n+1]X[n+1]棋盘上可以共存而不相互攻击的最大皇后总数。具体来说，这将是一个单独的单色女王，放置在棋盘周边的任何位置，面对对手的a（n）-1大小的“军队”==A002378美元（n-1）-鲍勃·塞尔科2015年2月7日
对于n>=1，a（n+1）是n阶有限射影平面的点数和线数（参见Hughes和Piper，1973年，定理3.5，第79-80页）。对于n=3，a（4）=13，请参阅维基百科链接第2.3节中的“有限示例”，了解点线矩阵-沃尔夫迪特·朗2015年11月20日
泛化费曼三角问题解的分母。如果三角形的每个顶点都沿着相反的边（顺时针测量）连接到点（1/p），那么由这些线形成的内三角形的面积等于（p-2）^2/（p^2-p+1）乘以原始三角形的面积，p>2。例如，当p=3时，面积比为1/7。面积比的分子由下式给出A000290型偏移量为2。【库克和伍德，2004年。】-乔·马拉斯科2017年2月20日
n^2边长为1 X 1 X 1的等边三角形瓷砖可以放在一起形成n X n X n三角形。对于n>=2，a（n-1）是包含的不同2 X 2 X 2三角形的数量-海因里希·路德维希2017年3月13日
对于n>=0，连分式[n，n+1，n+2]=（n^3+3n^2+4n+2）/（n^2+3n+3）=A034262号（n+1）/a（n+2）=n+（n+2）/a（n+2）；例如，[2,3,4]=A034262号（3） /a（4）=30/13=2+4/13-里克·L·谢泼德2017年4月6日
从b（1）=1开始，不允许数字0，设b（n）=序列中尚未出现的最小非负整数，使得b（n-1）的最后一个数字加上b（n。。。，9.这定义了9个有限序列，每个序列的长度等于a（k），k=1。。。，9.（参见A289283型-A289287号对于k=5..9）对于k=10，序列是无限的(A289288型). 例如，对于k=4，b（n）=1,3,11,31,32,2,21,33,12,22,23,13,14。这些术语可以按以下大小k*（k-1）+1的数组排序：
1 2 3
21 22 23
31 32 33
11 12 13 14
.
序列以术语1k结束，该术语位于矩形数组外，并给出术语+1（参见链接）-恩里克·纳瓦雷特2017年7月2日
当您将自然数写入奇数大小为2*n+1的组（以大小为1的组{2}开始）时，中心多边形数是分隔符（在下面的括号中）：（1）2（3）4,5,6（7）8,9,10,11,12（13）14,15,16,17,18,19,20（21）22,23,24,25,26,27,28,29,30（31）32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42（43）-恩里克·纳瓦雷特2017年7月11日
由于（n+1）^2-（n+1）+1=n^2+n+1，那么从7开始，这些数字也是所有基数中表示为111的数字：111（2）=7，111（3）=13-罗恩·诺特2017年11月14日
二进制2X（n-1）矩阵的数量，使得每行和每列最多有一个1-德米特里·卡梅内茨基2018年1月20日
观察到bishop访问的方块在螺旋编号板上移动，并从第二任期开始，在每一步移动到可用的最低未访问方块（参见。A316667型). 应该注意的是，主教只会沿着螺旋线的第一条对角线走到正方形-本杰明·奈特2019年1月30日
C（7,3,2}，{1,2,4}
C（13,4,2}，{0,1,3,9}
C（21,5,2}，{3,6,7,12,14}
C（31,6,2}，{1,5,11,24,25,27}
C（43,7,2}，存在未解决
C（57,8,2}，{0,1,6,15,22,26,45,55}
接下来的未解决案例是C（111,11,2）和C（157,13,2）。（结束）
“在我们仔细研究的范围内，仅当n的形式为n=k（k+1）+1，k=3，4，5，6，7，即n=13，21，31，43和57时，最优填料基本上是不规则的。”（引自Lubachevsky，Graham link，Introduction）-雷纳尔·罗森塔尔2020年5月27日
对于n>=1，a（n）是方程x^2-[x^2]=（x-[x]）^2的区间1<=x<=n中的解数x，其中[x]=楼层（x）。对于n=3，区间[1，3]中的a（3）=7解是1，3/2，2，9/4，5/2，11/4和3。
这个序列是1984年第20届英国数学奥林匹克运动会上提出的第四个问题的答案（见链接B.M.O 1984）。和Gardiner参考）。（结束）
以英国动物学家、统计学家和作家兰斯洛特·托马斯·霍格本（1895-1975）的名字命名为“霍格本数字”-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月24日
具有n+1个顶点（n>0）的2-退化图的最小维纳指数。通过在两个现有顶点附近迭代添加一个新的2叶（2次顶点），可以从一个2团构造一个最大的2退化图。极值图是直径最大为2的最大2-退化图-艾伦·比克2022年10月14日
a（n）是避免模式123、213和312的大小为n的停车功能的数量-劳拉·普德威尔2023年4月10日
以k=2开始的a（k）的重复迭代产生Sylvester序列，即。，A000058号（n） =a^n（2），其中a^n是a（k）的第n次迭代-柯蒂斯·贝克特尔2024年4月4日
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参考文献
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《阿基米德问题驱动》，尤里卡，22（1959），15。
Steve Dinh，《奥林匹克数学难题及其解决方案》，作者之家，2011年，2007年英国数学奥林匹克第一题，第160页。
安东尼·加德纳（Anthony Gardiner），《数学奥林匹克手册：问题解决导论》，牛津大学出版社，1997年，2011年再版，第4题，第64和173页（1984年）。
Paul R.Halmos，《线性代数问题书》，MAA，1995年，第75-6、242-4页。
Ross Honsberger，《数学创新》，兰登书屋，1970年，第87页。
丹尼尔·R·休斯和弗雷德里克·查尔斯·派珀，《投射飞机》，斯普林格出版社，1973年。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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克拉克·金伯利，互补方程《整数序列杂志》，第10卷（2007年），第07.1.4条。
克拉克·金伯利（Clark Kimberling）和约翰·布朗（John E.Brown），部分补体和转座色散，J.整数序列。，第7卷（2004年），第04.1.6条。
Boris D.Lubachevsky和Ronald L.Graham，包围全等非重叠圆的最小周长矩形，arXiv:math/0412443[math.MG]，2004-2008。
Boris D.Lubachevsky和Ronald L.Graham，包围全等非重叠圆的最小周长矩形《离散数学》，第309卷，第8期，（2009年4月28日），第1947-1962页。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
Bruce E.Sagan、Yeong-Nan Yeh和Ping Zhang，图的维纳多项式，国际。量子化学杂志。，第60卷（1996年），第959-969页。
史蒂文·温特劳布（Steven H.Weintraub），一个有趣的递归阿默尔。数学。《月刊》，第111卷，第6期（2004年），第528-530页。
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配方奶粉
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G.f.：（1-2*x+3*x^2）/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=-（n-5）*a（n-1）+（n-2）*a。
a（n）=Phi_6（n）=Phi_3（n-1），其中Phi_k是第k个分圆多项式。
x*（1+x^2）/（1-x）^3是0、1、3、7、13…的g.f。。。
a（n）=2*C（n，2）+C（n-1，0）。
例如：（1+x^2）*exp（x）。（结束）
a（n）=天花板（n-1/2）^2）-贝诺伊特·克洛伊特2003年4月16日。[因此，术语大约位于连续正方形的中间，因此（除了1）不是正方形-N.J.A.斯隆2005年11月1日]
a（n）=1+和{j=0..n-1}（2*j）.-Xavier Acloque，2003年10月8日
a（n）=M^（n-1）*[1 1 1]中最左边的项，其中M=3X3矩阵[1 1 1/0 1 2/0 0 1]。例如，由于M^5*[1 1 1]=[31 11 1]，a（6）=31-加里·亚当森2004年11月11日
a（n+1）=n^2+n+1。a（n+1）*a（n）=（n^6-1）/（n^2-1）=n^4+n^2+1=a（n^2+1）（此序列中两个连续数字的乘积属于此序列）。（a（n+1）+a（n））/2=n^2+1。（a（n+1）-a（n））/2=n.a（（a（n+1）+a（n-亚历山大·阿达姆楚克2006年4月13日
a（n+3）是（（n+1）！+的分子（n-1）！）/不-阿图尔·贾辛斯基2007年1月9日
a（n）=Det[Transpose[{{-1，1}，{0，-1}}]-n{-1，10}，}，0,1}}]-阿图尔·贾辛斯基2008年3月31日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3），n>=3-杰姆·奥利弗·拉丰2008年12月2日
a（n）=（n-1）^2+（n-1）+1=111，以n-1为基数读取（对于n>2）-杰森·金伯利2011年10月18日
G.f.：1/（1-x/（1-2*x/（1+x/（1-2*x/））））-迈克尔·索莫斯2014年4月3日
求和{n>=0}1/a（n）=1+Pi*tanh（Pi*sqrt（3）/2）/sqrt（三）=2.79814728056269018-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年4月10日
和{n=1..M}反正切（1/a（n））=反正切（M）-李·纽伯格2024年5月8日
产品{n>=1}（1+1/a（n））=cosh（sqrt（7）*Pi/2）*sech（sqrt（3）*Pi/2。
产品{n>=2}（1-1/a（n））=Pi*sech（sqrt（3）*Pi/2）。（结束）
对于n>1，sqrt（a（n）+sqrt（a（n）-sqrt（a（n）+sqrt（a（n）-…））=-迭戈·拉塔吉2021年4月17日
a（n）=（1+（n-1）^4+n^4）/（1+-伯纳德·肖特，2021年12月27日
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例子
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G.f.=1+x+3*x^2+7*x^3+13*x^4+21*x^5+31*x ^6+43*x^7+。。。
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MAPLE公司
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数量理论[分圆]（6，n）；
结束进程：
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数学
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文件夹列表[#1+#2&，1，2范围[0，50]](*罗伯特·威尔逊v2011年2月2日*）
线性递归[{3，-3，1}，{1，1，3}，60](*哈维·P·戴尔2011年5月25日*）
系数列表[级数[（1-2x+3x^2）/（1-x）^3，{x，0，52}]，x](*罗伯特·威尔逊v，2018年2月18日*）
分圆[6，范围[0，100]](*保罗·沙萨2024年2月9日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=n^2-n+1
（Maxima）标记列表（n^2-n+1，n，0，55）/*马丁·埃特尔2012年10月16日*/
（哈斯克尔）
（岩浆）[n^2-n+1:n英寸[0..50]]//韦斯利·伊万·赫特2014年6月12日
（GAP）列表（[0..50]，n->n^2-*n+1）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年5月27日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000037号,A000124号,A000217号,A001263号,A001844号,A002383号,A004273号,A005408号,A005563号,A007645号,A014206号,A051890号,A055494号,A091776号,A132014号,A132382号,A135668型,A137928号,A139250型,A256188型,A028387号.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A005563号
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| a（n）=n*（n+2）=（n+1）^2-1。
（原名M2720）
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298
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0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80, 99, 120, 143, 168, 195, 224, 255, 288, 323, 360, 399, 440, 483, 528, 575, 624, 675, 728, 783, 840, 899, 960, 1023, 1088, 1155, 1224, 1295, 1368, 1443, 1520, 1599, 1680, 1763, 1848, 1935, 2024, 2115, 2208, 2303, 2400, 2499, 2600
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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Erdős推测n^2-1=k！有解当且仅当n为5、11或71时（当k为4、5或7时）。
二阶线性递归y（m）=2y（m-1）+a（n）*y（m-2），y（0）=y（1）=1，具有只涉及整数幂的闭式解-伦·斯迈利2001年12月8日
设k为正整数，M_n为n×n矩阵M_（i，j）=k^abs（i-j），则det（M_n）=（-1）^（n-1）*a（k-1）^-贝诺伊特·克洛伊特2002年5月28日
也可以将k编号为4*k+4是一个正方形-西诺·希利亚德2003年12月18日
对于每个项k，函数sqrt（x^2+1）从1开始，在k次迭代后生成一个整数-杰拉尔德·麦卡维2004年8月19日
方程X^3+X^2=Y^2的解的非负X值。要查找Y值：b（n）=n（n+1）（n+2）-穆罕默德·布哈米达2007年11月6日
序列允许我们找到方程的X值：X+（X+1）^2+（X+2）^3=Y^2。为了证明X=n^2+2n:Y^2=X+（X+1）^2+（X+2）^3=X^3+7*X^2+15X+9=（X+1”）（X^2+6X+9）=（X+1）*（X+3）^2，它的意思是：（X+1。我们可以把：k=n+1，得到：X=n^2+2n和Y=（n+1）（n^2+2n+3）-穆罕默德·布哈米达2007年11月12日
蟾蜍和青蛙拼图：
这也是n只青蛙和n只蟾蜍在2n+1方块（或位置，或睡莲叶）上交换位置所需的移动次数，其中一个移动是一次滑动或跳跃，如n=2，a（n）=8
T T-F F
T-T F F
温度-温度
变速箱变速箱-
T F-F T
-前变速器前变速器
F-T F T（飞行时间）
F F T-T
F F-T吨
霍尔顿的文章提醒了我这一点，但在查阅辛马斯特的资料后，我发现这个谜团至少可以追溯到1867年。
1883年，爱德华·卢卡斯（Edouard Lucas）可能是第一个公布每种动物n的移动次数的人。（结束）
设f（x）是x中的多项式，则f（x+n*f（x；这里n属于n。当x属于Z时，商f（x+n*f（x））/f =A056108号（n） +a（n）*sqrt（2）-A.K.德瓦拉吉2009年9月18日
对于n>0，连分式[n，1，n]=（n+1）/a（n）；例如，[6，1，6]=7/48-加里·亚当森2010年7月15日
起始（3，8，15，…）=[3，5，2，0，0，…]的二项式变换；例如，a（3）=15=（1*3+2*5+1*2）=（3+10+2）-加里·亚当森2010年7月30日
a（n）本质上是多边形数的情况0。多边形数定义为P_k（n）=Sum_{i=1..n}（（k-2）*i-（k-3））。因此P_0（n）=2*n-n^2，a（n）=-P_0（n+2）。另请参见A067998号对于k=1的情况A080956号. -彼得·卢什尼2011年7月8日
a（n）是具有来自{1，…，n+1}的整数元素的2x2矩阵的最大行列式，因此具有来自{1，…，5}的整数元素的2x2矩阵的最大行列式=5^2-1=a（4）=24-阿尔多·冈萨雷斯-洛伦佐2011年10月12日
使用四个连续的三角形数字t1、t2、t3和t4，绘制点（0，0）、（t1，t2）和（t3，t4）以创建三角形。这个三角形面积的两倍是这个序列中从n=1开始的数字，得出8-J.M.贝戈2012年5月3日
给定一个自旋为S=n/2（总是半整数）的粒子，其自旋矢量大小平方的量子力学期望值计算为<S^2>=S（S+1）=n（n+2）/4，即n=2S的四分之一a（n）。这在磁学和磁共振理论中起着重要作用-斯坦尼斯拉夫·西科拉2012年5月26日
数量m，使楼层（sqrt（m））=楼层（m/floor（sqrt（m）-佐藤拓美2012年10月10日
Len Smiley于2001年12月8日提到的a（n）=2*a（n-1）+a（m-2）*a（n-2），n>=2，a（0）=0，a（1）=1的闭式解中的整数是m和-m+2，其中m>=3是一个正整数-费利克斯·P·穆加二世2014年3月18日
设m>=3为正整数。如果a（n）=2*a（n-1）+a（m-2）*a（n-2），n>=2，a（0）=0，a（1）=1，那么lim_{n->oo}a（n+1）/a（n）=m-费利克斯·P·穆加二世2014年3月18日
对于n>=4，轮图W_n的Szeged指数（带有n+1个顶点）。在Sarma等人的参考文献中，定理2.7是不正确的-Emeric Deutsch公司2014年8月7日
如果P_{k}（n）是第n个k角数，则a（n）=t*P_{s}（n+2）-s*P_}t}（n+2）表示s=t+1-布鲁诺·贝塞利2014年9月4日
对于n>=1，a（n）是简单李代数a_n的维数-沃尔夫迪特·朗2015年10月21日
对于n>0，a（n）mod（n+1）=a（n-托拉赫·拉什2016年4月4日
推测：当使用埃拉托斯特尼筛和筛分（n+1..a（n）），除数（1..n）和n>0时，将不会有超过一个（n-1）的复合数-弗雷德·丹尼尔·克莱恩，2016年4月8日
a（n）mod 8是周期性的，周期4重复（0,3,0,7），即a（n）mod 8=5/2-（5/2）cos（n*Pi）-sin（n*Pi/2）+sin（3*n*Pi/2）-安德烈斯·西卡廷2016年6月2日
从Klauber三角形（参见Kival Ngaokrajang链接）右侧开始的第二条合成对角线（唯一的素数是数字3），它是由正整数和前1、后3、后5等组成的，每个都位于最后一个的下方-查尔斯·库斯尼奇2017年7月3日
a（n）是n阶Raviart-Tomas或nédélec第一类有限元空间三角形单元中的自由度-马修·斯克鲁格斯2020年4月22日
对于n>1，a（n-2）是Quine-McCluskey算法第二阶段的最大元素数，其minterms不被n位函数覆盖。在n=3时，我们有a（3-2）=a（1）=1*（1+2）=3和f（a，B，C）=σ（0,1,2,5,6,7）。
.
0 1 2 5 6 7
+---------------
*（0,1）| X X
（0,2）|X X
（1,5）| X X
*（2,6）| X X
*（5,7）| X X
（6,7）| X X
.
*：表示覆盖的元素。（结束）
1/a（n）是第一个k个奇数之和与下一个n*k个奇数之和的比率-梅尔文·佩拉尔塔2021年7月15日
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参考文献
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E.R.Berlekamp、J.H.Conway和R.K.Guy，《胜利之道》，纽约学术出版社，第2卷。，1982年，见蟾蜍和青蛙拼图下的索引。
马丁·加德纳（Martin Gardner），《令人困惑的谜题和令人兴奋的小品》（Perplexing Puzzles and Tanovating Teasers），第21页（《一角硬币和一分钱的开关》（The Dime and Penny Switcheroo））。
R.K.Guy，《数论中未解决的问题》，第D25节。
Derek Holton，学校数学，37#1（2008年1月）20-22。
爱德华·卢卡斯（Edouard Lucas），《数学评论》（Récréations Mathématiques），高瑟·维拉斯（Gauthier-Villars），第2卷（1883）141-143。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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杰里米亚·巴茨、布鲁斯·迪尔登和乔尔·利亚姆斯，间隙平衡数的类别，arXiv:1810.07895[math.NT]，2018年。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
路易斯·曼努埃尔·里维拉，整数序列与k-交换置换，arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO]，2014。
斯坦尼斯拉夫·斯库拉，OEIS上的磁共振，Stan的核磁共振博客（2014年12月31日），2019年11月12日检索。
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配方奶粉
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通用：x*（3-x）/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=（n！+（n+1）！）/（n-1）！，n>0-加里·德特利夫斯2009年8月10日
a（n）=楼层（n^5/（n^3+1）），偏移量为1（a（1）=0）-加里·德特利夫斯2010年2月11日
a（n）=a（n-1）+2*n+1（a（0）=0）-文森佐·利班迪2010年11月18日
a（n）=2/（积分_{x=0..Pi/2}（sin（x））^（n-1）*（cos（x））^3），对于n>0-弗朗切斯科·达迪2011年8月2日
G.f.:U（0），其中U（k）=-1+（k+1）^2/（1-x/（x+（k+1）^2/U（k+1；（连分数，3步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年10月19日
a（n）=15*C（n+4.3）*C（n+4.5）/（C（n/4.2）*C-加里·德特利夫斯2013年8月5日
a（n）=（n+2）/（n-1）！+n！），n>0-伊凡·伊纳基耶夫2013年11月11日
a（-2-n）=Z中所有n的a（n）-迈克尔·索莫斯2014年8月7日
对于n>=1，a（n^2+n-2）=a（n-1）*a（n）-米科·拉巴兰2017年10月15日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=1/4-阿米拉姆·埃尔达尔2020年11月4日
产品{n>=1}（1+1/a（n））=2。
产品{n>=1}（1-1/a（n））=-sqrt（2）*sin（sqrt（二）*Pi）/Pi。（结束）
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例子
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G.f.=3*x+8*x^2+15*x^3+24*x^4+35*x^5+48*x^6+63*x^7+80*x^8+。。。
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数学
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表[n^2-1，｛n，42｝](*零入侵拉霍斯2007年3月21日*）
列表相关[{1，2}，范围[-1，50]，{1，-1}，0，Plus，Times](*哈维·P·戴尔2015年8月29日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）连接（0，Vec（x*（3-x）/（1-x）^3+O（x^90））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月22日
（最大值）makelist（n*（n+2），n，0，56）/*马丁·埃特尔2012年10月15日*/
（哈斯克尔）
a005563 n=n*（n+2）
a005563_list=zipWith（*）[0..][2..]--莱因哈德·祖姆凯勒2012年12月16日
（岩浆）[0..60]]中的[n*（n+2）：n//G.C.格鲁贝尔2024年3月29日
（SageMath）[n*（n+2）表示范围（61）内的n]#G.C.格鲁贝尔2024年3月29日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A016754号
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| 奇数平方：a（n）=（2n+1）^2。同样居中的八角数字。 |
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+10
292
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1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, 625, 729, 841, 961, 1089, 1225, 1369, 1521, 1681, 1849, 2025, 2209, 2401, 2601, 2809, 3025, 3249, 3481, 3721, 3969, 4225, 4489, 4761, 5041, 5329, 5625, 5929, 6241, 6561, 6889, 7225, 7569
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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褐鼠繁殖很快。从三个月大的时候开始，它可以一年生7次其他老鼠。幼崽的平均数量是8只。现在的序列给出了老鼠的总数，时间间隔为一年中的12/7，幼鼠在一年中24/7开始生育后代-汉斯·伊斯达尔2008年1月26日
如果Y是（2n+1）-集X的固定2-子集，则a（n-1）是与Y相交的X的3-子集的数目-米兰Janjic2007年10月21日
[1,8,8,0,0,0，…]的二项式变换；Narayana变换(A001263号)共[1,8,0,0,0，…]个-加里·亚当森2007年12月29日
顺序是从1开始，在方向1、25。。。以及从9开始的直线，在9、49、……方向。。。，在顶点为正方形的正方形螺旋中A000290型. -奥马尔·波尔2008年5月24日
作为分子出现在Pi-3的非简单连分式展开式中：Pi-3=K_{K>=1}（1-2*K）^2/6=1/（6+9/（6+25/（6+49/（6+…））），另请参阅A007509号. -亚历山大·波沃洛茨基2011年10月12日
所有术语都以1、5或9结尾。模100，所有项都在{1、9、21、25、29、41、49、61、69、81、89}之间-M.F.哈斯勒2012年3月19日
对于n>1，a（n）是由点（（n-2）*（n-1），（n-1-J.M.贝戈2014年5月27日
Z^2的对数（x，y），即max（abs（x），abs（y））<=n-米歇尔·马库斯2014年11月28日
除a（1）=4外，基于5细胞von Neumann邻域，“规则737”定义的二维细胞自动机第n个生长阶段的活动（ON，黑色）细胞数-罗伯特·普莱斯2016年5月23日
a（n）是2n+1个连续数字的和，其中第一个数字是n+1-伊凡·伊纳基耶夫2016年12月21日
a（n）是所有元素都在{0..n}中且行列式=2*永久的2X2矩阵的数目-因德拉尼尔·戈什2016年12月25日
a（n）是最小奇数k=x+y，其中0<x<y，因此存在n个不同的对（x，y），其中x*y/k是整数；例如，a（2）=25，对应的两对是（5,20）和（10,15）。与“偶数”类似的序列是A016742号（见2018年1月26日的评论）-伯纳德·肖特，2023年2月24日
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参考文献
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L.Lorentzen和H.Waadeland，《续分数及其应用》，北荷兰，1992年，第586页。
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链接
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杰里米亚·巴茨、布鲁斯·迪尔登和乔尔·利亚姆斯，间隙平衡数的类别，arXiv:1810.07895[math.NT]，2018年。
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配方奶粉
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外径：（1+6*x+x^2）/（1-x）^3-R.J.马塔尔2008年1月11日
a（n）=4*n*（n+1）+1=4*n^2+4*n+1-阿图尔·贾辛斯基2008年3月27日
a（n）=a（n-1）+8*n，n>0，a（0）=1-文森佐·利班迪2010年8月1日
a（n+1）=a（n）+4+4*sqrt（a（n））。
a（n-1）=a（n）+4-4平方米。
a（n+1）=2*a（n）-a（n-1）+8。
a（n+1）=3*a（n）-3*a（n-1）+a（n-2）。
（a（n+1）-a（n-1））/8=sqrt（a（n））。
a（n+1）*a（n-1）=（a（n）-4）^2。
极限_｛n->oo｝a（n）/a（n-1）=1。（结束）
a（n）=二项（2*n+2,2）+二项（2*n+1,2）-约翰·莫洛卡赫，2013年7月12日
和{n>=0}a（n）/n！=13*e。
和{n>=0}（-1）^（n+1）*a（n）/n！=3/e.（结束）
产品{n>=0}（1+1/a（n））=cosh（Pi/2）。
乘积_{n>=1}（1-1/a（n））=Pi/4(A003881号). （结束）
求和{k=1..n+1}1/（k*a（k）*a（k-1））=1/（9-3/（17-60/（33-315/（57-…-n^2*（4*n^2-1）/（（2*n+1）^2+2*2^2））））。
3/2-2*log（2）=和{k>=1}1/（k*a（k）*a（k-1））=1/（9-3/（17-60/（33-315/（57-…-n^2*（4*n^2-1）/（（2*n+1）^2+2*2^2-…））））。
8*a（n）=（2*n+1）*（a（n+1）-a（n-1））。
求和{n>=0}（-1）^n/（a（n）*a（n+1））=1/2-Pi/8=1/（9+（1*3）/（8+（3*5）/（8+…+（4*n^2-1）/（8%…））））。对于连续分数，使用Lorentzen和Waadeland，第586页，方程4.7.9，n=1。囊性纤维变性。A057813号.（结束）
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数学
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a016754 n=a016754_列表！！n个
a016754_list=扫描（+）1$tail a008590_list
（岩浆）[1..100 x 2]中的n^2:n//文森佐·利班迪2017年1月3日
（Python）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000290型,A000384号,A001263号,A001539号,A001844号,A003881号,A005408号,A006752号,A014105号,A016742号,A016802美元,A016814号,A016826号,A016838美元,A033996号,A046092号,A060300型,A138393号,A167661号,A167700个.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 2, 8, 18, 32, 50, 72, 98, 128, 162, 200, 242, 288, 338, 392, 450, 512, 578, 648, 722, 800, 882, 968, 1058, 1152, 1250, 1352, 1458, 1568, 1682, 1800, 1922, 2048, 2178, 2312, 2450, 2592, 2738, 2888, 3042, 3200, 3362, 3528, 3698, 3872, 4050, 4232, 4418
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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“如果周期系统中的每个周期都以稀有气体结束……，则一个周期中元素的数量可以通过以下公式从该周期的序数n中求得：L=（（2n+3+（-1）^n）^2）/8……”——《自然》，1951年6月9日；《自然》411（2001年6月7日），第648页。这使当前序列加倍。
设z（1）=i=sqrt（-1），z（k+1）=1/（z（k）+2i）；则a（n）＝（-1）*Imag（z（n+1））/实数（z（n+1））-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月6日
成对三角数的算术平均值：（1+3）/2，（6+10）/2，，（15+21）/2-阿玛纳斯·穆尔西2005年8月5日
这些数字在乌拉姆螺旋上形成了类似于三角形数字的图案G.Roda，2010年10月20日
具有有理支的等腰直角三角形的积分面积（支为2n，且当n>0时三角形是非退化的）-里克·L·谢泼德2009年9月29日
按照美国国旗分布时的恒星数量：n行n+1颗星，每对之间有一行n颗星（即其中的n-1），即n*（n+1）+（n-1）*n=2*n^2=A001105号（n） ●●●●-塞萨尔·埃利乌德·洛扎达2012年9月17日
显然，具有半长度n+3和奇数个峰值的Dyck路径的数量以及具有高度n-3的中心峰值-大卫·斯卡布勒2013年4月29日
B_n和C_n型根系中的根数（当n>1时）-汤姆·埃德加2013年11月5日
该序列也作为Clifford代数Cl_2中[n，n，n+1，n+1]的平方的四重奏[a（n），a（n），p（n），p（n）]的第一和第二成员出现，其中n>=0。p（n）=A046092号（n） ●●●●。请参阅2014年10月15日的评论A147973号其中还提供了参考-沃尔夫迪特·朗2014年10月16日
a（n）表示连续整数之和中的第一项，该整数等于（2n+1）^3-帕特里克·麦克纳布2016年12月24日
同时给出了（n+4）三角形蜂窝钝骑士图中3个圈的个数-埃里克·韦斯特因2017年7月29日
以数字B为基数的回文242表示的数字，包括B=2（二进制）、3（三元）和4:242（2）=18、242（3）=32、242。。。242(9)=200, 242(10)=242, ... -罗恩·诺特2017年11月14日
a（n）是等腰直角三角形斜边的平方，其边等于n-托马斯·M·格林2019年8月20日
发件人伯纳德·肖特，2021年8月31日和2021年9月16日：（开始）
证明：每n=2^q*（2k+1），q，k>=0，则2*n^2=2^（2q+1）*（2k+1）^2；现在，gcd（2，2k+1）=1，tau（2^（2q+1））=2q+2和tau（（2k+1。
2^（2q+1）的2q+2除数是{1，2，2^2，2|3，…，2^，（2q*1）}，所以2^。
结论：这两个2q+1偶数除数是由（2k+1）^2的2u+1奇数除数精确地生成（2q+1）*（2u+1）2*n^2的偶数除法，并且（2q+1）*（2 u+1）是奇数。（结束）
n>0的a（n）是保加利亚和曼卡拉纸牌游戏中周期长度为2的数字-保罗·魏森霍恩2022年1月29日
L1距离处的点数=2，距离Z^n中的任何给定点-谢尔·卡潘2023年2月25日
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参考文献
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Arthur Beiser，《现代物理概念》，第二版，McGraw-Hill，1973年。
马丁·加德纳（Martin Gardner），《数学巨著，经典难题，悖论和问题》，第2章，题为“有限差分的微积分”，W.W.Norton and Company，纽约，2001年，第12-13页。
L.B.W.Jolley，“系列总结”，多佛出版社，1961年，第44页。
阿兰·罗伯特（Alain M.Robert），《p-adic分析课程》，斯普林格·弗拉格出版社，2000年，第213页。
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链接
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Milan Janjić，关于限制三元词和插入词，arXiv:1905.04465[math.CO]，2019年。
米兰·扬基奇和鲍里斯·佩特科维奇，计数函数，arXiv:1301.4550[math.CO]，2013年-N.J.A.斯隆2013年2月13日
路易斯·曼努埃尔·里维拉，整数序列与k-交换置换，arXiv:1406.3081[math.CO]，2014年。
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配方奶粉
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总尺寸：2*x*（1+x）/（1-x）^3。
对于n>0，在1/（cos（x）+n-1）的Maclaurin展开式中，a（n）=1/x^2的系数-弗朗切斯科·达迪2011年8月4日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）-阿图尔·贾辛斯基2011年11月24日
a（n）=楼层（1/（1-cos（1/n））），n>0-克拉克·金伯利，2014年10月8日
a（n）=总和{j=1..n}总和{i=1..nneneneep上限（（i+j-n+4）/3）-韦斯利·伊万·赫特2015年3月12日
产品{n>=1}（1+1/a（n））=sqrt（2）*sinh（Pi/sqrt（3））/Pi。
产品{n>=1}（1-1/a（n））=sqrt（2）*sin（Pi/sqrt（1））/Pi。（结束）
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例子
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a（3）=18；因为2（3）=6有3个分区，正好有两部分：（5,1），（4,2），（3,3）。将所有部分相加，我们得到：1+2+3+4+5=18-韦斯利·伊万·赫特2013年6月1日
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MAPLE公司
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数学
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线性递归[{3，-3，1}，{2，8，18}，｛0，20}](*埃里克·韦斯特因2017年7月28日*）
2多边形编号[4，范围[0，20]](*埃里克·韦斯特因2017年7月28日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[0..50]]中的[2*n^2:n//文森佐·利班迪2011年4月30日
（哈斯克尔）
a001105=a005843。a000290号--莱因哈德·祖姆凯勒2012年12月12日
（鼠尾草）[2*n^2代表n in（0..20）]#G.C.格鲁贝尔2019年2月22日
（GAP）列表（[0..50]，n->2*n^2）#穆尼鲁·A·阿西鲁2019年2月24日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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伯恩德。沃尔特（AT）法兰克福.netsurf.de
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状态
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经核准的
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A001107号
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| 10次方（或十次方）数：a（n）=n*（4*n-3）。
（原名M4690）
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+10
131
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0, 1, 10, 27, 52, 85, 126, 175, 232, 297, 370, 451, 540, 637, 742, 855, 976, 1105, 1242, 1387, 1540, 1701, 1870, 2047, 2232, 2425, 2626, 2835, 3052, 3277, 3510, 3751, 4000, 4257, 4522, 4795, 5076, 5365, 5662, 5967, 6280, 6601, 6930, 7267, 7612, 7965, 8326
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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写入0、1、2。。。在一个正方形螺旋中，原点为0，其正下方为1；序列给出负y轴上的数字（参见示例部分）。
n>0时，48^（n-1）的除数-J.洛厄尔2008年8月30日
a（n）是通过一条边连接两个完整图K_n副本获得的图的维纳指数（对于n=3，近似值为：|>-<|）。连通图的维纳指数是图中所有无序顶点对之间距离的总和-Emeric Deutsch公司2010年9月20日
从0开始，沿0、10……方向读取行，找到序列。。。和从1开始的平行线，在方向1，27。。。，在顶点为广义十角数的正方形螺旋中A074377号. -奥马尔·波尔2012年7月18日
在0之后，a（n）是从n-1开始的2*n个连续整数的和-布鲁诺·贝塞利2018年1月16日
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参考文献
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阿尔伯特·贝勒，《数字理论中的再现》，纽约州多佛市，1964年，第189页。
Bruce C.Berndt，《拉马努詹的笔记》，第二部分，施普林格出版社；见第23页。
E.Deza和M.M.Deza，数字，世界科学出版社（2012），第6页。
S.M.Ellerstein，《方形螺旋线》，《娱乐数学杂志》29（#31998）188；30 (#4, 1999-2000), 246-250.
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，Reading，MA，第二版，1994年，第99页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Soren Laing Aletheia Zomlefer、Lenny Fukshansky和Stephan Ramon Garcia，Bateman-Horn猜想：启发式、历史和应用，arXiv:1807.08899[math.NT]，2018-2019。见第33页6.6.3。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
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配方奶粉
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通用格式：x*（1+7*x）/（1-x）^3。
奇数1模8的部分和，即1，1+9，1+9+17-乔恩·佩里2004年12月18日
1^3+3^3*（n-1）/（n+1）+5^3*n*（4*n-3）[拉马努扬].-Neven Juric，2008年4月15日
从（1，10，27，52，…）开始，这是[1，9，8，0，0，…]的二项式变换-加里·亚当森2008年4月30日
对于n>2，a（0）=0，a（1）=1，a（2）=10-杰姆·奥利弗·拉丰2008年12月2日
当n>0时，a（n）=8*n+a（n-1）-7，a（0）=0-文森佐·利班迪2010年7月10日
a（n）=8+2*a（n-1）-a（n-2）-蚂蚁王2011年9月4日
a（8*a（n）+29*n+1）=a（8*1（n）+29*n）+a（8*n+1）-弗拉基米尔·舍维列夫2014年1月24日
Sum_｛n>=1｝1/a（n）=Pi/6+log（2）=1.216745956158244182494339352=A244647号. -瓦茨拉夫·科特索维奇2016年4月27日
例如：x*（1+4*x）*exp（x）。
求和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=（sqrt（2）*Pi-2*log（2）+2*sqrt
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例子
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在正方形晶格上，将非负整数放置在形成螺旋的晶格点上，如下所示：将“0”放置在原点；然后向下移动一步（即在负y方向），并将“1”放置在到达的晶格点处；然后向任一方向旋转90度，并在下一个晶格点处放置一个“2”；然后沿同一方向再转动90度，并在点阵点处放置一个“3”；等。序列项将沿着负y轴，如下例所示：
99 64--65--66--67--68--69--70--71--72
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98 63 36--37--38--39--40--41--42 73
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97 62 35 16--17--18--19--20 43 74
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96 61 34 15 4---5---6 21 44 75
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95 60 33 14 3 *0* 7 22 45 76
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94 59 32 13 2--*1* 8 23 46 77
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93 58 31 12--11-*10*--9 24 47 78
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92 57 30--29--28-*27*-26--25 48 79
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91 56--55--54--53-*52*-51--50--49 80
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90--89--88--87--86-*85*-84--83--82--81
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MAPLE公司
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数学
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线性递归[{3，-3，1}，{0，1，10}，60](*哈维·P·戴尔2012年5月8日*）
表[PolygonalNumber[RegularPolygon[10]，n]，{n，0，46}](*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2016年8月27日*）
线性递归[{3，-3，1}，{1，10，27}，｛0，20}](*埃里克·韦斯特因2017年9月7日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=4*n^2-3*n
（岩浆）[0..50]]中的[4*n^2-3*n:n//韦斯利·伊万·赫特2014年6月5日
（Python）a=lambda n:4*n**2-3*n#因德拉尼尔·戈什2017年1月1日
def aList（）：#用于计算序列的初始段，而不是孤立项。
x、 y=1，1
产量0
为True时：
收益率x
x、 y=x+y+8，y+8
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交叉参考
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螺旋的序列：A001107号（本），A002939号,A007742号,A033951号,A033952号,A033953号,A033954号,A033989号,A033990型,A033991号,A002943号,A033996号,A033988号.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 8, 32, 128, 512, 2048, 8192, 32768, 131072, 524288, 2097152, 8388608, 33554432, 134217728, 536870912, 2147483648, 8589934592, 34359738368, 137438953472, 549755813888, 2199023255552, 8796093022208, 35184372088832
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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在4个节点C_4上的循环图的顶点处计数长度为2n的闭走。利用插值零点，计算4个节点C_4上循环图顶点处长度为n的闭游动-保罗·巴里2004年3月10日
一般来说，求和{k=0..n}求和{j=0..n}C（2（n-k），j）*C（2k，j）r^j具有展开式（1-（r+1）x）/（1+（r+3）x+（r-1）（r+3）x^2+（r-1，^3*x^3）-保罗·巴里2005年6月4日
a（n）是长度为2n、偶数为0（因此偶数为1）的二进制串的数量-托比·戈特弗里德2010年3月22日
n的成分数，其中有2种成分1，4种成分2，8种成分3。。。，2^k种零件k-约尔格·阿恩特2014年8月4日
a（n）也是同时避免经典意义上的231和321的排列数，可以实现为具有2n-1个节点的递增严格二叉树上的标签。请参见A245904型有关增加严格二叉树的详细信息-曼达·里尔2014年8月7日
a（n）是正整数均匀子集的二项式偏序集的n个区间中的元素数，参见Stanley参考和Paul Barry的第二个公式。在这样的n个间隔中，每条多链0=x_0<=x_1<=x_2=1对应于Paul Barry所述的闭合行走。更一般地说，每个多链0=x_0<=x_1<=…<=xk=1对应于k维超立方体上长度为2n的闭合游动。A054879号,A092812号,A121822号. -杰弗里·克雷策2023年4月21日
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参考文献
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理查德·斯坦利（Richard P.Stanley），《枚举组合数学》，第1卷，第二版，示例3.18.3-f，第323页。
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链接
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M.Paukner、L.Pepin、M.Riehl和J.Wieser，任务推进姿势中的模式回避，arXiv:1511.00080[math.CO]，2015-2016年。
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配方奶粉
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G.f.：（1-2*x）/（1-4*x）。
a（n）=4*a（n-1）n>1，其中a（0）=1，a（1）=2。
a（n）=（4^n+0^n）/2（即1后跟4^n/2，n>0）。
例如：exp（2*x）*cosh（2*x）=（exp（4*x）+exp（0））/2-保罗·巴里2003年5月10日
a（n）=和{k=0..n}C（2*n，2*k）-保罗·巴里，2003年5月20日
a（n）=和{k=0..n}和{j=0..n{C（2*（n-k），j）*C（2*k，j）-保罗·巴里2005年6月4日
a（n）=积分{x=0..4}p（n，x）^2/（Pi*sqrt（x（4-x）））dx，其中p（n，x）是由C（2*n，n）定义的正交多项式序列：p（n，x）=（2*x-4）*p（n-1，x）-4*p（n-2，x），其中p（0，x）=1，p（1，x）=-2+x-保罗·巴里2007年3月1日
a（n）=（（2+sqrt（4））^n+（2-sqrt）（4）^n）/2.-Al Hakanson（hawkuu（AT）gmail.com），2008年11月22日
G.f.:Q（0），其中Q（k）=1-2*x/（1-2/（2-1/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年4月29日
例如：1/2+exp（4*x）/2=（Q（0）+1）/2，其中Q（k）=1+4*x/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年4月29日
G.f.：1+2*x/（1+x）*（1+5*x/（1+4*x）*（1+8*x/（1+7*x）*（1+11*x/（1+10*x）*（1+…）））-彼得·巴拉2017年5月27日
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例子
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G.f.=1+2*x+8*x^2+32*x^3+128*x^4+512*x^5+2048*x^6+8192*x^7+。。。
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MAPLE公司
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a： =n->2^最大值（0，（2*n-1））：
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数学
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系数列表[系列[（1-2x）/（1-4x），{x，0，40}]，x]（*或*）
联接[{1}，嵌套列表[4#&，2，40]](*哈维·P·戴尔2011年4月22日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（4^n+0^n）/2:n in[0..30]]//文森佐·利班迪2011年7月26日
（Magma）R<x>：=PowerSeriesRing（基本原理（），25）；系数（R！（（1-2*x）/（1-4*x））//马吕斯·A·伯蒂2020年1月20日
（PARI）x='x+O（'x^100）；Vec（（1-2*x）/（1-4*x））\\阿尔图·阿尔坎2015年12月21日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 2, 12, 30, 56, 90, 132, 182, 240, 306, 380, 462, 552, 650, 756, 870, 992, 1122, 1260, 1406, 1560, 1722, 1892, 2070, 2256, 2450, 2652, 2862, 3080, 3306, 3540, 3782, 4032, 4290, 4556, 4830, 5112, 5402, 5700, 6006, 6320, 6642, 6972, 7310, 7656, 8010, 8372
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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写入0,1,2，。。。呈螺旋状；序列在四条对角线中的一条上给出数字（参见示例部分）。
对于n>2，这些项表示斜边（H）比最长边（L）长一个单位或H=L+1的原始毕达哥拉斯三元组的和-理查德·福伯格2015年6月9日
对于n>1，a（n）是具有奇数支2*n-1的毕达哥拉斯三角形的周长-阿戈拉·基西拉·奥德罗2016年4月26日
A338109飞机（n） /a（n+1）是两个完全图在n个顶点上的不相交并集与n+1个顶点上的空图的连接的基尔霍夫指数。
等价地，该图可以描述为3*n+1顶点上的图，标签为0..3*n，且i和j相邻iff iff i+j>0 mod 3。
A338588型（n） /a（n+1）是n个和n+1个顶点上的两个完全图与n+1个点上的空图的不相交并的Kirchhoff指数。
等价地，该图可以描述为3*n+2个顶点上的图，标签为0..3*n+1，且i和j相邻，当i+j>0 mod 3。
这些图是有向图。（结束）
a（n），n>=1，是从原点到Z^n中尺寸为2的十字多面体的最小长度（长度=2）的路径数（第2列A371064型). -谢尔·卡潘2024年3月9日
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参考文献
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R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，Reading，MA，第二版，1994年，第99页。
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链接
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H-Y.Ching、R.Florez和A.Mukherjee，三角阵列中的积分余图族，arXiv:2009.02770[math.CO]，2020年。
R.Tijdeman，丢番图逼近的一些应用《数论调查》（Urbana，2000年5月21日）第261-284页，M.A.Bennett等人编辑，Peters，2003年。
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配方奶粉
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求和{n>=1}1/a（n）=log（2）（参见Tijdeman）。
对数（2）=和{n>=1}（（1-1/2）+（1/3-1/4）+（1/5-1/6）+（1.7-1/8）+…）=和{n>=0}（-1）^n/（n+1）。对数（2）=Integral_{x=0..1}1/（1+x）dx-加里·亚当森2003年6月22日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）。
总尺寸：2*x*（1+3*x）/（1-x）^3。（结束）
a（n）=a（n-1）+8*n-6（其中a（0）=0）-文森佐·利班迪2010年11月12日
对于Z中的所有n，0=12+a（n）*（-8+a（n）-2*a（n+1））+a（n+1）*（-8+a（n+1））-迈克尔·索莫斯，2017年1月28日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=Pi/4-log（2）/2-阿米拉姆·埃尔达尔2020年7月31日
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例子
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G.f.=2*x+12*x^2+30*x^3+56*x^4+90*x^5+132*x^6+182*x^7+240*x^8+。。。
在正方形晶格上，将非负整数放置在形成螺旋的晶格点上，如下所示：将“0”放置在原点；然后向四个基本方向中的任何一个方向移动一步，并将“1”放置在到达的晶格点处；然后向任一方向旋转90度，并在下一个晶格点处放置一个“2”；然后沿同一方向再转动90度，并在点阵点处放置一个“3”；序列的项将沿着对角线之一，如下面的例子所示：
.
99 64--65--66--67--68--69--70--71--72
| | |
98 63 36--37--38--39--40--41--42 73
| | | | |
97 62 35 16--17--18--19--20 43 74
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96 61 34 15 4---5---6 21 44 75
| | | | | | | | |
95 60 33 14 3 *0* 7 22 45 76
| | | | | | | | | |
94 59 32 13 *2*--1 8 23 46 77
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93 58 31 *12*-11--10---9 24 47 78
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92 57 *30*-29--28--27--26--25 48 79
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91 *56*-55--54--53--52--51--50--49 80
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*90*-89--88--87--86--85--84--83--82--81
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MAPLE公司
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数学
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2#（2#-1）和/@范围[0，50](*哈维·P·戴尔2011年3月6日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[2*n*（2*n-1）：n在[0..50]]中//文森佐·利班迪2011年7月26日
（哈斯克尔）
a002939 n=（*2）。a000384号
a002939_list=扫描1（+）a017089_list
（Python）a=lambda n:2*n*（2*n-1）#因德拉尼尔·戈什2017年1月1日
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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经核准的
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