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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A139250型 牙签序列(定义见注释行)。 473
0,1,3,7,11,15,23,35,43,47,55,67,79,95,123,155,171,175,183,195,207,223,251,283,303,319,347,383,423,483,571,651,683,687,695,707,719,735,763,795,815,831,859,895,935,995,1083,1163,1199,1215,1243,1279,1319,1379 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,3个

评论

牙签是闭合间隔[-1,1]的复制品。(在本文中,我们认为它是单位间隔[-1/2,1/2]的副本。)

我们从第0阶段开始,没有牙签。

在第一阶段,我们将牙签垂直放置在飞机的任何地方。

一般来说,考虑到飞机上牙签的配置,在下一阶段,我们会根据某些条件添加尽可能多的牙签:

-每个新牙签必须水平或垂直放置。

-两支牙签永远不会交叉。

-每个新牙签的中点必须正好接触一个现有牙签的端点。

这个序列给出了n个阶段后牙签的数量。邮编:A139251(第一个差异)给出在第n阶段添加的数字。

如果牙签的末端没有碰到其他牙签,就称它为“暴露的”。生长规律可以表述为:在每个阶段,放置新牙签,使其中点接触每个暴露的端点。

这相当于二维元胞自动机。动画显示了分形的行为。

经过2^k-1步后,有2^k暴露的端点,都位于与初始牙签垂直的两条线上。下一步,将2^k牙签放在这些线上,只留下4个暴露的端点,位于边长为牙签长度2^(k-1)倍的正方形的角上。-M、 哈斯勒2009年4月14日等。有关证据,请参阅Applegate Pol Sloane的论文。

如果将定义中的第三个条件更改为“每个新牙签的端点必须正好与现有牙签的中点接触”,则获得相同的序列。牙签的配置当然不同于现在的顺序。但如果我们从现在的顺序开始,将每个牙签旋转四分之一圈,然后将整个配置旋转四分之一圈,我们就得到了另一种配置。

如果将定义中的第三个条件更改为“-每个新牙签必须至少有一个端点接触现有牙签的中点”,则获得序列n^2-n+1,因为网格中没有留下孔。

一根长度为2的“牙签”可以看作是一根由两个成分组成的聚酯纤维,它们都在同一条线上。在第n阶段,牙签结构是含有2*a(n)组分的聚醚。

猜想:考虑筛子中的矩形(包括正方形)。每个矩形(A=b*c)和边(b和c)的面积是2的幂次方,但至少有一个边(b或c)小于等于2。

在牙签结构中,如果n>>1,我们可以看到一些类似于“管道”和“衍射图案”的图案。请参见Applegate链接A139250型:the movie version”(电影版本),然后输入n=1008并单击“更新”。另请参见链接部分中的“T平方(分形)”。-奥马尔·E·波尔2009年10月1日

本朱拜因,2009年5月20日:克里斯摩尔的“图库”网页(见链接)有一些漂亮的图片,有点类似于现在的序列图片。它们对应什么序列?

关于与sierpinski三角和Gould序列的联系A001316型,见左派牙签三角形515A166型.

埃里克·罗兰2010年3月15日的评论认为,这种牙签结构可以表示为正方形网格上的5个州的CA。2010年3月18日,大卫·阿普盖特表明三种状态就足够了。请参阅链接。

等于三角形的行和A160570号从偏移量1开始;相当于卷积邮编:A160552:(1,1,3,1,3,5,7,…)与(1,2,2,…)。等于邮编:A160762:(1,0,2,-2,2,2,2,-6,…)与2*n-1卷积:(1,3,5,7,…)。从偏移量1开始等于A151548号:[1,3,5,7,5,11,17,15,…]与A078008号签署(A151575号):[1,0,2,-2,6,-10,22,-42,86,-170,342,…]。-加里·W·亚当森,2009年5月19日,2009年5月25日

有关牙签结构的三维版本,请参见A160160型. -奥马尔·E·波尔2009年12月6日

奥马尔·E·波尔2010年5月20日:(开始)

关于矩形排列的观察:

它似乎有一个很好的模式,由不同的模块化子结构组成:一个中心十字被不同大小的不对称交叉(或“隐藏交叉”)包围,也被交叉的“核”包围。

猜想:在2^k阶段后,对于k>=2,对于m=1到k-1,有4^(m-1)子结构,其尺寸为s=k-m,其中每个子结构有4*s矩形。子结构的总数等于(4^(k-1)-1)/3=A002450(k-1)。例如:如果k=5(经过32个阶段),我们可以看到:

a) 有一个中央十字架,尺寸4,有16个长方形。

b) 有四个隐藏的十字架,大小为3,每个十字架有12个矩形。

c) 有16个隐藏的十字架,大小为2,每个十字架有8个矩形。

d) 有64个交叉的核,大小为1,每个核有4个矩形。

因此,32个阶段后的子结构总数等于85个。注意,在每个子结构的每一个臂上,在潜在增长方向上,矩形的长度是2的幂次方。(请参阅链接中的插图。另请参见A160124型.)(结束)

假设牙签长度为2*k,则在牙签结构第n阶段之后覆盖的网格点数量等于(2*k-2)*a(n)+A1614号公路(n) ,k>0。见公式邮编:A160420邮编:A160422. -奥马尔·E·波尔2010年11月13日

版本“鸥翼”:在半无限正方形网格上,在第一阶段,我们放置一个水平“鸥”,其顶点位于[(-1,2),(0,1),(1,2)]。在第二阶段,我们放置两个垂直的海鸥。在第三阶段,我们放置四只水平海鸥。a(n)也是第n阶段之后的海鸥数量。有关海鸥生长的更多信息,请参见A187220型. -奥马尔·E·波尔2011年3月10日

奥马尔·E·波尔2011年3月12日:(开始)

“I型牙签”:我们将“I型牙签”定义为由两个相连的牙签组成,即一根长度为2的牙签。长度为2的I型牙签由两个长度为1的牙签组成。I型牙签的中点由它的两个牙签接触。a(n)也是I-牙签结构中第n阶段后I-牙签的数量。I-牙签结构基本上是原来的牙签结构,其中每个牙签都由I-牙签代替。请注意,在原牙签结构的物理模型中,新一代木牙签的中点叠加在旧一代木牙签的端点上。然而,在I型牙签结构的物理模型中,木质牙签并不重叠,因为所有木制牙签都是通过端点连接的。有关I-牙签结构中牙签的数量,请参见A160164号这也给出了鸥翼结构中的鸥翼数量,因为鸥翼结构A160164号相当于I型牙签结构。看来鸥翼序列A187220型是原牙签序列的一个超序列A139250型(这个序列)。

有关与Ulam Warburton细胞自动机的连接,请参阅Applegate Pol Sloane论文,另请参阅A160164号A187220型.

(结束)

一种牙签通过其端点连接的版本:在半无限正方形网格上,在第1阶段,我们放置一个长度为1的垂直牙签,从(0,0)开始。在第2阶段,我们放置两个水平牙签(0,1),依此类推。这种布局看起来像是I型牙签结构的一半。a(n)也是第n次之后牙签的数量。-奥马尔·E·波尔2011年3月13日

“四分之一圆”型(或Q型牙签):a(n)也是第一象限Q型牙签结构中第n阶段之后的Q型牙签数量。我们从(0,1)开始,第一个Q-牙签居中于(1,1)。结构是不对称的。对于类似的结构,但从(0,0)开始,请参见邮编:A187212. 看到了吗A187210型A187220型了解更多信息。-奥马尔·E·波尔2011年3月22日

“树”型:似乎a(n)也是按照特殊规则构造的牙签结构中第n阶段之后的牙签数量:新一代牙签放置在无限方格上时,长度为4(注意,每个牙签有4个长度为1的组件),但在每个阶段之后,每一个新一代牙签的四个部件中的一个(或两个)被移除,前提是该部件包含牙签的端点,并且该端点与另一个牙签的中点或端点相接触。牙签截短的末端永远暴露在外。注意,结构中有三种尺寸的牙签:长度为4、3和2的牙签。A1795年给出第n个阶段后结构中组件的总数。A153006号(原版本的转角顺序)给出了第n阶段后结构中构件总数的1/4。-奥马尔·E·波尔2011年10月24日

奥马尔·E·波尔2012年9月16日:(开始)

看来a(n)/A147614号(n) 收敛到3/4。

看来a(n)/A160124型(n) 收敛到3/2。

看来a(n)/邮编:A139252(n) 收敛到3。

也:

看来A147614号(n)/A160124型(n) 收敛到2。

看来A160124型(n)/邮编:A139252(n) 收敛到2。

看来A147614号(n)/邮编:A139252(n) 收敛到4。

(结束)

似乎a(n)也是第n阶段后在中描述的元胞自动机结构象限中的ON单元的总数邮编:A169707加上n+1期后在上述结构的一个象限中的ON细胞总数,没有其中心细胞。请参见中的NW-NE-SE-SW版本的图示邮编:A169707. 另请参见A160164号邮编:A169707. -奥马尔·E·波尔2015年7月26日

在无限的开罗五边形瓷砖上,考虑由两个不相邻的五边形通过连接两个三价节点的线段连接而成的对称图形。在第一阶段,我们首先打开这些数字中的一个。下一阶段的规则是,新一代人物的凹部必须与老一代人物的互补凸部相邻。a(n)给出了第n阶段后结构中打开的图形数。A160164号(n) 给出第n阶段后结构中ON细胞的数量。-奥马尔·E·波尔2018年3月29日

奥马尔·E·波尔2019年3月6日:(开始)

这个序列的“单词”是“ab”。有关元胞自动机的更多信息,请参见A296612号.

“三角网格”版:a(n)也是在无限三角形网格上的牙签结构第n阶段后,长度为2的牙签总数,如果我们只使用三个轴中的两个。否则,如果我们用三个轴,我们就得到了序列A296510号上面有“abc”这个词。

正常的牙签结构可以被认为是乌兰姆-沃伯顿细胞自动机的上层建筑A147562号(n) 这里等于4*n个阶段后的“隐藏交叉”的总数,包括中心十字(当它们的“核”完全由4个四边形构成时,开始计数交叉)。隐藏在“每一个四边形结构中的音符都属于一个四边形结构”。

同时,n期以后的“隐十字”数等于n期以后“六瓣花”的总数A323650型,这似乎是这个序列和A147562号.

注意,“隐藏十字架的核心”的位置与“六瓣花”的位置非常相似(基本相同)A323650型以及在乌兰姆沃伯顿细胞自动机的版本“一步一步主教”中“ON”细胞的位置A147562号. (结束)

参考文献

D、 Applegate,Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,《牙签序列和细胞自动机的其他序列》,Congressus Numerantium,第206卷(2010年),157-191

五十、 普赖尔,《桉树花序性状的遗传》,新南威尔士州林奈学会会刊,第79卷,(1954年),第81页,第83页。

Richard P.Stanley,《计数组合学》,第1卷,第二版,第1章,练习95,图1.28,剑桥大学出版社(2012),第120166页。

链接

N、 J.A.斯隆,n=53n中的n..0

大卫·阿普盖特,电影版

大卫·阿普盖特,前32个阶段的动画

大卫·阿普盖特,前64阶段动画

大卫·阿普盖特,前128个阶段的动画

大卫·阿普盖特,前256级动画

大卫·阿普盖特,生成这些动画的C++程序-为特定的n创建postscript

大卫·阿普盖特,生成许多postscript,将它们转换为gif,并将gif粘在一起形成动画

大卫·阿普盖特,为A139250、A139251、A147614生成b文件

大卫·阿普盖特,A139250、A139251、A147614的b文件并排

大卫·阿普盖特,牙签结构的三州CA

大卫·阿普盖特,奥马尔·E·波尔和N·J·A·斯隆,牙签序列和元胞自动机的其他序列,Congressus Numerantium,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个错误:(13)对于n>=2,应该读为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1),这在arXiv:1004.3036v2

冠军乔,终极牙签图案,照片1,照片2,照片3,照片4博伊西数学圈,博伊西州立大学。[链接更新者P、 迈克尔·哈钦斯2018年3月3日]

巴里·西普拉,接下来是什么?,科学(AAAS)327:943。

史蒂芬·R·芬奇,牙签和活细胞2015年7月21日。[缓存副本,经作者许可]

Ulrich Gehmann,Martin Reiche,世界山地机器,柏林,(2014),第一版,第205、238、253页。

马茨·格兰维克,附加说明:2009年6月21日,每个数字显示正方形网格上的一个点被牙签交叉或连接的次数。

戈登·汉密尔顿,休闲数学中的三个整数序列,视频(2013年?)。

M、 哈斯勒,初始术语说明

M、 哈斯勒,插图(三张幻灯片)

布莱恩·海耶斯,乔舒亚树和牙签

布莱恩·海斯,理想化乔舒亚树,来自“乔舒亚树和牙签”(见前面的链接)

布莱恩·海斯,牙签序列位播放器

贝诺伊特·朱宾,初始术语说明

克里斯·摩尔,画廊,请参阅David Griffeath的细胞自动机部分。

奥马尔·E·波尔,初始术语说明

奥马尔·E·波尔,使用“鸥”(或G牙签)的初始术语说明

奥马尔·E·波尔,使用四分之一圆(或Q型牙签)说明初始术语

奥马尔·E·波尔,牙签结构示意图(23步后)

奥马尔·E·波尔,牙签结构中的图案说明(32步后)

奥马尔·E·波尔,牙签结构中的图案说明(32步后)[缓存副本,有权限]

奥马尔·E·波尔,A139250、A160120、A147562初始术语说明(重叠图)

奥马尔·E·波尔,A160120、A161206、A161328、A161330(三角网格和牙签结构)初始术语说明

奥马尔·E·波尔,32个阶段后第一象限的子结构说明(作为拼图的一部分)

奥马尔·E·波尔,说明32个阶段后,下部结构臂的潜在增长方向

编程谜题和代码高尔夫堆栈交换,生成牙签序列

五十、 普赖尔,初始术语说明(图2a)

五十、 普赖尔,桉树花序性状的遗传《新南威尔士州林奈学会会刊》,第79卷,(1954年),第79-89页。

E、 罗兰,方格网格上元胞自动机的牙签序列

E、 罗兰,方格网格上细胞自动机牙签序列的初始阶段(包括Mathematica代码)

K、 莱德,牙签.

丹尼尔·希夫曼,编码挑战#126:牙签,编码列车视频(2018)

N、 J.A.斯隆,OEIS中牙签和细胞自动机序列目录

N、 斯隆和哈兰,很棒的牙签图案,数字视频(2018)

亚历克斯·范登布兰霍夫和保罗·列维,托克斯坦,毕达哥拉斯,Viskundetijdschrift voor Jongeren,55ste Jaargang,Nummer 6,2016年6月(见封面,第1、18、19页和封底)。

维基百科,开罗五边形瓷砖

维基百科,H树

维基百科,牙签序列

维基百科,分形(T-square)

与牙签序列相关的序列索引条目

元胞自动机相关序列的索引项

公式

a(2^k)=A007583号(k) ,如果k>=0。

a(2^k-1)=A006095号如果k+1),则。

a(A000225(k) )-一个((A000225(k) -1)/2)=A006516号(k) ,如果k>=1。

a(A000668号(k) )-一个((A000668号(k) -1)/2)=A000396号(k) ,如果k>=1。

G、 (1*x..x(1*x x)(1*x x(1+2))(k*2(k+2))。-N、 斯隆2009年5月20日,2009年6月5日

可以证明lim sup a(n)/n^2=2/3,并且lim inf a(n)/n^2是0.451。。。-贝诺伊特朱宾2009年4月15日和2010年1月29日,N、 斯隆2010年1月29日

观察:a(n)mod 4==3,n>=2。-詹姆·奥利弗·拉丰2009年2月5日

a(2^k-1)=A000969号(2^k-2),如果k>=1。-奥马尔·E·波尔2010年2月13日

似乎a(n)=(A187220型(n+1)-1)/2。-奥马尔·E·波尔2011年3月8日

a(n)=4*A153000(n-2)+3,如果n>=2。-奥马尔·E·波尔2011年10月1日

看来a(n)=邮编:A160552(n) +(邮编:A169707(n) -1)/2,n>=1。-奥马尔·E·波尔2015年2月15日

看来a(n)=A255747号(n)+A255747号(n-1),n>=1。-奥马尔·E·波尔2015年3月16日

设n=msb(n)+j,其中msb(n)=A053644号(n) 设a(0)=0。则a(n)=(2*msb(n)^2+1)/3+2*a(j)+a(j+1)-1。-大卫·A·科尼思2015年3月26日

似乎a(n)=(邮编:A169707(n) -1)/4+(邮编:A169707(n+1)-1)/4,n>=1。-奥马尔·E·波尔2015年7月24日

例子

a(10^10)=5201059427060810683-大卫·A·科尼思2015年3月26日

枫木

G:=(x/((1-x)*(1+2*x))*(1+2*x*mul(1+x^(2^k-1)+2*x^(2^k),k=0..20))#N、 斯隆2009年5月20日,2009年6月5日

#从N、 斯隆2009年12月25日:A139250型是T,邮编:A139251是一个。

a: =[0,1,2,4];T:=[0,1,3,7];M:=10;

对于k从1到M do

a: =[操作(a),2^(k+1)];

T: =[op(T),T[nops(T)]+a[nops(a)];

对于j从1到2^(k+1)-1 do

a: =[操作(a),2*a[j+1]+a[j+2]];

T: =[op(T),T[nops(T)]+a[nops(a)];

外径:外径:a;T;

数学

系数列表[系列[(x/((1-x)*(1+2x)))(1+2x*乘积[1+x^(2^k-1)+2*x^(2^k),{k,0,20}]),{x,0,53}],x](*罗伯特·G·威尔逊五世2010年12月6日*)

a[0]=0;a[n_x]:=a[n]=模[{m,k},m=2^(长度[整数位数[n,2]]-1);k=(2m^2+1)/3;若[n==m,k,k+2a[n-m]+a[n-m+1]-1]];表[a[n],{n,0,100}](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2018年10月6日,之后大卫·A·科尼思*)

黄体脂酮素

(平价)

A139250型(n,print_all=0)={my(p=[],/*一组“已用”点。点被写成复数,c=x+iy。牙签的长度是2*/

ee=[[0,1]],/*一系列(公开的)端点。暴露端点列为[c,d],其中c=x+iy是端点的位置,d(unimodular)是方向*/

c、 d,ne,cnt=1);全部打印&&print1(“0,1”);n<2&&return(n);

对于(i=2,n,p=setunion(p,Set(Mat(ee~)[,1]));/*添加从上一次移动到“已使用”点的端点(放弃方向)*/

ne=[];/*新的(公开的)端点*/

对于(k=1,#ee,/*添加新牙签的端点(如果不在使用点之间)*/

setsearch(p,c=ee[k][1]+d=ee[k][2]*I)| | ne=setunion(ne,Set([[c,d]]);

setsearch(p,c-2*d)| | ne=集合联合(ne,Set([[c-2*d,-d]]));

);/*使用Set()我们对点进行了排序,因此很容易删除那些最终没有暴露出来的点,因为它们接触了新的牙签*/

步骤(k=#ee=eval(ne),2,-1,ee[k][1]==ee[k-1][1]&&k--&&ee=vecextract(ee,Str(“^”k“.”,k+1));

cnt+=#ee;/*每个暴露的端点将提供一个新的牙签*/

全部打印&&print1(“,”cnt));cnt}\\M、 哈斯勒2009年4月14日

(平价)

\\适用于n>0

a(n)={my(k=(2*msb(n)^2+1)/3);如果(n==msb(n),k,k+2*a(n-msb(n))+a(n-msb(n)+1)-1}

msb(n)=my(t=0);而(n>>t>0,t++);2^(t-1)\\大卫·A·科尼思2015年3月26日

(蟒蛇)

msb(定义):

t=0

当n>>t>0时:

t+=1

返回2**(t-1)

定义a(n):

k=(2*msb(n)**2+1)/3

如果n==0 else k如果n==msb(n)else k+2*a(n-msb(n))+a(n-msb(n)+1-1,则返回0

[a(n)表示范围(101)中的n]#印度教2017年7月1日,之后大卫·A·科尼思的对等脚本

交叉引用

囊性纤维变性。A000079号,邮编:A139251,邮编:A139252,邮编:A139253,A147614号,A139560号,邮编:A152968,邮编:A152978,邮编:A152980,A152998年,A153000,A153001号,A153003号,A153004号,A153006号,A153007号,A000217,A007583号,68073年,A000396号,A000225,A000668号,A006516号,A0065年,A019988年,A160570号,邮编:A160552,A000969号,A001316型,A151566号,邮编:A160406,邮编:A160408,邮编:A160702,A078008号,A151548号,A001045型,A147562号,A160120型,A160160型,A160170型,A160172号,A161206型,A1618号,邮编:A161330,A002450,A160124型,A296510号,A296612号,A299476号,A299478号,A323650型.

上下文顺序:邮编:A169626 邮编:A160808 邮编:A151567*A256265号 甲266535 邮编:A182634

相邻序列:邮编:A139247 A139248 A12439号*邮编:A139251 邮编:A139252 邮编:A139253

关键字

,,美好的

作者

奥马尔·E·波尔2008年4月24日

扩展

验证和扩展,a(49)-a(53),使用给定的PARI代码M、 哈斯勒2009年4月14日

编辑N、 斯隆2009年4月29日,合并来自奥马尔·E·波尔,M、 哈斯勒,罗伯·普拉特,詹姆·奥利弗·拉丰,富兰克林·T·亚当斯·沃特斯,R、 J.马萨,大卫·W·威尔逊,大卫·阿普盖特,贝诺伊特朱宾以及其他人。

进一步编辑N、 斯隆2010年1月28日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年9月26日22:53。包含337377个序列。(运行在oeis4上。)