%I#362 2024年3月30日02:45:11

%S 1,9,25,49,8112116922528936144152962572984196110891225，

%电话：1369152116811849202522092401260128093025324934813721，

%电话：396942254489476150415329562592962416561688972257569

%N奇数方块：a（N）=（2n+1）^2。同样居中的八角数字。

%C棕色大鼠（rattus norwegicus）繁殖很快。从三个月大的时候开始，它可以一年生7次其他老鼠。幼崽的平均数量是8只。现在的序列给出了老鼠的总数，时间间隔为一年中的12/7，幼鼠在一年中24/7开始生育后代_汉斯·伊斯达尔，2008年1月26日

%C数字n，使得tau（n）是奇数，其中tau（x）表示Ramanujan tau函数（A000594）_Benoit Cloitre_，2003年5月1日

%C如果Y是（2n+1）集X的固定2-子集，则a（n-1）是与Y.-Milan Janjic_，2007年10月21日相交的X的3-子集的数目

%[1,8,8,0,0,0，…]的C二项式变换；[1，8，0，0，…]的Narayana变换（A001263）。-_Gary W.Adamson_，2007年12月29日

%C此序列的所有项均为8k+1形式。关于非正方形的数字8k+1，请参见A138393。如果k是来自A000217的三角形数，则数字8k+1是正方形。正方形的形式为4n（n+1）+1_阿图尔·贾辛斯基（Artur Jasinski），2008年3月27日

%C序列产生于从1读取直线，方向为1、25。。。以及从9开始的直线，在9、49、……方向。。。，在正方形螺旋中，其顶点为正方形A000290。-_Omar E.Pol_，2008年5月24日

%C A061038的第一个四边形：A061038（4n）_Paul Curtz，2008年10月26日

%C等于与[1，6，1，0，0，…]卷积的三角形数_Gary W.Adamson_&_Alexander R.Povolotsky，2009年5月29日

%C第一个差异：对于n>0，A008590（n）=a（n）-a（n-1）_Reinhard Zumkeller_，2009年11月8日

%C A176271中三角形的中心项；参见A000466、A053755_Reinhard Zumkeller_，2010年4月13日

%奇数丰度为奇数的奇数。奇数和偶数在A088828中。奇数丰度的偶数在A088827中。A088829中包含偶数和偶数_雅罗斯拉夫·克里泽克，2011年5月7日

%C作为分子出现在Pi-3的非简单连分式展开式中：Pi-3=K_{K>=1}（1-2*K）^2/6=1/（6+9/（6+25/（6+49/（6+…））），另见A007509中的注释_Alexander R.Povolotsky，2011年10月12日

%乌拉姆螺旋（东南辐条）_Robert G.Wilson v_，2011年10月31日

%C所有术语以1、5或9结尾。模100，所有项都在{1，9，21，25，29，41，49，61，69，81，89}之间_M.F.Hasler，2012年3月19日

%C三角形A214604和A214661的右边缘：a（n）=A214604（n+1，n+1）=A24661（n+1、n+1）。-_Reinhard Zumkeller，2012年7月25日

%C另外：具有奇数除数和的奇数（=σ=A000203）_M.F.Hasler，2013年2月23日

%C考虑带斜边C（A020882）的本原毕达哥拉斯三角形（a^2+b^2=C^2，gcd（a，b）=1）和各自的偶数边b（A231100）；序列给出了值c-b，按删除重复项进行排序_K.G.Stier，2013年11月4日

%C对于n>1，a（n）是由点（（n-2）*（n-1），（n-1）*n/2），（（n-1）*n/2，n*（n+1）/2），（（n+1）*（n+2）/2，n*（n+1）/2）和（（n+2）*（n+3）/2，（n+1）*（n+2）/2）创建的不规则四边形面积的两倍。-_J.M.Bergot，2014年5月27日

%C Z^2的对数（x，y），例如max（abs（x），abs（y））<=n.-Michel Marcus，2014年11月28日

%C除a（1）=4外，基于5细胞von Neumann邻域，“规则737”定义的二维细胞自动机第n个生长阶段的活动（ON，黑色）细胞数_Robert Price_，2016年5月23日

%C a（n）是2n+1个连续数字的和，其中第一个数字是n+1_Ivan N.Ianakiev，2016年12月21日

%C a（n）是所有元素都在{0..n}中且行列式=2*永久的2X2矩阵的数目_Indranil Ghosh，2016年12月25日

%C Pi*Struve_0（1）/2的恩格尔展开式，其中Struve_0（1）为A197037。-_Benedict W.J.Irwin，2018年6月21日

%考虑通过增加Z来排序的所有勾股三元组（X，Y，Z=Y+1）；斜边{p=a（n）/A001844（n），q=A060300（n）/A001844_拉尔夫·斯坦纳（Ralf Steiner），2020年2月25日

%C a（n）是用于平铺类型2（A344332）基本正方形的大或小正方形数_伯纳德·肖特，2021年6月3日

%C此外，奇数除数为奇数的正奇数整数（对于与“偶数”类似的序列，请参见A348005）。-_伯纳德·肖特，2021年11月21日

%C a（n）是最小奇数k=x+y，其中0<x<y，因此有n个不同的对（x，y），其中x*y/k是整数；例如，a（2）=25，对应的两对是（5,20）和（10,15）。与“偶数”类似的序列是A016742（见2018年1月26日的评论）_伯纳德·肖特，2023年2月24日

%D L.Lorentzen和H.Waadeland，《续分数及其应用》，北荷兰，1992年，第586页。

%H Paolo Xausa，n表，n=0..9999的a（n）

%H Jeremiah Bartz、Bruce Dearden和Joel Iiams，<a href=“https://arxiv.org/abs/1810.07895“>差额平衡数类别，arXiv:1810.07895[math.NT]，2018。

%H Bruce C.Berndt和Ken Ono，<a href=“http://www.mat.univie.ac.网址：/~slc/wppapers/s42berndt.html“>Ramanujan关于分区和tau函数的未发表手稿，以及证明和注释，séminaire Lotharingien de Combinatoire，B42c（1999），63 pp。

%约翰·埃利亚斯（H John Elias），插图：乌拉姆螺旋的8倍方形级数</a>

%H米兰Janjic，<a href=“https://pmf.unibl.org/janjic/“>两个枚举函数https://www.semanticscholar.org/paper/Two-Enumerative-Functions-Janjic/801b6b226bfe1d6b002fb4946c3957d7052132bd？p2df“>语义学者。

%H《科学美国人》，1964年3月版封面。

%H Amelia Carolina Sparavigna，<a href=“http://doi.org/10.5281/zenodo.3247003“>OEIS A002378和A016754数字的群胚（长方形和奇数平方）</a>，Politecnico di Torino（意大利，2019）。

%H Leo Tavares，插图：菱形三角形</a>

%H Leo Tavares，插图：钻石之星</a>

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/MooreNeighborhood.html“>摩尔社区。

%H<a href=“/index/Ce#CENTRALCUBE”>与居中多边形数相关的序列的索引条目</a>

%H<a href=“/index/Rec#order_03”>具有常系数的线性重复出现的索引条目，签名（3，-3,1）。

%F a（n）=1+和{i=1..n}8*i=1+8*A000217（n）.-Xavier Acloque，2003年1月21日_扎克·塞多夫，2006年5月7日_Robert G.Wilson v_，2010年12月29日

%财务报表：（1+6*x+x^2）/（1-x）^3.-_R.J.Mathar，2008年1月11日

%F a（n）=4*n*（n+1）+1=4*n^2+4*n+1。-_阿图尔·贾辛斯基（Artur Jasinski），2008年3月27日

%F和{n>=0}1/a（n）=Pi^2/8_Jaume Oliver Lafont_，2009年3月7日

%F a（n）=A000290（A005408（n））_Reinhard Zumkeller_，2009年11月8日

%F a（n）=a（n-1）+8*n，n>0，a（0）=1_Vincenzo Librandi_，2010年8月1日

%F a（n）=A033951（n）+n.-Reinhard Zumkeller_，2009年5月17日

%F a（n）=A033996（n）+1.-_Omar E.Pol，2011年10月3日

%F a（n）=（A005408（n））^2.-_扎克·塞多夫，2011年11月29日

%F From _ George F.Johnson，2012年9月5日：（开始）

%F a（n+1）=a（n）+4+4*sqrt（a（n））。

%F a（n-1）=a（n）+4-4*sqrt（a（n））。

%F a（n+1）=2*a（n）-a（n-1）+8。

%F a（n+1）=3*a（n）-3*a（n-1）+a（n-2）。

%F（a（n+1）-a（n-1））/8=sqrt（a（n））。

%F a（n+1）*a（n-1）=（a（n）-4）^2。

%F a（n）=2*A046092（n）+1=2*A001844（n）-1=A046092。

%F极限{n->oo}a（n）/a（n-1）=1。（结束）

%F a（n）=二项式（2*n+2,2）+二项式_John Molokach，2013年7月12日

%例如：（1+8*x+4*x^2）*exp（x）.-_伊利亚·古特科夫斯基，2016年5月23日

%F a（n）=A101321（8，n）_R.J.Mathar，2016年7月28日

%F产品{n>=1}A033996（n）/a（n）=Pi/4.-_Daniel Suteu，2016年12月25日

%F a（n）=A014105（n）+A000384（n+1）。-_Bruce J.Nicholson，2017年11月11日

%F a（n）=A003215（n）+A002378（n）.-_Klaus Purath，2020年6月9日

%F From _Amiram Eldar_，2020年6月20日：（开始）

%F和{n>=0}a（n）/n！=13*e。

%F和{n>=0}（-1）^（n+1）*a（n）/n！=3/e.（结束）

%F和{n>=0}（-1）^n/a（n）=A006752_Amiram Eldar_，2020年10月10日

%F From _Amiram Eldar_，2021年1月28日：（开始）

%F乘积{n>=0}（1+1/a（n））=cosh（Pi/2）。

%F产品{n>=1}（1-1/a（n））=Pi/4（A003881）。（结束）

%F From _Leo Tavares_，2021年11月24日：（开始）

%F a（n）=A014634（n）-A002943（n）。请参见菱形三角形图示。

%F a（n）=A003154（n+1）-A046092（n）。请参见钻石星插图。（结束）

%F From _Peter Bala，2024年3月11日：（开始）

%F总和{k=1..n+1}1/（k*a（k）*a（k-1））=1/（9-3/（17-60/（33-315/（57-…-n^2*（4*n^2-1）/（（2*n+1）^2+2*2^2））））。

%F 3/2-2*log（2）=和{k>=1}1/（k*a（k）*a（k-1））=1/（9-3/（17-60/（33-315/（57-…-n^2*（4*n^2-1）/（2*n+1）^2+2*2^2-…））））。

%A142992第2行。（结束）

%F From _Peter Bala，2024年3月26日：（开始）

%F 8*a（n）=（2*n+1）*（a（n+1）-a（n-1））。

%F和{n>=0}（-1）^n/（a（n）*a（n+1））=1/2-Pi/8=1/（9+（1*3）/（8+（3*5）/（8+…+（4*n^2-1）/（8%…））））。对于连续分数，使用Lorentzen和Waadeland，第586页，方程4.7.9，n=1。参见A057813。（结束）

%t A016754[nmax_]：=范围[1,2nmax+1,2]^2；A016754[100]（*_Paolo Xausa_，2023年3月5日*）

%o（PARI）A016754（n）=（n<<1+1）^2\\_Charles R Greathouse IV_，2011年6月16日，由M.F.Hasler_修订，2023年4月11日

%o（哈斯克尔）

%o a016754 n=a016754_列表！！n个

%o a016754_list=扫描（+）1$tail a008590_list

%o——Reinhard Zumkeller，2012年4月2日

%o（最大值）A016754（n）：=（n+n+1）^2$

%o名单（A016754（n），n，0,20）；/*_Martin Ettl，2012年11月12日*/

%o（岩浆）[1..100 x 2]中的n^2:n；//_Vincenzo Librandi_，2017年1月3日

%o（Python）

%o定义A016754（n）：返回（（n<<1）|1）**2#_Chai Wah Wu_，2023年7月6日

%Y参考A000290、A000384、A001263、A001539、A001844、A003881、A005408、A006752、A014105、A016742、A016802、A016814、A016826、A016838、A033996、A046092、A060300、A138393、A167661、A167700。

%Y参考A000447（部分金额）。

%Y参见A005917、A344330、A344332。

%Y参考A348005。

%Y A022144的部分总和。

%方形螺旋四轴上的Y序列：从0:A001107、A033991、A007742、A033954开始；从1:A054552、A054556、A054567、A033951开始。

%方形螺旋四条对角线上的Y序列：从0:A002939=2*A000384、A016742=4*A000290、A002943=2*A014105、A033996=8*A000217开始；从1:A054554、A053755、A054569、A016754开始。

%通过读取X轴和Y轴以及方形螺旋的两条主对角线上的交替项获得的Y序列：从0:A035608开始，A156859，A002378=2*A0002117，A137932=4*A0002620；从1:A317186、A267682、A002061、A080335开始。

%Y参考A014634、A003154。

%K nonn，简单

%0、2

%A _N.J.A.斯隆_

%E 2002年4月6日小特雷尔·特罗特的补充说明