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图形路径


图中的路径G公司是的子图G公司那是一个路径图(West 2000,第20页)。长度路径包含的边数。

在大多数情况下,路径必须至少包含一条边,但在某些应用程序中(例如,定义路径覆盖数),允许由单个顶点组成的长度为0的“退化”路径(博埃什等。1974).

s、 t吨-路径是其端点(顶点)的路径1)是具有不同索引的顶点秒t吨.(符号u个v(v)也是常用的。)一张单人床s、 t吨-路径可以在沃尔夫拉姆语言使用查找路径[,,t吨],同时查找路径[,,t吨,kspec公司,n个]最多找到个n个长度路径kspec公司(其中kspec公司可能是无穷n个可能是全部).

对于简单的图,路径等价于追踪并且完全由一个有序的顶点序列指定。对于简单图形G公司,一个哈密顿的路径是包含所有顶点的路径G公司(以及其端点不相邻)。

(无向)的数量k个-从顶点秒到顶点t吨在图中邻接矩阵 A类(秒,吨)的元素A^k公司(费斯汀格1949)。为了计算这个数字p_k(_k)图路径的个数,全部关闭k个-必须减去非路径的行走。

的前几个矩阵k个-路径确认(_k)可以通过以下方式以闭合形式给出

第1页=A类
(1)
第2页=二维图(A^2)
(2)
第3页=A^3-图(A^2)A-Adiag(A^2)+A×A^(T)-diag(A^3)
(3)

(卢斯和佩里1949年,卡茨1950年,罗斯和哈拉里1952年,佩雷佩奇科和沃罗帕耶夫),其中诊断(A)是由对角元素A类×表示矩阵元素的乘法。

此外k个-循环与相关P_ k(_k)通过

 c_k=1/(2k)Tr(P_(k-1)A),
(4)

哪里Tr公司表示跟踪。

吉斯卡尔等。(2016)给出了路径矩阵的公式,给出了k个-路径来自我j个作为

 P_k=(-1)^(k+1)总和_(H≺_(conn)G)(|N(H)|;k+1-|H|)(-1)^(|H|)A|_H^k,
(5)

其中和是过连通诱导子图H(H)属于G公司包含两者我j个,N(高)表示的邻居数量H(H)在里面G公司(即顶点v(v)属于G公司不在中的H(H)并且至少有一条边v(v)到的顶点H(H)),Tr公司表示矩阵跟踪,以及(A|_H^k)_(ij)(i,j)的第个元素k个的邻接矩阵的次方阵幂G公司限制于连通诱导子图H(H),即

 对于i,(A|_H)_(ij)={A_(ii),在H中为j;否则为0,
(6)

具有G中的(i,j).


另请参见

循环多项式,图形周期,哈密顿路径,路径封面号码,路径图,路径多项式的,小径,步行

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Boesch,F.T。;陈,S。;和McHugh,J.A。M。“关于用点不联合路径覆盖图的点。”和组合数学(编辑R.A.Bari和F.Harary)。柏林:Springer-Verlag,第201-212页,1974年。Giscard,P.-L.和Rochet,P.“枚举连通诱导子图的简单路径。“2016年6月1日。https://arxiv.org/abs/11606.00289.吉斯卡尔,P.-L。;Kriege,N。;和Wilson,R.C。“通用计数算法任意长度的简单循环和简单路径。“2016年12月16日。https://arxiv.org/pdf/1612.05531.pdf.费斯汀格,L.“使用矩阵代数分析社会图”人际关系 2,153-158, 1949.Katz,L.“矩阵代数在组织内部人际关系研究。“大学统计研究所北卡罗来纳州的Mimeograph系列,1950年。卢斯,R.D。和佩里,公元。“集团结构矩阵分析方法”心理测量学 14,95-116, 1949.佩雷佩奇科,S.N。和Voropaev,A.N。无向图中的固定长度循环数。在以下情况下的显式公式小长度。"Roberts,B.和Kroese,D.P。“估算的数量标准时间图中的路径。"J.图形算法应用。 11, 195-214, 2007.罗斯,国际商会。和Harary,F.“论社会计量学中冗余的确定链。"心理测量学 17, 195-208, 1952.勇敢的,L.G.公司。“枚举的复杂性和可靠性问题。”暹罗J.计算 8, 410-421, 1979.D.B.韦斯特。介绍图论,第二版。新泽西州恩格尔伍德克利夫斯:普伦蒂斯·霍尔,第20页,2000

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“图形路径”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/GraphPath.html

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