%I M2638 N1049#557 2024年4月5日00:37:16

%S 1,1,3,7,13,21,31,43,57,73,91111133157211241273307343381，

%电话：4214635075536016517037578138719319931057112311911261，

%电话：13331407148315611641172318071893198120712163225723532451255126553

%N中心多边形数：a（N）=N^2-N+1。

%C这些是由符号表示的霍格本中心多边形数字

%C。。。2....

%C。。。。第…页。。。

%C。。。2.编号。。

%C（带三个附件的P）。

%C也是n×n可逆{0,1}矩阵可以具有的最大1个数。（见哈尔莫斯的证明）-费利克斯·戈德伯格（felixg（AT）tx.technion.ac.il），2001年7月7日

%C n个相交圆形成的内部区域的最大数量，当n>=1时。-_Amarnath Murthy，2001年7月7日

%C这些项是n个连续奇数中最小的，其和为n^3:1，3+5=8=2^3，7+9+11=27=3^3等

%C（n*a（n+1）+1）/（n^2+1）是形式（n*k+1）/_Benoit Cloitre_，2002年5月2日

%C对于n>=3，a（n）也是n阶车轮图W（n）中的循环数。-Sharon Sela（sharonsela（AT）hotmail.com），2002年5月17日

%C设b（k）定义如下：b（1）=1，b（k+1）>b（k；则对于n>0，b（n）=a（n）_Benoit Cloitre_，2002年8月23日

%删除前三个术语。那么n*a（n）+1=（n+1）^3。例如，7*1+1=8=2^3，13*2+1=27=3^3，21*3+1=64=4^3等。-Amarnath Murthy_，2002年10月20日

%C接下来2n-1个数字的算术平均值_Amarnath Murthy，2004年2月16日

%C算术级数的第n项，具有第一项1和公共差n:a（1）=1->1，2，3，4，5。。。；a（2）=3->1，3。。。；a（3）=7->1、4、7。。。；a（4）=13->1，5，9，13，…-_Amarnath Murthy，2004年3月25日

%完全图K_{n+1}（n>=1）的任意两个不同顶点之间长度为3的游动次数。示例：a（2）=3，因为在完整的图ABC中，在a和B之间有以下长度为3的行走：ABAB、ACAB和ABCB_Emeric Deutsch，2004年4月1日

%[1,2,0,0,0，…]=[1,3,7,13,21，…]的C Narayana变换。设M=A001263的无穷下三角矩阵，V=向量[1，2，0，0，…]。然后A002061启动（1、3、7…）=M*V.-_Gary W.Adamson_，2006年4月25日

%C序列3、7、13、21、31、43、57、73、91、111。。。是重复应用映射n->n+2*n的平方余n时3的轨迹，参见A094765。

%C也是n^3模式（n^2+1）。-_扎克·塞多夫，2006年8月31日

%C此外，省略第一个1，即A081344的主对角线_扎克·塞多夫，2006年10月5日

%C忽略第一个，它们是具有整数尺寸的矩形平行六面体，具有整数内部对角线。使用毕达哥拉斯：sqrt（a^2+b^2+c^2）=d，一个整数；那么这个序列：sqrt（n^2+（n+1）^2+（n（n+1））^2）=2T_n+1是第一个也是最简单的例子。问题：是否存在不满足以下一般公式的整数对角线？sqrt（（k*n）^2+（k*（n+（2*m+1）））^2+_Marco Matosic_，2006年11月10日

%C A055494中列出了使a（n）为素数的数字n。素数a（n）列在A002383中。所有术语都很奇怪。a（n）的基本因子列在A007645中。3除a（3*k-1），7除a（7*k-4）和a（7*k-2），7^2除a（7 ^2*k-18）和a，13^2除a（13^2*k+23）和a（13*2*k-22），13^3除a（13 ^3*k+1037）和a（13^3*k-1036）_Alexander Adamchuk，2007年1月25日

%A135668的C补体。-_基伦·麦克米兰（Kieren MacMillan），2007年12月16日

%C摘自William A.Tedeschi，2008年2月29日：（开始）

%C 2n X 2n螺旋主对角线上的数字（排序）。例如，当n=2时：

%C。

%C 7--8-9-10

%抄送||

%C 6 1--2 11

%抄送|||

%C五四3 12

%C|

%丙16-15-14-13

%C、。

%C参见A137928。（结束）

%C a（n）=Alexander多项式[n]定义为Det[Transpose[S]-n S]，其中S是Seifert矩阵{{-1，1}，{0，-1}}_阿图尔·贾辛斯基（Artur Jasinski），2008年3月31日

%C起始（1，3，7，13，21，…）=[1，2，2，0，0，0]的二项式变换；示例：a（4）=13=（1，3，3，1）点（1，2，2，0）=（1+6+6+0）_Gary W.Adamson_，2008年5月10日

%C启动（1，3，7，13，…）=三角形A158821*[1，2，3，…].-_Gary W.Adamson，2009年3月28日

%C从偏移量1开始=三角形A128229*[1,2,3，…].-_Gary W.Adamson，2009年3月26日

%C a（n）=k，这样地板（（1/2）*（1+平方（4*k-3））+k=（n^2+1），即A000037（a（n_Jaroslav Krizek，2009年6月21日

%C对于n>0:a（n）=A170950（A002522（n-1））_Reinhard Zumkeller_，2010年3月8日

%C摘自德国电子报，2010年9月23日：（开始）

%C a（n）也是扇形图F（n）的维纳指数。扇形图F（n）定义为通过将n节点路径图的每个节点与一个附加节点连接而获得的图。连通图的维纳指数是图中所有无序顶点对之间距离的总和。图F（n）的维纳多项式是（1/2）t[（n-1）（n-2）t+2（2n-1）]。示例：a（2）=3，因为相应的扇形图是3个节点（三角形）上的循环，距离为1、1和1。

%C（结束）

%对于序列的所有元素k=n^2-n+1，sqrt（4*（k-1）+1）是一个整数，因为4*（k-1）+1=（2*n-1）^2是一个完美的正方形。构建该序列与A000225的交集时，k的形式可以是k=2^x-1，这仅适用于k=1、3、7、31和8191。[证明：仍然4*（k-1）+1=2^（x+2）-7必须是一个完美的正方形，它具有A060728提供的有限个解：x=1、2、3、5或13。]换句话说，序列A038198定义了该序列中形式为2^x-1的所有元素。例如k=31=6*6-6+1；平方（（31-1）*4+1）=平方（121）=11=A038198（4）.-_Alzhekeyev Ascar M_，2011年6月1日

%C a（n）使得A002522（n-1）*A002521（n）=A00252二（a（n_Michel Lagneau，2012年2月10日

%C A214661中三角形的左边缘：a（n）=A214661（n，1），当n>0时_Reinhard Zumkeller_，2012年7月25日

%当n>0时，C a（n）=A215630（n，1）；a（n）=A215631（n-1，1），当n>1_Reinhard Zumkeller_，2012年11月11日

%C和{n>0}弧坐标（a（n））=Pi/2.-_Franz Vrabec，2012年12月2日

%C如果你画一个三角形，一边是单位长度，一边是长度n，它们之间的角度为Pi/3弧度，那么三角形第三边的长度将是a（n）的平方根。-_Elliott Line，2013年1月24日

%C a（n+1）是数字j，即j^2=j+m+sqrt（j*m），对应的数字m由A100019（n）给出。此外：sqrt（j*m）=A027444（n）=n*a（n+1）_理查德·福伯格（Richard R.Forberg），2013年9月3日

%C设p（x）n-1次插值多项式通过n个点（n，n）和（1,1），（2,1）。。。，（n-1，1）。则p（n+1）=a（n）_Giovanni Resta_，2014年2月9日

%C平方根的数量>=sqrt（n）和<n+1（n>=0）给出了基本相同的序列，即1、3、7、13、21、31、43、57、73、91、111、133、157、183、211……-_Michael G.Kaarhus，2014年5月21日

%C对于n>1:a（n）是在[n+1]X[n+1]棋盘上可以共存而不相互攻击的皇后的最大总数。具体来说，这将是一个单一颜色的孤单女王，放置在棋盘周边的任何位置，面对对手的“军队”，大小为a（n）-1==A002378（n-1）_Bob Selcoe，2015年2月7日

%对于n>=1，C a（n+1）是n阶有限射影平面的点数和线数（参见Hughes和Piper，1973，定理3.5，第79-80页）。对于n=3，a（4）=13，见维基百科链接第2.3节中的“有限示例”，了解点线矩阵。-Wolfdieter Lang_，2015年11月20日

%费曼三角问题推广解的分母。如果三角形的每个顶点都沿对边与点（1/p）相连（例如顺时针测量），则由这些直线形成的内部三角形的面积等于（p-2）^2/（p^2-p+1）乘以原始三角形的面积，p>2。例如，当p＝3时，面积的比率是1/7。面积比的分子由A000290给出，偏移量为2。[库克与伍德，2004年]-乔·马拉斯科，2017年2月20日

%边长为1 X 1 X 1的Cn^2等边三角形瓷砖可以放在一起形成n X n X n三角形。对于n>=2 a（n-1），是包含的不同2 X 2 X 2三角形的数量_海因里希·路德维希（Heinrich Ludwig），2017年3月13日

%C对于n>=0，连分式[n，n+1，n+2]=（n^3+3n^2+4n+2）/（n^2+3n+3）=A034262（n+1）/a（n+2；例如，[2，3，4]=A034262（3）/a（4）=30/13=2+4/13。-_Rick L.Shepherd_，2017年4月6日

%C从b（1）=1开始，不允许数字0，设b（n）=序列中尚未出现的最小非负整数，使得b（n-1）的最后一个数字加上b（n。。。，9.这定义了9个有限序列，每个序列的长度等于a（k），k=1。。。，9.（关于k=5..9的情况，请参见A289283-A289287。）对于k=10，序列是无限的（A289288）。例如，对于k=4，b（n）=1,3,11,31,32,2,21,33,12,22,23,13,14。这些术语可以按以下大小k*（k-1）+1的数组排序：

%C 1 2 3号机组

%C 21 22 23号

%C 31 32 33

%丙11 12 13 14

%C、。

%C序列以项1k结束，该项位于矩形阵列之外，并给出项+1（见链接）_恩里克·纳瓦雷特（Enrique Navarrete），2017年7月2日

%C在奇数大小为2*n+1的组中写入自然数时，中间的多边形数字是分隔符（在下面的括号中），从大小为1的组{2}开始：（1）2（3）4,5,6（7）8,9,10,11,12（13）14,15,16,17,18,19,20（21）22,23,24,25,26,27,28,29,30（31）32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42（43）…-_恩里克·纳瓦雷特，2017年7月11日

%C也是n圈图中（非空）连通诱导子图的数目_Eric W.Weisstein_，2017年8月9日

%C由于（n+1）^2-（n+1_罗恩·诺特，2017年11月14日

%C二进制2X（n-1）矩阵的数量，使得每行和每列最多有一个1。-_Dmitry Kamenetsky，2018年1月20日

%C观察到主教访问的广场在螺旋编号板上移动，从第二学期开始，每一步移动到可用的最低未访问广场（参见A316667）。应该注意的是，主教只会沿着螺旋线的第一条对角线走到正方形_本杰明·奈特，2019年1月30日

%C From _Ed Pegg Jr_，2019年5月16日：（开始）

%C是n子集覆盖的界。差异集涵盖了A138077中的值。

%C C（7,3,2}，{1,2,4}

%C C（13,4,2}，{0,1,3,9}

%C C（21,5,2}，{3,6,7,12,14}

%C C（31,6,2}，{1,5,11,24,25,27}

%C C（43,7,2}，存在未解决

%C C（57,8,2}，{0,1,6,15,22,26,45,55}

%C接下来的未解决案例是C（111,11,2）和C（157,13,2）。（结束）

%C“在我们仔细研究的范围内，仅当n的形式为n=k（k+1）+1，k=3，4，5，6，7，即n=13，21，31，43和57时，最优填料基本上是不规则的。”（引自Lubachevsky，Graham link，Introduction）_Rainer Rosenthal，2020年5月27日

%C From _Bernard Schott，2020年12月31日：（开始）

%C对于n>=1，a（n）是方程x^2-[x^2]=（x-[x]）^2的区间1<=x<=n中的解数x，其中[x]=楼层（x）。对于n=3，区间[1，3]中的a（3）=7解是1，3/2，2，9/4，5/2，11/4和3。

%C这个序列是1984年第20届英国数学奥林匹克运动会上提出的第四个问题的答案（参见链接B.M.O 1984。和Gardiner参考）。（结束）

%C以英国动物学家、统计学家和作家兰斯洛特·托马斯·霍格本（1895-1975）的名字命名为“霍格本数字”_Amiram Eldar，2021年6月24日

%C顶点为n+1（n>0）的2-退化图的最小维纳指数。通过在两个现有顶点附近迭代添加一个新的2叶（2次顶点），可以从一个2团构造一个最大的2退化图。极值图是直径最大为2.-的极大2-退化图_Allan Bickle_，2022年10月14日

%C a（n）是大小为n的停车功能的数量，避免了模式123、213和312_劳拉·普德维尔，2023年4月10日

%C从k=2开始的a（k）的重复迭代产生西尔维斯特序列，即A000058（n）=a^n（2），其中a^n是a（k）的第n次迭代_Curtis Bechtel_，2024年4月4日

%《阿基米德问题驱动》，尤里卡，22（1959），15。

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%财务报表：（1-2*x+3*x^2）/（1-x）^3.-_西蒙·普劳夫（Simon Plouffe）1992年论文

%F a（n）=-（n-5）*a（n-1）+（n-2）*a。

%F a（n）=Phi_6（n）=Phi_3（n-1），其中Phi_k是第k个分圆多项式。

%F a（1-n）=a（n）.-_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2006年9月4日

%F a（n）=a（n-1）+2*（n-1_Henry Bottomley，2000年10月2日【由N.J.A.Sloane修订】

%F a（n）=A000217（n）+A000217。

%F From _ Paul Barry，2003年3月13日：（开始）

%F x*（1+x ^2）/（1-x）^3是0、1、3、7、13…的g.F。。。

%F a（n）=2*C（n，2）+C（n-1，0）。

%例如：（1+x^2）*exp（x）。（结束）

%F a（n）=天花板（n-1/2）^2）_Benoit Cloitre_，2003年4月16日。[因此，这些项大约位于连续正方形之间的中间，因此（除1之外）不是正方形。-N.J.A.Sloane_，2005年11月1日]

%F a（n）=1+和{j=0..n-1}（2*j）.-Xavier Acloque，2003年10月8日

%F a（n）=楼层（t（n^2）/t（n）），其中t（n）=A000217（n）。-_乔恩·佩里（Jon Perry），2004年2月14日

%F a（n）=M^（n-1）*[1 1 1]中最左边的项，其中M=3 X 3矩阵[1 1 1/0 1 2/0 0 1]。例如，a（6）=31，因为M^5*[1 1 1]=[31 11 1].-_加里·亚当森，2004年11月11日

%F a（n+1）=n^2+n+1。a（n+1）*a（n）=（n^6-1）/（n^2-1）=n^4+n^2+1=a（n^2+1）（此序列中两个连续数字的乘积属于此序列）。（a（n+1）+a（n））/2=n^2+1。（a（n+1）-a（n））/2=n.a（（a（n+1）+a（n）/2）=a（n+1）*a（n_Alexander Adamchuk，2006年4月13日

%F a（n+3）是（（n+1）！+的分子（n-1）！）/不！.-_阿图尔·贾辛斯基（Artur Jasinski），2007年1月9日

%F a（n）=A132111（n-1，1），对于n>1_Reinhard Zumkeller_，2007年8月10日

%F a（n）=Det[转置[{{-1，1}，{0，-1}}]-n{-1，10}，}_阿图尔·贾辛斯基（Artur Jasinski），2008年3月31日

%F a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3），n>=3_Jaume Oliver Lafont_，2008年12月2日

%对于n>0.-，F a（n）=A176271（n，1）_Reinhard Zumkeller_，2010年4月13日

%F a（n）==3（模型n+1）_布鲁诺·贝塞利（Bruno Berselli），2010年6月3日

%F a（n）=（n-1）^2+（n-1_杰森·金伯利（Jason Kimberley），2011年10月18日

%F a（n）=A228643（n，1），对于n>0.-_Reinhard Zumkeller，2013年8月29日

%F a（n）=平方（A058031（n））_理查德·福伯格（Richard R.Forberg），2013年9月3日

%传真：1/（1-x/（1-2*x/（1+x/（1-2*x/）））_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2014年4月3日

%F a（n）=A243201（n-1）/A003215（n-1），n>0.-_马修·恩格兰德（Mathew Englander），2014年6月3日

%F对于n>=2，a（n）=上限（4/（总和{k=A000217（n-1）..A000217）-1}，1/k））_Richard R.Forberg_，2014年8月17日

%F A256188（a（n））=1_Reinhard Zumkeller_，2015年3月26日

%F Sum_｛n>=0｝1/a（n）=1+Pi*tanh（Pi*sqrt（3）/2）/sqrt（3）=2.79814728056269018……-_瓦茨拉夫·科特索维奇，2016年4月10日

%F a（n）=A101321（2，n-1）_R.J.Mathar，2016年7月28日

%F a（n）=A000217（n-1）+A000124（n-1_托拉赫·拉什，2018年8月6日

%F和{n>=1}反弧（1/a（n））=Pi/2.-_Amiram Eldar，2020年11月1日

%F From _Amiram Eldar_，2021年1月20日：（开始）

%F乘积{n>=1}（1+1/a（n））=cosh（sqrt（7）*Pi/2）*sech（sqrt（3）*Pi/1）。

%F产品{n>=2}（1-1/a（n））=Pi*sech（sqrt（3）*Pi/2）。（结束）

%F对于n>1，sqrt（a（n）+sqrtn.-Diego Rattaggi，2021年4月17日

%F a（n）=（1+（n-1）^4+n^4）/（1+_伯纳德·肖特，2021年12月27日

%e.G.f.=1+x+3*x^2+7*x^3+13*x^4+21*x^5+31*x*x^6+43*x^7+。。。

%p A002061:=程序（n）

%p数理论[分圆]（6，n）；

%p端程序：

%p序列（A002061（n），n=0..20）；#_R.J.Mathar，2014年2月7日

%t文件夹列表[#1+#2&，1,2范围[0，50]]（*_Robert G.Wilson v_，2011年2月2日*）

%t线性递归[{3，-3，1}，{1，1，3}，60]（*哈维·P·戴尔，2011年5月25日*）

%t表[n^2-n+1，{n，0，50}]（*_Wesley Ivan Hurt_，2014年6月12日*）

%t系数列表[系列[（1-2x+3x^2）/（1-x）^3，{x，0，52}]，x]（*_Robert G.Wilson v_，2018年2月18日*）

%t分圆[6，范围[0100]]（*Paolo Xausa_，2024年2月9日*）

%o（PARI）a（n）=n^2-n+1

%o（Maxima）标记列表（n^2-n+1，n，0,55）；/*_Martin Ettl，2012年10月16日*/

%o（哈斯克尔）

%o a002061 n=n*（n-1）+1---Reinhard Zumkeller_，2013年12月18日

%o（岩浆）[0..50]]中的[n^2-n+1:n；//_韦斯利·伊万·赫特，2014年6月12日

%o（GAP）列表（[0..50]，n->n^2-*n+1）；#_Muniru A Asiru，2018年5月27日

%Y参见A000037、A000124、A000217、A001263、A001844、A002383、A004273、A005408、A005563、A007645、A014206、A051890、A055494、A091776、A132014、A132382、A135668、A137928、A139250、A256188、A028387。

%方形螺旋四轴上的Y序列：从0:A001107、A033991、A007742、A033954开始；从1:A054552、A054556、A054567、A033951开始。

%方形螺旋四条对角线上的Y序列：从0:A002939=2*A000384、A016742=4*A000290、A002943=2*A014105、A033996=8*A000217开始；从1:A054554、A053755、A054569、A016754开始。

%通过读取X轴和Y轴以及方形螺旋的两条主对角线上的交替项获得的Y序列：从0:A035608开始，A156859，A002378=2*A0002117，A137932=4*A0002620；从1:A317186、A267682、A002061、A080335开始。

%Y参考A010000（3-退化图的最小Weiner指数）。

%K nonn，简单，好，改变了

%0、3

%A _N.J.A.斯隆_

%E部分编辑人：Joerg Arndt_，2010年3月11日

%E部分编辑人：Bruno Berselli，2013年12月19日