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问候整数序列的在线百科全书!)
A000 0595 RAMANUUJAN的τ函数(或RAMANUUN1数,或τ数)。
(原M5153 N223 7)
一百八十八
1,-24, 252,-1472, 4830,-6048,-16744, 84480,-113643,-115920, 534612,-370944,-577738, 401856, 1217160,987136,-6905934, 2727432, 10661420,-7109760,-4219488,--,--,-- 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

1,2

评论

全模群的12的尖点形式的系数。

推测Tau(n)永远不为零(这已被验证为N< 8162126240887744127999,见Drikx,van Hoeij,Zeng参考)。

M. J. Hopkins提到,唯一已知的素数p,τ(p)=1(mod p)是11, 23和691,这是一个开放的问题,以决定是否有无限多这样的P,并且没有其他已知的在35000以下。Simon Plouffe现在已经搜索到Tau(314747),没有发现其他的例子。-斯隆3月25日2007

马丁(1996)表I中列出的74个η商的1个。

用Dedekind的η函数和判别δ1具有η(z)^ 24=delta(z)/(2*pi)^ 12=SUMY{{M}=1 }τ(m)*q^ m,q=EXP(2×π*i*z),z在复上半平面中,其中i是虚数单位。δ是HECKE算子Tyn(n>=1)的本征函数,特征值τ(n):Tynδ=τ(n)δ。由此,公式公式下面给出的τ(m)*tau(n)的公式如下。参见,例如,Koecher Krieg参考文献,引理和萨茨,第212页。或者ApthOL引用,第3页的等式(114)和第131节的第6.13节的第一部分。-狼人郎1月26日2016

对于由Dirichlet级数F(S)满足的函数方程,R(S)>7,A(n)见Hardy参考,p 173,(10.9)。它是(2×pi)^(-s)*Gamma(s)*f(s)=(2×pi)^(s 12)*伽玛(12s)*f(12 s)。这归因于J. R. Wilton,1929,在第185页。-狼人郎,08月2日2017

推荐信

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奥克拉荷马州数学系,拉马努扬τL-函数

J. Perry拉马努扬τ函数(断链?)

Simon Plouffe前225035项

S. Ramanujan,论文集,τ(n)表;n=1至30

J. P. Serre关于RAMANUJYAτ函数的一些同余式的解释

J. P. Serre关于RAMANUJYAτ函数的一些同余式的解释

斯隆,我最喜欢的整数序列在序列及其应用中(SETA’98的程序)。

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Michael Somos74个乘法η商及其A-数的列表

D. A. SteffenLe系数傅立叶de LaMeFe模块:La Funcde de RAMANUJAU Tau(n)

William Stein数据库

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“核心”序列的索引条目

乘积{k>=1 }(1-x^ k)^ m展开的索引项

与切比雪夫多项式相关的序列的索引条目。

Simon PlouffeOEIS推测,截至2018年6月20日。

公式

G.f.:x*乘积{k>=1 }(1 -x^ k)^ 24=x*a(x)^ 8,与g。A1010816.

G.F.是满足F(- 1/T)=(t/i)^ 12 f(t)的周期1傅立叶级数,其中q=EXP(2πi T)。-米迦勒索摩斯,朱尔04 2011

ABS(A(n))=O(n^(11/2 +ε)),ABS(a(p))<2 p^(11/2),如果p为素数。这些都是由拉马努加推测,并由德莱涅证明。

Zagier说:这些公式的证明,如果从头开始写的话,估计为2000页;在他的书中,Manin引用这一点作为一个可能的记录:在整个数学中,“证明长度:陈述长度”。

G.f. A(x)满足0=f(a(x),a(x^ 2),a(x^ 4)),其中f(u,v,w)=u*w*(u+48*v+4096×w)-v^ 3。-米迦勒索摩斯7月19日2004

G.f. A(q)满足q*d log(a(q))/dq=A000 6352(Q)。-米迦勒索摩斯,十二月09日2013

A(2×N)=A099060(n)。A(2×n+1)=A099059(n)。-米迦勒索摩斯4月17日2015

A(n)=τ(n)(τ(0)=0):τ(m)*tau(n)=SuMu{{Gd(m,n)} d^ 11*τ(m*n/d^ 2),对于正整数m和n,如果gCD(m,n)=1,则给出τ的乘数。见上面的评论与Koecher Krieg参考文献,第212页,等式(5)。-狼人郎1月21日2016

Dirichlet级数作为乘积:SuMu{{N>=1 } A(n)/n^ s= Pordd{{n>=1 } 1 /(1 -A(素数(n))/素数(n)^ s+素数(n)^(11-2*s))。参见MordelLink,等式(2)。-狼人郎,五月06日2016。参见Hardy,第164页,情商。(10 3.1)和(10 3.8)。-狼人郎1月27日2017

A(n)是与(素(n)^ k)=SqRT(素数(n)^(11))^ k*s(k,a(n)/qRT(素数(n)^(11)))相乘的切比雪夫多项式。A04310),对于n>=1,k>=2;A0768 47(n)=a(素数(n))。A0768 47阿尔法乘法和例子。-狼人郎,5月17日2016。参见Hardy,第164页,等式(103.6),用S.狼人郎1月27日2017

G.Fη(z)^ 24(具有q= EXP(2×PI*i*z))也(E4(Q)^ 3 - E6(Q)^ 2)/ 1728。参见Hardy参考文献,第166页,方程(10 5.3),其中q=Ey4,r=Ey6。A000 400 9A01397.3,分别。-狼人郎1月30日2017

A(n)(mod 5)==A12632(n)。

A(1)=1,A(n)=-(24 /(n-1))*SuMu{{K=1…n-1 }。A000 0203(k)*(N-K)为n>1。-马山由一3月26日2017

G.f.:x*EXP(- 24×Suth{{K>=1 } x^ k/(k*(1 -x^ k)))。-伊利亚古图科夫基,05月2日2018

Euler变换的〔24,- 24,- 24,- 24,…〕。-西蒙·普劳夫6月21日2018

例子

G.F.=q- 24×q^ 2+252×q^ 3 - 1472×q* 4+4830×q^ 5 - 6048×q^ 6 - 16744*q^ 7+7*q^α-q*^+…

35328=(- 24)*(- 1472)=A(2)* A(4)=A(2×4)+2 ^ 11*A(2×4/4)=84480+84480 *(-*)=α。请参阅上面的Tyn delta = tau(n)δ的注释。-狼人郎1月21日2016

枫树

m=50;t1:=系列(x*MUL((1-x^ k)^ 24,k=1…m),x,m);A000 0595= N-> COEFF(T1,X,N);

Mathematica

[展开] [乘积[(1 -x ^ ^)^ 24,{k,1, 30 } ] ],30 ],x](*或*)

(*第一DO *)需要[ [数论] RAMANUJAN ] ](*TH*)表[RAMANUUJAUTU[N],{N,30 }]迪恩希克森,03月2003日*)

MAX=28;G[KY]:= -BNULLIB [K] /(2K)+和[除数SigMA[K 1,N-1 ] *Q^(n- 1),{n,2,max +1 }];系数[8000*g[4 ] ^ 3 - 147 *g[6 ] ^ 2,{q,2,max }],q] //REST(*)让弗兰,10月10日2012,从模块形式*)

RAMANUUJAUTU [范围[40 ] ](*函数RamanujanTau现在是Mathematica的核心语言的一部分,因此不再需要在使用它之前加载数论‘RAMANUJA’)(*)哈维·P·戴尔10月12日2012*)

a[n]:=级数系数[qqqCHAMLAM[q] ^ 24,{q,0,n} ];(*)米迦勒索摩斯5月27日2014*)

a [n]:=用[{t= log [q] /(2πi)},级数系数[级数] [ DEDEKITDEA[t] ^ 24,{q,0,n},{q,0,n}] ];(*)米迦勒索摩斯5月27日2014*)

黄体脂酮素

(朱丽亚)

使用NEMO

功能DEDEKEDETA(LeN,R)

r,z=多项式环(ZZ,Z)

E= EtAY-QEXP(R,LeN,Z)

〔0〕中的j(Le- 1)结尾的系数(e,j)

RunaNuujululist:(LeN)= DEDEKITDEA(LeN,24)

拉马努贾特主义者(28)彼得卢斯尼09三月2018

(岩浆)M12:=模形(GAMMA0(1),12);T1: =基(M12)〔2〕;PowerSeries(T1(1),100);Coefficients(1美元);

(岩浆)基(尖状(GAMMA1(1),12),100)〔1〕;米迦勒索摩斯5月27日2014*

(PARI){A(n)=IF(n<1, 0,PoCOFEFF(x*eta(x+x*o(x^ n))^ 24,n))};

(a){a(n)=If(n<1, 0,PoCoFEF)(x=(和)(i=1,(qrrtnt(8×n- 7)+1)\ 2,(-1)^ i *(2×i -1)*x^((i ^ 2 -i)/2),o(x^ n))^ 8,n)};

(PARI)TAUP(p,e)={

如果(e=1,

(65×Sigma(p,11)+691*sigma(p,5)-691×252×和(k=1,p-1,sigma(k,5)*sigma(p k,5))/756

I(t=TAUP(P,1));

和(j=0,E 2,

(- 1)^ J*二项式(E-J,E-2*J)*P^(11×J)*T^(E-2*J)

};

a(n)=i(f=因子(n));pod(i=1,αf[f],1),τ(f[i,1),f[i,2 ]);

\\查尔斯4月22日2013

(PARI)单独计算术语(Douglas Niebur,Ill)。J.数学,19, 1975):

a(n)=n^ 4×σ(n)- 24×和(k=1,n-1,(35×k^ 4-52k* 3×n+18×k^ 2×n^ 2)*sigma(k)*sigma(n- k));

向量(33,n,a(n))乔尔格阿尔恩特,SEP 06 2015

(PARI)A(n)=RAMANUUJAUTU(n)查尔斯5月27日2016

(SAGE)尖点(GAMMA1(1),12,PREC=100)。0;米迦勒索摩斯5月28日2013

(SAGE)列表(DelTaqQEXP(100))[ 1:]更快彼得卢斯尼5月16日2016

(红宝石)

DEF S(n)

S=0

({ 1…n)。每个{i i s+= i,如果n%i==0 }。

S

结束

DEFA000 0595(n)

A==〔1〕

a=〔0〕+(1…n-1)。

({ 1…n 1)。每个{i i〉<(1…i)。注入(0){s s,j s s- 24 *a[j] *元[-j] }/i}

阿利

结束

A000 0595(100)马山由一3月26日2017

(红宝石)

DEFA000 0595(n)

A==〔0, 1〕

(2…n)。

s,t,u=0, 1, 0

(1…n)。

T+=9*J

u+j

如果i=u,则中断

S+=(- 1)**(J% 2+1)*(2×J+ 1)*(I -T)*元[-U]

}

ARS< S/(I - 1)

}

ARY〔1…- 1〕

结束

A000 0595(100)马山由一11月25日2017

交叉裁判

囊性纤维变性。A0768 47(τ(素数))A7857(主要权力)A037 955A027 364A037 945A037 946A037 947A000 8408(水蛭)

对于n(n)的各种值,(n)mod nA0466A098108A1268-…

囊性纤维变性。A000 6352A099059A099060A2623A29.

对于素数p,τ(p)==1(mod 23)A10667.

囊性纤维变性。A1010816A000 400 9.A01397.3.

囊性纤维变性。A12632(n)=a(n)mod 5。

语境中的顺序:A29 664 A265858 A28 859*A7857 A021716 A18104

相邻序列:A000 0591 A000 0592 A000 0596*A000 0595 A000 0596 A000 0597

关键词

标志容易核心穆尔特

作者

斯隆

地位

经核准的

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