A142992-OEIS公司

A142992号

C_n型根晶格的水晶球序列的平方数组，由升序反对偶读取。

1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 9, 5, 1, 1, 19, 25, 7, 1, 1, 33, 85, 49, 9, 1, 1, 51, 225, 231, 81, 11, 1, 1, 73, 501, 833, 489, 121, 13, 1, 1, 99, 985, 2471, 2241, 891, 169, 15, 1, 1, 129, 1765, 6321, 8361, 4961, 1469, 225, 17, 1 (列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)

	抵消	`0,5`
	评论	`格C_n由Z^n中的所有整数格点v=（x_1，…，x_n）组成，因此x_1+…+xn是偶数。设\|\|v\|\|=1/2*Sum_{i=1..n}\|x_i\|；这定义了C_n上的范数。C_n的晶体球序列的第k项给出了C_n中\|\|v\|<=k的格点v的数量[Bacher等人]。下面的示例部分说明了n=2的情况。` `这个数组与常数log（2）有着显著的关系。数组的行、列和（推测）对角线条目出现在log（2）的系列加速度公式中（有关一些示例，请参阅下面的公式部分）。` `请参见A103884号C_n格的配位序列表。关于A_n和D_n晶格的水晶球序列，请参见A108625号和A108553号分别是。对于乘积晶格A_1x的水晶球序列。。。x A_1（n份）和A_n x A_n参见A008288号和A143007号分别是。`
	链接	`Seiichi Manyama，第n行=0..139行，扁平` `R.Bacher、P.de la Harpe和B.Venkov，羊角面包和埃哈特羊角协会，C.R.学院。科学。巴黎，325（系列1）（1997），1137-1142。` `D.Bump、K.Choi、P.Kurlberg和J.Vaaler，局部黎曼假设，数学。宙特。233, (2000), 1-19.` `J.H.Conway和N.J.A.Sloane，低维晶格VII配位序列，程序。英国皇家学会。，序列号。A、 453（1997），2369-2389。`
	配方奶粉	`T（n，k）=和{i=0..n}C（2n，2i）C（k+i，n）。` `行n:1/（1-x）^（n+1）Sum_{k=0..n}C（2n，2k）x^k=1/（1-xT（n，（1+x）/（1-x））的O.g.f.，其中T（n、x）表示第一类切比雪夫多项式。` `数组的O.g.f.：1/（1-x）{（1-t）-x（1+t）}/{。` `数组的第n行的形式为[p_n（0），p_n（1），p-n（2），…]，其中多项式函数pn（x）=和{k=0..n}C（2n，2k）C（x+k，n）。前几项是p_0（x）=1，p_1（x）=2x+1，p_2（x）=（2x+1）^2，p_3。` `p_n（x）的可选表达式包括p_n。` `多项式p_n（x）满足n>=2的三项递推关系np_n；它们的生成函数是1/2（（1+t）/（1-t））^（2x+1）=1/2+（2x+1）t+（2x+1）^2t^2+（2x+1）（8x^2+8x+3）/3t^3+。因此，除了常数因子外，p_n（x）是b=0，c=-1时第一类Meixner多项式M_n（2x+1；b，c）。与进行比较A142979号.` `多项式p_n（x）是差分方程（2x+1）{f（x+1/2）-f（x-1/2）}=2nf（x）的唯一多项式解，将其归一化为f（0）=1。函数p_n（x）也是差分方程（2x+1）{（x+1）1（x+1）+xf（x-1）}=（2x+1）^2+2n^2）f（x）的唯一多项式解，并进行了归一化，使f（0）=1。` `p_n（x）的零点位于复平面的垂直线Rex=-1/2上，即多项式p_n，n=1,2,3，。。。，满足黎曼假设（改编[BUMP等人]第4页引理的证明）。` `对于n>0，数组第n行中的项出现在对数（2）的系列加速度公式中：2log（2）=1+（1/2-1/6+…+（-1）^n/（n（n-1））+（-1）^（n+1）Sum_{k>=1}1/（kT（n，k-1）T（n，k）））。例如，表的第四行（n=3）给出2log（2）=4/3+1/（1119）+1/（21985）+1/。` `k列的相应结果是2log（2）=1+（1/（13）+1/（235）+…+1/（k（2k-1）（2k+1））+（2k+1）和{n>=1}（-1）^（n+1）/（n（n+1。` `例如，表的第三列（k=2）给出2log（2）=41/30+5（1/（12525）-1/（232585）+1/（3485225）-…）。` `对于主对角线计算，建议结果为：2log（2）=4/3+Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）（5n+3）/（n*（n+1。` `log（2）的类似级数加速度公式来自Delannoy数平方数组的行、列和对角线项，A008288号（可以视为乘积晶格A_1x….x A_1的水晶球序列阵列）。有关常数zeta（2）和zeta（3）的相应结果，请参见A108625号和A143007号分别是。`
	例子	`方阵开始` `n\k \|0…1…2….3….4…5` `=================================` `.0.\|1...1....1.....1.....1......1` `.1.\|1…3….5….7….9….11` `.2.\|1...9...25....49....81....121A016754号` `.3.\|1..19...85...231...489....891A063496号` `.4.\|1..33.225..833..2241…4961A142993号` `.5.\|1..51..501..2471..8361..22363A142994号` `...` `三角形阵列开始` `n\k\|0…1…2…3…4…5` `=========================` `.0.\|1` `.1.\|1...1` `.2.\|1...3...1` `.3.\|1...9...5...1` `.4.\|1..19..25...7...1` `.5.\|1..33..85..49...9...1` `情形n=2：C_2格由Z x Z中的所有整数格点v=（x，y）组成，使得x+y是偶数，并配备出租车类型范数\|\|v\|\|=1/2*（\|x\|+\|y\|）。有8个满足\|\|v\|\|=1的格点（在下图中用1标记）和16个满足\|v\|\|=2的格点。因此，C_2晶格的水晶球序列（表的第2行）从1开始，1+8=9，1+8+16=25。` `. . . . . . . . . . .` `. . . . . 2。` `. . . . 2 . 2 . . . .` `. . . 2 . 1 . 2 . . .` `. . 2 . 1 . 1 . 2 . .` `. 2 . 1 . 0 . 1 . 2 .` `. . 2 . 1 . 1 . 2 . .` `. . . 2 . 1 . 2 . . .` `. . . . 2 . 2 . . . .` `. . . . . 2。` `. . . . . . . . . . .`
	MAPLE公司	`组合：T:=（n，k）->加（二项式（2n，2i）*二项式；`
	数学	`t[n_，k_]：=和[二项式[2n，2i]二项式[k+i，n]，{i，0，n}]；表[t[n-k，k]，{n，0，9}，{k，0，n}]//展平(Jean-François Alcover公司2013年3月6日*）`
	交叉参考	`第2-10行给出A016754号,A063496号,A142993号,A142994号,A305549型,A305721型,A305722型,A305723型,A305724型.` `囊性纤维变性。A008288号,A103884号,A108625号,A142979号,A143007号.` `上下文中的序列：A350783型 A124496号 A074881号A145905号 A336859型 A171435号` `相邻序列：A142989号 A142990号 A142991号A142993号 A142994号 14295英镑`
	关键词	`容易的,非n,表`
	作者	`彼得·巴拉2008年7月18日`
	状态	`经核准的`