用户：Daniel Suteu

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免费开源软件开发人员，主要兴趣在于编程语言、算法、数学（数论）、诗歌和无政府主义。

2013年3月，我开始了Sidef编程语言该项目结合了许多优秀语言的优点，试图使编程更容易、更有趣，主要关注简单性、优雅性和可读性。

Sidef教程：

• 入门(PDF格式)
• Sidef中的数论(PDF格式)
• Sidef免费电子书(PDF格式)

除其他外，该语言还提供了用于素性测试和素因子分解的快速内置方法，以及许多其他数论函数，其中大多数由达娜·雅各布森杰出的数学：：Prime:：Util:：GMP模块。我们还内置了对任意大整数、有理数、浮点数和复数的支持，使用药品GMP,MPFR公司和MPC公司库。

该语言也可以在线试用，网址为：https://tio.run/#sidef.

万维网：

• GitHub配置文件
• NotABug剖面
• CPAN配置文件
• RosettaCode配置文件
• OEIS贡献
• 提交的序列
• 关于数学和编程的博客

算术函数的部分和

对于任何算术函数${\显示样式f（k）}$，我们有以下恒等式（对于m>=0）：

${\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sum_{d|k}f（d）（k/d）^{m}=\sum_}k=1}^{n} （f）（k） \sum_{j=1}^{left\lfloor n/k\right\rfloor}j^{m}=\sum_{k=1}^{n} （f）（k） F_{m}（左\层n/k\右\层）}{n} （f）（k） \sum_{j=1}^{left\lfloor n/k\right\rfloor}j^{m}=\sum_{k=1}^{n} （f）（k） F_{m}（左\层n/k\右\层）}$

哪里$显示样式F_{n}（x）}$是Faulhaber多项式，定义为：

$显示样式F{n}（x）={frac{B_{n+1}（x+1）-B_{n+1}（1）}{n+1{}}}$

哪里${\显示样式B_{n}（x）}$是伯努利多项式。Faulhaber多项式在有效求前n个正整数（m>=0）的m次幂时特别有用：

${\显示样式\sum_{k=1}^{n} k个^{m} =F{m}（n）}{n} k个^{m} =F{m}（n）}$

…并且在有效计算m≥0的第m次幂的第二部分和（幂和之和）时也很有用：

${\显示样式\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{k} j个^{m} =（n+1）F_{m}（n）-F_{m+1}（n）}{k} j个^{m} =（n+1）F_{m}（n）-F_{m+1}（n）}$

在本节中，我们感兴趣的是在次线性时间内计算以下部分和，其中m>=0${\显示样式f（k）}$是一个算术函数：

${\显示样式\sum_{k=1}^{n} （f）（k） F_{m}（左\层n/k\右\层）}{n} （f）（k） F_{m}（左\层n/k\右\层）}$

如果${\显示样式f（k）}$可以有效计算：

$显示样式S（n）=sum_{k=1}^{n} （f）（k） }{n} （f）（k） }$

然后可以创建以下次线性公式：

${\显示样式\sum_{k=1}^{n} （f）（k） F_{m}（\left\lfloor n/k\right\rfloor）=和（k+1）右右\rfloor+1）\right\rfloor}F（k）F{m}（\left\lfloorn/k\right\floor）}{n} （f）（k） F_{m}（\left\lfloor n/k\right\rfloor）=和（k+1）右右\rfloor+1）\right\rfloor}F（k）F{m}（\left\lfloorn/k\right\floor）}$

更一般地说狄里克莱卷积两个算术函数的${\显示样式f}$和${\显示样式g}$，可以在次线性时间内计算，如果${\显示样式f}$和${\显示样式g}$可以有效计算：

$显示样式R（n）=sum_{k=1}^{n} （f）（k） }{n} （f）（k） }$

$显示样式S（n）=sum_{k=1}^{n} 克（k） }{n} 克（k） }$

假设$｛\displaystyle R（n）｝$和${\显示样式S（n）}$可以有效地计算，然后我们可以使用迪里克莱双曲线法以次线性时间计算以下部分和：

${\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sum_{d|k}f（d）g（k/d）=\sum_}k=1}\left\lfloor{\sqrt{n}}\right\rfloor）}$

有关更多信息，请访问：https://trizenx.blogspot.com/2018/11/partial-sums-of-arithmetical-functions.html

sigma函数的部分和

对于m>=0和j>=0，我们有：

${\显示样式\sum_{k=1}^{n} k个^{m} σ{j}（k）=sum{k=1}^{n} k个^{m+j}F{m}（左\lfloor n/k\right\rfloor）=\sum_{k=1}^{n} k个^{m} F类_{m+j}（\left\lfloor n/k\right\rfloor）}{n} k个^{m} σ{j}（k）=sum{k=1}^{n} k个^{m+j}F{m}（左\lfloor n/k\right\rfloor）=\sum_{k=1}^{n} k个^{m} F类_{m+j}（\left\lfloor n/k\right\rfloor）}$

可以使用迪里克莱双曲线法:

${\显示样式\sum_{k=1}^{n} k个^{m} \sigma_{j}（k）=\sum_{k=1}^{lfloor{\sqrt{n}}\floor}（k^{m} F类_｛m+j｝（\left\lfloor n/k\right\lfloor）+k^｛m+j｝F_｛m｝（\left\lfloor n/k\right\lfloor））-F｛m+j｝（\left\lfloor｛\sqrt｛n｝｝｝\right\lfloor）F_｛m｝（\left\lfloor｛\sqrt｛n｝｝｝\right\lfloor）｝{n} k个^{m} \sigma_{j}（k）=\sum_{k=1}^{lfloor{\sqrt{n}}\floor}（k^{m} F类_｛m+j｝（\left\lfloor n/k\right\lfloor）+k^｛m+j｝F_｛m｝（\left\lfloor n/k\right\lfloor））-F｛m+j｝（\left\lfloor｛\sqrt｛n｝｝｝\right\lfloor）F_｛m｝（\left\lfloor｛\sqrt｛n｝｝｝\right\lfloor）｝$

哪里$｛\displaystyle F_｛n｝（x）｝$是Faulhaber多项式。

m>=0且j>=1时，此部分和的渐近近似值由以下公式给出：

${\显示样式\sum_{k=1}^{n} k个^{m} \西格玛_｛j｝（k）\ sim｛\frac｛\zeta（j+1）n^｛j+m+1｝｝｝｛j+m+1｝｝｝{n} k个^{m} \西格玛_｛j｝（k）\ sim｛\frac｛\zeta（j+1）n^｛j+m+1｝｝｝｛j+m+1｝｝｝$

哪里$｛\displaystyle\zeta（s）｝$是黎曼-泽塔函数.

Jordan totiten函数的部分和

这个Jordan totient函数是对欧拉指向函数，定义为：

$显示样式J{m}（n）=n^{m}\prod_{p|n}（1-1/p^{m{）}$

并与以下项相乘：

$显示样式J_{m}（p^{k}）=p^{km}-p^{（k-1）m}}{km}-p^{（k-1）m}}$

用下式给出了计算Jordan totiten函数部分和的一个优雅公式莫比乌斯函数和Faulhaber多项式:

${\显示样式\sum_{k=1}^{n} J型_{m} （k）=sum_{k=1}^{n}\mu（k）F{m}（左\lfloor n/k\right\rfloor）}{n} J型_{m} （k）=sum_{k=1}^{n}\mu（k）F{m}（左\lfloor n/k\right\rfloor）}$

m>=1时，此部分和的渐近近似值如下所示：

${\显示样式\sum_{k=1}^{n} J型_{m} （k）\sim{\frac{n^{m+1}}{（m+1）\zeta（m+1{n} J型_{m} （k）\sim{\frac{n^{m+1}}{（m+1）\zeta（m+1$

哪里$｛\displaystyle\zeta（s）｝$是Riemann zeta函数。

Dedekind psi函数的部分和

广义的Dedekind psi功能可以定义为Jordan totient函数，作为：

$｛\displaystyle\psi_｛m｝（n）＝｛\frac｛J_｛2m｝（n）｝｛J_｛m｝（n）｝｝$

并与以下项相乘：

$显示样式（p^{k}）=p^{km}+p^{（k-1）m}}$

Dedekind psi函数的部分和可以用Möbius函数和Faulhaber多项式的绝对值表示：

${\显示样式\sum_{k=1}^{n}\psi_{m}（k$

对于m>=1，采用以下渐近近似：

${\显示样式\sum_{k=1}^{n}\psi_{m}（k）\sim{\frac{n^{m+1}\zeta（m+1）}{（m+1$

哪里$｛\displaystyle\zeta（s）｝$是Riemann zeta函数。

ω（n）和bigomega（n）函数的部分和

我们定义广义${\显示样式\omega{m}（n）}$和${\显示样式\Omega _{m}（n）}$功能如下：

${显示样式\omega{m}（n）=\sum{p^{k}|n}{frac{n^{m}}{p^}}}$

${\显示样式\Omega_{m}（n）=\sum_{p^{k}|n}\sum_{j=1}^{k{{frac{n^{m}}{p^}}}}$

哪里${\显示样式p^{k}}$是质数${\显示样式p}$划分${\显示样式n}$，具有多重性${\显示样式k}$.

对于${\显示样式\omega{m}（n）}$我们有以下序列：

${\显示样式\omega_{0}（n）=}$ A001221号（n）

${\显示样式\omega{1}（n）=}$ A069359号（n）

${\显示样式\omega{2}（n）=}$ A322078型（n）

类似地，对于${\显示样式\Omega _{m}（n）}$，我们有：

${\显示样式\Omega _{0}（n）=}$ A001222号（n）

${\显示样式\Omega _{1}（n）=}$ A095112号（n）

${\显示样式\Omega _{2}（n）=}$ A322664型（n）

该函数的部分和可用Faulhaber多项式表示，如下所示：

${\显示样式\sum_{k=1}^{n}\omega_{m}（k）=\sum_{p}^{n} F类_{m} （左下n/p右下）}{n} F类_{m} （左下n/p右下）}$

${\显示样式\sum_{k=1}^{n}\Omega_{m}（k）=\sum_{p^{k}}^{n} F类_{m} （\left\lfloor n/p^{k}\right\rfloor）}{n} F类_{m} （\left\lfloor n/p^{k}\right\rfloor）}$

哪里${\显示样式p}$和${\显示样式p^{k}}$（k>=1）分别遍历素数和素数幂，小于或等于${\显示样式n}$.

对于m>=1${\显示样式\omega{m}（k）}$可以渐近地描述为：

$｛\displaystyle\sum_｛k=1｝^｛n｝\omega_｛m｝（k）\sim F_｛m｝（n）P（m+1）｝$

哪里$显示样式F_{m}（n）}$是Faulhaber多项式和$｛\displaystyle P（s）｝$是素数zeta函数，定义为：

${\显示样式P（s）=\sum_{P}{\frac{1}{P^{s}}}}$

类似地，对于m>=1${\显示样式\Omega _{m}（k）}$满足：

${\显示样式\sum_{k=1}^{n}\Omega_{m}（k）\sim F_{m{（n）Q（m+1）}$

哪里$显示样式F_{m}（n）}$是Faulhaber多项式和${\显示样式Q}$定义为：

$显示样式Q=和^{s} -1个}}}{s} -1个}}}$

哪里${\显示样式p}$遍历素数。

部分和-OEIS序列

考虑以下部分和，其中${\显示样式f（k）}$是一个算术函数，并且$显示样式F_{n}（x）}$是Faulhaber多项式：

$显示样式R{m}（n）=sum{k=1}^{n}\sum{d|k}f（d）（k/d）^{m}=sum_{k=1{^{n} （f）（k） F_{m}（左\层n/k\右\层）}{n} （f）（k） F_{m}（左\层n/k\右\层）}$

为我们提供了以下有趣的序列表：

+------------+------------+------------+|f（k）|R_0（n）|R_1（n|+------------+------------+------------+|A000012号（k）|A006218号（n）|A024916号（n）||A000027号（k）|A024916号（n）|143127英镑（n）||A010051型（k）|A013939号（n）|A322068型（n）||A069513号（k）|A022559号（n）|A328893型（n）||A008966号（k）|A064608号（n）|A173290号（n）||A008683号（k）|A000012号（n）|A002088号（n）||A000290型（k）|A064602号（n）|A143128号（n）||A000010号（k）|A000217号（n）|A272718型（n）||A034444号（k）|A061503号（n）|A306775型（n）||A007434号（k）|A000330号（n） ||+------------+------------+------------+

广义Pillai算术函数

对于任何算术函数${\显示样式f（k）}$，我们具有以下身份：

${\显示样式\sum_{k=1}^{n} （f）（gcd（n，k））=\和{d|n}f（d）\phi（n/d）}{n} （f）（gcd（n，k））=\和{d|n}f（d）\phi（n/d）}$

哪里${\显示样式\phi（x）}$是Euler指向函数。

丰富的费马伪素数

2017年12月17日，Shyam Sunder古普塔在他们的网站上发布了以下问题：“你能找到最小的富足数，也就是伪素数（base-2）吗？”。

2019年11月9日，我生成了以2为基数的42个丰富的费马伪素数，我的列表中最小的是以下40位数字：

${\显示样式347020793473966451267970194011447720865}$

同时，我生成了一些更丰富的基2伪素数，可以找到在这里.

更新（2022年8月28日）：使用新想法，我生成了两个以2为基数的小而丰富的费马伪素数：

${\显示样式2596282479202818734176082185090403265}$

${\显示样式12796625128232187655293894634808130945}$

更新（2023年3月10日）：使用与上述相同的想法，我发现了两个以2为基数的较小且丰富的费马伪素数：

${\显示样式898943937249247967890084629421065}$

${\显示样式222042825169546323981793629414604065}$

挑战：在基2上找到一个较小且丰富的费马伪素，或者证明没有更小的费马假素。

丰富的卡迈克尔数

受Shyam Sunder Gupta问题的启发A329460型阿米拉姆·埃尔达尔（Amiram Eldar）问了这个问题：“是否存在大量的卡迈克尔数字？”。

2020年8月15日，我正面回答了这个问题(源代码)通过生成以下97位的丰富卡迈克尔数，表明丰富的卡迈克尔数确实存在：

${\显示样式20502227703725505554323267720953963601363820698627281893844568708853233092540895828622054255135745}$

在构造丰富的Carmichael数时，一个重要思想(源代码)如下：如果Carmichael数是奇数富足循环数的倍数，例如：

$｛\displaystyle 81775689106368791365248858 26320973235｝$

或

${\显示样式17277031840122951876810012573270045985}$

那么它将是丰富的。由于上述乘数都是奇数丰富的循环数所有奇数循环数似乎都有Carmichael倍数，表明确实存在无穷多丰富的Carmichael数。

一天后，我构造了一个稍小（88位）的丰富的Carmichael数（但很可能它仍然不是最小的）：

${\显示样式205983290660746025276729056844305999478789803354063471271184513548141590979778401392385}$

挑战：找到一个可以被3整除的丰富的卡迈克尔数。

开放式问题：找出最小的富足卡迈克尔数。

可以找到丰度指数>1.9的Carmichael数列表在这里.

丰富的Lucas-Carmichael数字

一个相关的问题是：“做富足卢卡斯·卡迈克尔数字存在吗？答案是“是的”！

为了生成丰富的Lucas-Carmichael数，我们使用了与生成丰富的Carmichael数类似的方法。

首先，我们生成了奇数无平方（几乎）的丰富数字${\显示样式k}$(源代码)，令人满意${\显示样式gcd（k，\psi（k））=1}$，其中${\显示样式\psi（n）}$是Dedekind psi功能.这样一个数字${\显示样式k}$必须是以下项A255602型.

然后，我们使用了Erdõs的Carmichael数构造方法的修改版本，该方法适用于Lucas Carmichael数的构造(源代码)也支持使用我们的乘数${\显示样式k}$及其相应的lambda值${\显示样式L}$.

到目前为止，我能找到的最小的丰富Lucas-Carmichael数是以下70位数字：

${\显示样式10125914084283278883952080728349448745179402552495777432246705535}$

据推测A255602型是Lucas-Carmichael数的除数。最小的倍数如下所示A253598号如果猜想成立，则存在无穷多丰富的Lucas-Carmichael数，如A255602型序列包含无穷多丰富的项。

挑战：找到一个可以被3整除的丰富的Lucas-Carmichael数。

开放问题：找到最小的富足卢卡斯-卡迈克尔数。

几个上界A253598号已列出在这里.

丰度指数>1.9的Lucas-Carmichael数字列表可用在这里.

阿格拉瓦尔猜想

在文章中关于阿格拉瓦尔猜想的注记Hendrick Lenstra表明，如果一个Carmichael数带有奇数个素因子${\显示样式p|n=>p=3\mod 80}$，也是一个卢卡斯-卡迈克尔数字，那么它将是一个反例阿格拉瓦尔猜想（参见。A329223型).

目前，只有以下这些Carmichael数字是已知的，但它们都不是Lucas-Carmichael数：

${\显示样式330468624532072027=2003*574003*287432003}$

${\显示样式1358406397003392026912594827=47051443*3811166803*7575282163}$

$｛\displaystyle 194462892367341977828363075381947=1571719603*22527980963*5492112195923｝$

可以找到更多具有这些性质的基2的费马伪素数在这里.

某些OEIS序列的上界

最小的反Carmichael Fermat psp-2${\显示样式n}$基本因子

托马斯·奥多夫斯基（Thomas Ordowski）定义了以下有趣的序列：${\显示样式a（n）=}$ A316908型${\显示样式（n）}$是最小的${\显示样式k}$具有${\显示样式n}$主要因素如下${\显示样式2^{k-1}=1\mod-k}$和${\显示样式p-1}$不可分割${\显示样式k-1}$对于每个素数${\显示样式p}$划分${\显示样式k}$.

${\显示样式a（9）<=797365221484475174021}$

${\显示样式a（10）<=1315856103949347820015303981}$

${\显示样式a（11）<=6357507186189933506573017225316941}$

${\显示样式a（12）<=778222454661509760539603038551046781}$

$｛\displaystyle a（13）<=42864570625001423761497389323695509974049581｝$

${\显示样式a（14）<=34015651529746754841597629769101132590516759547941}$

${\显示样式a（15）<=53986954871543199290951271756765558658193549930487667861}$

可以找到更多上界在这里.

最小非本原Carmichael数${\显示样式n}$基本因子

Amiram Eldar定义了以下有趣的序列：${\显示样式a（n）=}$ A328938型${\显示样式（n）}$是最小的非本原卡迈克尔数${\显示样式n}$主要因素。

非本原卡迈克尔数定义为卡迈克尔数，${\显示样式n=p_{1}*p_{2}**p{k}}p{k}}$，以便：

${\显示样式gcd（p_{1}-1，第页_{2}-1,...,第页_{k} -1个)^{2} >lcm（p_{1}-1，第页_{2}-1,...,对_{k} -1个)}{1}-1，第页_{2}-1,...,第页_{k} -1个)^{2} >lcm（p_{1}-1，第页_{2}-1,...,对_{k} -1个)}$

非本罪卡迈克尔数列表如下所示A328935型.

${\显示样式a（8）<=1717329690048308373193368241}$

${\显示样式a（9）<=3267914929260691848833226795711841}$

${\显示样式a（10）<=16412975107923138847512341751620644377601}$

${\显示样式a（11）<=32553379201448812648741688203887901391121}$

${\显示样式a（12）<=1605045791181700950034233564955898780122791301414374937801}$

${\显示样式a（13）<=180218821537508613516189680717237214851875661353776342449815601}$

${\显示样式a（14）<=3730195785668641487734039960031230721253066853056971251880395550606029812859921}$

${\显示样式a（15）<=111752741147928878460543122185614013584493764495494931714777557828905006762368931787841}$

可以找到更多的上限在这里.

以2为基数的最小超假时间${\显示样式n}$基本因子

Amiram Eldar也提交了序列${\显示样式a（n）=}$ A328665型${\显示样式（n）}$列出以2为基数的最小超假时间${\显示样式n}$主要因素。

以2为基数的超伪时间列表如下所示A050217号.

${\显示样式a（7）<=1842158622953082708177091}$

${\显示样式a（8）<=192463418472849397730107809253922101}$

${\显示样式a（9）<=13473207413926001602142893433906212762456021}$

${\显示样式a（10）<=708651381680064327403953978871929070133095474701}$

${\显示样式a（11）<=33633917527478357831177272970147869895254628830688208857}$

${\显示样式a（12）<=132153369641266990823936945628293401491197666138621036175881960329}$

${\显示样式a（13）<=9105096650335639994239038954861714246150666715328403635257215036295306537}$

${\显示样式a（14）<=760579784677173868263180419068624508092324412451432651379391224410677241944951032625821}$

可以找到更多上界在这里.

最小的超伪素数到基数为2的Carmichael数${\显示样式n}$基本因子

2017年，Max Alekseyev和Thomas Ordowski提交了A291637型sequence，它列出了Carmichael数字，这些数字也是以超伪时间为基数的$｛\displaystyle 2｝$.

出租${\显示样式a（n）}$要成为具有n个素数因子的最小数，我们有：

${\显示样式a（3）=294409}$

${\显示样式a（4）=3018694485093841}$

通过使用伪素数表高达${\显示样式2^{64}}$，我们发现${\显示样式a（5）>2^{64}}$.

${\显示样式a（5）<=521635331852681575100906881}$

${\显示样式a（6）<=28354027306518532326345098137870910561}$

${\显示样式a（7）<=165784025660216242122027716057592895796242004385542265601}$

包含的术语列表${\显示样式5}$或更多的基本因子在这里.

基于2 Carmichael数的最小超伪素数${\显示样式n}$基本因子

序列A352987飞机列出了以2为基数的伪素数上的Carmichael数。

出租${\显示样式a（n）}$要成为具有n个素数因子的最小数，我们有：

$｛\displaystyle a（3）=65700513721｝$

${\显示样式a（4）<=84286331493236478328609}$

${\显示样式a（5）<=3157343757823970959759947380425728583752001}$

包含的术语列表${\显示样式4}$或更多的基本因子在这里

以2为基数的最小超伪素数${\显示样式n}$基本因子

灵感来自A328665型序列，在A353409型我们列出以2为基数的最小超伪素数${\显示样式n}$不同的主因子。

该序列的一些上界是：

${\显示样式a（5）<=1376414970248942474729}$

${\显示样式a（6）<=486632649785481046392577273}$

${\显示样式a（7）<=294413417279041274238472403168164964689}$

${\显示样式a（8）<=98117433931341406381352476618801951316878459720486433149}$

${\显示样式a（9）<=12529777368151956759882492710132589092218124828959055129553752551821}$

可以找到更多上界在这里.

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