搜索: a004201-编号:a004201
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A000217号
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| 三角数:a(n)=二项式(n+1,2)=n*(n+1)/2=0+1+2+…+n.(名词)。 (原名M2535 N1002)
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+10 4552
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0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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也称为T(n)或C(n+1,2)或二项式(n+1,2)(首选)。
广义六角形数:n*(2*n-1),n=0,+-1,+-2,+-3。。。广义k-角数是第二个k-角数和k-角数字的正项交错,k>=5。在这种情况下,k=6-奥马尔·波尔2011年9月13日和2012年8月4日
n+1,K_{n+1}阶完整图的边数。
在n个字母的字符串中插入一对括号的合法方法的数量。例如,三个字母有六种写法:(a)bc,(ab)c,(abc),a(b)c,a(bc),ab(c)。证明:有C(n+2,2)种方法可以选择括号的位置,但其中n+1种是非法的,因为括号是相邻的。囊性纤维变性。A002415号。
对于n>=1,a(n)也是n+2次非奇异曲线的亏格,如费马曲线x^(n+2)+y^(n+2)=1.-艾哈迈德·法尔斯(ahmedfares(AT)my_deja.com),2001年2月21日
根据哈纳克定理(1876),n阶非奇异曲线的分支数有界于a(n)-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月29日
双n多米诺骨牌中的瓷砖数量-斯科特·布朗2002年9月24日
n个不相同链接的链可以分解的方式数。这是基于蛋白质组学领域的一个类似问题:n个氨基酸残基的肽在质谱仪中被分解的方式的数量。一般来说,每个氨基酸的质量不同,所以AB和BC的质量不同-詹姆斯·雷蒙德,2003年4月8日
三角数-奇数=移位三角数;1, 3, 6, 10, 15, 21, ... - 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... = 0, 0, 1, 3, 6, 10, ... - Xavier Acloque,2003年10月31日[由更正德里克·奥尔2015年5月5日]
居中多边形数是[边数]的结果*A000217号+ 1]. 例如,中心五边形数(1,6,16,31,…)=5*(0,1,3,6,…)+1。居中七元数(1,8,22,43,…)=7*(0,1,3,6,…)+1.-Xavier Acloque,2003年10月31日
n+1平面相交形成的最大线数-罗恩·金2004年3月29日
避开模式132且正好有1个下降的[n]排列数-迈克·扎布罗基2004年8月26日
不允许长度为n-1的三元字的数量带有子字(0,1)、(0,2)和(1,2)-奥利维尔·杰拉德2012年8月28日
可以从集合{0,1,2,…,n}中选择两个不同的数字而不重复,或者,可以在集合{1,2,……,n{中选择二个不同数字并重复的方法。
据推测,只有1、6、120是三角形和阶乘的数字Christopher M.Tomaszewski(cmt1288(AT)comcast.net),2005年3月30日
每对相邻的项组成一个完美的正方形-扎克·塞多夫2006年3月21日
n+1个字母的对称群中的转座数,即除两个元素外所有元素都固定的置换数-杰弗里·克里策2006年6月23日
对于rho(n):=exp(i*2*Pi/n)(1的n次方根),对于n>=1,rho(n)^a(n)=(-1)^(n+1)。只需使用琐碎性a(2*k+1)==0(mod(2*k+1))和a(2*k)==k(mod))。
a(n)是(a1+a2+a3)^(n-1)展开式中的项数-塞尔吉奥·法尔孔2007年2月12日
a(n+1)是2个变量中n次完全齐次对称多项式的项数-理查德·巴恩斯2017年9月6日
等于半群PT_n\S_n的秩(生成集的最小基数),其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群-詹姆斯·伊斯特2007年5月3日
a(n)给出了从三角形上的一个顶点到该顶点对面绘制cevian时发现的三角形总数,其中n=绘制的cevian数+1。例如,绘制1个cevian,n=1+1=2和a(n)=2*(2+1)/2=3,则图形中总共有3个三角形。如果从一个点到另一侧绘制2个cevians,则n=1+2=3和a(n)=3*(3+1)/2=6,则图中总共有6个三角形。-Noah Priluck(npriluck(AT)gmail.com),2007年4月30日
对于n>=1,a(n)是当项的顺序不同的表示被认为不同时,n-1可以写成三个非负整数之和的方式数。换句话说,对于n>=1,a(n)是方程x+y+z=n-1的非负积分解的个数-阿马纳特·穆尔蒂2001年4月22日(编辑:罗伯特·A·比勒)
a(n)是三维各向同性谐振子的能量为n+3/2的能级数(单位为h*f0,普朗克常数为h,振子频率为f0)。请参阅上文A.Murthy的评论:n=n1+n2+n3,带正整数并排序。o.g.f.的证明见A.Messiah参考-沃尔夫迪特·朗2007年6月29日
数字m>=0,使圆(sqrt(2m+1))-圆(squart(2m))=1。
数字m>=0,这样天花板(2*sqrt(2m+1))-1=1+地板(2*m2(2m))。
数字m>=0,使得fract(sqrt(2m+1))>1/2,fract(m2))<1/2,其中fract(x)是x的小数部分(即x-floor(x),x>=0)。(结束)
如果Y和Z是一个n集X的3个块,那么对于n>=6,a(n-1)是与Y和Z相交的X的(n-2)子集的数目-米兰Janjic2007年11月9日
循环赛中的比赛数量:n*(n-1)/2给出了n名球员所需的比赛数量。每个人都会和其他人比赛一次乔治·雷德(Georg Wrede),2008年12月18日
等效于连续四面体数的第一个差。请参见A000292号-Jeremy Cahill(jcahill(AT)inbox.com),2009年4月15日
交替幂和的一般公式是以瑞士-刀多项式P(n,x)表示的A153641号2^(-n-1)(P(n,1)-(-1)^k P(n、2k+1))。因此a(k)=|2^(-3)(P(2,1)-(-1)^k P(2,2k+1))|-彼得·卢什尼2009年7月12日
a(n)是最小的数>a(n-1),使得gcd(n,a(n。如果n是奇数,则gcd是n;如果n是偶数,则为n/2-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2009年8月6日
弗洛伊德三角形右边的数字是1、3、6、10、15-保罗·穆尔贾迪,2010年1月25日
更一般地说,a(2k+1)==j*(2j-1)(mod 2k+2j+1)和
a(2k)==[-k+2j*(j-1)](模2k+2j)。
列总和:
1 3 5 7 9 ...
1 3 5 ...
1 ...
...............
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1 3 6 10 15 ...
Sum_{n>=1}1/a(n)^2=4*Pi^2/3-12=12小于半径为Pi^(1/3)的球体的体积。
(结束)
(结束)
绘制三个点(0,0)、(a(n)、a(n+1))、(a+1)、a+2)以形成三角形。面积为a(n+1)/2-J.M.贝戈2012年5月4日
以a(n)=n*(n+1)/2开头的四个连续三角形数之和减去2等于2*(n+2)^2。a(n)*a(n+2)/2=a(a(n+1)-1)-J.M.贝戈2012年5月17日
(a(n)*a(n+3)-a(n+1)*a-J.M.贝戈2012年5月18日
a(n)*a(n+1)+a(n+2)*a(n+3)+3=a(n^2+4*n+6)-J.M.贝戈2012年5月22日
一般来说,a(n)*a(n+1)+a(n+k)*a-查理·马里恩2012年9月11日
a(n)*a(n+3)+a(n+1)*a-J.M.贝戈2012年5月22日
一般来说,a(n)*a(n+k)+a(n+1)*a-查理·马里恩2012年9月11日
a(n)*a(n+2)+a(n+1)*a-J.M.贝戈2012年5月22日
三个点(a(n)、a(n+1))、(a(n/1)、a-J.M.贝戈2012年5月23日
a(n)+a(n+k)=(n+k)^2-(k+(2n-1)*k-2n)/2。对于k=1,我们得到a(n)+a(n+1)=(n+1)^2(见下文)-查理·马里恩2012年10月2日
在n空间中,我们可以定义一个(n-1)非平凡的正交投影。例如,在3空间中有一个(2)=3(即点对线、点对平面、线对平面)-道格拉斯·拉蒂默2012年12月17日
对于n>=1,a(n)等于半群P_n\S_n的秩(生成集的最小基数)和幂等秩(幂等生成集的极小基数),其中P_n和S_n表示[n]上的分区幺半群和对称群。
对于n>=3,a(n-1)等于半群T_n\S_n的秩和幂等秩,其中T_n和S_n表示[n]上的完全变换半群和对称群。
(结束)
对于n>=3,a(n)等于半群PT_n\S_n的秩和幂等秩,其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群-詹姆斯·伊斯特2013年1月15日
公式a(n)*a(n+4k+2)/2+a(k)=a(a(n+2k+1)-(k^2+(k+1)^2))是Bergot 2012年5月17日评论中公式a(n*a(n+2)/2=a(a+1)-1的推广-查理·马里恩2013年3月28日
对于奇数m=2k+1,我们有递归a(m*n+k)=m^2*a(n)+a(k)。推论:如果数字T在序列中,那么它就是9*T+1-Lekraj Beedassy公司2013年5月29日
欧拉在歌剧《Postuma》第87节中表明,只要T是三角形,那么9*T+1、25*T+3、49*T+6和81*T+10也是三角形。一般来说,如果T是三角形数,那么(2*k+1)^2*T+k*(k+1)/2也是三角形数-彼得·巴拉2015年1月5日
使用1/b和1/(b+2)将得到一个边为2*b+2、b^2+2*b和b^2+2*b+2的毕达哥拉斯三角形。设置b=n-1,得到一个边长为2*n、n^2-1和n^2+1的三角形。四分之一周长=a(n),对于n>1-J.M.贝戈2013年7月24日
a(n)=A028896号(n) /6,其中A028896号(n) =s(n)-s(n-1)是s(n,n)=n^3+3*n^2+2*n-8的第一个差。s(n)可以被解释为12个边长的总和加上6个面面积的总和加上nX(n-1)X(n-2)矩形棱镜的体积-J.M.贝戈2013年8月13日
A_n型根系中的正根数(对于n>0)-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于k=1到n,k的第r次连续求和的公式是二项式(n+r,r+1)[H.W.Gould]-加里·德特利夫斯2014年1月2日
对于n>=3,a(n-2)是1,2,…,的置换数,。。。,n的上(1)-下(0)个元素的分布为0…011(n-3个零),或者相同,a(n-2)是上下系数{n,3}(参见A060351型). -弗拉基米尔·舍维列夫,2014年2月14日
a(n)是对称n×n矩阵向量空间的维数-德里克·奥尔2014年3月29日
大小为2的{1,…,n+1}的Sidon子集的数目-卡尔·纳杰菲2014年4月27日
Vandermonde行列式V(x_1,x_2,…,x_n)定义中的因子数=Product_{1<=i<k<=n}x_i-x_k-汤姆·科普兰2014年4月27日
假设一个袋子包含一个(n)红色大理石和一个(n+1)蓝色大理石,其中a(n)、a(n+1)是连续的三角形数字。那么,对于n>0,随机选择两个弹珠并得到两个红色或两个蓝色的概率是1/2。一般来说,对于k>2,设b(0)=0,b(1)=1,对于n>1,b(n)=(k-1)*b(n-1)-b(n-2)+1。假设,对于n>0,一个袋子包含b(n)个红色大理石和b(n+1)个蓝色大理石。那么随机选择两个弹珠并得到两个红色或两个蓝色的概率是(k-1)/(k+1)。另请参见A027941号,A061278号,A089817号,A053142号,A092521美元. -查理·马里恩2014年11月3日
考虑将自然数从集合S=(1,2,3,…,n)分为若干部分。生成序列的签名的长度(顺序)由三角数给出。例如,对于n=10,签名长度为55-大卫·尼尔·麦格拉思,2015年5月5日
a(n)将(n-1)个未标记对象的分区计算为三(3)个部分(标记为a、b、c),例如,a(5)=15表示(n-1”=4。这些是(aaaa)、(bbbb)、)、(英国广播公司)、(密件抄送)、(英国电视广播公司)-大卫·尼尔·麦格拉思2015年5月21日
推测:序列是指数n为代数曲线的正弦螺旋的亏格。值0对应于伯努利方程n=2的情况。所以推测的公式是(n-1)(n-2)/2-沃尔夫冈·廷特曼2015年8月2日
猜想:设m为任意正整数。然后,对于每个n=1,2,3,。。。集合{Sum{k=s..t}1/k^m:1<=s<=t<=n}具有基数a(n)=n*(n+1)/2;换句话说,所有1<=s<=t的和{k=s.t}1/k^m是两两不同的。(我通过计算机检查了这个猜想,没有发现反例。)-孙志伟2015年9月9日
对于n>=1,a(n)是n+4到n个部分的组成数,避免了第2部分-米兰Janjic2016年1月7日
假设您正在玩保加利亚纸牌(请参阅A242424型以及张伯伦和加德纳的书),如果n>0,则从一堆a(n)卡开始。那么,达到固定状态{n,n-1,…,1}所需的操作数是a(n-1)。例如,{6}->{5,1}->{4,2}->{3,2,1}. -查理·马里恩2016年1月14日
每个完美立方体都是两个连续三角形数的平方差。1^2-0^2 = 1^3, 3^2-1^2 = 2^3, 6^2-3^2 = 3^3. -米奎尔·塞尔达2016年6月26日
对于n>1,a(n)=tau_n(k*),其中tau_n(k)是k的有序n分解数,k*是素数的平方。例如,tau_3(4)=tau_3(9)=tau_3(25)=tau _3(49)=6(参见A007425号)因为4、9、25和49的除数是6,a(3)=6-梅尔文·佩拉尔塔2016年8月29日
对常见的公式a(n)+a(n+1)=(n+1”)^2(2004年2月19日)和a(n”^2+a(n+1)^2=a((n+1+6a(k-1))-查理·马里恩2016年11月27日
a(n)也是具有n+4个顶点的多面体中可能的最大对角线数-弗拉基米尔·莱茨科2016年12月19日
对于n>0,2^5*(二项式(n+1,2))^2表示2*(2*n+1)^2个连续整数之和中的第一个整数,等于(2*n+1)^6-帕特里克·麦克纳布,2016年12月25日
不大于n的正整数的有序三元组(a,b,c)的数量,使得a+b+c=2n+1-阿维尔·利韦2017年2月13日
最多使用n种颜色的不等四面体面着色数,因此没有颜色只出现一次-大卫·纳辛2017年2月22日
a(n)是顶点位于(1,1)、(n+1,n+2)和(n+1)^2,(n+2,^2)的三角形的面积-阿特·贝克,2018年12月6日
对于n>0,a(n)是最小的k>0,因此n除以(1/a(1)+1/a(2)+…+的分子1/a(n-1)+1/k)。应该注意的是,1/1+1/3+1/6+…+2/(n(n+1))=2n/(n+1-托马斯·奥多夫斯基2019年8月4日
n-齐次超可解线排列中线数的上界(参见Dimca中的定理1.1)-斯特凡诺·斯佩齐亚2019年10月4日
对于n>0,a(n+1)是边长为n的三角形网格上的格点数量-韦斯利·伊万·赫特2020年8月12日
长度为n的字符串的非空子串的最大数目。
求和集A+A的最大基数,其中A是n个数字的集合。(结束)
a(n)是避免模式123、132和312的大小为n的停车功能的数量-劳拉·普德威尔2023年4月10日
假设平行画出两行,每行由n个均匀间隔的点组成。假设我们在两行的点之间画出直线。对于n>=1,a(n-1)是线之间可能的最大交点数。等价地,[n]的置换中的最大逆数-塞拉·弗里德2023年4月18日
以下等式补充了Bala评论(2015年1月5日)中的概括。(2k+1)^2*a(n)+a(k)=a((2k+1*n+k)-查理·马里恩2023年8月28日
a(n)+a(n+k)+a。对于k=1,我们有a(n)+a(n+1)=(n+1”)^2-查理·马里恩2023年11月17日
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参考文献
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Frank Ruskey和Jennifer Woodcock,集分区对的随机距离和块距离,《组合算法》,287-299,《计算讲义》。科学。,7056,斯普林格,海德堡,2011年。
克劳德·亚历山大·西蒙内蒂,一种新的数学符号:术语,arXiv:2005.00348[math.GM],2020年。
H.Stamm-Wilbrandt,帕斯卡三角形倒数之和[来自Wayback Machine的缓存副本]
T.Trotter,三角数的几个恒等式,J.Rec.数学。第6卷,第2期,1973年春季。[来自Wayback Machine的缓存副本]
米歇尔·沃尔德施米特,连续分数埃科尔·德雷切·CIMPA-Oujda,《名义应用研究》,2015年5月18日至29日:乌伊达(马洛克)。
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配方奶粉
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通用:x/(1-x)^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
例如:exp(x)*(x+x^2/2)。
a(n)=a(-1-n)。
a(n)=(-1)^n*Sum_{k=1..n}(-1)*k*k^2-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月29日
a(n+1)=(n+2)/n)*a(n),和{n>=1}1/a(n=2)-乔恩·佩里2003年7月13日
对于插值零,这是n*(n+2)*(1+(-1)^n)/16-贝诺伊特·克洛伊特,2003年8月19日
a(n+1)是n X n对称帕斯卡矩阵M_(i,j)=二项式(i+j+1,i)的行列式-贝诺伊特·克洛伊特,2003年8月19日
a(n)=((n+1)^3-n^3-1)/6.-Xavier Acloque,2003年10月24日
a(n)=a(n-1)+(1+sqrt(1+8*a(n-1)))/2。当取平方根的负分支时,此递归关系被反转,即a(n)被转换为a(n-1)而不是a(n+1)-卡尔·R·怀特2003年11月4日
a(n)=a(n-2)+2*n-1-保罗·巴里2004年7月17日
a(n)=平方(sqrt(和{i=1..n}和{j=1.n}(i*j)^3))=(和{i=1..n{和{j=1..n}和_{k=1..n}(i*j))^(1/6)-亚历山大·阿达姆楚克2004年10月26日
如果n是奇数,a(n)==1(mod n+2);如果n是偶数,a-乔恩·佩里2004年12月16日
a(0)=0,a(1)=1,a(n)=2*a(n-1)-a(n-2)+1-米克洛斯·克里斯托夫2005年3月9日
a(n)=地板((2*n+1)^2/8)-保罗·巴里,2006年5月29日
a(n)^2+a(n+1)^2=a(n+1^2)[R B Nelsen,《数学杂志》70(2)(1997),第130页]-R.J.马塔尔2006年11月22日
a(n)*a(n+k)+a(n+1)*a。概括了2006年11月22日之前的公式[以及J.M.贝戈日期:2012年5月22日]-查理·马里恩2011年2月4日
(sqrt(8*a(n)+1)-1)/2=n.大卫·W·坎特雷尔(DWCantrell(AT)sigmaxi.net),2007年2月26日
多边形数的一般公式是P(k,n)=(k-2)*(n-1)n/2+n=n+(k-2)*A000217号(n-1),对于n>=1,k>=3-奥马尔·波尔2008年4月28日和2013年3月31日
如果我们定义f(n,i,a)=Sum_{j=0..k-1}(二项式(n,k)*Stirling1(n-k,i)*Product_{j=0.0..k-1}(-a-j)),那么当n>=1时,a(n)=-f(n,n-1,1)-米兰Janjic2008年12月20日
4*a(x)+4*a(y)+1=(x+y+1)^2+(x-y)^2-弗拉基米尔·舍维列夫2009年1月21日
该序列逆的指数生成函数由和{m>=0}((Pochhammer(1,m)*Pochhamder(1,m))*x^m/(Pochharmer(3,m)*阶乘(m))=((2-2*x)*log(1-x)+2*x)/x^2给出,其n阶导数具有闭合形式,必须通过将极限取为x->0来计算。A000217号(n+1)=(lim_{x->0}d^n/dx^n((2-2*x)*log(1-x)+2*x)/x^2)+n*(对数(1-x)+对数(-1/(-1+x)))*(-x+1+n))/x^2))^-1-斯蒂芬·克劳利2009年6月28日
偏移量为1时,a(n)=楼层(n^3/(n+1))/2-加里·德特利夫斯2010年2月14日
a(n)=4*a(楼层(n/2))+(-1)^(n+1)*楼层((n+1)/2)-布鲁诺·贝塞利2010年5月23日
a(n)=3*a(n-1)-3*a(n-2)+a(n-3);a(0)=0,a(1)=1-马克·多尔斯2010年8月20日
a(n)+2*a(n-1)+a(n-2)=n^2+(n-1;和
a(n)+3*a(n-1)+3*a(n-2)+a(n-3)=n^2+2*(n-1。
一般来说,对于n>=m>2,求和{k=0..m}二项式(m,m-k)*a(n-k)=求和{k=0..m-1}二项式(m-1,m-1-k)*(n-k)^2。
a(n)-2*a(n-1)+a(n-2)=1,a。
一般来说,对于n>=m>2,求和{k=0..m}(-1)^k*二项式(m,m-k)*a(n-k)=0。
(结束)
对于n>0,a(n)=1/(积分_{x=0..Pi/2}4*(sin(x))^(2*n-1)*(cos(x),^3)-弗朗西斯科·达迪,2011年8月2日
(n)+(a(n))+1=a(a(n)+1)-J.M.贝戈2012年4月27日
a(n)*a(n+1)=a(和{m=1..n}A005408号(m) )/2,对于n>=1。例如,如果n=8,则a(8)*a(9)=a(80)/2=1620-伊万·伊纳基耶夫2012年5月27日
通用公式:x*(1+3x+6x^2+…)=x*产品{j>=0}(1+x^(2^j))^3=x*A(x)*A(x^2)*A。。。,其中A(x)=(1+3x+3x^2+x^3)-加里·亚当森2012年6月26日
G.f.:G(0),其中G(k)=1+(2*k+3)*x/(2*k+1-x*(k+2)*(2*k+1)/(x*(k+2)+(k+1)/G(k+1)));(连分数,第3类,3步)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年11月23日
通用公式:x+3*x^2/(Q(0)-3*x)其中Q(k)=1+k*(x+1)+3*x-x*(k+1)*(k+4)/Q(k+1;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月14日
a(n)+a(n+1)+…+a(n+8)+6*n=a(3*n+15)-查理·马里恩2013年3月18日
a(n)+a(n+1)+…+a(n+20)+2*n^2+57*n=a(5*n+55)-查理·马里恩2013年3月18日
当n>0时,3*a(n)+a(n-1)=a(2*n)-伊万·伊纳基耶夫2013年4月5日
一般来说,a(k*n)=(2*k-1)*a(n)+a((k-1)*n-1)-查理·马里恩2015年4月20日
此外,a(k*n)=a(k)*a(n)+a(k-1)*a-罗伯特·伊斯雷尔2015年4月20日
a(n+1)=det(二项式(i+2,j+1),1<=i,j<=n)-米尔恰·梅卡2013年4月6日
a(n)=地板(n/2)+天花板(n^2/2)=n-地板(n/2+)+地板(n^1/2)-韦斯利·伊万·赫特,2013年6月15日
a(n)=楼面((n+1)/(exp(2/(n+1))-1))-理查德·福伯格2013年6月22日
和{n>=1}a(n)/n!=3*exp(1)/2 by the e.g.f.另请参见A067764号关于用这种方法计算的二项式系数的比率-理查德·福伯格,2013年7月15日
和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=4*log(2)-2=0.7725887-理查德·福伯格,2014年8月11日
2/(和{n>=m}1/a(n))=m,对于m>0-理查德·福伯格2014年8月12日
下面是2006年11月22日公式A(n)^2+A(n+1)^2=A(n+1^2)的推广。设T(k,n)=a(n)+k。然后对于所有k,T(k、n)^2+T(k和n+1)^2=T(k(n+1))^2+2*k)-2*k-查理·马里恩2015年12月10日
Dirichlet g.f.:(zeta(s-2)+zeta(s-1))/2-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月26日
a(n)^2-a(n-1)^2=n^3-米奎尔·塞尔达2016年6月29日
a(n)^2+a(n+3)^2+19=a(n^2+4*n+10)-查理·马里恩2016年11月23日
2*a(n)^2+a(n”)=a(n^2+n)-查理·马里恩2016年11月29日
通用公式:x/(1-x)^3=(x*r(x)*r(x^3)*r,其中r(x)=(1+x+x^2)^3=(1+3*x+6*x^2+7*x^3+6*x^4+3*x^5+x^6)-加里·亚当森2016年12月3日
a(n)=矩阵Q(n)的逆的元素之和,其中Q(n)有元素Q_i,j=1/(1-4*(i-j)^2)。因此,如果e=由1组成的适当大小的向量,那么a(n)=e’。Q(n)^-1.e-迈克尔·尤基什2017年3月20日
a(n)=和{k=1..n}(2*k-1)*(2*n-2*k-1)!!)/(2*k-2)*(2*n-2*k)!!)-迈克尔·尤基什2017年3月20日
求和{i=0..k-1}a(n+i)=(3*k*n^2+3*n*k^2+k^3-k)/6-克里斯托弗·霍尔2019年2月23日
a(n)==0(mod n)iff n为奇数(参见De Koninck参考文献)-伯纳德·肖特2020年1月10日
8*a(k)*a(n)+((a(k。当k=1时,这个公式简化为众所周知的公式8*a(n)+1=(2*n+1)^2-查理·马里恩2020年7月23日
a(k)*a(n)=和{i=0..k-1}(-1)^i*a((k-i)*(n-i))-查理·马里恩2020年12月4日
产品{n>=1}(1+1/a(n))=cosh(sqrt(7)*Pi/2)/(2*Pi)。
产品{n>=2}(1-1/a(n))=1/3。(结束)
a(n)=和{k=1..2*n-1}(-1)^(k+1)*a(k)*a。例如,对于n=4,1*28-3*21+6*15-10*10+15*6-21*3+28*1=10-查理·马里恩2022年3月23日
2*a(n)=A000384号(n) 通常,如果P(k,n)=第n个k次方数,则(j+1)*a(n)=P(5+j,n)-n^2+(j+1-查理·马里恩2023年3月14日
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例子
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总尺寸:x+3*x^2+6*x^3+10*x^4+15*x^5+21*x^6+28*x^7+36*x^8+45*x*9+。。。
当n=3时,a(3)=4*3/2=6。
示例(a(4)=10):ABCD,其中a、B、C和D是链中的不同链接,或是肽中的不同氨基酸可能片段:a、B,C、D、AB、ABC、ABCD、BC、BCD、CD=10。
a(2):冬青树叶落在德川幕府,a(4):毕达哥拉斯四联中的分数,a(5):八球台球中的物体球-布拉德利·克莱,2015年8月24日
a(1)=1到a(5)=15个正整数的有序三元组加起来等于n+2(Beeler,McGrath,上文)如下。这些成分按A014311号。
(111) (112) (113) (114) (115)
(121) (122) (123) (124)
(211) (131) (132) (133)
(212) (141) (142)
(221) (213) (151)
(311)(222)(214)
(231) (223)
(312) (232)
(321)(241)
(411) (313)
(322)
(331)
(412)
(421)
(511)
(结束)
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MAPLE公司
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istriangular:=proc(n)局部t1;t1:=楼层(平方米(2*n));如果n=t1*(t1+1)/2,则返回true,否则返回false;结束条件:;终末程序#N.J.A.斯隆2008年5月25日
ZL:=[S,{S=Prod(B,B,B),B=Set(Z,1<=卡)},未标记]:
seq(combstruct[计数](ZL,大小=n),n=2..55)#零入侵拉霍斯2007年3月24日
isA000217:=进程(n)
issqr(1+8*n);
结束进程:#R.J.马塔尔2015年11月29日[这是Leonhard Euler在1765年《Vollständige Anleitung zur代数》第七章中提出的食谱。彼得·卢什尼2022年9月2日]
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数学
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数组[#*(#-1)/2&,54](*零入侵拉霍斯2009年7月10日*)
折叠列表[#1+#2&,0,范围@50](*罗伯特·威尔逊v2011年2月2日*)
系数列表[级数[x/(1-x)^3,{x,0,50}],x](*文森佐·利班迪2014年7月30日*)
(*对于Mathematica 10.4+*)表[多边形编号[n],{n,0,53}](*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2016年8月27日*)
线性递归[{3,-3,1},{0,1,3},54](*罗伯特·威尔逊v2016年12月4日*)
(*以下Mathematica程序由Steven J.Miller提供,用于测试序列是否为Benford。要测试不同的序列,只需更改一行即可。这强烈表明三角形数字不是Benford,因为输出的第二列和第三列不一致-N.J.A.斯隆2017年2月12日*)
fd[x_]:=楼层[10^Mod[Log[10,x],1]]
benfordtest[num_]:=模块[{},
对于[d=1,d<=9,d++,数字[d]=0];
对于[n=1,n<=num,n++,
{
d=fd[n(n+1)/2];
如果[d!=0,则数字[d]=数字[d]+1];
}];
对于[d=1,d<=9,d++,数字[d]=1.0位[d]/num];
对于[d=1,d<=9,d++,
打印[d,“”,100.0位[d],“”、100.0日志[10,(d+1)/d]]];
];
本福德试验[20000]
表[Length[Join@@Permutations/@IntegerPartitions[n,{3}]],{n,0,15}](*古斯·怀斯曼2020年10月28日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)列表(lim)=我的(v=列表(),n,t);而(t=n*n++/2)<=lim,listput(v,t));车辆(v)\\查尔斯·格里特豪斯四世2021年6月18日
(哈斯克尔)
a000217 n=a000217_列表!!n个
a000217_list=扫描1(+)[0..]--莱因哈德·祖姆凯勒2011年9月23日
(岩浆)[0..60]]中的[n*(n+1)/2:n//布鲁诺·贝塞利2014年7月11日
(弧垂)[n*(n+1)/2表示n in(0..60)]#布鲁诺·贝塞利2014年7月11日
(Scala)(1至53).左图(0)(_+_)//霍斯特曼(2012),第171页
(Python)对于范围(0,60)中的n:打印(n*(n+1)/2,end=',')#斯特凡诺·斯佩齐亚,2018年12月6日
(Python)#用于计算序列的初始段,而不是
#孤立术语。如果在迭代中,行“x,y=x+y+1,y+1”
#被替换为“x,y=x+y+k,y+k”,然后得到图形数,
#对于k=0(自然A001477号),k=1(三角形),k=2(正方形),k=3(五边形),k=4(六边形)。
定义aList():
x、 y=1,1
产量0
为True时:
收益率x
x、 y=x+y+1,y+1
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000096号,A000124号,A000292号,A000330号,A000396号,A000668号,A001082号,A001788号,A002024号,A002378号,A002415号,A003056号(反函数),A004526号,A006011号,A007318号,A008953号,A008954号,A010054级(特征函数),A028347号,A036666号,A046092号,A051942号,A055998号,A055999号,A056000型,A056115号,A056119美元,A056121号,A056126号,A062717号,A087475型,A101859号,A109613号,A143320型,A210569型,A245031型,A245300型,A060544美元,A016754号。
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000290型
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| 正方形:a(n)=n^2。 (原名M3356 N1350)
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+10 3129
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0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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要测试一个数字是否是正方形,请参阅科恩,第40页-N.J.A.斯隆2011年6月19日
从n开始,加上下一个数,减去前一个数等等,最后减去a 1:a(n)=n+(n+1)-(n-1)+(n+2)-(n-2)+(n+3)-(2n-1)-1=n^2-阿马纳特·穆尔蒂2004年3月24日
1949年5月6日,EDSAC上电子计算机计算出的第一个序列(见Renwick链接)-俄罗斯考克斯2006年4月20日
数k,使得虚二次域Q(sqrt(-k))有四个单位-马克·勒布伦2006年4月12日
如果2集Y和(n-2)集Z是n集X的不相交子集,则(n-2-米兰Janjic2007年9月19日
将a编号为a^1/2+b^1/2=c^1/2和a^2+b=c-西诺·希利亚德,2008年2月7日(此评论需要澄清,约尔格·阿恩特,2013年9月12日)
当n>0时,6^(n-1)的除数-J.洛厄尔2008年8月30日
a(n)是总和2^2+2^2+…+的所有分区数2^2,(n-1)次,变成2的幂-瓦伦丁·巴科耶夫2009年3月3日
a(n)是n X n板中可以“打开”的最大方块数,以便在应用操作后所有方块都“关闭”:在任何2 X 2子板中,如果其他三个方块都关闭,则一个方块从“打开”变为“关闭”-Srikanth K S公司2009年6月25日
满足A(x)/A(x^2),A(x=A173277号: (1, 4, 13, 32, 74, ...). -加里·亚当森2010年2月14日
除了第一项,这个序列是Pi^2/6=1+1/4+1/9+1/16+1/25+1/36+…的分母-穆罕默德·阿扎里安2011年11月1日
Drmota、Mauduit和Rivat证明了沿着正方形的Thue-Morse序列是正常的;看见A228039号. -乔纳森·桑多,2013年9月3日
a(n)可以分解为四个数之和[二项式(n,1)+二项式A007318号,或两个数字之和[二项式(n,2)+二项式的(n+1,2)],或这两个数字的差[二项制(n+2,3)-二项式[n,3)]-约翰·莫洛卡赫2013年9月26日
就三角形平铺而言,边长为n的等边三角形中边长为1的等边三角形的数量-K.G.斯蒂尔2013年10月30日
B_n和C_n型根系中的正根数(当n>1时)-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于n>0,a(n)是最大的整数k,使得k^2+n是k+n的倍数。更一般地说,对于m>0和n>0来说,使k^(2*m)+n是k+n的倍数的最大整数k由k=n^(2*m)给出-德里克·奥尔2014年9月3日
对于n>0,a(n)是n+5到n个部分的组成数,避免了第2部分-米兰Janjic2016年1月7日
对于n>=3,a(n)也是具有n个顶点的循环图的所有连通子树的数目-维克塔·卡拉奇尼亚2016年3月2日
在每一个具有偶数个元素的自然连续数序列上,序列的后半部分的总和减去序列的前半部分的总数总是平方。示例:从61到70的序列具有偶数个元素(10)。则61+62+63+64+65=315;66 + 67 + 68 + 69 + 70 = 340; 340 - 315 = 25. (n/2)^2表示n=元素数量-塞萨尔·阿奎莱拉2016年6月20日
在从n^2到(n+1)^2的每一个自然连续数序列上,每一个可能组合中两半元素对的差之和总是(n+1)^2-塞萨尔·阿奎莱拉2016年6月24日
假设两个半径为1的圆彼此相切,并且与不通过切点的直线相切。创建与两个圆和直线相切的第三个圆。如果继续这个过程,对于n>0,a(n)是圆半径的倒数,从最大的圆开始-梅尔文·佩拉尔塔2016年8月18日
费曼三角形问题推广解的分子,偏移量为2。如果三角形的每个顶点都沿对边与点(1/p)相连(例如顺时针测量),则由这些直线形成的内部三角形的面积等于(p-2)^2/(p^2-p+1)乘以原始三角形的面积,p>2。例如,当p=3时,面积比为1/7。面积比的分母由下式给出A002061号[Cook&Wood,2004年]-乔·马拉斯科2017年2月20日
二项式系数恒等式和{k=0..n}(-1)^(n+k+1)*二项式(n,k)*二项式(n+k,k)x(n-k)=n^2的右端-彼得·巴拉2022年1月12日
猜想:对于n>0,min{k,存在{0,1,2,…,A(n)-1}的子集A,B,使得|A|=|B|=k,并且A+B包含{0,12,2,……,A(n)-1-}}=n-迈克尔·朱2022年3月9日
避免模式132、213、321的n个元素的三次突变数。请参见博尼肯和太阳-米歇尔·马库斯2022年8月20日
2n阶的循环拉丁正方形中的插入物的数量(奇数阶的循环拉丁正方形不具有插入物)-爱德华·瓦图丁2024年2月15日
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参考文献
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T.M.Apostol,《解析数论导论》,Springer-Verlag,1976年,第2页。
R.P.Burn和A.Chetwynd,数字级联,“监狱门问题”问题4,第5-7页;79-80阿诺德伦敦,1996年。
H.Cohen,《计算代数数论课程》,Springer,1996年,第40页。
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M.Gardner,《时间旅行和其他数学困惑》,第6章,第71-2页,W.H.Freeman NY,1988年。
Granino A.Korn和Theresa M.Korn,《科学家和工程师数学手册》,McGraw-Hill图书公司,纽约(1968年),第982页。
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N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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C.W.Trigg,《数学快攻》,“幸运的囚犯”问题141,第40、141页,纽约州多佛市,1985年。
R.Vakil,《数学马赛克》,“彩绘储物柜”,第127页;134 Brendan Kelly Burlington Ontario 1996年。
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链接
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尼古拉斯·博尼肯(Nicolas Bonichon)和皮埃尔·让·莫雷尔(Pierre-Jean Morel),Baxter d-置换和其他模式避免类,arXiv:22022.12677[math.CO],2022。
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迈克尔·德莫塔(Michael Drmota)、克里斯蒂安·毛杜伊特(Christian Mauduit)和乔·里瓦特(Joöl Rivat),沿着正方形的Thue-Morse序列是正常的《文摘》,《MG-DMV大会》,2013年。
Milan Janjić,限制性三元词和插入词,arXiv:1905.04465[math.CO],2019年。
L.B.W.Jolley,级数求和1961年,多佛
萨米恩·艾哈迈德·汗,多边形数倒数的幂和《国际申请杂志》。数学。(2020)第33卷,第2期,265-282。
克拉克·金伯利,互补方程《整数序列杂志》,第10卷(2007年),第07.1.4条。
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小埃德·佩格。,序列图片《数学游戏》专栏,2003年12月8日。
小埃德·佩格。,序列图片,数学游戏专栏,2003年12月8日[缓存副本,经许可(仅pdf)]
西蒙·普劳夫,盖恩斯-奎尔克猜想的逼近,魁北克蒙特利尔大学论文,1992年;arXiv:0911.4975[math.NT],2009年。
西蒙·普劳夫,1031生成函数,论文附录,蒙特利尔,1992年;arXiv:0911.4975[math.NT],2009年。
亚什·普里和托马斯·沃德,周期轨道的算法和增长,J.整数序列。,第4卷(2001年),第01.2.1号。
路易斯·曼努埃尔·里维拉,整数序列与k-交换置换,arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO],2014。
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配方奶粉
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通用格式:x*(1+x)/(1-x)^3。
例如:exp(x)*(x+x^2)。
Dirichlet g.f.:zeta(s-2)。
a(n)=a(-n)。
所有矩阵元素M(i,j)之和=2*i/(i+j)(i,j=1..n)。a(n)=求和{i=1..n}求和{j=1..n{2*i/(i+j)-亚历山大·阿达姆楚克2004年10月24日
a(0)=0,a(1)=1,a(n)=2*a(n-1)-a(n-2)+2-米克洛斯·克里斯托夫2005年3月9日
a(n)是从1到2×n-1的奇数之和。
a(0)=0,a(1)=1,然后a(n)=a(n-1)+2*n-1。(结束)
[1,3,2,0,0,0,…]的二项式变换-加里·亚当森2007年11月21日
a(n)=二项式(n+1,2)+二项式。
这个序列可以从以下通用公式推导出来(参见。A001286号,A000330号):n*(n+1)**(n+k)*(n+(n+1)+…+(n+k))/(k+2)*(k+1)/2)。实际上,使用算术级数之和的公式(n+(n+1)+…+(n+k))=(2*n+k,)*(k+1)/2通式可以改写为:n*(n+1)**(n+k)*(2*n+k”)/(k+2)!因此,对于上述k=0,通式退化为n*(2*n+0)/(0+2)=n^2-亚历山大·波沃洛茨基2008年5月18日
根据(4)递推公式a(n+3)=3*a(n+2)-3*a(n+1)+a(n)和a(1)=1,a(2)=4,a(3)=9-阿图尔·贾辛斯基,2008年10月21日
递归a(n+3)=3*a(n+2)-3*a(n+1)+a(n)由a(3)中的所有k次序列满足,其中a(0)=0,a(1)=1,a(2)=k-杰姆·奥利弗·拉丰2008年11月18日
a(n)=a(n-1)+a(n-2)-a(n-3)+4,n>2-加里·德特利夫斯2010年9月7日
a(n+1)=Integral_{x>=0}exp(-x)/((Pn(x)*exp(-x)*Ei(x)-Qn(x))^2+(Pi*exp(-x)*Pn(x))^2),Pn是n阶拉盖尔多项式,Qn是由Qn(x)=Integral_{t>=0}(Pn(x)-Pn(t))*exp(-t)/(x-t)定义的二次拉盖尔多项式-格鲁·罗兰2010年12月8日
长度-2序列的欧拉变换[4,-1]-迈克尔·索莫斯2011年2月12日
求和{n>=1}1/a(n)^k=(2*Pi)^k*B_k/(2*k!)=zeta(2*k),Bernoulli数B_k=-1,1/6,1/30,1/42。。。对于k>=0。请参见A019673年,A195055号/10等[Jolley等式319]。
求和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)^k=2^(k-1)*Pi^k*(1-1/2^(k-1))*B_k/k![Jolley eq 320],B_k如上。
a(2*a(n)+2*n+1)=a(2*1(n)+2*n)+a(2*n+1)-弗拉基米尔·舍维列夫2014年1月24日
a(n+1)=和{t1+2*t2+…+n*tn=n}(-1)^(n+t1+t2+…+tn)*多项式(t1+t2+…+tn,t1,t2,…,tn)*4^(t1)*7^(t2)*8^-米尔恰·梅卡2014年2月27日
a(n)=楼层(1/(1-cos(1/n)))/2=楼层(1/1(1-n*sin(1/n,)))/6,n>0-克拉克·金伯利2014年10月8日
a(n)=上限(总和{k>=1}log(k)/k^(1+1/n))=-Zeta'[1+1/n]。因此,对k应用任何大于1的指数都会产生收敛。分数部分从A073002型=0.93754…当n=1时,缓慢收敛到0.9271841545163232…对于大n-理查德·福伯格2014年12月24日
a(n)=总和{j=1..n}总和{i=1..nneneneep上限((i+j-n+1)/3)-韦斯利·伊万·赫特2015年3月12日
a(n)=产品{j=1..n-1}2-2*cos(2*j*Pi/n)-米歇尔·马库斯2015年7月24日
产品{n>=1}(1+1/a(n))=sinh(Pi)/Pi=A156648号。
求和{n>=0}1/a(n!)=BesselI(0,2)=A070910型.(结束)
a(n)=Sum_{i=1..2*n-1}天花板(n-i/2)-斯特凡诺·斯佩齐亚,2021年4月16日
a(n)=总和{k=1..n}psi(n/gcd(n,k))。
a(n)=总和{k=1..n}psi(gcd(n,k))*φ。
a(n)=总和{k=1..n}σ_2(n/gcd(n,k))*mu(gcd(n,k))/phi(n/gccd(n、k))。
a(n)=总和{k=1..n}σ_2(gcd(n,k))*mu(n/gcd(n,k))/phi(n/gcd(n、k))。(结束)
a(n)=和{k=1..n}σ_1(k)+和{i=1..n{(n模i)-瓦迪姆·卡塔耶夫2022年12月7日
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例子
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对于n=8,a(8)=8*15-(1+3+5+7+9+11+13)-7=8*15-49-7=64-布鲁诺·贝塞利2010年5月4日
G.f.=x+4*x^2+9*x^3+16*x^4+25*x^5+36*x^6+49*x^7+64*x^8+81*x^9+。。。
a(4)=16。对于n=4个顶点,循环图C4是A-B-C-D-A。子树是:4个单根:A,B,C,D;4对:A-B、BC、C-D、A-D;4个三元组:A-B-C、B-C-D、C-D-A、D-A-B;4个四边形:A-B-C-D、B-C-D-A、C-D-A-B、D-A-B-C;4 + 4 + 4 + 4 = 16. -维克塔·卡拉奇尼亚2016年3月2日
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MAPLE公司
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数学
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线性递归[{3,-3,1},{0,1,4},60](*文森佐·利班迪2015年7月24日*)
系数列表[级数[-(x^2+x)/(x-1)^3,{x,0,50}],x](*罗伯特·威尔逊v2018年7月23日*)
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黄体脂酮素
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(岩浆)[0..1000]]中的n^2:n;
(PARI){a(n)=n^2};
(PARI)b000290(maxn)=对于(n=0,maxn,print(n,“”,n^2);)\\安纳托利·沃埃武德科2015年11月11日
(哈斯克尔)
a000290=(^2)
a000290_list=扫描(+)0[1,3..]--莱因哈德·祖姆凯勒2012年4月6日
(Scala)(0到59).map(n=>n*n)//阿隆索·德尔·阿特2019年10月7日
(Python)#参见Hobson链接
(Python)
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交叉参考
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囊性纤维变性。A092205号,A128200个,A005408号,A128201型,A002522号,A005563号,A008865号,A059100型,A143051号,A143470型,A143595号,A056944号,A001157号(逆Möbius变换),A001788号(二项式变换),A228039号,A001105号,A004159号,A159918号,173277英镑,A095794号,A162395号,A186646号(皮萨诺时期),A028338号(第二对角线)。
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的,多重,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A130296号
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| 按行读取的三角形:T[i,1]=i,T[i、j]=1代表1<j<=i=1,2,3,。。。 |
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+10 22
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1, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 9, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 10, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 11, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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配方奶粉
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截断A051340号到其左下方。按行,“n”后跟(n-1)1。(1,2,3…)在左边框中,所有1在其他列中。
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例子
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三角形的前几行是:
1;
2, 1;
3, 1, 1;
4, 1, 1, 1;
5,1,1,1,1;
...
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黄体脂酮素
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(PARI)A130296号(i,j)=if(j==1,i,j<=i)\\不应为j>i定义序列,但它在多个地方用作无限方阵,右上部分等于零-M.F.哈斯勒2015年8月15日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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2, 5, 6, 10, 11, 12, 17, 18, 19, 20, 26, 27, 28, 29, 30, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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链接
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配方奶粉
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例子
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a=(1,3,4,7,8,9,13,14,…)=A004201号=a或b中尚未出现的最小值>0;
b=(2,5,6,10,11,12,17,18,…)=A004202号=a+s。
作为三角形阵列
2;
5、6;
10, 11, 12;
17, 18, 19, 20;
(结束)
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数学
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a=表[n,{n,1210}];b={};Do[a=删除[a,{1,n}];b=附加[b,取[a,{1,n}]];a=下降[a,{1,n}],{n,1,14}];压扁[b]
a[n_]:=如果[n<1,0,其中[{m=圆形@平方英尺[2n]},n+m(m+1)/2]];(*迈克尔·索莫斯2019年5月3日*)
Take[#,(-Length[#])/2]&/@模块[{nn=20},TakeList[Range[nn+nn^2],2*Range[nn]]//展平(*需要Mathematica版本10或更高版本*)(*哈维·P·戴尔2019年5月13日*)
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a004202 n=a004202_列表!!(n-1)
a004202_list=skipTake 1[1..]其中
skipTake k xs=take k(drop k xs)++skipTage(k+1)(drop(2*k)xs
(PARI){a(n)=我的(m);如果(n<1,0,m=圆(sqrt(2*n));n+m*(m+1)/2)}/*迈克尔·索莫斯2019年5月3日*/
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交叉参考
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关键词
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作者
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亚历山大·斯塔辛斯基
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状态
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经核准的
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1、4、5、6、11、12、13、14、15、22、23、24、25、26、27、28、37、38、39、40、41、42、43、44、45、56、57、58、59、60、61、62、63、64、65、66、79、80、81、82、83、84、85、86、87、88、89、90、91、106、107、108、109、110、111、112、113、114、115、116、117、118、119、120、137、138
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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列出自然数:1、2、3、4、5、6、7。保留第一个数字(1),删除接下来的两个数字(2,3),保留接下来的三个数字(4,5,6),删除后面的四个数字(7,8,9,10),依此类推。
k的值,使得在所有正整数同余类的列表中,第k个同余类包含k。当m<m'或r<r'时,类r mod m(r在{1,…,m}中)位于类r“mod m”(r在}中,…,m’})之前。囊性纤维变性。A360418型. -詹姆斯·普罗普2023年2月10日
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参考文献
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C.Dumitrescu和V.Selacu,编辑,《数论中的一些概念和问题》,第一卷,Erhus出版社。,Glendale,1994年。
R.Honsberger,《数学宝石III》,M.A.A.,1985年,第177页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
F.Smarandache,《数字的属性》,1972年。
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链接
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配方奶粉
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a(n)=n+m*(m+1),其中m=楼层(sqrt(n-1))-克劳斯·布罗克豪斯2004年3月26日
a(n+1)=a(n)+如果n=k^2,则2*k+1其他1;a(1)=1-莱因哈德·祖姆凯勒2009年5月13日
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例子
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写为一个不规则三角形,其中的行长度是奇数,序列开始于:
1;
4, 5, 6;
11, 12, 13, 14, 15;
22, 23, 24, 25, 26, 27, 28;
37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45;
56, 57, 58, 59, 60, 61, 62 , 63, 64, 65, 66;
79, 80, 81, 82 , 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91;
106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120;
...
(结束)
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数学
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压扁[表[i,{j,1,17,2},{i,j(j-1)/2+1,j(j+1)/2}](*罗伯特·威尔逊v2004年3月11日*)
连接[{1},平展[With[{nn=20},范围[#[[1]],总计[#]]&/@Take[Thread[{Accumulate[Range[nn]]+1,范围[nn]}],{2,-1,2}]]](*哈维·P·戴尔2013年6月23日*)
使用[{nn=20},Take[TakeList[Range[(nn(nn+1)))/2],Range[nn]],{1,nn,2}]//展平(*哈维·P·戴尔2023年2月10日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)对于(n=1,66,m=sqrtint(n-1));打印1(n+m*(m+1),“,”)
(哈斯克尔)
a007606 n=a007606_列表!!(n-1)
a007606_list=takeSkip 1[1..]其中
takeSkip k xs=take k xs++takeSki(k+2)(下降(2*k+1)xs)
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交叉参考
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关键词
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非n,标签,美好的,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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3, 7, 8, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 35, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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另外:跳过1、0、2、1、3、2。。。
n的平方根的连分数的周期部分以1开头的整数-罗伯特·威尔逊v2001年11月1日
当且仅当a(n)>楼层(sqrt(a(n-丹尼尔·福格斯2011年4月17日
对于k>1,任何介于(k-1/2)^2和k^2(不含)之间的整数都在这个序列中。如果我们取这个序列,去掉比前一项多一个的项,我们就得到了中心多边形数(A002061号). 如果我们去掉每个比下一项少一的项,我们得到的数字就会比平方少一(A005563号). -阿隆索·德尔·阿特2013年12月28日
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链接
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配方奶粉
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例子
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7在序列中,因为它的平方根是2.64575……,它截断为2,但舍入为3。
8在序列中是因为它的平方根是2.828427…,它也截断为2,但舍入为3。
9不在序列中,因为它的平方根正好是3,这会对其进行截断和舍入。
下面是一个例子,按照拉蒙的跳过n,取n-1过程:从0开始,我们跳过一个整数(0),但我们的序列取零个整数。然后跳过两个整数(1和2),取一个整数(3)作为序列。然后我们跳过三个整数(4,5,6),取两个整数作为序列(7和8,所以序列现在是3,7,8)。然后我们跳过四个整数(9、10、11、12),依此类推。
参见R.B.Nelsen的论文。
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0| 0
1| 1 + 2 = 3
2| 4 + 5 + 6 = 7 + 8
3| 9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15
4| 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 21 + 22 + 23 + 24
| ...
(结束)
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MAPLE公司
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数学
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选择[Range[200],Floor[Sqrt[#]]!=楼层[Sqrt[#]+1/2]&](*或*)选择[Range[200],First[Last[ContinuedFraction[Sqrt[#]]]==1&]
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黄体脂酮素
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(PARI){n=0;对于(m=0,10^9,如果(sqrt(m)%1>.5,写入(“b063657.txt”,n++,“”,m);如果(n==1000,中断))}\\哈里·史密斯2009年8月27日
(哈斯克尔)
a063657 n=a063657_列表!!n个
a063657_list=f 0[0..]其中
f k(_:xs)=us++f(k+1)(下降(k+1
(us,vs)=分裂at k xs
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 2, 3, 6, 7, 8, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 132
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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对于实际x<1,地板(x*地板(x))的可能值-宋嘉宁2021年2月16日
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链接
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配方奶粉
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例子
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a(9)=9+6=15;
a(10)=10+10=20;
a(11)=11+10=21。
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A063656号
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| 对k进行编号,使k的截断平方根等于k的四舍五入平方根。 |
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+10 7
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0, 1, 2, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 16, 17, 18, 19, 20, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 121
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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另外:取1,跳过0,取2,跳过1,取3,跳过2。。。
闭区间[k^2,k^2+k],k>=0,区间0到1,1到2,4到6,9到12等中数集的并集-J.M.贝戈2013年6月27日
猜想:以下定义为n>=1产生a(n):a(1)=1;对于n>1,满足a(n)是平方的条件的最小数>a(n-1)当且仅当n是三角形数-J.洛厄尔2014年5月13日
因此,a(2)=2,因为2不是三角形数,也不是正方形;a(3)!=3,因为3不是正方形,而是三角形;a(3)=4是可以的,因为4是正方形,3是三角形;等[示例由提供N.J.A.斯隆2014年5月13日]
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链接
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黄体脂酮素
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(PARI){n=-1;对于(m=0,10^9,如果(sqrt(m)%1<.5,写入(“b063656.txt”,n++,“”,m);如果(n==1000,中断))}\\哈里·史密斯2009年8月27日
(哈斯克尔)
a063656 n=a063656_列表!!n个
a063656_list=f 1[0..]其中
f k xs=us++f(k+1)(下降(k-1)vs),其中
(us,vs)=分裂at k xs
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A118175号
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| 规则220基本细胞自动机第n次迭代的二进制表示,从单个黑细胞开始。 |
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+10 4
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1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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将行划分为长度为2n的行,行n由n 1和n 0组成。
该表是q二项式(高斯多项式)系数表G(2;n,k)=[q^k]([n+2,2]_q)的第一个差分表(见表A008967号):a(n,k)=G(2;n,k”)-G(2;n-1,k)。因此,行多项式的o.g.f为G2(q,z)=(1-z)/乘积((1-q^j*z),j=0..2)=1/((1-q*z)*(1-q^2*z))。因此,a(n,k)将k划分为n个部分,每个部分<=2。它还确定k最多分为2个部分的分区数,每个部分<=n但不<=(n-1),即存在部分n。查看上的评论A008967号关于分区。
从o.g.f.G2(q,z)可以清楚地看出,n>k有0,k=n,…,只有1,。。。,2个。
(结束)
如果与n最近的平方>=n,则a(n)为1,否则为0-布兰科·柯格斯1017年4月25日
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链接
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配方奶粉
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通用公式:x/(1-x)*(和{n>=1}x^(n^2-n)*(1-x^n))=1/(2-2x)*-沃尔夫冈·辛茨2017年7月28日
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例子
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表a(n,k)开始于:
n \k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18。。。
0: 1
1: 0 1 1
2: 0 0 1 1 1
3: 0 0 0 1 1 1 1
4: 0 0 0 0 1 1 1 1 1
5: 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1
6: 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
7: 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
8: 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
9: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
分区示例:如果n>k,则a(n,k)=0,因为k的分区的最大部分数是k。
a(2,3)=1,因为3的唯一分区有2个部分,每个部分<=2,是1,2。此外,3的唯一分区最多有2个部分,每个部分<=2,并且有一个部分2也为1,2。
a(5,7)=1,因为7的最大部分为2的5部分划分是1^3,2^3。此外,7的唯一分区最多有2个部分,每个部分<=5,其中第5部分为2,5。
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数学
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表[1-天花板[Sqrt[n]]+圆形[Sqrt[n]],{n,1,257}](*布兰科·柯格斯2017年4月26日*)
表[{数组[1&,n],数组[0&,n]},{n,1,5}]//展平(*沃尔夫冈·辛茨,2017年7月28日*)
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黄体脂酮素
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(Python)
从数学导入isqrt
定义A118175号(n) :返回1+int(n-(m:=isqrt(n+1))*(m+1)>=0)-int(m**2!=n+1)#柴华武2022年7月30日
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关键词
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非n,标签
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作者
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经核准的
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1, 3, 5, 6, 9, 10, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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数学
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L={};x=1;Do[L=Join[L,Range[x,x+Fibonacci[n]-1]];x+=2*Fibonacci[n],{n,9}];L(左)(*乔瓦尼·雷斯塔,2016年6月20日*)
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容易的,非n
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