A001615-OEIS公司

抵消

1,2

一般二维格中指数n的本原子格个数；也是SL_2（Z）中Gamma_0（n）的指数。

一般二维格L=<V，W>由mV+nW，（m，n个整数）形式的所有向量组成。子格S=<aV+bW，cV+dW>具有索引|ad-bc|，并且如果gcd（A，b，c，d）=1，则它是本原的。一般晶格L精确地具有索引2的（2）＝3个子晶格，即＜2V，W＞，＜V，2W＞和＜V+W，2V＞（其＝＜V+W，2W＞），对于其他索引依此类推。

索引n的子格与[0..d-1]中a>0，ad=n，b的矩阵[a b；0 d]一一对应。它们的数量是Sum_{d|n}=sigma（n），即A000203号.如果gcd（A，b，d）=1，则子格是本原的；它们的数量是n*product{pn}（1+1/p），这是当前的序列。

SL_2（Z）=Gamma是所有2X2矩阵[ab；cd]的群，其中a，b，c，d是ad-bc=1的整数，并且Gamma_0（N）通常被定义为其子群，其中N|c。但在概念上，Gamma最好被认为是格<V，W>的（正）自同构群，其典型元素取V->aV+bW，W->cV+dW，然后Gamma_0（N）可以定义为由固定索引N的子格<NV，W>的自同构组成的子群-J.H.康威2001年5月5日

Dedekind证明了，如果n=k_i*j_i代表i中i表示将n写成乘积的所有方法，而e_i=gcd（k_i，j_i），则a（n）=总和（k_i/（e_i*phi（e_i）），i in i）[比照Dickson，《数论史》，第1卷，第123页]。

此外，a（n）=n^2阶（1,1）型（Fricke）阿贝尔群中n阶循环子群的数目-伦·斯迈利2001年12月4日

与j（z）和j（nz）相关的n阶经典模方程的多项式阶为psi（n）（Fricke）-迈克尔·索莫斯2006年11月10日；澄清人凯瑟琳·斯坦格2022年3月11日

这个序列的Mobius变换是A063659号. -加里·亚当森2008年5月23日

该序列的逆Mobius变换为A060648型. -弗拉德塔·乔沃维奇2009年4月5日

这个序列的Dirichlet逆是A008836号（n）*A048250型（n） ●●●●-阿尔瓦尔·伊比亚斯2015年3月18日

当且仅当任意n>30时，a（n）/n-e^gamma*log（log（n））<0时，黎曼假设才成立-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2011年7月12日

黎曼假设也等价于另一个不等式，参见Sole和Planat链接-托马斯·奥多夫斯基2017年5月28日

这个序列的无限模拟是n的无限除数之和（参见A049417号). -弗拉基米尔·舍维列夫2014年4月1日

问题：是否存在复合数n，即n+1除以psi（n）-托马斯·奥多夫斯基2017年5月21日

n的除数d的和，使得n/d是平方的-阿米拉姆·埃尔达尔2019年1月11日

Psi（n）/n是每个原初值的新最大值(A002110号)[链接中的证据：Patrick Sole和Michel Planat，提案1第2页]-伯纳德·肖特，2020年5月21日

发件人宋嘉宁，2022年11月5日：（开始）

a（n）是C_n X C_n同构于C_n的子群数，其中C_n是n阶循环群。证明：C_n XC_n中n阶元素的个数为A007434号（n）（它们是C_n X C_n中形式（a，b）的元素，其中gcd（a，b，n）=1），与C_n同构的每个子群都包含phi（n）生成器，因此此类子群的数量为A007434号（n） /φ（n）=a（n）。

C_n X C_n的n阶子群的总数为A000203号（n） ●●●●。（结束）

参考文献

Tom Apostol，简介。分析。数论，第71页，问题11，这里称为phi_1（n）。

David A.Cox，“形式x^2+ny^2的素数”，威利，1989年，第228页。

R.Fricke，Die elliptischen Funktitionen und ihre Anwendungen，Teubner，1922年，第2卷，见第220页。

理查德·盖伊（Richard K.Guy），《数论中未解决的问题》（Unsolved Problems in Number Theory），第三版，斯普林格出版社，2004年。见第B41节，第147页。

B.Schoeneberg，椭圆模函数，Springer-Verlag，纽约，1974年，第79页。

G.Shimura，《自守函数算术理论导论》，普林斯顿，1971年，见第25页，等式（1）。

N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

链接

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O.Bordelles和B.Cloitre，涉及某些乘法函数倒数的交替和，J.国际顺序。16 (2013) #13.6.3.

Harriet Fell、Morris Newman和Edward Ordman，线性分数变换群的属表，J.Res.Nat.Bur。标准章节。B 67B 1963年61-68。

M.Hampejs、N.Holighaus、L.Toth和C.Wiesmeyr，表示和计算群Z_m X Z_n的子群，arXiv:1211.1797[math.GR]，2012年。

W.Hürlimann，Dedekind的算术函数和原始四平方计数函数《代数杂志》，《数论：进展与应用》14:2（2015），73-88。

F.A.Lewis等人。，问题4002阿默尔。数学。《月刊》，第49卷，第9期，1942年11月，第618-619页。

E.Pérez Herrero，回收Hardy&Wright，Dedekind Psi函数的平均阶数，迷幻几何博客。

米歇尔·普莱纳特，Dedekind psi函数的黎曼假设，arXiv:1010.3239[math.GM]，2010年。

Patrick Sole和Michel Planat，Dedekind Psi函数的极值，发表于《组合数学与数论杂志》，arXiv:1011.1825[math.NT]，2010-2011年。

埃里克·魏斯坦的数学世界，Dedekind函数

维基百科，Dedekind psi功能

“核心”序列的索引项

与子格相关的序列的索引项

公式

Dirichlet g.f.：zeta（s）*zeta（s-1）/zeta（2*s）-迈克尔·索莫斯2000年5月19日

与a（p^e）相乘=（p+1）*p^（e-1）-大卫·W·威尔逊2001年8月1日

a（n）=A003557号（n）*A048250型（n） =个*A000203号(A007947号（n））/A007947号（n） ●●●●-拉博斯·埃利默2001年12月4日

a（n）=n*和{d|n}μ（d）^2/d，Dirichlet卷积A008966号和A000027号. -贝诺伊特·克洛伊特2002年4月7日

a（n）=总和{d|n}mu（n/d）^2*d-乔格·阿恩特2011年7月6日

发件人恩里克·佩雷斯·埃雷罗，2010年8月22日：（开始）

a（n）=J_2（n）/J_1（n）=J_2（n）/φ（n）=A007434号（n）/A000010号（n），其中J_k是第k个Jordan Totient函数。

a（n）=（1/phi（n））*Sum_{d|n}mu（n/d）*d^（b-1），对于b=3。（结束）

a（n）=n/Sum_{d|n}μ（d）/a（d）-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2012年6月6日

a（n^k）=n^（k-1）*a（n）-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2013年1月5日

如果n是平方自由的，那么a（n）=A049417号（n）=A000203号（n） ●●●●-弗拉基米尔·舍维列夫2014年4月1日

a（n）=总和{d^2|n}mu（d）*A000203号（n/d^2）-阿尔瓦尔·伊比亚斯2014年12月20日

a（n）的平均顺序是15*n/Pi^2-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2012年1月14日。见阿波斯托-N.J.A.斯隆2017年9月4日

G.f.：总和=1｝μ（k）^2*x ^k/（1-x ^k）^2-伊利亚·古特科夫斯基2018年10月25日

a（n）=Sum_{d|n}2^omega（d）*phi（n/d），Dirichlet卷积A034444号和A000010号. -丹尼尔·苏图2019年3月9日

发件人理查德·L·奥勒顿，2021年5月7日：（开始）

a（n）=和{k=1..n}2^omega（gcd（n，k））。

a（n）=和{k=1..n}2^ω（n/gcd（n，k））*phi（gcd（n，k））/phi（n/gcd（n、k））。（结束）

a（n）=abs(A158523号（n））=A158523号（n）*A008836号（n） ●●●●-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2022年11月7日

例子

设L=<V，W>为二维格。索引4的6个原始子格由<4V，W>，<V，4W>，<4V，W+-V>，<2V+W，2W>，<02V，2W+V>生成。比较A000203号.

G.f.=x+3*x^2+4*x^3+6*x^4+6*x^5+12*x^6+8*x^7+12*x^8+12*x ^9+。。。

MAPLE公司

A001615号：=进程（n）n*mul（（1+1/i[1]），i=因子（n）[2]）结束#马克·范·霍伊2012年4月18日

数学

联接[{1}，表[n次@@（1+1/Transpose[FactorInteger[n]][1]]），{n，2，100}]](*T.D.诺伊2006年6月11日*）

表[DirichletConvolve[j，MoebiusMu[j]^2，j，n]，{n，100}](*简·曼加尔丹2013年8月22日*）

a[n_]：=如果[n<1，0，n和[MoebiusMu[d]^2/d，{d，Divisors@n}]]；(*迈克尔·索莫斯2015年1月10日*）

表[n*积[1+1/p，{p，选择[Divisors[n]，PrimeQ]}]，{n，1，100}](*瓦茨拉夫·科特索维奇，2021年5月8日*）

黄体脂酮素

（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，direculer（p=2，n，（1+X）/（1-p*X））[n]）}；

（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，n*sumdiv（n，d，moebius（d）^2/d））}/*迈克尔·索莫斯2006年11月10日*/

（PARI）a（n）=我的（f=系数（n））；prod（i=1，#f~，f[i，1]^f[i（2）]+f[i、1]^（f[i）-1）\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年8月22日

（PARI）a（n）=n*总和（n，d，无发行量（d）/d）\\查尔斯·格里特豪斯四世2014年9月9日

（哈斯克尔）

导入数据。比率（分子）

a001615 n=分子（来自积分n*（乘积$

地图（+1）。配方。from Integral）$a027748_当前n））

--莱因哈德·祖姆凯勒2013年6月3日，2012年4月12日

（鼠尾草）定义A001615号（n）：return n*mul（prime_divisors（n）中p的1+1/p）

[A001615号（n）对于（1..69）中的n#彼得·卢什尼2012年6月10日

（岩浆）m:=75；R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），m）；系数（R！（（&+[MoebiusMu（k）^2*x^k/（1-x^k）^2:k in[1..2*m]]））//G.C.格鲁贝尔2018年11月23日

（Python 3.8+）

从数学导入prod

从症状导入因子

定义A001615号（n）：

plist=素数（n）

return n*prod（plist中p的p+1）//prod（plest）#柴华武2021年6月3日

交叉参考

计算格/子格的其他序列：A000203号（删除了原始条件），A003050号（改为六角形晶格），A003051号,A054345号,A160889号,160891年.

囊性纤维变性。A002110号,A027748号,A124010型,A019269号.

囊性纤维变性。A301594型.

囊性纤维变性。A063659号（莫比乌斯变换），A082020型（平均订单），A156303号（欧拉变换），173290英镑（部分金额），A175836号（部分产品），A203444型（范围）。

囊性纤维变性。A210523型（记录数值）。

与其他核心序列的代数组合：A000082号,A033196号,A175732号,A291784型,A344695型.

k=0..10时形式为n^k*Product_{p|n，pprime}（1+1/p^k）的序列：A034444号（k=0），该序列（k=1），A065958级（k=2），A065959号（k=3），A065960号（k=4），A351300型（k=5），A351301型（k=6），A351302型（k=7），A351303型（k=8），A351304型（k=9），A351305型（k=10）。

囊性纤维变性。A082695号（s=3时的Dgf），A339925型（s=4时的Dgf）。

上下文中的序列：A360522型 A332619型 A322319型*A158523号 A133689号 A285895型

相邻序列：A001612号 A001613年 A001614号*A001616号 A001617号 A001618号

关键词

非n,容易的,核心,美好的,多重

作者

N.J.A.斯隆

扩展

更多术语来自奥利维尔·杰拉德1997年8月15日

状态

经核准的