平方数

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一个平方数,也称为完全平方是一个具象数 形式的 Snn= n^ 2在哪里N是一个整数.平方数为n=0,1,…0, 1, 4、9, 16, 25、36、49、…(OEIS)A000 0290

平方数的二元表示

上面示出了表示为二进制位序列的前几个平方数的图。顶部显示S1S~(255),底部显示下一个510个值。

这个生成函数给出平方数是

 (x(x+1))/((1-x)^ 3)=x+4x^ 2+9x^ 3 +16x^ 4+…
(1)
方格龙

这个(n+1)ST平方数S~(n+1)给出了关于N第四方数Syn

 Syn(n+1)=snn+2n+1,
(2)

自从

 (n+1)^ 2=n ^ 2 +2n+1,
(3)

相当于添加一个日晷到前面的平方,如上文所示。

方形三角形

这个NTH平方数等于(n-1)ST和N三角数

Syn=1/2(n-1)n+1/2n(n+1)
(4)
=n ^ 2,
(5)

正如上面的图表所见,其中(n-1)三角三角数由白色三角形表示。N第三角数是由黑三角形表示的,三角形的总数是平方数。Snn= n^ 2(R. Sobel,珀斯。公报)

也可以通过取两个连续偶数或奇数的乘积并加1来生成平方数。通过执行这个运算得到的结果是初始两个数的平均值的平方,

 (n-1)(n+1)+1=(n^ 2-1)+1=n ^ 2。
(6)

作为研究的一部分华林问题众所周知,每一个正整数都是不大于4个正方形的总和。g(2)=4拉格朗日四方定理每一个“足够大”的整数都是一个不超过4个正方形的和。g(2)=4并且每个整数都是最多3个正方形的总和。EG(2)=3实际上,用正方表示正整数的基集是{0,1,4,9,16,25,36,64,81100,…},所以不需要使用49。此外,由于无穷数量的N最少需要四个平方来代表它们整数 G(2)诸如此类正整数超出某一点要求G(2)正方形由g(2)=4.

一个数的表示数NK方块,区分符号和顺序,表示RYK(n)并称之为平方和函数. 代表数字1, 2, 3所需的最小平方数,…分别是1, 2, 3、1, 2、3, 4, 2、1, 2、…(OEIS)A000 28 28,以及代表数字1, 2, 3的不同方式的个数,…在平方方面,分别为1, 1, 1、2, 2, 2、2, 3, 4、4、…(OEIS)A000 1156)一种用于枚举正方形分区的蛮力算法。N是重复应用的贪心算法. 然而,这种方法很快变得不切实际,因为表示的数量增长非常迅速。N,如下表所示。

N平方分拆
五十一百零四
一百一千一百一十六
一百五十六千五百二十一
二百二万七千四百八十二

这个NTH非方数阿昂是由

 Ann= n+1α/ 2 +SqRT(n)
(7)

在哪里?第二十一章楼层功能,前几个是2, 3, 5,6, 7, 8,10, 11,…(OEIS)A000 0 37

唯一的数字同时平方和金字塔形的(the炮弹问题P1=1Py(24)=4900,对应于S1=1S~(70)=4900(鲍尔和Cxter 1987,第59页;奥格威1988;迪克森2005,第25页),由卢卡斯(1875, 1876)推测,并由华生(1918)证明。这个炮弹问题等同于解决丢番图方程

 y^ 2=1/6x(x+1)(2x+1)
(8)

(盖伊1994,第147页)。

唯一的数字是正方形的四面体的TEE1=1TEE2=4Teee(48)=19600给予S1=1Sy2=4S~(140)=19600),MeYL(1878);Digkson 2005,P 25;盖伊1994,P 147)。一般说来,证明只有两个数同时以两种不同的方式表示出来是远远不够的。

为了找到平方数的最后一个数字,写n=10a+b关于用十进制写的数记数法作为阿拜(10)一B=0,1,…,9)

 n^ 2=100a^ ^ 2 +20ab+b^ 2,
(9)

所以最后一个数字N 2与最后一个数字相同B^ 2. 下表给出了最后一个数字B^ 2B=0,1,…,9(其中一个数字只有一个数字的最后一个数字表示,即,16成为第六个数字)。可以看出,最后一个数字只能是0, 1, 4、5, 6或9。

第五类四级Y1

我们同样可以通过书写来检查最后两个数字。ABCl(10)作为

 n=100a+10b+c,
(10)

所以

N 2=(100A+10B+C)^ 2
(11)
=100(100A^ 2 +20Ab+2AC+B^ 2)+(20BC+C^ 2),
(12)

所以最后两个数字必须有最后两个数字。20BC+C^ 2. 此外,最后两个数字可以通过只考虑而获得。B=0,1, 2, 3,和4,因为

 20(b+ 5)c+c^ 2=100c+(20bc+c^ 2)
(13)

具有相同的最后两个数字20BC+C^ 2(另一种可能性是C=0在这种情况下,最后两个数字是00。下表(加上00)因此耗尽所有可能的最后两位数字。

C
乙
010409十六二十五三十六四十九六十四八十一
α-2144六十九99625岁甲乙酮89.第二十四章661
41第八十四章29岁γ-7625岁γ-7629岁第八十四章41
661第二十四章89.甲乙酮25岁996六十九44α-21
81.A6449岁三十六25岁16岁10-09Y04Y01

因此,只有22种可能性是00, 01、04, 09、16, 21, 24、25, 29, 36、41, 44, 49、56, 61, 64、69, 76, 81、84, 89和96,它们可以简洁地概括为00,E1E425,O6E9在哪里e代表一个偶数o对于一个奇数. 此外,A必要的(但不是)足够的一个数为平方的条件是它的平方数字根1, 4, 7岁,或9岁。前几个方格的数字根是1, 4, 9,7, 7, 9,4, 1, 9,1, 4, 9,7,…(OEIS)A05692,而具有数字根1, 4, 7或9的数字的列表是1, 4, 7、9, 10, 13、16, 18, 19、22, 25、…(OEIS)A05691

在2008年3月播出的NPR广播节目《汽车谈话》的一个“困惑”中提到了平方数字的这种性质。在这个困惑中,一个儿子告诉他的父亲,他的计算机和数学老师给这个班级分配了一个问题来确定一个数字是否是一个完美的正方形。每个学生被分配一个特定的数字,学生们应该编写一个软件程序来确定答案。儿子的指定号码是三百三十四兆九千一百二十七亿四千零一十二万一千五百六十二当父亲认为这是一个困难的问题时,旁观者听对话时说,老师给儿子一个简单的数字,旁观者可以马上给出答案。问题是这第三个人知道什么?答案是,数字在数字“2”中结束,这不是平方数的可能最后一个数字之一。

下表给出了可能的残留mod。N平方数n=1到20。数量S(n)给出给定的不同残数的数目。N.

NS(n)x^ 2(mod n)
0、1
0、1
0、1
0、1, 4
0, 1, 3,4
0, 1, 2,4
0, 1, 4
0, 1, 4,7
0, 1, 4,5, 6, 9
十一0, 1, 3,4, 5, 9
十二0, 1, 4,9
十三0、1, 3, 4、9, 10, 12
十四0, 1, 2、4, 7, 8、9, 11
十五0, 1, 4,6, 9, 10
十六0, 1, 4,9
十七0、1, 2, 4、8, 9, 13、15, 16
十八0, 1, 4、7, 9, 10、13, 16
十九0, 1, 4、5, 6, 7、9, 11, 16、17
二十0, 1, 4,5, 9, 16

一般来说,奇数正方形与1(mod 8)一致(考平和盖伊1996)。Stangl(1996)给出了一个方程式的平方公式。S(n)进入齐恩(即,国防部N可以计算出来。磷是一个奇数 首要的. 然后S(n)乘法函数由给定

S(2)=二
(14)
S(P)=1/2(p+1)(p)!= 2)
(15)
S(p^ 2)=1/2(p^ 2-p+2)(p)= 2)
(16)
S(2 ^ n)=n=1/3(2 ^(n-1)+4);n奇数为1/3(2 ^(n-1)+5)
(17)
S(p^ n)={(p^(n+1)+p+1)/(2(p+1))对于n>=3偶数;(p^(n+1)+2p+1)/(2(p+1))为n>=3奇数。
(18)

S(n)与数字有关q(n)属于二次剩余进入齐恩

 q(p^ n)=S(p^ n)-s(p^(n-2))
(19)

n>=3(Stangl 1996)。

一个完美的正方形N(n/p)=0或1为所有奇数 素数 P<N在哪里?(N/P)勒让德符号. 一个数字N这不是完美的平方,但是满足这种关系的称为假性骨疣.

在RAMANUJAN会议的谈话中,W. Gosper conjectured指出,四个不同的奇数平方的总和是四个不同的偶数平方的和。M. Hirschhorn利用身份证明了这个猜想。

 (4a+1)^ 2+(4b+1)^ 2+(4c+1)^ 2+(4d+1)^ 2=4 [(a+b+c+d+1)^ 2+(α-b+c+d)^ 2 +(aB+C-d)^ + +(a+b-C-d)^ ^);
(20)

在哪里?一乙CD是正整数或负整数。赫希霍恩还表明,四个不同的奇偶平方的总和是四个不同奇数平方的和。

质数 磷可以写成两个正方形的和敌我识别 P+ 1是不可分割的(4)FermatSN+1定理)任意正数N可表示为两方格之和敌我识别,鉴于其素数分解

 n=p11^(aa1)pY2^(aa2)pY3^(aa3)…pYK ^(aak),
(21)

都不PiI ^(AAI)+1可分为4(康威和盖伊1996,第147页)。这相当于要求所有的奇数因子无平方部分 氮属于N等于1(mod 4)(哈代和赖特1979,Finch)。前两个数字可以表示为两个正方形的总和,分别为1, 2, 4、5, 8, 9、10, 13, 16、17, 18, 20、25, 26、…A000 148出租德尔塔(n)是数字的分数<可表示为两个正方形的和。

 Limig(n->fftI)δ(n)=0,
(22)

 Limig(n->fftI)δ(n)qRT(LNN)=K,
(23)

在哪里?K朗道-拉马努扬常数.

可表示为三方之和的数字是那些不是形式的 4 ^ k(8L+ 7)K,L>0(NGELL 1951,第194页;威尔斯1986,第48和56页;Hardy 1999,P.12)。

下表给出了前几个数字要求 n=12, 3和4平方来表示它们为一个和(威尔斯1986,P 70)。

N斯隆
A000 02901, 4, 9,16, 25,36, 49, 64,81,…
A000 04152, 5, 8,10, 13,17, 18, 20,26, 29,…
A000 04193, 6, 11,12, 14,19, 21, 22,24, 27,…
A000 42157, 15, 23,28, 31,39, 47, 55,60, 63,…

FermatSN+1定理保证每一个首要的 形式的 4N+ 1是两个平方和的总和。

只有31个数字不能表示为不同的正方形:2, 3, 6、7, 8, 11、12, 15, 18、19, 22, 23、24, 27, 28、31, 32, 33、43, 44、47, 48, 60、67, 72, 76、92, 96, 108、112, 128(OEIS)A000 1422“盖伊1994;萨文2000”。以下数字不能用小于五个不同的方块表示:55, 88, 103、132, 172, 176、192, 240, 268、288, 304, 368、384, 432, 448、496, 512和752,以及所有这些数字乘以4的幂。这给出了所有已知的这样的数字小于10 ^ 5(萨文2000)。所有数字> 188可以表示为最多五个不同的平方的总和,并且仅表示

 124=1+4+9+25+36+49
(24)

 188=1+4+9+25+49+100
(25)

需要六个不同的方块(博曼)等。1979;盖伊1994,P 136;Savin 2000)。事实上,188也可以用七个不同的方块表示:

 188=1+4+9+25+36+49+64。
(26)

下表给出了可以表示的数字。W作为一个和的不同方法S正方形。例如,

 50=1 ^ 2+7 ^ 2=5 ^ 2+5 ^ 2
(27)

可以用两种方式来表示(W=2)两个平方S=2

SW斯隆
A000 02901, 4, 9,16, 25,36, 49, 64,81, 100, 121,…
A025842, 5, 8,10, 13, 17,18, 20, 25,26, 29, 32,…
A0258550, 65, 85,125, 130, 145,170, 185, 200,…
A0253213, 6, 9,11, 12, 14,17, 18, 19,21, 22, 24,…
A02532227, 33, 38,41, 51, 57,59, 62, 69,74, 75,…
A02532354, 66, 81,86, 89, 99,101, 110, 114,126,…
A025324129, 134, 146,153, 161, 171,189, 198,…
A0253574, 7, 10,12, 13, 15,16, 18, 19,20, 21, 22,…
A02535831, 34, 36,37, 39, 43,45, 47, 49,50, 54,…
A02535928, 42, 55,60, 66, 67,73, 75, 78,85, 95, 99,…
A02536052, 58, 63,70, 76, 84,87, 91, 93,97, 98, 103,…

两个正方形之和的最小数。N不同的方式n=1,2,…分别为2, 50, 325、1105、8125, 5525, 105625、27625, 71825, 138125、5281250、…(OEIS)A016032;贝勒1966,pp.140~141;Rubin 1977~78;Culbern 1978-79;哈代和赖特1979;里韦拉)。

四个不同的产物非零 整数进入算术级数仅为平方- 3- 1,1, 3),给予(- 3)(- 1)(1)(3)=9(LyLynas 1983,第53页)。算术级数,但不是四(Dikson 2005,pp.435-440)。如果这些数字是R^ 2S^ 2T^ 2正整数 磷Q这样

R=p^ 2-2pq-q ^ 2
(28)
S=p^ 2+q^ 2
(29)
T=p^ 2+2pq-q^ 2,
(30)

在哪里?(p,q)=1其中之一RST即使(迪克森2005,pp.434-438)。每平方项的每三项级数可以与A相关。毕达哥拉斯三联 (x,y,z)通过

X=1/2(R+T)
(31)
Y=1/2(T-R)
(32)
Z=S
(33)

(罗伯森1996)。

卡塔兰猜想国家8和92 ^ 33 ^ 2是唯一连续的权力(不包括0和1),即,唯一的解决方案加泰罗尼亚的丢番图问题猜想还没有被证明或驳斥,尽管R. Tijdeman已经证明只有有限数量的例外。猜想不举行。也知道,8和9是唯一连续的。立方体的平方和数(按任意顺序)。

不是两个正方形的差值的数字是2, 6, 10、14, 18、…A016825威尔斯1986,第76页)。

正方形数可以是两个正方形的连接,如在情况下16=4 ^ 29=3 ^ 2赠予169=13 ^ 2. 第一个数既不是正方形,也不是正方形和A的总和。首要的10, 34, 58,85, 91, 130,214,…(OEIS)A020495

据推测,除10 ^(2n)4×10 ^(2n)9×10 ^(2n)只有一个有限的平方数N 2有两个截然不同的非零 数字(盖伊1994,第262页)。前几个这样N分别是4, 5, 6、7、8, 9, 11、12, 15, 21、…(OEIS)A016070),对应于N 216, 25, 36、49, 64, 81、121、……(OEIS)A01884

下表给出了最初的几个数字,当平方时,给出仅由某些数字组成的数字。价值观N这样N 2正好包含两个不同的数字,给出了4, 5, 6,7, 8, 9,10, 11, 12,15, 20,…(OEIS)A016068),其平方为16, 25 36, 49, 64,…(OEIS)A01888

数字斯隆NN 2
1, 2, 3A0301751, 11, 111,36361, 363639,…
A0301741、121, 12321, 1322122321、…
1, 4, 6A07671、2, 4, 8、12, 21, 38、108、…
A076671, 4, 16、64, 144、441, 1444、…
1, 4, 9A027 6751, 2, 3、7, 12, 21、38, 107、…
A000 67 161, 4, 9,49, 144, 441,1444, 11449,…
2, 4, 8A0272, 22, 168,478, 2878, 210912978,…
A0274, 484, 28224,228484, 8282884,…
4、5, 6A0301772、8, 216, 238、258, 738, 6742、…
A0301764、64, 46656, 56644、66564、…

对于三位数字,只包含数字7, 8和9的极端例子是

 9949370777987917 ^ 2=9898997 8977 988 88 898977 8997 99 88
(34)

已知没有包含数字013或678的正方形。独特的解决方案是已知的019, 039,056, 079,568,和789。已知最长的是

 814016333543595121291484^ 2=66 26226562526265626262626262626252566 5626262656522256
(35)

有52位数字。一个已知的解决方案的3位平方的问题是由Mishima保持。

布朗数是对(m,n)属于整数满足条件布鲁克问题,即,即

 n!+ 1=m ^ 2,
(36)

在哪里?n!是一个阶乘只知道三个这样的数:(5,4),(11,5),(71,7)。艾德猜想,这是唯一的三对这样的对。

要么5x^ 2+4=y^ 25x^ 2-4= y^ 2有一个解决方案正整数 敌我识别,对于一些N(x,y)=(fyn,Lyn),在哪里费恩是一个斐波那契数莱恩是一个卢卡斯数(洪斯伯格1985,pp.114-118)。

包含数字1至9的最小和最大平方数是

 11826 ^ 2=139854276
(37)
 30384 ^ 2=923187456。
(38)

包含数字0至9的最小和最大平方数是

 32043 ^ 2=1026753849,
(39)
 99066 ^ 2=9814072356
(40)

(Maqay 1979,第159页)。包含两个数字1到9的最小和最大平方数。

 335180136 ^ 2=112345723568978496
(41)
 999390432 ^ 2=998781235573146624,
(42)

最小和最大包含1到9个三倍。

 10546200195312 ^ 2=1112223 3555 95966 66 94677 734
(43)
 31621017808182 ^ 2=99 988 867 22536317534 6145124
(44)

(Maqay 1979,第159页)。

MaDaCy(1979,第165页)也考虑了等于它们的“两半”的平方和的数字,例如

一千二百三十三=12 ^ 2+33 ^ 2
(45)
八千八百三十三=88 ^ 2+33 ^ 2
(46)
一万零一百=10 ^ 2+100 ^ 2
(47)
五百八十八万二千三百五十三=588 ^ 2+2353 ^ 2,
(48)

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