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A008683号 Möbius(或Moebius)函数mu(n)。如果n是k个不同素数的乘积,则mu(1)=1;如果n是k个不同素数的乘积,则mu(n)=0。 1116
1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、0、1、1、1、1、1、0、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、0、1、1、1、1、1、0、1、1、1、0、1、1、0、1、1、0、1、0、1、1、1、1、0、0、0、1、1、1、0、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1 0,1,-1 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

1,1

评论

Moebius反演:f(n)=和{d | n}g(d)对于所有n<=>g(n)=和{d | n}mu(d)*f(n/d)。

a(n)只依赖于n的素数签名(cf。A025487号). 所以a(24)=a(375),因为24=2^3*3和375=3*5^3都有素数签名(3,1)。

A008683号=A140579号^(-1)*邮编:A140664. -加里·W·亚当森2008年5月20日

Coons&Borwein证明了和{n>=1}mu(n)z^n是超越的。-乔纳森·沃斯·波斯特2008年6月11日;编辑查尔斯R格雷特豪斯四世2017年9月6日

等于三角形的行和邮编:A144735(三角形的平方A054533号). -加里·W·亚当森2008年9月20日

猜想:a(n)是Redheffer矩阵的行列式A143104号式中T(n,n)=0。对前50个学期进行了验证。-马茨格兰维克2008年7月25日

马茨格兰维克2008年12月6日:(开始)

《数论杂志》的编辑部(通过B.Conrey)善意地为这个猜想提供了以下证明:让AA143104号还有B beA143104号式中T(n,n)=0。

假设您沿着最下面一行展开det(bun)。在第一个位置只有一个1,所以答案是(-1)^n乘以det(C{n-1}),其中C{n-1}是通过删除第一列和最后一行从Bün得到的(n-1)乘(n-1)矩阵。现在Redheffer矩阵的行列式是det(A_n)=M(n),其中M(n)是1<=M<=n的mu(M)之和。沿着下一行展开det(A_n)=(-1)^n*det(C{n-1})+M(n-1)。所以我们有det(Bˉn)=(-1)^n*det(C{n-1})=det(A_n)-M(n-1)=M(n)-M(n-1)=mu(n)。“(结束)

猜想:考虑一下表A051731型作为除数1和除数。将右下角的值垂直移动到表转置中的除数位置,您将发现行列式是Moebius函数。对Moebius函数有贡献的置换矩阵的数量似乎是A074206. -马茨格兰维克2008年12月8日

卷曲邮编:A152902=A000027号,自然数。-加里·W·亚当森2008年12月14日

[Pickover,第226页]:“一个数字掉到-1邮箱的概率是3/Pi^2,与落入+1邮箱的概率相同。”。-加里·W·亚当森2009年8月13日

让A=邮编:A176890B=A*A*。。。*A,则矩阵B中最左边的列收敛到Moebius函数。-马茨格兰维克,加里·W·亚当森,2010年4月28日和2020年5月28日

等于三角形的行和邮编:A176918. -加里·W·亚当森2010年4月29日

计算矩阵幂:A175992年^0-A175992年^1+A175992年^二-A175992年^三+A175992年^4-。。。然后在第一列中找到Mobius函数。将其与(1+x)^-1=1-x+x^2-x^3+x^4-。-马茨格兰维克,加里·W·亚当森2010年12月6日

参考文献

T、 M.Apostol,《解析数论导论》,Springer Verlag,1976年,第24页。

五十、 康泰特,《高级组合学》,里德尔出版社,1974年,第161页,第16页。

G、 哈代、赖特:《数论导论》,第5版,牛津大学出版社,1979年,第5版。262和287。

Clifford A.Pickover,“数学书,从毕达哥拉斯到57维,数学史上的250个里程碑”,斯特林出版社,2009年,第226页。-加里·亚当斯2009年8月13日

G、 Pólya和G.Szegő,分析卷II中的问题和定理。斯普林格维尔拉格1976。

链接

N、 斯隆和丹尼尔·福格斯,n=1..100000的n,a(n)表(N.J.A.Sloane的前10000个术语)

米尔顿·阿布拉莫维茨和艾琳·A·斯特根编辑。,数学函数手册,国家标准局应用数学。55系列,第十次印刷,1972年,第826页。

乔尔阿恩特,计算问题(Fxtbook),第705-707页

奥利维尔·博德莱斯,Mobius函数的一些显式估计,国际期刊。(2015)18号15.11.1

G、 木犀草素,关于黎曼假设的思考arXiv:math/0306042[math.HO],2003年。

迈克尔·库恩斯和彼得·博文,某些数论函数幂级数的超越性,arXiv:0806.1563[math.NT],2008年。

马克·德莱格利什和乔·里瓦特,计算Mobius函数的求和,实验。数学。5: 4(1996年),第291-295页。

汤姆·埃德加,偏序集与Möbius反转,幻灯片,(2008年)。

马茨·格兰维克,用行列式求三角矩阵的逆,用矩阵乘法求三角矩阵的逆,二项式级数三角矩阵的逆,Mobius函数的普通母函数

基思·马修斯,分解n并计算phi(n)、Ω(n)、d(n)、sigma(n)和mu(n)

A、 莫比乌斯,你的艺术是什么。für die reine und angewandte Mathematik杂志9(1832),105-123。

埃德佩格小。,Mobius函数(和平方自由数)

安德斯·比约纳和理查德·P·斯坦利,组合杂集

保罗·塔鲁,用自然数的多集表示模拟素性,计算理论方面,ICTAC 2011,计算机科学课堂讲稿,2011年,第6916/2011卷,218-238

保罗·塔鲁,从自然数的多集分解看素性的一般性,理论计算机科学,第537卷,2014年6月5日,第105-124页。

杰拉德·维勒明的数字年鉴,莫比乌斯和梅滕斯的名称

埃里克·韦斯坦的数学世界,Moebius函数

埃里克·W·韦斯斯坦,红发矩阵.

维基百科,Moebius函数

“核心”序列的索引项

从n的因式分解中的指数计算序列的索引项

公式

和{d | n}mu(d)=1,如果n=1,否则为0。

Dirichlet母函数:和{n>=1}mu(n)/n^s=1/zeta(s)。也就是和{n>=1}mu(n)*x^n/(1-x^n)=x。

特别是Sum{n>0}mu(n)/n=0。-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯2014年6月20日

phi(n)=和{d | n}μ(d)*n/d。

a(n)=A091219号(A091202型(n) )。

与a(p^e)相乘,如果e=1,则为-1;如果e>1,则为0。-大卫·W·威尔逊2001年8月1日

abs(a(n))=和{d | n}2^A001221型(d) *不适用。-贝诺伊特·克罗伊特2002年4月5日

和{d | n}(-1)^(n/d)*mobius(d)=0,n>2。-德国金刚砂2005年1月28日

对于n>0,a(n)=(-1)^Ω(n)*0^(bigomega(n)-Ω(n)),其中bigomega(n)和omega(n)是n的素数,有重复也有无重复(A001222号,A001221型,A046660号). -莱因哈德·祖姆凯勒2003年4月5日

绝对值的Dirichlet母函数:zeta(s)/zeta(2s)。-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯2005年9月11日

亩(n)=A129360(n) *(1,-1,0,0,0,…)。-加里·W·亚当森2007年4月17日

mu(n)=-和{d<n,d | n}mu(d),如果n>1且mu(1)=1。-海因茨2008年8月13日

a(n)=邮编:A1725(n)-邮编:A174726(n) 一。-马茨格兰维克2010年3月28日

a(n)=定义为T(1,1)=1,n>1:T(n,1)是任意数或序列,k=2:T(n,2)=T(n,k-1)-T(n-1,k),k>2且n>=k:T(n,k)=(和{i=1..k-1}T(n-i,k-1))—(和{i=1..k-1}T(n-i,k))。-马茨格兰维克2010年6月12日

{1}n的乘积(ux>=n的乘积)-乔尔阿恩特2011年5月13日

a(n)=和{k=1..n和gcd(k,n)=1}exp(2*Pi*i*k/n),单位的本原第n根上的和。见使徒参考书,第48页,练习14(b)。-狼牙2011年6月13日

mu(n)=和{k=1..n}A191898年(n,k)*exp(-i*2*Pi*k/n)/n.(猜想)。-马茨格兰维克2011年11月20日

和{k=1..n}a(k)*楼层(n/k)=1,n>=1。-彼得·卢什尼2012年2月10日

a(n)=地板(Ω(n)/大ω(n))*(-1)^Ω(n)=地板(A001221型(n)/A001222号(n) )*(-1)^A001221型(n) 一。-雷雷泽·埃尔雷克2012年4月27日

^1(e)=二项式(e)*1-恩里克·佩雷斯·赫雷罗2013年1月19日

G、 f.A(x)满足:x^2/A(x)=和{n>=1}A(x^(2*n)/A(x)^n)。-保罗·D·汉娜2016年4月19日

a(n)=-A008966号(n)*A008836号(n) /(-1)^A005361号(n) =-地板(rad(n)/n)λ(n)/(-1)^tau(n/rad(n))。-安东尼布朗2016年5月17日

a(n)=克罗内克三角洲A001221型(n) 以及A001222号(n) (即A008966号)乘以A008836号(n) 一。-埃里克·德斯比厄2017年3月15日

a(n)=邮编:A132971(A1552号(n) )。-卡伦蒂2017年5月30日

猜想:a(n)=和{k>=0}(-1)^(k-1)*二项式(A001222号(n) -1,k)*二项式(A001221型(n) -1+k,k),对于n>1。在前10万个条款中进行了验证。-马茨格兰维克2018年9月8日

彼得·巴拉2019年3月15日:(开始)

和{n>=1}mu(n)*x^n/(1+x^n)=x-2*x^2。例如,见Pólya和Szegő,第V111部分,第一章,第71号。

{1+x(1+x)^ n(1+x)^ n(1+x)^ n(1+x)^ n(1+x)^ n(1+x)^ n)。

和{n>=1}(-1)^(n+1)*mu(n)*x^n/(1+x^n)=x-2*(x^4+x^8+x^16+x^32+…)。

和{n>=1}| mu(n)|*x^n/(1-x^n)=Sum{n>=1}(2^w(n))*x^n,其中w(n)是n的不同素因子的个数(Hardy和Wright,第十六章,定理264)。

Sum{n奇}| mu(n)|*x^n/(1+x^(2*n))=Sum{n in S_1}(2^w_1(n))*x^n,其中S_1={1,5,13,17,25,29,…}是由1和素数p=1(mod 4)生成的正整数的乘法半群,w_1(n)是n的不同素数p=1(mod 4)。

Sum{n奇数}(-1)^((n-1)/2)*mu(n)*x^n/(1-x^(2*n))=Sum{n in S_3}(2^w_3(n))*x^n,其中S_3={1,3,7,9,11,19,21,…}是由1和素数p=3(mod 4)生成的正整数的乘法半群,其中w_3(n)是n的不同素数p=3(mod 4)(结束)

G、 f.A(x)满足:A(x)=x-和{k>=2}A(x^k)。-伊利亚·古特科夫斯基2019年5月11日

a(n)=符号(A023900号(n) )*[A007947号(n) =n]其中[]是艾弗森括号。-一、 五、血清2019年5月15日

例子

G、 f.=x-x ^2-x ^3-x ^5+x ^6-x ^7+x ^10-x ^11-x ^13+x ^14+x ^15+。。。

枫木

带(数字):A008683号:=n->mobius(n);

有(numtheory):[顺序(mobius(n),n=1..100)];

#注意,旧版本的Maple将mobius(0)定义为-1。

#这是不明智的!最好不要定义Moebius(0)。

带(数字):

mu:=proc(n::posint)选项记住;`if`(n=1,1,

-加法(mu(d),d=除数(n)减{n}))

结束:

序号(mu(n),n=1..100)#海因茨2008年8月13日

数学

数组[MoebiusMu,100]

(*第二个项目:*)

m=100;A[\u]=0;

Do[A[x}=x-Sum[A[x^k],{k,2,m}]+O[x]^m//正态,{m}];

系数表[A[x]/x,x](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2019年10月20日,之后伊利亚·古特科夫斯基*)

黄体脂酮素

(公理)[moebiusMu(n)代表1..100中的n]

(岩浆)[MoebiusMu(n):n in[1..100]];

(PARI)a=n->如果(n<1,0,moebius(n));

(PARI){a(n)=如果(n<1,0,direuler(p=2,n,1-X)[n])};

(PARI)list(n)=my(v=向量(n,i,1));对于素数(p=2,sqrtint(n),forstep(i=p,n,p,v[i]*=-1);forstep(i=p^2,n,p^2,v[i]=0));forprime(p=sqrtint(n)+1,n,forstep(i=p,n,p,v[i]*=-1));v\\查尔斯R格雷特豪斯四世2012年4月27日

(马克西玛)A008683号(n) :=moebius(n)$候选列表(A008683号(n) ,n,1,30)/*马丁·埃特尔2012年10月24日*/

(哈斯克尔)

导入Math.NumberTheory.Primes.factorization(factorse)

a008683=亩。南德。解压。因式分解

mu[]=1;mu(1:es)=-mu es;mu(:es)=0

--莱因哈德·祖姆凯勒2015年12月13日,2013年10月9日

(圣人)

@缓存的_函数

定义mu(n):

如果n<2:返回n

返回-除数(n)[:-1]中d的和(mu(d))

#改变和的符号给出n的有序因子分解数A074206.

打印([mu(n)代表n in(1..96)])#彼得·卢什尼2016年12月26日

(蟒蛇)

来自sympy import mobius

打印([mobius(i)for i in range(1101)])#印度教2017年3月18日

交叉引用

a(n)的变体是邮编:A178536,邮编:A181434,邮编:A181435.

囊性纤维变性。A000010号,A001221型,A008966号,A007423号,A080847型,A002321(部分金额),A069158,6155A0系列,A129360,A140579号,邮编:A140664,A140254号,A143104号,邮编:A152902,A206706号,A063524号,A007427号,A007428号,A124010型,A073776号,A074206,邮编:A132971,邮编:A156552.

上下文顺序:A130047号 A293233号 A302050*A008966号 A080323号 邮编:A157657

相邻序列:A008680号 A008681号 A008682号*A008684号 A008685号 A008686号

关键字

核心,签名,容易的,骡子,美好的

作者

N、 斯隆

扩展

拾取引用的标题已由更改罗伯特·G·威尔逊五世2009年8月24日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年11月27日22:11。包含338684个序列。(运行在oeis4上。)