1,1

莫比乌斯反演：F（n）＝SuMu{{N} G（D），对于所有n＝＞G（n）＝SuMu{{N} Mu（d）*f（n/d）。

A（n）仅依赖于n的素数签名（参见）。A025847）因此A（24）＝A（375），因为24＝2 ^ 3 * 3和375＝3×5 ^ 3都具有素数签名（3, 1）。

A000 868=A140599^（- 1）*A140664. -加里·W·亚当森5月20日2008

COONS和BoWin证明SuMu{{N>＝1 }亩（n）Z^ n是超越的。-乔纳森沃斯邮报6月11日2008；编辑查尔斯，SEP 06 2017

等于三角形的行和A14735（三角形的正方形）A0545 33）-加里·W·亚当森9月20日2008

猜想：A（n）是Redheffer矩阵的行列式A143104其中t（n，n）＝0。验证前50项。-马格兰维克7月25日2008

从马格兰维克，十二月06日2008：（开始）

《数论杂志》编辑部亲切地（通过B. Conrey）提供了以下猜想：A143104B beA143104其中t（n，n）＝0。

“假设你沿着底行展开DET（BYN）。在第一个位置只有1个，所以答案是（-1）n倍DET（C{{N-1 }），其中C{{N-1 }是通过删除第一列和最后一行而从BYN得到的（N-1）矩阵的（N-1）。现在Redheffer矩阵的行列式是DET（Ayn）＝m（n），其中m（n）是MU（m）为1＜m＝m＝n的沿底行的扩展DET（Ayn）的总和，我们看到DET（Ayn）＝（- 1）^ n*DET（c{{n-1 }）+m（n-1）。因此，我们有DET（Byn）=（-1）^ n*DET（C{{N-1 }）＝DET（Ayn）-m（n-1）＝m（n）-m（n-1）＝亩（n）。

猜想：考虑表A051731并将1作为除数。将右下角的值垂直移动到表的转置中的除数位置，你会发现行列式是莫比乌斯函数。有助于MeiBUS函数的置换矩阵的数目似乎是A07206. -马格兰维克，十二月08日2008

卷积A152902=A000 00 27自然数。-加里·W·亚当森12月14日2008

[皮克弗，第226页]：“一个数字落入-1邮箱的概率原来是3 /p^ 2——与在+1邮箱中掉入的概率相同”。-加里·W·亚当森8月13日2009

让A =A17690*A17690b＝a*a，c= b＊b，d＝c*c等，然后最后一个矩阵中最左边的列收敛到莫比厄斯函数。-马格兰维克，加里·W·亚当森4月28日2010

等于三角形的行和A176918. -加里·W·亚当森4月29日2010

计算矩阵幂：A17592^ 0A17592^ 1＋A17592^ 2A17592^ 3＋A17592^ 4…然后在第一列中找到莫比乌斯函数。将此与1（+x）^ 1＝1×x+x^ 2 -x^ 3 +x^ 4……的二项式级数进行比较。-马格兰维克，加里·W·亚当森，十二月06日2010

T. M. Apostol，解析数论导论，Springer Verlag，1976，第24页。

L. Comtet，高级组合数学，雷德尔，1974，第161页，第16页。

G. H. Hardy和E. M. Wright，《数论导论》，第五版，牛津大学出版社，1979，第四版。262和287。

柯利弗德·皮寇弗，《数学书，从毕达哥拉斯到第五十七维，数学史上的250个里程碑》，斯特林出版社，2009，第226页。-加里·W·亚当森8月13日2009

G. P·Lya和G. Szeg，分析体积中的问题和定理Ⅱ。斯普林格尔维拉1976。

斯隆和Daniel Forgues，n，a（n）n＝1…100000的表（前10000届美国斯隆）

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Joerg Arndt事项计算（FXTBook），pp.705-707

Olivier Bordell，关于M比比斯函数的一些显式估计J. Int. Seq。18（2015）：

G. J. Chaitin关于黎曼假说的思考阿西夫：数学/ 0306042[马太（2003）。

Michael Coons和Peter Borwein幂级数对若干数论函数的超越性，阿西夫：806.1563[马特（2008）。

马克-德莱格里斯和乔-里瓦特，计算M比比斯函数的求和实验。数学5:4（1996），第29页至第29页。

Tom Edgar偏序集与M—BIUS反演幻灯片，（2008）。

Mats Granvik用行列式求三角矩阵的逆，矩阵乘法求三角矩阵的逆，三角矩阵的二项式级数的逆，M比比斯函数的一般生成函数

Keith Matthews分解n和计算φ（n）、ω（n）、d（n）、σ（n）和μ（n）

A.F·M·比乌斯，这是一个值得注意的问题。《杂志》杂志9版（1832），105-123页。

Ed Pegg Jr.M比比斯函数（和无平方数）

安德斯BJ奥尔纳和Richard P. Stanley，组合杂集

Paul Tarau用自然数的多集表示模拟素数在计算理论方面，ICTAC 2011，计算机科学讲义，2011，卷6916/2011，218-228

Paul Tarau从自然数的多集分解到素性的一般观点理论计算机科学，第537卷，Jun 05，2014页，105-124页。

Gerard Villemin的数字年鉴，莫比乌斯和de Mertens

Eric Weisstein的数学世界，莫比乌斯函数

Eric W. Weisstein雷德弗矩阵.

维基百科莫比乌斯函数

“核心”序列的索引条目

N分解中指数序列的索引条目

如果n＝1或0，SuMu{{N}} MU（D）＝1。

Dirichlet生成函数：SuMu{{N>＝1 }μ（n）/n^ s＝1／zeta（s）。SuMu{{N>＝1 }μ（n）*x^ n/（1-x^ n）＝x。

特别地，SuMu{n＞0 }μ（n）/n＝0。-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯6月20日2014

φ（n）＝SuMu{{d}n}μ（d）*n/d。

A（n）=A091219（A09120（n）。

乘A（p^ e）＝- 1，如果E＝1；0如果E＞1。-戴维·W·威尔逊，八月01日2001

ABS（a（n））＝SuMu{{N} 2 ^A000 1221（d）* a（n/d）。-班诺特回旋曲，APR 05 2002

对于n＞2，SuMu{{N}（-1）^（n/d）*莫比乌斯（D）＝0。-埃米里埃德奇1月28日2005

A（n）＝（- 1）^ω（n）* 0 ^（双ω（n）-ω（n）），n≥0，其中双ω（n）和ω（n）是n的素数，具有和不重复（n）。A000 1222，A000 1221，A0466060）-莱因哈德祖姆勒，APR 05 2003

绝对值的Dirichlet生成函数：ζ（s）/ζ（2s）。-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯9月11日2005

亩（n）=A129360（n）*（1，1, 0, 0，0，…）。-加里·W·亚当森4月17日2007

MU（n）＝SuMu{{D< n，d } n}亩（d），如果n＞1，亩（1）＝1。-阿洛伊斯·P·海因茨8月13日2008

A（n）=A1747（n）A1747（n）。-马格兰维克3月28日2010

A（n）＝一个三角形表的矩阵逆的第一列，其定义为：t（1, 1）＝1，n＞1：t（n，1）是任意数或序列，k＝2：t（n，2）＝t（n，k-1）-t（n-1，k），k> 2，n>＝k:t（n，k）＝（SuMu{{i＝1…k-1 } t（n-Ⅰ，k-1））-（SuMu{{i＝1…k-1 } t（n- i，k））。-马格兰维克6月12日2010

乘积{{n>＝1 }（1-x^ n）^（-a（n）/n）＝EXP（x）（指数函数的乘积形式）。乔尔格阿尔恩特5月13日2011

a（n）＝和{k＝1…n和gCD（k，n）＝1 } EXP（2＊π＊i＊k/n），在酉n的原n根上的和。参见ApthOL参考文献，第48页，练习14（b）。-狼人郎6月13日2011

MU（n）＝SuMu{{K＝1…n}A191898（n，k）*EXP（-i＊2＊πk/n）/n（猜想）。-马格兰维克11月20日2011

k＝1…n} a（k）*楼层（n/k）＝1，n>＝1。-彼得卢斯尼2月10日2012

A（n）＝楼层（ω（n）/双ω（n））*（-1）^ω（n）＝楼层（A000 1221（n）/A000 1222（n）*（- 1）^A000 1221（n）。-恩里克·P·雷兹·埃雷罗4月27日2012

乘A（p^ e）＝二项式（1，e）*（- 1）^ E.恩里克·P·雷兹·埃雷罗1月19日2013

G.f. A（x）满足：x^ 2／a（x）＝SuMu{{n>＝1 } A（x^（2×n）/a（x）^ n）。-保罗·D·汉娜4月19日2016

A（n）=AA898966（n）*A000 88 36（n）/（- 1）^A000 5361（n）＝-地板（RAD（n）/n）λ（n）/（- 1）^τ（n/rad（n））。-安东尼布朗5月17日2016

A（n）＝克罗内克δA000 1221（n）和A000 1222（n）AA898966乘以A000 88 36（n）。-埃里克·德斯鲍克斯3月15日2017

A（n）=A1329（A156562（n）。-安蒂卡特宁5月30日2017

猜想：A（n）＝SuMu{{K>＝0 }（- 1）^（k-1）*二项式A000 1222（n）- 1，k）*二项式（二项式）A000 1221（n）-1＋k，k），n＞1。验证前100000项。-马格兰维克，SEP 08 2018

从彼得巴拉，3月15日2019：（开始）

SuMu{{N>＝1 }μ（n）*x^ n/（1 +x^ n）＝x- 2×x^ 2。例如，P p Lya和SZGG，部分V111，第1章，第71页。

SuMu{{N>＝1 }（- 1）^（n+1）*MU（n）*x^ n/（1 -x^ n）＝x+2＊（x^ 2 +x^ 4 +x^ 8 +x^ 16 +…）。

SuMu{{N>＝1 }（- 1）^（n+1）*MU（n）*x^ n/（1 +x^ n）＝x- 2 *（x^ 4 +x^ 8 +x^ 16 +x^ 32 +…）。

SuMu{n>＝1 }μ（n）×x^ n/（1 -x^ n）＝SuMu{{n>＝1 }（2 ^ w（n））*x^ n，其中w（n）是n的不同素数因子的数目（Hardy和莱特，第六章，定理264）。

Suth{{Nod}}μ（n）*x^ n/（1 +x^（2×n））= SuMi{{n在Sy1}（2 ^ Wa1（n））*x^ n中，其中Sy1＝{ 1, 5, 13，17, 25, 29，…}是由1生成的正整数的乘法半群和素数p＝1（mod 4），而W1（n）是n的不同素数因子p＝1（mod 4）的数目。

SuM{}（1）^（（n-1）/ 2）*μ（n）*x^ n/（1 -x^（2×n））= SuMu{{n在Sy3}（2 ^ Wa3（n））*x^ n中，其中Sy3＝{1, 3, 7，9, 11, 19，21，…}是由1生成的正整数的乘法半群和素数p＝3（mod 4），其中Wy3（n）是n的不同素数因子p＝3（mod 4）的数目（结束）

G.f. A（x）满足：A（x）＝x - SuMu{{K>＝2 } A（x^ k）。-伊利亚古图科夫基5月11日2019

A（n）＝符号A023 900（n）**A000 7947（n）＝n]其中[]是艾弗森括号。-第五节5月15日2019

G.F.＝X-X^ 2 -X^ 3 -x^ 5 +x^ 6 -x^ 7 +x^ 10 -x^ 11 -x^ 13 +x^ 14 +x^ 15 +…

用（纽曼理论）：A000 868= n-＞莫比乌斯（n）；

用（纽曼理论）：[SEQ（莫比乌斯（n），n＝1…100）]；

请注意，Maple的旧版本定义MyBUS（0）为-1。

这是不明智的！莫比乌斯（0）最好是未定义的。

用（纽曼理论）：

MU:= PROC（N::POIST）选项记住；“如果”（n＝1, 1）；

（Ⅱ）（μ（d），d=除数（n）减去{n}）

第二端：

Seq（Mu（n），n＝1…100）；阿洛伊斯·P·海因茨8月13日2008

数组[莫比乌斯，100 ]

（*第二程序：*）

m＝100；a〔〕＝0；

[a[x[i]＝x-和[a[x^ k]，{k，2，m} ] +o[x] ^ m/／正规，{m}；

系数列表[a[x]／x，x]（*）让弗兰10月20日2019后伊利亚古图科夫基*）

（公理）[MeiuSuMu（n）n为1…100 ]

（岩浆）[MOEBIUMU（n）：n（1…100）]；

（PARI）A= n-＞IF（n＜1, 0，莫比乌斯（n））；

（PARI）{A（n）＝IF（n＜1, 0，diRuleR（p＝2，n，1 -x）[n]）}；

（PARI）列表（n）＝i（V＝向量（n，i，1））；FoPrimy（p＝2，qrrntt（n）），Fo步法（i＝p，n，p，v[i]＝-1）；Fo步法（i＝p ^ 2，n，p^ 2，v[i]＝0）；FrPy（p＝qrrntt（n）+1，n，Fo步法（i= p，n，p，v[i] *＝-1））；查尔斯4月27日2012

（极大值）A000 868（n）：=莫比乌斯（n）$MalkList.A000 868（n），n，1, 30）；马丁埃特尔10月24日2012＊

（哈斯克尔）

进口数学理论因子分解（因式分解）

A00 868 3=亩。SND。解开拉链。因式分解

MU[]＝1；亩（1：ES）＝-MU ES；MU（η：ES）＝0。

——莱因哈德祖姆勒，12月13日2015，10月09日2013

（圣人）

@ CaseDigy函数

DEMU（n）：

若n＜2：返回n

除数（n）〔1〕中的D的μ（D）

α-改变和的符号给出n的有序分解数A07206.

打印（[n（n）为n（1…96）]）彼得卢斯尼12月26日2016

（蟒蛇）

从症状导入

打印（[MiBiUS（i）在i（1, 101））中英德拉尼尔-豪什3月18日2017

A（n）的变型是A1785 36，A181434，A181435.

囊性纤维变性。A000 000，A000 1221，AA898966，A000 723，A080847，A000（部分和）A069158，A055 615，A129360，A140599，A140664，A140254，A143104，A152902，A206706，A063524，A000 727，A000 728，A124010，A073676，A07206，A1329，A156562.

语境中的顺序：A1300 47 A29 323 A302050*AA898966 A080323 A157667

相邻序列：γA000 8680 A000 868 A000 868*A000 868 A000 8685 A000 866

核心，标志，容易，穆尔特，好

斯隆

变更引用的标题由Robert G. Wilson五世8月24日2009

经核准的