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A000 868 MiBiUS(或MOEBIUS)函数MU(n)。MU(1)=1;MU(n)=(-1)^ k,如果n是k个不同素数的乘积;否则MU(n)=0。 九百九十六
1,1,1, 0,-10,-1,-1, 0,-1, 1, 1,0,-1, 0,-1, 0, 1,1,--,--,--,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,- -,- -,- -,- -,- -,- -,-,,-,- - 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

1,1

评论

莫比乌斯反演:F(n)=SuMu{{N} G(D),对于所有n=>G(n)=SuMu{{N} Mu(d)*f(n/d)。

A(n)仅依赖于n的素数签名(参见)。A025847因此A(24)=A(375),因为24=2 ^ 3 * 3和375=3×5 ^ 3都具有素数签名(3, 1)。

A000 868=A140599^(- 1)*A140664. -加里·W·亚当森5月20日2008

COONS和BoWin证明SuMu{{N>=1 }亩(n)Z^ n是超越的。-乔纳森沃斯邮报6月11日2008;编辑查尔斯,SEP 06 2017

等于三角形的行和A14735(三角形的正方形)A0545 33-加里·W·亚当森9月20日2008

猜想:A(n)是Redheffer矩阵的行列式A143104其中t(n,n)=0。验证前50项。-马格兰维克7月25日2008

马格兰维克,十二月06日2008:(开始)

《数论杂志》编辑部亲切地(通过B. Conrey)提供了以下猜想:A143104B beA143104其中t(n,n)=0。

“假设你沿着底行展开DET(BYN)。在第一个位置只有1个,所以答案是(-1)n倍DET(C{{N-1 }),其中C{{N-1 }是通过删除第一列和最后一行而从BYN得到的(N-1)矩阵的(N-1)。现在Redheffer矩阵的行列式是DET(Ayn)=m(n),其中m(n)是MU(m)为1<m=m=n的沿底行的扩展DET(Ayn)的总和,我们看到DET(Ayn)=(- 1)^ n*DET(c{{n-1 })+m(n-1)。因此,我们有DET(Byn)=(-1)^ n*DET(C{{N-1 })=DET(Ayn)-m(n-1)=m(n)-m(n-1)=亩(n)。

猜想:考虑表A051731并将1作为除数。将右下角的值垂直移动到表的转置中的除数位置,你会发现行列式是莫比乌斯函数。有助于MeiBUS函数的置换矩阵的数目似乎是A07206. -马格兰维克,十二月08日2008

卷积A152902=A000 00 27自然数。-加里·W·亚当森12月14日2008

[皮克弗,第226页]:“一个数字落入-1邮箱的概率原来是3 /p^ 2——与在+1邮箱中掉入的概率相同”。-加里·W·亚当森8月13日2009

让A =A17690*A17690b=a*a,c= b*b,d=c*c等,然后最后一个矩阵中最左边的列收敛到莫比厄斯函数。-马格兰维克加里·W·亚当森4月28日2010

等于三角形的行和A176918. -加里·W·亚当森4月29日2010

计算矩阵幂:A17592^ 0A17592^ 1+A17592^ 2A17592^ 3+A17592^ 4…然后在第一列中找到莫比乌斯函数。将此与1(+x)^ 1=1×x+x^ 2 -x^ 3 +x^ 4……的二项式级数进行比较。-马格兰维克加里·W·亚当森,十二月06日2010

推荐信

T. M. Apostol,解析数论导论,Springer Verlag,1976,第24页。

L. Comtet,高级组合数学,雷德尔,1974,第161页,第16页。

G. H. Hardy和E. M. Wright,《数论导论》,第五版,牛津大学出版社,1979,第四版。262和287。

柯利弗德·皮寇弗,《数学书,从毕达哥拉斯到第五十七维,数学史上的250个里程碑》,斯特林出版社,2009,第226页。-加里·W·亚当森8月13日2009

G. P·Lya和G. Szeg,分析体积中的问题和定理Ⅱ。斯普林格尔维拉1976。

链接

斯隆和Daniel Forgues,n,a(n)n=1…100000的表(前10000届美国斯隆)

Milton Abramowitz和Irene A. Stegun,编辑,数学函数手册国家标准局应用数学。系列55,第十印刷,1972,第826页。

Joerg Arndt事项计算(FXTBook),pp.705-707

Olivier Bordell,关于M比比斯函数的一些显式估计J. Int. Seq。18(2015):

G. J. Chaitin关于黎曼假说的思考阿西夫:数学/ 0306042 [数学,嗬],2003。

Michael Coons和Peter Borwein幂级数对若干数论函数的超越性,阿西夫:806.1563(数学,NT),2008。

马克-德莱格里斯和乔-里瓦特,计算M比比斯函数的求和实验。数学5:4(1996),第29页至第29页。

Tom Edgar偏序集与M—BIUS反演幻灯片,(2008)。

Mats Granvik用行列式求三角矩阵的逆矩阵乘法求三角矩阵的逆三角矩阵的二项式级数的逆M比比斯函数的一般生成函数

Keith Matthews分解n和计算φ(n)、ω(n)、d(n)、σ(n)和μ(n)

A.F·M·比乌斯,这是一个值得注意的问题。《杂志》杂志9版(1832),105-123页。

Ed Pegg Jr.M比比斯函数(和无平方数)

安德斯BJ奥尔纳和Richard P. Stanley,组合杂集

Paul Tarau用自然数的多集表示模拟素数在计算理论方面,ICTAC 2011,计算机科学讲义,2011,卷6916/2011,218-228

Paul Tarau从自然数的多集分解到素性的一般观点理论计算机科学,第537卷,Jun 05,2014页,105-124页。

Gerard Villemin的数字年鉴,莫比乌斯和de Mertens

Eric Weisstein的数学世界,莫比乌斯函数

Eric W. Weisstein雷德弗矩阵.

维基百科莫比乌斯函数

“核心”序列的索引条目

N分解中指数序列的索引条目

公式

如果n=1或0,SuMu{{N}} MU(D)=1。

Dirichlet生成函数:SuMu{{N>=1 }μ(n)/n^ s=1/zeta(s)。SuMu{{N>=1 }μ(n)*x^ n/(1-x^ n)=x。

特别地,SuMu{n>0 }μ(n)/n=0。-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯6月20日2014

φ(n)=SuMu{{d}n}μ(d)*n/d。

A(n)=A091219A09120(n)。

乘A(p^ e)=- 1,如果E=1;0如果E>1。-戴维·W·威尔逊,八月01日2001

ABS(a(n))=SuMu{{N} 2 ^A000 1221(d)* a(n/d)。-班诺特回旋曲,APR 05 2002

对于n>2,SuMu{{N}(-1)^(n/d)*莫比乌斯(D)=0。-埃米里埃德奇1月28日2005

A(n)=(- 1)^ω(n)* 0 ^(双ω(n)-ω(n)),n≥0,其中双ω(n)和ω(n)是n的素数,具有和不重复(n)。A000 1222A000 1221A0466060-莱因哈德祖姆勒,APR 05 2003

绝对值的Dirichlet生成函数:ζ(s)/ζ(2s)。-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯9月11日2005

亩(n)=A129360(n)*(1,1, 0, 0,0,…)。-加里·W·亚当森4月17日2007

MU(n)=SuMu{{D< n,d } n}亩(d),如果n>1,亩(1)=1。-阿洛伊斯·P·海因茨8月13日2008

A(n)=A1747(n)A1747(n)。-马格兰维克3月28日2010

A(n)=一个三角形表的矩阵逆的第一列,其定义为:t(1, 1)=1,n>1:t(n,1)是任意数或序列,k=2:t(n,2)=t(n,k-1)-t(n-1,k),k> 2,n>=k:t(n,k)=(SuMu{{i=1…k-1 } t(n-Ⅰ,k-1))-(SuMu{{i=1…k-1 } t(n- i,k))。-马格兰维克6月12日2010

乘积{{n>=1 }(1-x^ n)^(-a(n)/n)=EXP(x)(指数函数的乘积形式)。-乔尔格阿尔恩特5月13日2011

a(n)=和{k=1…n和gCD(k,n)=1 } EXP(2*π*i*k/n),在酉n的原n根上的和。参见ApthOL参考文献,第48页,练习14(b)。-狼人郎6月13日2011

MU(n)=SuMu{{K=1…n}A191898(n,k)*EXP(-i*2*πk/n)/n(猜想)。-马格兰维克11月20日2011

k=1…n} a(k)*楼层(n/k)=1,n>=1。-彼得卢斯尼2月10日2012

A(n)=楼层(ω(n)/双ω(n))*(-1)^ω(n)=楼层(A000 1221(n)/A000 1222(n)*(- 1)^A000 1221(n)。-恩里克·P·雷兹·埃雷罗4月27日2012

乘A(p^ e)=二项式(1,e)*(- 1)^ E.恩里克·P·雷兹·埃雷罗1月19日2013

G.f. A(x)满足:x^ 2/a(x)=SuMu{{n>=1 } A(x^(2×n)/a(x)^ n)。-保罗·D·汉娜4月19日2016

A(n)=AA898966(n)*A000 88 36(n)/(- 1)^A000 5361(n)=-地板(RAD(n)/n)λ(n)/(- 1)^τ(n/rad(n))。-安东尼布朗5月17日2016

A(n)=克罗内克δA000 1221(n)和A000 1222(n)AA898966乘以A000 88 36(n)。-埃里克·德斯鲍克斯3月15日2017

A(n)=A1329A156562(n)。-安蒂卡特宁5月30日2017

猜想:A(n)=SuMu{{K>=0 }(- 1)^(k-1)*二项式A000 1222(n)- 1,k)*二项式(二项式)A000 1221(n)-1+k,k),n>1。验证前100000项。-马格兰维克,SEP 08 2018

彼得巴拉,3月15日2019:(开始)

SuMu{{N>=1 }μ(n)*x^ n/(1 +x^ n)=x- 2×x^ 2。例如,P p Lya和SZGG,部分V111,第1章,第71页。

SuMu{{N>=1 }(- 1)^(n+1)*MU(n)*x^ n/(1 -x^ n)=x+2*(x^ 2 +x^ 4 +x^ 8 +x^ 16 +…)。

SuMu{{N>=1 }(- 1)^(n+1)*MU(n)*x^ n/(1 +x^ n)=x- 2 *(x^ 4 +x^ 8 +x^ 16 +x^ 32 +…)。

SuMu{n>=1 }μ(n)×x^ n/(1 -x^ n)=SuMu{{n>=1 }(2 ^ w(n))*x^ n,其中w(n)是n的不同素数因子的数目(Hardy和莱特,第六章,定理264)。

Suth{{Nod}}μ(n)*x^ n/(1 +x^(2×n))= SuMi{{n在Sy1}(2 ^ Wa1(n))*x^ n中,其中Sy1={ 1, 5, 13,17, 25, 29,…}是由1生成的正整数的乘法半群和素数p=1(mod 4),而W1(n)是n的不同素数因子p=1(mod 4)的数目。

SuM{}(1)^((n-1)/ 2)*μ(n)*x^ n/(1 -x^(2×n))= SuMu{{n在Sy3}(2 ^ Wa3(n))*x^ n中,其中Sy3={1, 3, 7,9, 11, 19,21,…}是由1生成的正整数的乘法半群和素数p=3(mod 4),其中Wy3(n)是n的不同素数因子p=3(mod 4)的数目(结束)

G.f. A(x)满足:A(x)=x - SuMu{{K>=2 } A(x^ k)。-伊利亚古图科夫基5月11日2019

A(n)=符号A023 900(n)**A000 7947(n)=n]其中[]是艾弗森括号。-第五节5月15日2019

例子

G.F.=X-X^ 2 -X^ 3 -x^ 5 +x^ 6 -x^ 7 +x^ 10 -x^ 11 -x^ 13 +x^ 14 +x^ 15 +…

枫树

用(纽曼理论):A000 868= n->莫比乌斯(n);

用(纽曼理论):[SEQ(莫比乌斯(n),n=1…100)];

请注意,Maple的旧版本定义MyBUS(0)为-1。

这是不明智的!莫比乌斯(0)最好是未定义的。

用(纽曼理论):

MU:= PROC(N::POIST)选项记住;“如果”(n=1, 1);

-加法(μ(d),d=除数(n)减去{n}))

结束:

Seq(μ(n),n=1…100);阿洛伊斯·P·海因茨8月13日2008

Mathematica

数组[莫比乌斯,100 ]

黄体脂酮素

(公理)[MeiuSuMu(n)n为1…100 ]

(岩浆)[MOEBIUMU(n):n(1…100)];

(PARI)A= n->IF(n<1, 0,莫比乌斯(n));

(PARI){A(n)=IF(n<1, 0,diRuleR(p=2,n,1 -x)[n])};

(PARI)列表(n)=i(V=向量(n,i,1));FoPrimy(p=2,qrrntt(n)),Fo步法(i=p,n,p,v[i]=-1);Fo步法(i=p ^ 2,n,p^ 2,v[i]=0);FrPy(p=qrrntt(n)+1,n,Fo步法(i= p,n,p,v[i] *=-1));查尔斯4月27日2012

(极大值)A000 868(n):=莫比乌斯(n)$MalkList.A000 868(n),n,1, 30);马丁埃特尔10月24日2012*

(哈斯克尔)

导入Math.No.Realth.Primes因子分解(因子分解)

A00 868 3=亩。SND。解开拉链。因式分解

MU[]=1;亩(1:ES)=-MU ES;MU(η:ES)=0。

——莱因哈德祖姆勒,12月13日2015,10月09日2013

(圣人)

@ CaseDigy函数

DEMU(n):

如果n<2:返回n

返回和(除数(D)中的D的μ(d))〔:1〕

α-改变和的符号给出n的有序分解数A07206.

[n(1…96)]中的μ[ n(n)]彼得卢斯尼12月26日2016

(蟒蛇)

从症状导入

打印[MiBUS(I)I在XLead(1, 101)]中英德拉尼尔-豪什3月18日2017

交叉裁判

A(n)的变型是A1785 36A181434A181435.

囊性纤维变性。A000 000A000 1221AA898966A000 723A080847A000(部分和)A069158A055 615A129360A140599A140664A140254A143104A152902A206706A063524A000 727A000 728A124010A073676A07206A1329A156562.

语境中的顺序:A1300 47 A29 323 A302050*AA898966 A080323 A157667

相邻序列:A000 8680 A000 868 A000 868*A000 868 A000 8685 A000 866

关键词

核心标志容易穆尔特

作者

斯隆

扩展

变更引用的标题由Robert G. Wilson五世8月24日2009

地位

经核准的

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