1，1

Moebius反演：f（n）=和{d | n}g（d）对于所有n<=>g（n）=和{d | n}mu（d）*f（n/d）。

a（n）只依赖于n的素数签名（cf。A025487号). 所以a（24）=a（375），因为24=2^3*3和375=3*5^3都有素数签名（3，1）。

A008683号=A140579号^（-1）*邮编：A140664. -加里·W·亚当森2008年5月20日

Coons&Borwein证明了和{n>=1}mu（n）z^n是超越的。-乔纳森·沃斯·波斯特2008年6月11日；编辑查尔斯R格雷特豪斯四世2017年9月6日

等于三角形的行和邮编：A144735（三角形的平方A054533号). -加里·W·亚当森2008年9月20日

猜想：a（n）是Redheffer矩阵的行列式A143104号式中T（n，n）=0。对前50个学期进行了验证。-马茨格兰维克2008年7月25日

从马茨格兰维克2008年12月6日：（开始）

《数论杂志》的编辑部（通过B.Conrey）善意地为这个猜想提供了以下证明：让AA143104号还有B beA143104号式中T（n，n）=0。

假设您沿着最下面一行展开det（bun）。在第一个位置只有一个1，所以答案是（-1）^n乘以det（C{n-1}），其中C{n-1}是通过删除第一列和最后一行从Bün得到的（n-1）乘（n-1）矩阵。现在Redheffer矩阵的行列式是det（A_n）=M（n），其中M（n）是1<=M<=n的mu（M）之和。沿着下一行展开det（A_n）=（-1）^n*det（C{n-1}）+M（n-1）。所以我们有det（Bˉn）=（-1）^n*det（C{n-1}）=det（A_n）-M（n-1）=M（n）-M（n-1）=mu（n）。“（结束）

猜想：考虑一下表A051731型把1当作除数。将右下角的值垂直移动到表转置中的除数位置，您将发现行列式是Moebius函数。对Moebius函数有贡献的置换矩阵的数量似乎是A074206. -马茨格兰维克2008年12月8日

卷曲邮编：A152902=A000027号，自然数。-加里·W·亚当森2008年12月14日

[Pickover，第226页]：“一个数字掉到-1邮箱的概率是3/Pi^2，与落入+1邮箱的概率相同。”。-加里·W·亚当森2009年8月13日

让A=邮编：A176890B=A*A*。。。*A，则矩阵B中最左边的列收敛到Moebius函数。-马茨格兰维克,加里·W·亚当森，2010年4月28日和2020年5月28日

等于三角形的行和邮编：A176918. -加里·W·亚当森2010年4月29日

计算矩阵幂：A175992年^0-A175992年^1+A175992年^二-A175992年^三+A175992年^4-。。。然后在第一列中找到Mobius函数。将其与（1+x）^-1=1-x+x^2-x^3+x^4-。-马茨格兰维克,加里·W·亚当森2010年12月6日

T、 M.Apostol，《解析数论导论》，Springer Verlag，1976年，第24页。

五十、 康泰特，《高级组合学》，里德尔出版社，1974年，第161页，第16页。

G、 哈代、赖特：《数论导论》，第5版，牛津大学出版社，1979年，第5版。262和287。

Clifford A.Pickover，“数学书，从毕达哥拉斯到57维，数学史上的250个里程碑”，斯特林出版社，2009年，第226页。-加里·W·亚当森2009年8月13日

G、 Pólya和G.Szegő，分析卷II中的问题和定理。斯普林格维尔拉格1976。

N、 斯隆和丹尼尔·福格斯，n=1..100000的n，a（n）表（N.J.A.Sloane的前10000个术语）

米尔顿·阿布拉莫维茨和艾琳·A·斯特根编辑。，数学函数手册，国家标准局应用数学。55系列，第十次印刷，1972年，第826页。

乔尔阿恩特，计算问题（Fxtbook），第705-707页

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汤姆·埃德加，偏序集与Möbius反转，幻灯片，（2008年）。

马茨·格兰维克，用行列式求三角矩阵的逆,用矩阵乘法求三角矩阵的逆,二项式级数三角矩阵的逆,Mobius函数的普通母函数

基思·马修斯，分解n并计算phi（n）、Ω（n）、d（n）、sigma（n）和mu（n）

A、 莫比乌斯，你的艺术是什么。für die reine und angewandte Mathematik杂志9（1832），105-123。

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安德斯·比约纳和理查德·P·斯坦利，组合杂集

保罗·塔鲁，用自然数的多集表示模拟素性，计算理论方面，ICTAC 2011，计算机科学课堂讲稿，2011年，第6916/2011卷，218-238

保罗·塔鲁，从自然数的多集分解看素性的一般性，理论计算机科学，第537卷，2014年6月5日，第105-124页。

杰拉德·维勒明的数字年鉴，莫比乌斯和梅滕斯的名称

埃里克·韦斯坦的数学世界，Moebius函数

埃里克·W·韦斯斯坦，红发矩阵.

维基百科，Moebius函数

“核心”序列的索引项

从n的因式分解中的指数计算序列的索引项

和{d | n}mu（d）=1，如果n=1，否则为0。

Dirichlet母函数：和{n>=1}mu（n）/n^s=1/zeta（s）。也就是和{n>=1}mu（n）*x^n/（1-x^n）=x。

特别是Sum{n>0}mu（n）/n=0。-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯2014年6月20日

phi（n）=和{d | n}μ（d）*n/d。

a（n）=A091219号(A091202型（n） ）。

与a（p^e）相乘，如果e=1，则为-1；如果e>1，则为0。-大卫·W·威尔逊2001年8月1日

abs（a（n））=和{d | n}2^A001221型（d） *不适用。-贝诺伊特·克罗伊特2002年4月5日

和{d | n}（-1）^（n/d）*mobius（d）=0，n>2。-德国金刚砂2005年1月28日

对于n>0，a（n）=（-1）^Ω（n）*0^（bigomega（n）-Ω（n）），其中bigomega（n）和omega（n）是n的素数，有重复也有无重复(A001222号,A001221型,A046660号). -莱因哈德·祖姆凯勒2003年4月5日

绝对值的Dirichlet母函数：zeta（s）/zeta（2s）。-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯2005年9月11日

亩（n）=A129360（n） *（1，-1，0，0，0，…）。-加里·W·亚当森2007年4月17日

mu（n）=-和{d<n，d | n}mu（d），如果n>1且mu（1）=1。-海因茨2008年8月13日

a（n）=邮编：A174725（n）-邮编：A174726（n） 一。-马茨格兰维克2010年3月28日

a（n）=定义为T（1，1）=1，n>1:T（n，1）是任意数或序列，k=2:T（n，2）=T（n，k-1）-T（n-1，k），k>2且n>=k:T（n，k）=（和{i=1..k-1}T（n-i，k-1））—（和{i=1..k-1}T（n-i，k））。-马茨格兰维克2010年6月12日

乘积{n>=1}（1-x^n）^（-a（n）/n）=exp（x）（指数函数的乘积形式）-乔尔阿恩特2011年5月13日

a（n）=和{k=1..n和gcd（k，n）=1}exp（2*Pi*i*k/n），单位的本原第n根上的和。见使徒参考书，第48页，练习14（b）。-狼牙2011年6月13日

mu（n）=和{k=1..n}A191898年（n，k）*exp（-i*2*Pi*k/n）/n.（猜想）。-马茨格兰维克2011年11月20日

和{k=1..n}a（k）*楼层（n/k）=1，n>=1。-彼得·卢什尼2012年2月10日

a（n）=地板（Ω（n）/大ω（n））*（-1）^Ω（n）=地板(A001221型（n）/A001222号（n） ）*（-1）^A001221型（n） 一。-恩里克·佩雷斯·赫雷罗2012年4月27日

与a（p^e）=二项式（1，e）*（-1）^e相乘-恩里克·佩雷斯·赫雷罗2013年1月19日

G、 f.A（x）满足：x^2/A（x）=和{n>=1}A（x^（2*n）/A（x）^n）。-保罗·D·汉娜2016年4月19日

a（n）=-A008966号（n）*A008836号（n） /（-1）^A005361号（n） =-地板（rad（n）/n）λ（n）/（-1）^tau（n/rad（n））。-安东尼布朗2016年5月17日

a（n）=克罗内克三角洲A001221型（n） 以及A001222号（n） （即A008966号)乘以A008836号（n） 一。-埃里克·德斯比厄2017年3月15日

a（n）=邮编：A132971(邮编：A156552（n） ）。-安蒂·卡尔图宁2017年5月30日

猜想：a（n）=和{k>=0}（-1）^（k-1）*二项式(A001222号（n） -1，k）*二项式(A001221型（n） -1+k，k），对于n>1。在前10万个条款中进行了验证。-马茨格兰维克2018年9月8日

从彼得·巴拉2019年3月15日：（开始）

和{n>=1}mu（n）*x^n/（1+x^n）=x-2*x^2。例如，见Pólya和Szegő，第V111部分，第一章，第71号。

和{n>=1}（-1）^（n+1）*mu（n）*x^n/（1-x^n）=x+2*（x^2+x^4+x^8+x^16+…）。

和{n>=1}（-1）^（n+1）*mu（n）*x^n/（1+x^n）=x-2*（x^4+x^8+x^16+x^32+…）。

和{n>=1}| mu（n）|*x^n/（1-x^n）=Sum{n>=1}（2^w（n））*x^n，其中w（n）是n的不同素因子的个数（Hardy和Wright，第十六章，定理264）。

Sum{n奇}| mu（n）|*x^n/（1+x^（2*n））=Sum{n in S_1}（2^w_1（n））*x^n，其中S_1={1，5，13，17，25，29，…}是由1和素数p=1（mod 4）生成的正整数的乘法半群，w_1（n）是n的不同素数p=1（mod 4）。

Sum{n奇数}（-1）^（（n-1）/2）*mu（n）*x^n/（1-x^（2*n））=Sum{n in S_3}（2^w_3（n））*x^n，其中S_3={1，3，7，9，11，19，21，…}是由1和素数p=3（mod 4）生成的正整数的乘法半群，其中w_3（n）是n的不同素数p=3（mod 4）（结束）

G、 f.A（x）满足：A（x）=x-和{k>=2}A（x^k）。-伊利亚·古特科夫斯基2019年5月11日

a（n）=符号(A023900号（n） ）*[A007947号（n） =n]其中[]是艾弗森括号。-一、 五、血清2019年5月15日

G、 f.=x-x ^2-x ^3-x ^5+x ^6-x ^7+x ^10-x ^11-x ^13+x ^14+x ^15+。。。

带（数字）：A008683号：=n->mobius（n）；

有（numtheory）：[顺序（mobius（n），n=1..100）]；

#注意，旧版本的Maple将mobius（0）定义为-1。

#这是不明智的！最好不要定义Moebius（0）。

带（数字）：

mu:=proc（n:：posint）选项记住；`if`（n=1，1，

-加法（mu（d），d=除数（n）减{n}））

结束：

序号（mu（n），n=1..100）#海因茨2008年8月13日

数组[MoebiusMu，100]

（*第二个项目：*）

m=100；A[\u]=0；

{0[m，m]{x[m，m]=0；

系数表[A[x]/x，x](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2019年10月20日，之后伊利亚·古特科夫斯基*)

（公理）[moebiusMu（n）代表1..100中的n]

（岩浆）[MoebiusMu（n）：n in[1..100]]；

（PARI）a=n->如果（n<1，0，moebius（n））；

（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，direuler（p=2，n，1-X）[n]）}；

（PARI）list（n）=my（v=向量（n，i，1））；对于素数（p=2，sqrtint（n），forstep（i=p，n，p，v[i]*=-1）；forstep（i=p^2，n，p^2，v[i]=0））；forprime（p=sqrtint（n）+1，n，forstep（i=p，n，p，v[i]*=-1））；v\\查尔斯R格雷特豪斯四世2012年4月27日

（马克西玛）A008683号（n） ：=moebius（n）$候选列表(A008683号（n） ，n，1，30）/*马丁·埃特尔2012年10月24日*/

（哈斯克尔）

导入Math.NumberTheory.Primes.factorization（factorse）

a008683=亩。南德。解压。因式分解

mu[]=1；mu（1:es）=-mu es；mu（:es）=0

--莱因哈德·祖姆凯勒2015年12月13日，2013年10月9日

（圣人）

@缓存的_函数

定义mu（n）：

如果n<2：返回n

返回-除数（n）[：-1]中d的和（mu（d））

#改变和的符号给出n的有序因子分解数A074206.

打印（[mu（n）代表n in（1..96）]）#彼得·卢什尼2016年12月26日

（蟒蛇）

来自sympy import mobius

打印（[mobius（i）for i in range（1101）]）#印度教2017年3月18日

a（n）的变体是邮编：A178536,邮编：A181434,邮编：A181435.

囊性纤维变性。A000010号,A001221型,A008966号,A007423号,A080847型,A002321（部分金额），A069158,A055615型,A129360,A140579号,邮编：A140664,A140254号,A143104号,邮编：A152902,A206706号,A063524号,A007427号,A007428号,A124010型,A073776号,A074206,邮编：A132971,邮编：A156552.

上下文顺序：A130047号 A293233号 A302050*A008966号 A080323号 邮编：A157657

相邻序列：A008680号 A008681号 A008682号*A008684号 A008685号 A008686号

核心,签名,容易的,骡子,美好的

N、 斯隆

拾取引用的标题已由更改罗伯特·G·威尔逊五世2009年8月24日

经核准的