搜索： a001107-编号：a001107
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1, 2, 1, 6, 7, 4, 5, 9, 5, 6, 1, 5, 8, 2, 4, 4, 1, 8, 2, 4, 9, 4, 3, 3, 9, 3, 5, 2, 0, 0, 4, 7, 6, 0, 3, 8, 2, 1, 0, 8, 3, 6, 1, 7, 0, 0, 9, 2, 2, 7, 7, 2, 8, 9, 0, 9, 4, 9, 8, 3, 7, 4, 4, 1, 5, 4, 4, 6, 9, 6, 3, 5, 6, 3, 5, 0, 7, 2, 9, 5, 4, 8, 7, 1, 0, 5, 3, 5, 7, 9, 7, 8, 8, 6, 7, 7, 1, 5, 3, 2, 2, 0, 5, 6, 9
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1.216745956158244182494339352004760382108361700922772890949837441544696356350....
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数学
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RealDigits[Log[2]+Pi/6，10，111][[1]（*或*）
实数字[和[1/（4n^2-3n），{n，1，无限}]，10，111][1]
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黄体脂酮素
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经核准的
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0, 1, 12, 60, 224, 720, 2112, 5824, 15360, 39168, 97280, 236544, 565248, 1331200, 3096576, 7127040, 16252928, 36765696, 82575360, 184287232, 408944640, 902823936, 1983905792, 4341104640, 9462349824, 20552089600, 44493176832, 96032784384, 206695301120, 443723808768
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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a（n）=n*2^n*（2*n-1）/2。
G.f.:x*（1+6*x）/（1-2*x）^3。
a（0）=0，a（1）=1，a（2）=12，a（n）=6*a（n-1）-12*a（n-2）+8*a（n-3）-哈维·P·戴尔2015年12月13日
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数学
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线性递归[{6，-12，8}，{0，1，12}，30](*哈维·P·戴尔2015年12月13日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[0..30]]中的[n*2^n*（2*n-1）/2:n//文森佐·利班迪2011年8月22日
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交叉参考
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容易的,非n
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经核准的
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0, 1, 10, 1540, 11935, 1777555, 13773376, 2051297326, 15894464365, 2367195337045, 18342198104230, 2731741367653000, 21166880717817451, 3152427171076225351, 24426562006163234620, 3637898223680596402450, 28188231388231654934425, 4198131397700237172202345
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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对于n>5，a（n）=1154*a（n-2）-a（n-4）+396。
对于n>6，a（n）=a（n-1）+1154*a（n-2）-1154*a（n-3）-a（n-4）+a（n-5）。
当n>1时，a（n）=1/64*（（9+4*sqrt（2）*（-1）^n）*（1+sqrt。
a（n）=楼层（1/64*（9+4*sqrt（2）*（-1）^n）*（1+sqrt，2）^（4*n-6））。
通用公式：（x^5+9*x^4+376*x^3+9*x^2+x）/（（1-x）*（x^2-34*x+1）*（x^2+34*x+1））。[更正人彼得·卢什尼2019年4月4日]
Lim（n->无限，a（2n+1）/a（2n））=（1/49）*（3649+2580*sqrt（2））。
Lim（n->无限，a（2n）/a（2n-1））=（1/49）*（193+132*sqrt（2））。
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例子
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三角形序列的初始项(A000217号)和十边形(A001107号)数字是0、1、3、6、10、15。。。以及0、1、10、27。。。分别是。由于两个序列共有的第三个数字是10，所以我们得到了a（3）=10。
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数学
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线性递归[{1，1154，-1154，-1，1}，{0，1，10，1540，11935，1777555}，17]（*第一项0由乔治·菲舍尔2019年4月2日*）
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非n
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经核准的
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0, 1, 2, 20, 55, 667, 1856, 22646, 63037, 769285, 2141390, 26133032, 72744211, 887753791, 2471161772, 30157495850, 83946756025, 1024467105097, 2851718543066, 34801724077436, 96874483708207, 1182234151527715, 3290880727535960, 40161159427864862
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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对于n>5，a（n）=34*a（n-2）-a（n-4）-12。
对于n>6，a（n）=a（n-1）+34*a（n-2）-34*a（n-3）-a（n-4）+a（n-5）。
当n>1时，a（n）=1/16*（（2*sqrt（2）+（-1）^n）*（1+sqrt。
当n>1时，a（n）=天花板（1/16*（2*sqrt（2）+（-1）^n）*（1+sqert（2））^（2*n-3））。
通用公式：（1-33*x^2+18*x^3+2*x^4）/（1-x）*（1-6*x+x^2）*（1+6*x+x2））。
lim（n->无限，a（2n+1）/a（2n））=1/7*（43+30*sqrt（2））。
lim（n->Infinity，a（2n）/a（2n-1））=1/7*（11+6*sqrt（2））。
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例子
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数学
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线性递归[{1，34，-34，-1，1}，{0，1，2，20，55，667}，24]（*第一项0由乔治·菲舍尔2019年4月2日*）
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非n
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经核准的
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0, 1, 4, 55, 154, 1885, 5248, 64051, 178294, 2175865, 6056764, 73915375, 205751698, 2510946901, 6989500984, 85298279275, 237437281774, 2897630548465, 8065878079348, 98434140368551, 274002417416074, 3343863141982285, 9308016314067184, 113592912687029155
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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对于n>5，a（n）=34*a（n-2）-a（n-4）+16。
对于n>6，a（n）=a（n-1）+34*a（n-2）-34*a（n-3）-a（n-4）+a（n-5）。
当n>1时，a（n）=1/8*（（4+sqrt（2）*（-1）^n）*（1+sqert（2））^（2*n-3）+（4-sqrt。
a（n）=楼层（1/8*（4+sqrt（2）*（-1）^n）*（1+sqrt（2））^（2*n-3））。
通用格式：x^2*（2*x^4+3*x^3-17*x^2-3*x-1）/（（x-1）*（x^2+6*x+1）*（x^2-6*x+1。
lim（n->无限，a（2n+1）/a（2n））=1/7*（43+30*sqrt（2））。
lim（n-＞无穷大，a（2n）/a（2n-1））＝1/7*（11+6*sqrt（2））。
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例子
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数学
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线性递归[{1，34，-34，-1，1}，{0，1，4，55，154，1885}，24]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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1, 4, 9, 10, 16, 25, 27, 36, 49, 52, 64, 81, 85, 100, 121, 126, 144, 169, 175, 196, 225, 232, 256, 289, 297, 324, 361, 370, 400, 441, 451, 484, 529, 540, 576, 625, 637, 676, 729, 742, 784, 841, 855, 900, 961, 976, 1024, 1089, 1105, 1156, 1225, 1242, 1296
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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推测：
当n>7时，a（n）=a（n-1）+2*a（n-3）-2*a（n-4）-a（n-6）+a（n-7）。
G.f.x*（1+3*x+5*x^2-x^3-x^5+x^6）/（（1-x）^3*（1+x+x^2）^2）。
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黄体脂酮素
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（PARI）
pg（m，n）=（n^2*（m-2）-n*（m-4））/2\\第n个m角数
pgr（m，r）=n=1；L=列表（）；而（t=pg（m，n））<r，列表输入（L，t）；n++）；Vec（左）
pgpgs（p，q，r）=集合联合（pgr（p，r），pgr（q，r
pgpgs（2000年10月4日）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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1, 11, 191, 3421, 61381, 1101431, 19764371, 354657241, 6364065961, 114198530051, 2049209474951, 36771572019061, 659839086868141, 11840331991607471, 212466136762066331, 3812550129725586481, 68413436198298490321, 1227629301439647239291, 22028913989715351816911
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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也是4*x^2-5*y^2-3*x+5*y-1=0的解中的正整数x，y的相应值为A133273号.
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配方奶粉
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a（n）=（6+（5+2*sqrt（5））*（9+4*sqert（5），^（-n）+（5-2*sqrt（5）。
当n>3时，a（n）=19*a（n-1）-19*a（n-2）+a（n-3）。
通用格式：x*（1-8*x+x^2）/（1-x）*（1-18*x+x^2））。
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例子
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11在序列中，因为第11个10角数是451，这也是第10个中心10角数。
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黄体脂酮素
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（PARI）Vec（x*（1-8*x+x^2）/（1-x）*（1-18*x+x^2））+O（x^30））
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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黄体脂酮素
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（PARI）对于（k=0，1e4，如果（是多角形（m=k*（k+1）*（8*k-5）/6，10），打印1（m“，”））
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交叉参考
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关键词
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非n,更多
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作者
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状态
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经核准的
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A000217号
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| 三角数：a（n）=二项式（n+1,2）=n*（n+1）/2=0+1+2+…+n.（名词）。
（原名M2535 N1002）
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+10
4582
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0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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也称为T（n）或C（n+1,2）或二项式（n+1，2）（首选）。
广义六角形数：n*（2*n-1），n=0，+-1，+-2，+-3。。。广义k-角数是第二个k-角数和k-角数字的正项交错，k>=5。在这种情况下，k=6-奥马尔·波尔2011年9月13日和2012年8月4日
n+1，K_{n+1}阶完整图的边数。
在n个字母的字符串中插入一对括号的合法方法的数量。例如，三个字母有六种写法：（a）bc，（ab）c，（abc），a（b）c，a（bc），ab（c）。证明：有C（n+2.2）方法可以选择括号的位置，但其中n+1是非法的，因为括号是相邻的。囊性纤维变性。A002415号.
对于n>=1，a（n）也是n+2次非奇异曲线的亏格，如费马曲线x^（n+2）+y^（n+2）=1.-艾哈迈德·法尔斯（ahmedfares（AT）my_deja.com），2001年2月21日
n个不相同链接的链可以分解的方式数。这是基于蛋白质组学领域的一个类似问题：n个氨基酸残基的肽在质谱仪中被分解的方式的数量。一般来说，每个氨基酸的质量不同，所以AB和BC的质量不同-詹姆斯·雷蒙德2003年4月8日
三角数-奇数=移位三角数；1, 3, 6, 10, 15, 21, ... - 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... = 0, 0, 1, 3, 6, 10, ... - Xavier Acloque，2003年10月31日[由更正德里克·奥尔2015年5月5日]
居中多边形数是[边数]的结果*A000217号+ 1]. 例如，中心五边形数（1,6,16,31，…）=5*（0,1,3,6，…）+1。居中七元数（1,8,22,43，…）=7*（0,1,3,6，…）+1.-Xavier Acloque，2003年10月31日
n+1平面相交形成的最大线数-罗恩·金2004年3月29日
避开模式132且正好有1个下降的[n]排列数-迈克·扎布罗基2004年8月26日
不允许长度为n-1的三元字的数量带有子字（0,1）、（0,2）和（1,2）-奥利维尔·杰拉德2012年8月28日
可以从集合{0,1,2，…，n}中选择两个不同的数字而不重复，或者，可以在集合{1,2，……，n{中选择二个不同数字并重复的方法。
据推测，只有1、6、120是三角形和阶乘的数字Christopher M.Tomaszewski（cmt1288（AT）comcast.net），2005年3月30日
每对相邻的项组成一个完美的正方形-扎克·塞多夫2006年3月21日
n+1个字母对称组中的转置数，即除两个元素外，其余元素都保持不变的排列数-杰弗里·克里策2006年6月23日
对于rho（n）：=exp（i*2*Pi/n）（1的n次方根），对于n>=1，rho（n）^a（n）=（-1）^（n+1）。只需使用平凡性a（2*k+1）==0（mod（2*k+1））和a（2*k）==k（mod（2*k））。
a（n）是（a1+a2+a3）^（n-1）展开式中的项数-塞尔吉奥·法尔孔2007年2月12日
a（n+1）是2个变量中n次完全齐次对称多项式的项数-理查德·巴恩斯2017年9月6日
等于半群PT_n\S_n的秩（生成集的最小基数），其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群-詹姆斯·伊斯特2007年5月3日
a（n）给出了从三角形上的一个顶点到该顶点对面绘制cevian时发现的三角形总数，其中n=绘制的cevian数+1。例如，绘制1个cevian，n=1+1=2和a（n）=2*（2+1）/2=3，则图形中总共有3个三角形。如果从一个点到另一侧绘制2个cevians，则n=1+2=3和a（n）=3*（3+1）/2=6，则图中总共有6个三角形。-Noah Priluck（npriluck（AT）gmail.com），2007年4月30日
对于n>=1，a（n）是当项的顺序不同的表示被视为不同时，n-1可以写成三个非负整数之和的方式数。换句话说，对于n>=1，a（n）是方程x+y+z=n-1的非负积分解的个数-阿玛纳斯·穆尔西2001年4月22日（编辑：罗伯特·A·比勒)
a（n）是三维各向同性谐振子的能量为n+3/2的能级数（单位为h*f0，普朗克常数为h，振子频率为f0）。请参阅上文A.Murthy的评论：n=n1+n2+n3，带正整数并排序。o.g.f.的证明见A.Messiah参考-沃尔夫迪特·朗2007年6月29日
数字m>=0，使圆（sqrt（2m+1））-圆（squart（2m））=1。
数字m>=0，这样天花板（2*sqrt（2m+1））-1=1+地板（2*m2（2m））。
数字m>=0，使得fract（sqrt（2m+1））>1/2，fract（m2））<1/2，其中fract（x）是x的小数部分（即x-floor（x），x>=0）。（结束）
如果Y和Z是一个n集X的3个块，那么对于n>=6，a（n-1）是与Y和Z相交的X的（n-2）子集的数目-米兰扬吉奇2007年11月9日
循环赛中的比赛数量：n*（n-1）/2给出了n名球员所需的比赛数量。每个人都会和其他人比赛一次乔治·雷德（Georg Wrede），2008年12月18日
等价于连续四面体数的第一个差值。请参见A000292号.-Jeremy Cahill（jcahill（AT）inbox.com），2009年4月15日
交替幂和的一般公式是以瑞士-刀多项式P（n，x）表示的A153641号2^（-n-1）（P（n，1）-（-1）^k P（n、2k+1））。因此a（k）=|2^（-3）（P（2,1）-（-1）^k P（2,2k+1））|-彼得·卢什尼2009年7月12日
a（n）是最小的数>a（n-1），使得gcd（n，a（n。如果n是奇数，则gcd是n；如果n是偶数，则为n/2-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2009年8月6日
弗洛伊德三角形右边的数字是1、3、6、10、15-保罗·穆尔贾迪2010年1月25日
更一般地，a（2k+1）=j*（2j-1）（mod 2k+2j+1）和
a（2k）==[-k+2j*（j-1）]（模2k+2j）。
列总和：
1 3 5 7 9 ...
1 3 5 ...
1 ...
...............
---------------
1 3 6 10 15 ...
和{n>=1}1/a（n）^2=4*Pi^2/3-12=12小于半径为Pi^（1/3）的球体的体积。
（结束）
（结束）
绘制三个点（0,0）、（a（n）、a（n+1））、（a+1）、a+2）以形成三角形。面积为a（n+1）/2-J.M.贝戈2012年5月4日
以a（n）=n*（n+1）/2开头的四个连续三角形数之和减去2等于2*（n+2）^2。a（n）*a（n+2）/2=a（a（n+1）-1）-J.M.贝戈2012年5月17日
（a（n）*a（n+3）-a（n+1）*a-J.M.贝戈2012年5月18日
a（n）*a（n+1）+a（n+2）*a（n+3）+3=a（n^2+4*n+6）-J.M.贝戈2012年5月22日
一般来说，a（n）*a（n+1）+a（n+k）*a-查理·马里恩2012年9月11日
a（n）*a（n+3）+a（n+1）*a-J.M.贝戈2012年5月22日
一般来说，a（n）*a（n+k）+a（n+1）*a-查理·马里恩2012年9月11日
a（n）*a（n+2）+a（n+1）*a-J.M.贝戈2012年5月22日
三个点（a（n）、a（n+1））、（a（n/1）、a-J.M.贝戈，2012年5月23日
a（n）+a（n+k）=（n+k）^2-（k^2+（2n-1）*k-2n）/2。对于k=1，我们得到a（n）+a（n+1）=（n+1）^2（见下文）-查理·马里恩2012年10月2日
在n空间中，我们可以定义一个（n-1）非平凡的正交投影。例如，在3空间中有一个（2）=3（即点对线、点对平面、线对平面）-道格拉斯·拉蒂默2012年12月17日
对于n>=1，a（n）等于半群P_n\S_n的秩（生成集的最小基数）和幂等秩（幂等生成集的极小基数），其中P_n和S_n表示[n]上的分区幺半群和对称群。
对于n>=3，a（n-1）等于半群T_n\S_n的秩和幂等秩，其中T_n和S_n表示[n]上的全变换半群和对称群。
（结束）
对于n>=3，a（n）等于半群PT_n\S_n的秩和幂等秩，其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群-詹姆斯·伊斯特2013年1月15日
公式a（n）*a（n+4k+2）/2+a（k）=a（a（n+2k+1）-（k^2+（k+1）^2））是Bergot 2012年5月17日评论中公式a（n*a（n+2）/2=a（a+1）-1的推广-查理·马里恩2013年3月28日
对于奇数m=2k+1，我们有递归a（m*n+k）=m^2*a（n）+a（k）。推论：如果数字T在序列中，那么它就是9*T+1-Lekraj Beedassy公司，2013年5月29日
欧拉在歌剧《Postuma》第87节中指出，只要T是三角形数，那么9*T+1、25*T+3、49*T+6和81*T+10也是三角形数。一般来说，如果T是三角形数，那么（2*k+1）^2*T+k*（k+1）/2也是三角形数-彼得·巴拉2015年1月5日
使用1/b和1/（b+2）将得到一个边为2*b+2、b^2+2*b和b^2+2*b+2的毕达哥拉斯三角形。设置b=n-1，得到边长为2*n、n^2-1和n^2+1的三角形。四分之一周长=a（n），对于n>1-J.M.贝戈2013年7月24日
a（n）=A028896号（n） /6，其中A028896号（n） =s（n）-s（n-1）是s（n，n）=n^3+3*n^2+2*n-8的第一个差。s（n）可以解释为12个边长加上6个面面积加上n个X（n-1）X（n-2）矩形棱镜的体积之和-J.M.贝戈2013年8月13日
A_n型根系中的正根数（对于n>0）-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于k=1到n，k的第r次连续求和的公式是二项式（n+r，r+1）[H.W.Gould]-加里·德特利夫斯2014年1月2日
对于n>=3，a（n-2）是1,2，…，的置换数，。。。，n的上（1）-下（0）个元素的分布为0…011（n-3个零），或者相同，a（n-2）是上下系数{n，3}（参见A060351型). -弗拉基米尔·舍维列夫，2014年2月14日
a（n）是对称n×n矩阵向量空间的维数-德里克·奥尔2014年3月29日
大小为2的{1，…，n+1}的Sidon子集的数目-卡尔·纳杰菲2014年4月27日
Vandermonde行列式V（x_1，x_2，…，x_n）定义中的因子数=Product_{1<=i<k<=n}x_i-x_k-汤姆·科普兰2014年4月27日
假设一个袋子包含一个（n）红色大理石和一个（n+1）蓝色大理石，其中a（n）、a（n+1）是连续的三角形数字。然后，对于n>0，随机选择两个弹珠并得到两个红色或两个蓝色的概率为1/2。一般来说，对于k>2，设b（0）=0，b（1）=1，对于n>1，b（n）=（k-1）*b（n-1）-b（n-2）+1。假设，对于n>0，一个袋子包含b（n）个红色大理石和b（n+1）个蓝色大理石。然后随机选择两个弹珠，得到两个红色或两个蓝色的概率为（k-1）/（k+1）。另请参阅A027941号,A061278号,A089817号,A053142号,A092521号-查理·马里恩2014年11月3日
考虑将自然数从集合S=（1,2,3，…，n）分为若干部分。生成序列的签名的长度（顺序）由三角数给出。例如，对于n=10，签名长度为55-大卫·尼尔·麦格拉思2015年5月5日
a（n）将（n-1）个未标记对象的分区计算为三（3）个部分（标记为a、b、c），例如，a（5）=15表示（n-1”=4。它们是（aaaa）、（bbbb）、（cccc）、（aaab）、（aaac）、（aabb）、（aacc）、（aabc）、（abbc）、（abbc）、（abbb）、（accc)、（英国广播公司）、（密件抄送）、（英国电视广播公司）-大卫·尼尔·麦格拉思2015年5月21日
推测：序列是指数n为代数曲线的正弦螺旋的亏格。值0对应于伯努利方程n=2的情况。所以推测的公式是（n-1）（n-2）/2-沃尔夫冈·廷特曼2015年8月2日
猜想：设m为任意正整数。然后，对于每个n=1,2,3，。。。集合{Sum{k=s..t}1/k^m:1<=s<=t<=n}具有基数a（n）=n*（n+1）/2；换句话说，所有1<=s<=t的和{k=s.t}1/k^m是两两不同的。（我通过计算机检查了这个猜想，没有发现反例。）-孙志伟2015年9月9日
对于n>=1，a（n）是n+4到n个部分的组成数，避免了第2部分-米兰扬吉奇2016年1月7日
假设您正在玩保加利亚纸牌游戏（请参阅A242424型以及张伯伦和加德纳的书），如果n>0，则从一堆a（n）卡开始。那么，达到固定状态{n，n-1，…，1}所需的操作数是a（n-1）。例如，{6}->{5,1}->{4,2}->{3,2,1}. -查理·马里恩2016年1月14日
每个完美立方体都是两个连续三角形数的平方差。1^2-0^2 = 1^3, 3^2-1^2 = 2^3, 6^2-3^2 = 3^3. -米奎尔·塞尔达2016年6月26日
对于n>1，a（n）=tau_n（k*），其中tau_n（k）是k的有序n分解数，k*是素数的平方。例如，tau_3（4）=tau_3（9）=tau_3（25）=tau _3（49）=6（参见A007425号)因为4、9、25和49的除数是6，a（3）=6-梅尔文·佩拉尔塔，2016年8月29日
对常见的公式a（n）+a（n+1）=（n+1”）^2（2004年2月19日）和a（n”^2+a（n+1）^2=a（（n+1+6a（k-1））-查理·马里恩2016年11月27日
a（n）也是具有n+4个顶点的多面体中对角线的最大可能数量-弗拉基米尔·莱茨科2016年12月19日
对于n>0，2^5*（二项式（n+1,2））^2表示2*（2*n+1）^2个连续整数之和中的第一个整数，等于（2*n+1）^6-帕特里克·麦克纳布2016年12月25日
不大于n的正整数的有序三元组（a，b，c）的数量，使得a+b+c=2n+1-阿维埃尔·利维2017年2月13日
最多使用n种颜色的不等四面体面着色数，因此没有颜色只出现一次-大卫·纳辛2017年2月22日
a（n）是顶点位于（1,1）、（n+1，n+2）和（n+1）^2，（n+2，^2）的三角形的面积-阿特·贝克，2018年12月6日
对于n>0，a（n）是最小的k>0，因此n除以（1/a（1）+1/a（2）+…+的分子1/a（n-1）+1/k）。应该注意的是，1/1+1/3+1/6+…+2/（n（n+1））＝2n/（n+1）-托马斯·奥多夫斯基2019年8月4日
n-齐次超可解线排列中线数的上界（参见Dimca中的定理1.1）-斯特凡诺·斯佩齐亚2019年10月4日
对于n>0，a（n+1）是边长为n的三角形网格上的格点数量-韦斯利·伊万·赫特2020年8月12日
长度为n的字符串的非空子串的最大数目。
求和集A+A的最大基数，其中A是n个数字的集合。（结束）
a（n）是避免模式123、132和312的大小为n的停车功能的数量-劳拉·普德威尔2023年4月10日
假设平行画出两行，每行由n个均匀间隔的点组成。假设我们在两行的点之间画出直线。对于n>=1，a（n-1）是线之间可能的最大交点数。等价地，[n]置换中的最大反转数-塞拉·弗里德2023年4月18日
以下等式补充了Bala评论（2015年1月5日）中的概括。（2k+1）^2*a（n）+a（k）=a（（2k+1*n+k）-查理·马里恩2023年8月28日
a（n）+a（n+k）+a。对于k=1，我们有a（n）+a（n+1）=（n+1”）^2-查理·马里恩2023年11月17日
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参考文献
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配方奶粉
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通用：x/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
例如：exp（x）*（x+x^2/2）。
a（n）=a（-1-n）。
a（n+1）=（n+2）/n）*a（n），和{n>=1}1/a（n=2）-乔恩·佩里2003年7月13日
a（n）=（（n+1）^3-n^3-1）/6.-Xavier Acloque，2003年10月24日
a（n）=a（n-1）+（1+sqrt（1+8*a（n-1）））/2。当取平方根的负分支时，这种递归关系被反转，即a（n）被转换为a（n-1）而不是a（n+1）-卡尔·R·怀特2003年11月4日
a（n）=a（n-2）+2*n-1-保罗·巴里2004年7月17日
a（n）=sqrt（sqrt（Sum_{i=1..n}Sum_{j=1.n}（i*j）^3））=（Sum_{i=1..n}Sum_{j=1.n}Sum_{k=1..n}（i*j*k）^3）^（1/6）-亚历山大·阿达姆楚克2004年10月26日
如果n是奇数，a（n）==1（mod n+2）；如果n是偶数，a-乔恩·佩里2004年12月16日
a（0）=0，a（1）=1，a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）+1-米克洛斯·克里斯托夫2005年3月9日
a（n）=地板（（2*n+1）^2/8）-保罗·巴里，2006年5月29日
a（n）^2+a（n+1）^2=a（n+1^2）[R B Nelsen，《数学杂志》70（2）（1997），第130页]-R.J.马塔尔2006年11月22日
a（n）*a（n+k）+a（n+1）*a。概括了2006年11月22日之前的公式[以及J.M.贝戈日期：2012年5月22日]-查理·马里恩2011年2月4日
（sqrt（8*a（n）+1）-1）/2=n.大卫·W·坎特雷尔（DWCantrell（AT）sigmaxi.net），2007年2月26日
多边形数的一般公式是P（k，n）=（k-2）*（n-1）n/2+n=n+（k-2*A000217号（n-1），对于n>=1，k>=3-奥马尔·波尔2008年4月28日和2013年3月31日
如果我们定义f（n，i，a）=Sum_{j=0..k-1}（二项式（n，k）*Stirling1（n-k，i）*Product_{j=0.0..k-1}（-a-j）），那么当n>=1时，a（n）=-f（n，n-1,1）-米兰扬吉奇2008年12月20日
4*a（x）+4*a（y）+1=（x+y+1）^2+（x-y）^2-弗拉基米尔·舍维列夫，2009年1月21日
该序列的逆的指数生成函数由Sum_{m>=0｝（（Pochhammer（1，m）*Pochhammer（1，m））*x^m/（Pochhammer（3，m）*factorial（m）））=（（2-2*x）*log（1-x）+2*x）/x^2给出，其n阶导数具有闭合形式，必须通过将极限取为x->0来评估。A000217号（n+1）=（lim_{x->0}d^n/dx^n（（2-2*x）*log（1-x）+2*x）/x^2）+n*（对数（1-x）+对数（-1/（-1+x）））*（-x+1+n））/x^2））^-1-斯蒂芬·克劳利2009年6月28日
偏移量为1时，a（n）=楼层（n^3/（n+1））/2-加里·德特利夫斯2010年2月14日
a（n）=4*a（楼层（n/2））+（-1）^（n+1）*楼层（n+1，/2）-布鲁诺·贝塞利2010年5月23日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）；a（0）=0，a（1）=1-马克·多尔斯2010年8月20日
a（n）+2*a（n-1）+a（n-2）=n^2+（n-1；和
a（n）+3*a（n-1）+3*a（n-2）+a（n-3）=n^2+2*（n-1。
一般来说，对于n>=m>2，求和{k=0..m}二项式（m，m-k）*a（n-k）=求和{k=0..m-1}二项式（m-1，m-1-k）*（n-k）^2。
a（n）-2*a（n-1）+a（n-2）=1，a。
一般来说，对于n>=m>2，求和{k=0..m}（-1）^k*二项式（m，m-k）*a（n-k）=0。
（结束）
对于n>0，a（n）=1/（积分_{x=0..Pi/2}4*（sin（x））^（2*n-1）*（cos（x），^3）-弗朗西斯科·达迪2011年8月2日
（n）+（a（n））+1=a（a（n）+1）-J.M.贝戈2012年4月27日
a（n）*a（n+1）=a（Sum_{m=1..n}A005408号（m） ）/2，对于n>=1。例如，如果n=8，则a（8）*a（9）=a（80）/2=1620-伊万·伊纳基耶夫2012年5月27日
通用公式：x*（1+3x+6x^2+…）=x*产品{j>=0}（1+x^（2^j））^3=x*A（x）*A（x^2）*A。。。，其中A（x）=（1+3x+3x^2+x^3）-加里·亚当森2012年6月26日
G.f.:G（0），其中G（k）=1+（2*k+3）*x/（2*k+1-x*（k+2）*（2*k+1）/（x*（k+2）+（k+1）/G（k+1）））；（连分数，第3类，3步）-谢尔盖·N·格拉德科夫斯基2012年11月23日
G.f.：x+3*x^2/（Q（0）-3*x），其中Q（k）=1+k*（x+1）+3*x-x*（k+1）*（k+4）/Q（k+1）；（续分数）-谢尔盖·N·格拉德科夫斯基2013年3月14日
a（n）+a（n+1）+…+a（n+8）+6*n=a（3*n+15）-查理·马里恩2013年3月18日
a（n）+a（n+1）+…+a（n+20）+2*n^2+57*n=a（5*n+55）-查理·马里恩2013年3月18日
当n>0时，3*a（n）+a（n-1）=a（2*n）-伊万·伊纳基耶夫2013年4月5日
一般来说，a（k*n）=（2*k-1）*a（n）+a（（k-1）*n-1）-查理·马里恩2015年4月20日
此外，a（k*n）=a（k）*a（n）+a（k-1）*a-罗伯特·伊斯雷尔2015年4月20日
a（n+1）=det（二项式（i+2，j+1），1<=i，j<=n）-米尔恰·梅卡2013年4月6日
a（n）=地板（n/2）+天花板（n^2/2）=n-地板（n/2+）+地板（n^1/2）-韦斯利·伊万·赫特2013年6月15日
a（n）=楼面（（n+1）/（exp（2/（n+1））-1））-理查德·福伯格2013年6月22日
Sum_｛n>=1｝a（n）/n！=3*exp（1）/2 by the e.g.f.另请参见A067764号关于用这种方法计算的二项式系数的比率-理查德·福伯格2013年7月15日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=4*log（2）-2=0.7725887-理查德·福伯格2014年8月11日
2/（Sum_{n>=m}1/a（n））=m，对于m>0-理查德·福伯格2014年8月12日
下面是2006年11月22日公式A（n）^2+A（n+1）^2=A（n+1^2）的推广。设T（k，n）=a（n）+k。然后对于所有k，T（k、n）^2+T（k和n+1）^2=T（k（n+1））^2+2*k）-2*k-查理·马里恩2015年12月10日
Dirichlet g.f.：（zeta（s-2）+zeta（s-1））/2-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月26日
a（n）^2-a（n-1）^2=n^3-米奎尔·塞尔达2016年6月29日
a（n）^2+a（n+3）^2+19=a（n^2+4*n+10）-查理·马里恩2016年11月23日
2*a（n）^2+a（n”）=a（n^2+n）-查理·马里恩2016年11月29日
通用公式：x/（1-x）^3=（x*r（x）*r（x^3）*r，其中r（x）=（1+x+x^2）^3=（1+3*x+6*x^2+7*x^3+6*x^4+3*x^5+x^6）-加里·亚当森2016年12月3日
a（n）=矩阵Q（n）的逆的元素之和，其中Q（n）有元素Q_i，j=1/（1-4*（i-j）^2）。因此，如果e=由1组成的适当大小的向量，那么a（n）=e’。Q（n）^-1.e-迈克尔·尤基什2017年3月20日
a（n）=和{k=1..n}（2*k-1）*（2*n-2*k-1）！！）/（2*k-2）*（2*n-2*k）！！）-迈克尔·尤基什2017年3月20日
求和{i=0..k-1}a（n+i）=（3*k*n^2+3*n*k^2+k^3-k）/6-克里斯托弗·霍尔2019年2月23日
当n为奇数时，a（n）==0（mod n）（参见De Koninck参考）-伯纳德·肖特2020年1月10日
8*a（k）*a（n）+（（a（k。当k=1时，这个公式简化为众所周知的公式8*a（n）+1=（2*n+1）^2-查理·马里恩2020年7月23日
a（k）*a（n）=和{i=0..k-1}（-1）^i*a（（k-i）*（n-i））-查理·马里恩2020年12月4日
产品{n>=1}（1+1/a（n））=cosh（sqrt（7）*Pi/2）/（2*Pi）。
产品{n>=2}（1-1/a（n））=1/3。（结束）
a（n）=和{k=1..2*n-1}（-1）^（k+1）*a（k）*a。例如，对于n=4，1*28-3*21+6*15-10*10+15*6-21*3+28*1=10-查理·马里恩2022年3月23日
2*a（n）=A000384号（n） 一般来说，如果P（k，n）=第n个k边形数，则（j+1）*a（n）=P（5+j，n）-n^2+（j+1）*n。更一般地，（j+1）*P（k，n）=P（2*k+（k-2）*（j-1），n）-n^2+（j+1）*n-查理·马里恩2023年3月14日
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例子
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总尺寸：x+3*x^2+6*x^3+10*x^4+15*x^5+21*x^6+28*x^7+36*x^8+45*x*9+。。。
当n=3时，a（3）=4*3/2=6。
示例（a（4）=10）：ABCD，其中a、B、C和D是链中的不同链或肽中的不同氨基酸——可能的片段：a、B、C、D、AB、ABC、ABCD、BC、BCD、CD=10。
a（2）：冬青树叶落在德川幕府，a（4）：毕达哥拉斯四联中的分数，a（5）：八球台球中的物体球-布拉德利·克莱2015年8月24日
a（1）=1到a（5）=15个正整数的有序三元组加起来等于n+2（Beeler，McGrath，上文）如下。这些成分按A014311号.
(111) (112) (113) (114) (115)
(121) (122) (123) (124)
(211) (131) (132) (133)
(212) (141) (142)
(221) (213) (151)
(311) (222) (214)
(231) (223)
(312) (232)
（321）（241）
(411) (313)
(322)
(331)
(412)
（421）
(511)
（结束）
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MAPLE公司
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istriangular:=proc（n）局部t1；t1:=楼层（平方米（2*n））；如果n=t1*（t1+1）/2，则返回true，否则返回false；结束条件：；终末程序#N.J.A.斯隆2008年5月25日
ZL:=[S，{S=Prod（B，B，B），B=Set（Z，1<=卡）}，未标记]：
seq（combstruct[count]（ZL，size=n），n=2..55）#零入侵拉霍斯2007年3月24日
isA000217:=进程（n）
issqr（1+8*n）；
结束进程：#R.J.马塔尔2015年11月29日[这是Leonhard Euler在1765年《Vollständige Anleitung zur代数》第七章中提出的食谱。彼得·卢什尼，2022年9月2日]
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数学
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数组[#*（#-1）/2&，54](*零入侵拉霍斯2009年7月10日*）
文件夹列表[#1+#2&，0，范围@50](*罗伯特·威尔逊v2011年2月2日*）
系数列表[级数[x/（1-x）^3，{x，0，50}]，x](*文森佐·利班迪2014年7月30日*）
（*对于Mathematica 10.4+*）表[多边形编号[n]，{n，0，53}](*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2016年8月27日*）
线性递归[{3，-3，1}，{0，1，3}，54](*罗伯特·威尔逊v2016年12月4日*）
（*以下Mathematica程序由Steven J.Miller提供，用于测试序列是否为Benford。要测试不同的序列，只需更改一行即可。这强烈表明三角形数字不是Benford，因为输出的第二列和第三列不一致-N.J.A.斯隆2017年2月12日*）
fd[x_]：=楼层[10^Mod[Log[10，x]，1]]
benfordtest[num_]：=模块[｛｝，
对于[d=1，d<=9，d++，数字[d]=0]；
对于[n=1，n<=num，n++，
{
d=fd[n（n+1）/2]；
如果[d！=0，数字[d]=数字[d]+1]；
}];
对于[d=1，d<=9，d++，数字[d]=1.0位[d]/num]；
对于[d=1，d<=9，d++，
打印[d，“”，100.0位[d]，“”、100.0日志[10，（d+1）/d]]]；
]；
本福德试验[20000]
表[Length[Join@@Permutations/@IntegerPartitions[n，{3}]]，{n，0，15}](*古斯·怀斯曼2020年10月28日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（），n，t）；而（t=n*n++/2）<=lim，listput（v，t））；车辆（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2021年6月18日
（哈斯克尔）
a000217 n=a000217_列表！！n个
a000217_list=扫描1（+）[0..]--莱因哈德·祖姆凯勒2011年9月23日
（岩浆）[n*（n+1）/2:n英寸[0..60]]//布鲁诺·贝塞利2014年7月11日
（SageMath）[n*（n+1）/2表示n in（0..60）]#布鲁诺·贝塞利2014年7月11日
（Scala）（1至53）.左图（0）（_+_）//霍斯特曼（2012），第171页
（Python）对于范围（0，60）中的n：打印（n*（n+1）/2，end='，'）#斯特凡诺·斯佩齐亚，2018年12月6日
（Python）#用于计算序列的初始段，而不是
#孤立术语。如果在迭代中，行“x，y=x+y+1，y+1”
#被替换为“x，y=x+y+k，y+k”，然后获得数字，
#对于k=0（自然A001477号)，k=1（三角形），k=2（正方形），k=3（五边形），k=4（六边形）。
定义aList（）：
x、 y=1，1
产量0
为True时：
收益率x
x、 y=x+y+1，y+1
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000096号,A000124号,A000292号,A000330号,A000396号,A000668号,A001082号,A001788年,A002024号,A002378号,A002415号,A003056号（反函数），A004526号,A006011号,A007318号,A008953号,A008954号,A010054号（特征函数），A028347美元,A036666号,A046092号,A051942号,A055998号,A055999号,A056000型,A056115号,A056119号,A056121号,A056126号,A062717号,A087475型,A101859号,A109613号,143320英镑,A210569型,A245031型,245300加元,A060544号,A016754号.
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A002378号
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| 长椭圆形（或短圆形、短圆形或短圆形）数字：a（n）=n*（n+1）。
（原名M1581 N0616）
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+10
771
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0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462, 506, 552, 600, 650, 702, 756, 812, 870, 930, 992, 1056, 1122, 1190, 1260, 1332, 1406, 1482, 1560, 1640, 1722, 1806, 1892, 1980, 2070, 2162, 2256, 2352, 2450, 2550
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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根据韦伯斯特第二版，正确的单词是“promic”-R.K.盖伊
a（n）是根晶格a_n中的最小向量数（见Conway和Sloane，第109页）。
对于j<k<=n，对于n>1，所有对（j，k）的最大LCM-罗伯特·威尔逊v2004年6月19日
第一个差异是a（n+1）-a（n）=2*n+2=2，4，6。。。（而平方的第一个差值是（n+1）^2-n^2=2*n+1=1，3，5，…）-亚历山大·瓦恩伯格，2005年12月29日
快速（心理）乘法/因式分解技术——Lekraj Beedassy评论的推广：对于所有基b>=2和正整数n，c，d，k，c+d=b^k，我们有（n*b^k+c）*（n*b ^k+d）=A（n）*b^（2*k）+c*d。因此乘积的最后2*k个基-b数字正好是c*d的数字，包括前导0（s）根据需要--前面的以b为基数的数字与a（n）的数字相同。示例：十进制中，113*117=13221（n=11，b=10=3+7，k=1，3*7=21，a（11）=132）；在八进制中，61×67=5207（52是八进制中的a（6））。特别是，对于偶数b=2*m（m>0）和c=d=m，这样的乘积就是这种类型的平方。小数因式分解：5609立即被视为71*79。同样，120099=301*399（此处k=2）和99990000001996=9999002*9999998（k=3）-里克·L·谢泼德2021年7月24日
迭代平方根sqrt序列（N+sqrt（N+…））对于N=1,2。。。限制（1+sqrt（1+4*N））/2。对于N=a（N），该极限为N+1，N=1，2。。。。对于所有其他数字N，N>=1，此极限不是自然数。示例：n=1，a（1）=2:sqrt（2+sqrt…））=1+1=2；n=2，a（2）=6:sqrt（6+sqrt，6+…））=1+2=3-沃尔夫迪特·朗2006年5月5日
可被上限（sqrt（m））整除的非方形整数m，m=0除外-马克斯·阿列克塞耶夫2006年11月27日
（n+1）X（n+1”）矩阵的非对角元素数-阿图尔·贾辛斯基2007年1月11日
a（n）等于函数f:{1，2}->{1，2，…，n+1}的个数，因此对于{1，2]中的固定x和{1，2中，…，n+1}中的一个固定y，我们有f（x）<>y.-Aleksandar M.Janjic和米兰扬吉奇2007年3月13日
数字m>=0，使fract（sqrt（m+1））>1/2，fract（mqrt（m））<1/2，其中fract（x）是分数部分（fract（x）=x-floor（x），x>=0）-Hieronymus Fischer公司2007年8月6日
方程4*X^3+X^2=Y^2的解的X值。要查找Y值：b（n）=n（n+1）（2n+1）-穆罕默德·布哈米达2007年11月6日
如果Y是n个集合X的2个子集，那么对于n>=2，a（n-2）是X的2个子集和3个子集的数量，它们正好有一个元素与Y相同-米兰扬吉奇2007年12月28日
a（n）与Redheffer矩阵中均匀宽度抛物线的顶点重合，指向零。整数p是素数当且仅当对于所有整数k，抛物线y=kx-x^2在y=p时没有1<x<k的整数解；a（n）对应奇数k-莱库·库隆2008年11月30日
超几何函数3F2某些值的第三个差导致长圆数的平方，即3F2（[1，n+1，n+1），[n+2，n+2]，z=1）-3*3F2 1/（（n+2）*（n+3））^2表示n=-1， 0, 1, 2, ... . 另请参阅A162990型-约翰内斯·梅耶尔2009年7月21日
对于n>1，a（n）是函数f:{1，2}->{1，…，n+2}的数目，其中f（1）>1和f（2）>2。注意，f（1）有n+1个可能的值，f（2）有n个可能的值。例如，a（3）=12，因为从{1，2}到{1，2，3，4，5}有12个函数f，其中f（1）>1，f（2）>2-丹尼斯·沃尔什2011年12月24日
a（n）给出了包含两个1的对称（0，1）-矩阵（n+1）X（n+1）的个数（参见[Cameron]）-L.埃德森·杰弗里2012年2月18日
a（n）是[n+2]x[n+2]中具有x-y>1的有序对（x，y）的数量-丹尼斯·沃尔什2012年11月27日
a（n）是从{1，2}到{1，2，…，n+1}的内射函数数-丹尼斯·沃尔什2012年11月27日
a（n）是2n+2的分区部分的正差之和，正好分成两部分（参见示例）-韦斯利·伊万·赫特2013年6月2日
a（n）/a（n-1）对e^（2/n）是渐近的-理查德·福伯格2013年6月22日
D_{n+1}型根系中的正根数（对于n>2）-汤姆·埃德加2013年11月5日
A_n型根系统中的根数（对于n>0）-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于m>=1，a（m）是唯一的正整数值t，对于该正整数值，b（0）=0且b（1）=1的递归b（n）=b（n-1）+t*b（n-2）的Binet-de-Moivre公式具有平方根。证明（根据建议沃尔夫迪特·朗（2014年3月26日）：如果4t+1=（2m+1）^2，即t=a（m），m>=1，则出现在特征方程的零点r1和r2中的sqrt（1+4t）是正整数t的（正）整数。因此，特征根是整数：r1=m+1和r2=-m。
设m>1为整数。如果b（n）=b（n-1）+a（m）*b（n-2），n>=2，b（0）=0，b（1）=1，那么当n接近无穷大时，lim b（n+1）/b（n）=m+1。（结束）
囊性纤维变性。A130534型对于与彩色森林的关系，旗杆上旗帜的布置，以及完整图（这里简称为K_2）的顶点（彩色多项式）的着色-汤姆·科普兰2014年4月5日
整数n的集合，其中n+sqrt（n+squart（n+sqrt）（n+sqlt（n+…）。。。是一个整数-莱斯利·科勒2014年4月11日
a（n-1）是最大的数字k，使得（n*k）/（n+k）是整数-德里克·奥尔2014年5月22日
将domino和singleton放置在长度为n-2的条带上的方法的数量-拉尔夫·斯蒂芬2014年6月9日
对于n>1，n值a（1）到a（n）的调和平均值为n+1。累加调和平均数为整数的递增正整数的最小无限序列-伊恩·达夫2015年2月1日
a（n）是在[n+2]X[n+2]棋盘上，一种颜色的皇后可以共存而不攻击对手颜色的皇后的最大数量。唯一的王后可以放置在棋盘周边的任何位置-鲍勃·塞尔科2015年2月7日
当a（0）=1时，a（n-1）是序列中最小的正数，使得和{i=1..n}1/a（i-1）的分母等于n-德里克·奥尔2015年6月17日
这个序列的正成员是所谓的1-幸福夫妇产品的适当子序列A007969号参见W.Lang链接，等式（4），Y_0=1，末尾有一个表格-沃尔夫迪特·朗2015年9月19日
对于n>0，a（n）是区间[0，1]中x的上边界为y=x^（n-1），下边界为y=x^n的面积的倒数。对所有这些面积求和直观地演示了下面的公式，即求和{n>=1}1/a（n）=1-里克·L·谢泼德2015年10月26日
看起来，除了a（0）=0之外，这是一组正整数n，因此x*floor（x）=n没有解。（例如，要得到3，取x=-3/2。）-梅尔文·佩拉尔塔2016年4月14日
如果两个独立的实随机变量x和y按照相同的指数分布进行分布：pdf（x）=lambda*exp（-lambda*x），lambda>0，则n-1<=x/y<n的概率由1/a（n）给出-安德烈斯·西卡廷2016年12月3日
a（n）等于n对不同的连续奇数之间所有可能的差异之和（参见示例）-米奎尔·塞尔达，2016年12月4日
a（n+1）是平面上多项式系数高达n阶的向量场空间的维数-马丁·利希特，2016年12月4日
此外，（n+3）-三角形蜂窝状锐角骑士图中的3个圈数-埃里克·韦斯特因2017年7月27日
a（n+1）是偏序集上的行运动顺序，通过将唯一的最小（或最大）元素与至少两个n个元素链的不相交并邻接而获得-尼克·迈尔斯，2018年6月1日
对于n>0，1/a（n）=n/（n+1）-（n-1）/n。
例如，1/6=2/3-1/2；1/12 = 3/4 - 2/3.
由此推论：
服用1/2粒。
第二天，服用1/6粒。1/2+1/6=2/3，所以你的日平均值是1/3。
第二天，服用1/12粒。2/3+1/12=3/4，所以你的日平均值是1/4。
依此类推。（结束）
对于一个长方形数m>=6，存在一个欧几里德除法m=d*q+r，其中q<r<d按此顺序以公共整数比b进行几何级数。对于b>=2和q>=1，欧几里得除法为m=qb*（qb+1）=qb^2*q+qb，其中（q，qb，qb^2）是几何级数。
具有不同比率和商的一些示例：
6 | 4 30 | 25 42 | 18
----- ----- -----
2 | 1 , 5 | 1 , 6 | 2 ,
以及：
42 | 12 420 | 100
----- -----
6 | 3 , 20 | 4 .
一些长方形数也满足欧几里德除法m=d*q+r，其中q<r<d按此顺序进行几何级数，但具有共同的非整数比b>1（参见A335064型). （结束）
a（n-2）是所有n个顶点树的最大不规则度。极值图是恒星。（图形的不规则性是图形所有边上度数差的总和。）-艾伦·比克2023年5月29日
a（n-1）是具有n个顶点的所有树的最大萨格勒布指数。极值图是恒星。（图的萨格勒布指数是图的所有顶点上度数的平方和。）-艾伦·比克2024年4月11日
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参考文献
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链接
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配方奶粉
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总尺寸：2*x/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中。
a（n）=a（n-1）+2*n，a（0）=0。
和{n>=1}a（n）=n*（n+1）*（n+2）/3（比较。A007290号，部分总和）。
和{n>=1}1/a（n）=1。（参考蒂德曼）
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=log（4）-1=A016627号-1[乔利方程（235）]。
1=1/2+和{n>=1}1/[2*a（n）]=1/2+1/4+1/12+1/24+1/40+1/60+。。。部分和：1/2、3/4、5/6、7/8、9/10、11/12、13/14-加里·亚当森2003年6月16日
a（n）*a（n+1）=a（n*（n+2））；例如，a（3）*a（4）=12*20=240=a（3*5）-查理·马里恩2003年12月29日
和{k=1..n}1/a（k）=n/（n+1）-罗伯特·威尔逊v2005年2月4日
对数2=和{n>=0}1/a（2n+1）=1/2+1/12+1/30+1/56+1/90+…=(1 - 1/2) + (1/3 - 1/4) + (1/5 - 1/6) + (1/7 - 1/8) + ... = 和{n>=0}（-1）^n/（n+1）=A002162号-加里·亚当森2003年6月22日
（2，6，12，20，30，…）=（2，4，2）的二项式变换-加里·亚当森2007年11月28日
a（n-1）=楼层（n^5/（n^3+n^2+1））-加里·德特利夫斯2010年2月11日
对于n>0，a（n）=1/（积分{x=0..Pi/2}2*（sin（x））^（2*n-1）*（cos（x），^3）-弗朗西斯科·达迪2011年8月2日
求和{n>=1}1/（a（n））^（2s）=求和{t=1..2*s}二项式（4*s-t-1，2*s-1）*（（1+（-1）^t）*zeta（t）-1）。参见Arxiv:1301.6293-R.J.马塔尔2013年2月3日
当n>0时，a（n）^2+a（n+1）^2=2*a（n+1^2）-伊万·伊纳基耶夫2013年4月8日
a（n）=楼层（n^2*e^（1/n））和a（n-1）=楼层-理查德·福伯格2013年6月22日
[0,2,2,0,0,0，…]的二项式变换-阿洛伊斯·海因茨2015年3月10日
对于n>0，a（n）=1/（积分_{x=0..1}（x^（n-1）-x^n）dx）-里克·L·谢泼德2015年10月26日
对于n>0，a（n）=Lim_{m->infinity}（1/m）*1/（Sum_{i，m*n..m*（n+1）}1/i^2），误差约为1/m-理查德·福伯格2016年7月27日
Dirichlet g.f.：zeta（s-2）+zeta（s-1）。
和{n>=0}a（n）/n！=3*经验（1）。（结束）
a（n）*a（n+2k-1）+（n+k）^2=（（2n+1）*k+n^2）^2。
a（n）*a（n+2k）+k^2=（（2n+1）*k+a（n））^2。（结束）
产品{n>=1}（1+1/a（n））=cosh（sqrt（3）*Pi/2）/Pi-阿米拉姆·埃尔达尔，2021年1月20日
2003年12月29日公式A（n）*A（n+1）=A（n*（n+2））的推广如下。a（n）*a（n+k）=a（n*（n+k+1））+（k-1）*n*（n+k+1）-查理·马里恩2023年1月2日
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例子
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a（3）=12，因为2（3）+2=8有4个分区，正好有两部分：（7,1），（6,2），（5,3），（4,4）。将每个分区中各部分的正差异相加，得到：6+4+2+0=12-韦斯利·伊万·赫特2013年6月2日
G.f.=2*x+6*x^2+12*x^3+20*x^4+30*x^5+42*x^6+56*x^7+。。。
a（1）=2，因为45-43=2
a（2）=6，因为47-45=2，47-43=4，那么2+4=6
a（3）=12，因为49-47=2，49-45=4，49-43=6，然后2+4+6=12-米奎尔·塞尔达，2016年12月4日
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MAPLE公司
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n*（n+1）；
结束进程：
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数学
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表[n（n+1），{n，0，50}](*罗伯特·威尔逊v2004年6月19日*）
长方形Q[n_]：=整数Q@Sqrt[4 n+1]；选择[范围[0，2600]，长方形Q](*罗伯特·威尔逊v2011年9月29日*）
2累计[范围[0，50]](*哈维·P·戴尔2011年11月11日*）
线性递归[{3，-3，1}，{2，6，12}，｛0，20}](*埃里克·韦斯特因2017年7月27日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=n*（n+1）}；
（PARI）concat（0，Vec（2*x/（1-x）^3+O（x^100））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月26日
（PARI）是（n）=我的（m=平方（n））；m*（m+1）==n\\查尔斯·格里特豪斯四世2018年11月1日
（哈斯克尔）
a002378 n=n*（n+1）
a002378_list=zipWith（*）[0..][1..]
（岩浆）[0..100]]中的[n*（n+1）:n//韦斯利·伊万·赫特2015年10月26日
（标量）（2到100乘2）.scanLeft（0）（_+_）//阿隆索·德尔·阿特2019年9月12日
（Python）
定义a（n）：返回n*（n+1）
打印（[a（n）代表范围（51）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2022年1月13日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A035106型,A087811号,A119462年,A127235号,A049598美元,A124080型,A033996号,A028896号,A046092号,A000217号,A005563号,A046092号,A001082号,A059300型,A059297号,A059298号,A166373号,A002943号（二等分），A002939号（二等分），A078358号（补语）。
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关键词
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非n,容易的,核心,美好的
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作者
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