搜索： a002117-编号：a002117
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A000578号
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| 立方体：a（n）=n^3。
（原名M4499 N1905）
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1002
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0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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a（n）是接下来n个奇数的和；即，将奇数分组，使第n组包含如下n个元素：（1），（3，5），（7，9，11），（13，15，17，19），（21，23，25，27，29）。。。；然后每组总和=n^3=a（n）。每组的中位数=n^2=平均值。由于前n个奇数的和是n^2，这又证明了第n个部分和=（n（n+1）/2）^2-阿玛纳斯·穆尔西2002年9月14日
此多面体的Schlaefli符号：{4,3}。
画一个正六边形。在六边形的每一侧构造点，以便这些点将每一侧划分为大小相等的线段（即，每一侧上的中点或每一侧上放置的两个点将每侧划分为大小相同的三个线段，依此类推），对六边形的每一侧进行相同的构造，以便每一侧以相同的方式等分。用与多边形至少一侧平行的线将所有这些点相互连接。结果是六边形的三角形平铺，并创建了许多较小的规则六边形。该等式给出了找到的正六边形的总数，其中n=绘制的点数+1。例如，如果在每一侧绘制1个点，则n=1+1=2和a（n）=2^3=8，因此总共有8个正六边形。如果在每一侧画2个点，则n=2+1=3和a（n）=3^3=27，因此总共有27个正六边形Noah Priluck（npriluck（AT）gmail.com），2007年5月2日
丢番图方程的解：（X/Y）^2-X*Y=0的形式为：（n^3，n），其中n>=1。丢番图方程的解：（m^2）*（X/Y）^2k-XY=0的形式为：（m*n^（2k+1），m*n~（2k-1）），其中m>=1，k>=1和n>=1。丢番图方程的解：（m^2）*（X/Y）^（2k+1）-XY=0的形式为：（m*n^（k+1），m*n*k），其中m>=1，k>=1和n>=1-穆罕默德·布哈米达2007年10月4日
除前两项外，序列对应于C_{2n}的维纳指数，即2n个顶点上的圈（n>1）-K.V.Iyer公司2009年3月16日
椭圆曲线y^2=x^3-n的扭子群t的阶为t=2的数n-阿图尔·贾辛斯基2010年6月30日
Pisano周期长度mod k的序列是1，2，3，4，5，6，7，8，3，10，11，12，13，14，15，16，17，6，19，20。。。对于k>=1，显然是乘法的，并且是从A000027号每九个学期除以三。的立方变量A186646号. -R.J.马塔尔2011年3月10日
单边有n个原子的bcc（体心立方）菱形六面体中的原子数为n^3（T.P.Martin，原子壳层，等式（8））-布里吉特·斯特帕诺夫2011年7月2日
顶点位于（0，0），（t（n-1），t（n）），和（t（n，t（n-1））的三角形面积的两倍，其中t=A000217号是三角形的数字-J.M.贝戈2013年6月25日
对于n>2，a（n）=顶点位于点（二项式（n，3）、二项式式（n+2,3））、二项式（n+1,3）、二项式（n+1,3-J.M.贝戈2014年6月14日
螺旋结S（4，k，（1,1，-1））的行列式。a（k）=det（S（4，k，（1,1，-1））-瑞恩·斯蒂斯2014年12月14日
Senkereh平板电脑BM 92698显示了这个序列中最古老的一个例子，它以楔形文字显示了前32个术语-查尔斯·格里特豪斯四世2015年1月21日
我们从整数1、2、3…构造一个数字三角形。。。2*n-1如下。第一列包含所有整数1、2、3。。。2*n-1。后面的每一列与前一列相同，但没有第一项和最后一项。最后一列只包含n。三角形中所有数字的和是n^3。
以下是n=4的示例，其中1+2*2+3*3+4*4+3*5+2*6+7=64=a（4）：
1
2 2
3 3 3
4 4 4 4
5 5 5
6 6
7
（结束）
对于n>0，a（n）是n+11到n个部分（避开第2部分和第3部分）的组合数-米兰Janjic2016年1月7日
使用最多n种颜色的立方体的不等面着色数，每种颜色至少出现两次-大卫·纳辛2017年2月22日
考虑A={A，b，c}是一个有三个不同成员的集合。A的子集数是8，包括{A，b，c}和空集。这8个子集中的每个子集的数量为27。如果这样的迭代次数是n，那么子集的总数是a（n-1）-格雷戈里·西蒙2018年7月27日
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参考文献
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R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，雷丁，马萨诸塞州，1990年，第255页；第二。编辑，第269页。Worpitzky的身份（6.37）。
T.Aaron Gulliver，“整数立方体的序列”，《国际数学杂志》，4（2003），第5期，439-445。请参见http://www.m-hikari.com/z2003.html获取有关此日志的信息。[我扩展了参考，使其更容易找到-N.J.A.斯隆，2019年2月18日]
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
D.Wells，《你是数学家》，第238-241页，企鹅出版社1995年。
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链接
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N.Brothers、S.Evans、L.Taalman、L.Van Wyk、D.Witchzak和C.Yarnall，螺旋结密苏里州数学杂志。科学。，22 (2010).
R.K.盖伊，强大的小数定律阿默尔。数学。《95月刊》（1988），第8期，697-712。[带注释的扫描副本]
T.P.Martin，原子壳，物理。报告，273（1996），199-241，等式（8）。
小埃德·佩格。，序列图片《数学游戏》专栏，2003年12月8日。
小埃德·佩格。，序列图片，数学游戏专栏，2003年12月8日[缓存副本，经许可（仅pdf）]
肯尼思·罗斯，正方形和立方的第一个数字，数学。Mag.85（2012）36-42。doi:10.4169/math.mag.85.136。
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配方奶粉
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通用格式：x*（1+4*x+x^2）/（1-x）^4-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=lcm（n，（n-1）^2）-（n-1）^2。例如：lcm（1，（1-1）^2）-（1-1）^2=0，lcm（2，（2-1）^2-Mats Granvik公司，2007年9月24日
开始（1，8，27，64，125，…），=[1，7，12，6，0，0，…]的二项式变换-加里·亚当森2007年11月21日
a（n）=二项式（n+2,3）+4*二项式。【立方体的Worpitzky恒等式。参见例如，Graham等人，等式（6.37）-沃尔夫迪特·朗2019年7月17日]
a（n）=n+6*二项（n+1,3）=二项（n，1）+6*二项式（n+1，3）-罗恩·诺特2019年6月10日
a（n）＝3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）+6-蚂蚁王2013年4月29日
a（k）=det（S（4，k，（1,1，-1）））=k*b（k）^2，其中b（1）=1，b（2）=2，b（k-瑞安·斯蒂斯2014年12月14日
a（n）=4*a（n-1）-6*a（n-2）+4*a（n3）-a（n-4）-乔恩·塔瓦萨尼2016年2月21日
a（n）=n+和{j=0..n-1}和{k=1..2}二项式（3，k）*j^（3-k）-帕特里克·麦克纳布2016年3月28日
a（n）=n*二项式（n+1，2）+2*二项法（n+1、3）+二项式-托尼·福斯特三世2017年11月14日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=3*zeta（3）/4(A197070型). （结束）
产品{n>=1}（1+1/a（n））=cosh（sqrt（3）*Pi/2）/Pi。
产品{n>=2}（1-1/a（n））=cosh（sqrt（3）*Pi/2）/（3*Pi）。（结束）
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例子
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对于k=3，b（3）=2b（2）-b（1）=4-1=3，因此det（S（4,3，（1,1，-1））=3*3^2=27。
对于n=3，a（3）=3+（3*0^2+3*0+3*1^2+3*1*1+3*2^2+3*2）=27-帕特里克·麦克纳布2016年3月28日
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MAPLE公司
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isA000578:=进程（r）
局部p；
如果r=0或r=1，则
真；
其他的
对于p in ifactors（r）[2]do
如果op（2，p）mod 3＜＞0，则
返回false；
结束条件：；
结束do:
真；
结束条件：；
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数学
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系数列表[级数[x（1+4x+x^2）/（1-x）^4，{x，0，45}]，x](*文森佐·利班迪2014年7月5日*）
累加[表[3n^2+3n+1，{n，0，20}]]（*或*）线性递归[{4，-6，4，-1}，{1，8，27，64}，20](*哈维·P·戴尔2018年8月18日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a000578=（^3）
a000578_list=0:1:8:zipWith（+）
（映射（+6）a000578_list）
（map（*3）$tail$zipWith（-）（tail a000578_list）a000578-list）
（岩浆）I:=[0,1,8,27]；[n le 4选择I[n]else 4*自我（n-1）-6*自我（n-2）+4*自我（n-3）-自我（n-4）：[1..45]]中的n//文森佐·利班迪2014年7月5日
（Python）
对于范围内的_（10**2）：
对于范围（3）中的i：
m[i+1]+=m[i]#柴华武2015年12月15日
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交叉参考
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（1/12）*t*（n^3-n）+n，对于t=2,4,6。。。给予A004006号,A006527号,A006003号,A005900元,A004068号,A000578号,A004126号,A000447号,A004188号,A004466号,A004467号,A007588号,A062025型,A063521号,A063522号,A063523号.
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的,多重
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作者
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状态
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经核准的
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A000035号
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| 第二阶段：重复[0，1]；a（n）=n模块2；n的奇偶性。
（原名M0001）
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+10
685
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0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0
(列表;常数;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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n的最低有效位，lsb（n）。
也是1/99的十进制扩展。
设A是Hessenberg n X n矩阵，定义为：A[1，j]=j mod 2，A[i，i]：=1，A[i，i-1]=-1，否则A[i、j]=0。然后，对于n>=1，a（n）=（-1）^n*charpoly（a，1）-米兰Janjic2010年1月24日
该序列是约化剩余系统mod 2或mod 4或mod 8或mod 16的主要Dirichlet特征。。。
相关的Dirichlet L-函数例如L（2，chi）=Sum_{n>=1}a（n）/n^2==A111003号,
或L（3，chi）=Sum_{n>=1}a（n）/n^3=1.05179979…=7*A002117号/8,
或L（4，chi）=Sum_{n>=1}a（n）/n^4=1.014678=A092425号/96.（结束）
a（n）=（4/n），其中（k/n）是克罗内克符号。查看Eric Weisstein链接-沃尔夫迪特·朗2013年5月28日
地球类别的放射序列。即取全局范畴，取相应的多项式余弦，将其载波多项式作为生成函数，取相应序列-大卫·斯皮瓦克2020年9月25日
对于n>0，a（n）是n递增和n递减奇数因子乘积的交替和。例如，a（4）=1*7-3*5+5*3-7*1和a（5）=1*9-3*7+5*5-7*3+9*1-查理·马里恩2022年3月24日
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Y.Puri和T.Ward，周期轨道的算法和增长，J.整数序列。，第4卷（2001年），第01.2.1号。
A.K.Whitford，比奈公式推广《斐波纳契季刊》，第15卷，第1期，1979年，第21、24、29页
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配方奶粉
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a（n）=（1-（-1）^n）/2。
a（n）＝n mod 2。
a（n）=1-a（n-1）。
G.f.:x/（1-x^2）。例如：sinh（x）-保罗·巴里2003年3月11日
Dirichlet g.f.：（1-1/2^s）*zeta（s）-R.J.马塔尔2011年3月4日
a（n）=楼层（n-1）/2）-楼层（n-2）/2）-米凯尔·奥尔顿2015年2月26日
Dirichlet g.f.：L（chi（2），s），其中chi（1）是Dirichle的主特征模2-拉尔夫·斯蒂芬2015年3月27日
长度为2的序列[0，1]的Euler变换和逆Moebius变换-迈克尔·索莫斯2024年2月20日
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例子
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G.f.=x+x^3+x^5+x^7+x^9+x^11+x^13+x^15+-迈克尔·索莫斯，2024年2月20日
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MAPLE公司
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[seq（i mod 2，i=0..100）]；
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数学
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PadLeft[{}，110，{0，1}](*哈维·P·戴尔2011年9月25日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=n%2；
（PARI）a（n）=方向（p=1100，如果（p==2，1，1/（1-X）））[n]/*拉尔夫·斯蒂芬2015年3月27日*/
（哈斯克尔）
（哈斯克尔）
（Python）
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A013661号
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| Pi^2/6=zeta（2）=Sum_{m>=1}1/m^2的十进制展开式。 |
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+10
358
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1, 6, 4, 4, 9, 3, 4, 0, 6, 6, 8, 4, 8, 2, 2, 6, 4, 3, 6, 4, 7, 2, 4, 1, 5, 1, 6, 6, 6, 4, 6, 0, 2, 5, 1, 8, 9, 2, 1, 8, 9, 4, 9, 9, 0, 1, 2, 0, 6, 7, 9, 8, 4, 3, 7, 7, 3, 5, 5, 5, 8, 2, 2, 9, 3, 7, 0, 0, 0, 7, 4, 7, 0, 4, 0, 3, 2, 0, 0, 8, 7, 3, 8, 3, 3, 6, 2, 8, 9, 0, 0, 6, 1, 9, 7, 5, 8, 7, 0
(列表;常数;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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“1736年，他[Leonard Euler，1707-1783]发现了无穷级数的极限，总和1/n^2。他用三角函数做了一些相当巧妙的数学运算，证明了级数的总和正好是Pi^2/6。怎么会这样。。。这表明了数学最令人震惊的特征之一——看似无关的思想之间的相互联系。“-克劳森[见哈迪和赖特，定理332和333-N.J.A.斯隆2017年1月20日]
此外，积分_{x>=0}x/（exp（x）-1）dx。【阿布拉莫维茨·斯特根（Abramowitz-Stegun），23.2.7，s=2，p.807】
Pi^2/6也是一个圆的周长，其直径等于椭球体与外切长方体的体积比。Pi^2/6也是一个圆的周长，其直径等于球体的表面积与外切立方体的比值-奥马尔·波尔2011年10月7日
内接在体积为Pi的立方体中的球体的体积。更一般地说，Pi^x/6是一个椭球体的体积，它被刻在体积Pi^（x-1）的长方体中-奥马尔·波尔2016年2月17日
内接在表面积Pi立方体中的球体的表面积。更一般地说，Pi^x/6是一个球体的表面积，内接在表面积Pi^（x-1）的立方体中-奥马尔·波尔2016年2月19日
zeta（2）+1是整数的加权平均数，n>2，使用zeta（n）-1作为每个n的权重。我们有：和{n>=2}（zeta（n>-1）=1和和{n>=2}n*（zeta-理查德·福伯格2016年7月14日
zeta（2）是sigma（n）/n的期望值-查理·内德2018年10月22日
Graham证明了有理数x可以表示为不同平方的倒数的有限和，当且仅当x在[0，Pi^2/6-1）U[1，Pi^2/6）中。其他结果见第4节，基本原理见定理5-查尔斯·格里特豪斯四世，2020年8月4日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第811页。
F.Aubonne、D.Guinin和B.Joppin，《数学原理》，分析2，预备课，普里米尔自行车大学，1990年，练习908，第82和91-92页。
卡尔文·C·克劳森（Calvin C.Clawson），《数学奥秘》，《数字的美丽与魔力》（The Beauty and Magic of Number），珀尔修斯出版社，1996年，第97页。
W.Dunham，Euler：《我们所有人的主人》，美国数学协会，华盛顿特区，1999年，第22页。
哈代和赖特，《数字理论导论》。参见定理332和333。
A.A.Markoff，《梅莫尔-苏拉变换》，梅姆。德拉卡德。Imp.科学。圣佩特斯堡，第三十七届，1890年。
G.F.Simmons，《微积分宝石》，第B.15、B.24节，第270-271、323-325页，麦格劳·希尔出版社，1992年。
阿诺德·沃尔菲斯（Arnold Walfisz），《新扎伦托里的韦尔谢指数汇总》（Weylsche Exponential summen in der neueren Zahlenthorie），德国维森沙芬大学出版社，柏林，1963年，第99页，第1期。
A.Weil，《数论：一种贯穿历史的方法》；《从汉谟拉比到勒让德》（from Hammurapi to Legendre），伯赫用户，波士顿，1984年；见第261页。
大卫·威尔斯，《企鹅奇趣数字词典》，修订版，企鹅图书，英国伦敦，1997年，第23页。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。第55辑，第十次印刷，1972年[备选扫描件]。
David Benko和John Molokach，巴塞尔问题是一系列问题的重新安排，《大学数学期刊》，第44卷，第3期（2013年5月），第171-176页。
利昂哈德·尤勒，关于倒数的和，arXiv:math/056415[math.HO]，2005-2008年。
R.L.Graham，关于单位分数的有限和《伦敦数学学会学报》，第3-14页（1964年），第193-207页。doi:10.1112/plms/s3-14.193
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配方奶粉
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对于s>=2（包括复数），zeta（s）=Product_{n>=1}素数（n）^s/（素数（n）^s-1）-弗雷德·丹尼尔·克莱恩2014年4月10日
zeta（2）=总和{n>=1}（（楼层（sqrt（n））-楼层（squart（n-1））/n）-米凯尔·奥尔顿2015年1月10日
上述公式也可以写成zeta（2）=dilog（x）+dilog-彼得·卢什尼2015年10月16日
zeta（2）=产品{n>=1}（144*n^4）/（144*n ^4-40*n ^2+1）-弗雷德·丹尼尔·克莱恩2016年10月29日
等于（8/3）*（1/2）^4=（8/3）*伽马（3/2）^4-加里·亚当森2021年8月17日
等于（（m+1）/m）*Integral_{x=0..1}log（Sum_{k=0..m}x^k）/x dx，m>0（Aubonne参考）-伯纳德·肖特，2022年2月11日
等于1+Sum_{n>=2}和{i>=n+1}（zeta（i）-1）-理查德·福伯格，2023年6月4日
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例子
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1.6449340668482264364724151666460251892189499012067984377355582293700074704032...
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MAPLE公司
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#计算精确到n位小数的近似值（小偏差
#可能是最后一个数字）。回到A.A.Markoff 1890年的观点。
齐塔2：=proc（n）局部q，s，w，v，k；q:=0；s：=0；w：=1；v：=4；
对于k从2乘2到7*n/2 do
w：=w*v/k；
q：=q+v；
v：=v+8；
s：=s+1/（w*q）；
od；12秒；evalf[n]（%）结束：
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数学
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真数字[N[Pi^2/6100][[1]
真数字[Zeta[2]，10，120][[1](*哈维·P·戴尔2021年1月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）默认值（realprecision，200）；图^2/6
（PARI）默认值（realprecision，200）；双对数（1）
（PARI）默认值（realprecision，200）；泽塔（2）
（PARI）A013661号（n） ={localprec（n+2）；Pi^2/.6\10^n%10}\\由更正和改进M.F.哈斯勒2021年4月20日
（PARI）默认值（realprecision，20080）；x=Pi^2/6；对于（n=120000，d=楼层（x）；x=（x-d）*10；写入（“b013661.txt”，n，“”，d）\\哈里·史密斯2009年4月29日
（Maxima）fpprec:100$ev（bfloat（zeta（2）））$bbloat（%）/*马丁·埃特尔2012年10月21日*/
（岩浆）pi:=pi（RealField（110））；反向（Intseq（底线（10^105*pi^2/6））//文森佐·利班迪2015年10月13日
（Python）#计算时使用一些保护数字。
#BBP公式（3/16）P（2，64，6，（16，-24，-8，-6，1，0））。
从十进制导入decimal as dec，getcontext
定义BBPzeta2（n:int）->dec:
getcontext（）.prec=n
s=下降（0）；f=下降（1）；g=下降（64）
对于范围内的k（int（n*0.5536546824812272）+1）：
6xk=下降（6*k）
s+=f*（十进制（16）/（六进制+1）**2-十进制（24）/（六进制+2）**2
-十进制（8）/（六进制+3）**2-十进制（6）/（六进制+4）**2
+12月（1）/（六k+5）**2）
f/=克
返回（s*dec（3））/dec（16）
印刷品（BBPzeta2（2000））#彼得·卢什尼2023年11月1日
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交叉参考
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作者
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经核准的
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A006752号
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| 加泰罗尼亚常数1-1/9+1/25-1/49+1/81-。。。
（原名M4593）
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+10
231
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9, 1, 5, 9, 6, 5, 5, 9, 4, 1, 7, 7, 2, 1, 9, 0, 1, 5, 0, 5, 4, 6, 0, 3, 5, 1, 4, 9, 3, 2, 3, 8, 4, 1, 1, 0, 7, 7, 4, 1, 4, 9, 3, 7, 4, 2, 8, 1, 6, 7, 2, 1, 3, 4, 2, 6, 6, 4, 9, 8, 1, 1, 9, 6, 2, 1, 7, 6, 3, 0, 1, 9, 7, 7, 6, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 4, 7, 9, 3, 5, 6, 5, 1, 2, 9, 2, 6, 1, 1, 5, 1, 0, 6, 2, 4, 8, 5, 7, 4
(列表;常数;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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通常用G表示。
第k个附加项是2*3**（2+k-2）*2^k*（2^k-1）*Bern（k）/（2*k！*（J^（k+2-1）））。Bern（k）是一个Bernoulli数，J是4n+1形式的一个大数。参见Spanier和Oldham中的方程式3:3:7-哈里·史密斯2009年5月7日
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参考文献
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Miklos Bona，编辑，《枚举组合数学手册》，CRC出版社，2015年，第57、554页。
史蒂文·芬奇，《数学常数》，《数学及其应用百科全书》，第94卷，剑桥大学出版社，第53-59页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
Jerome Spanier和Keith B.Oldham，《函数地图集》，1987年，方程式3:3:7。
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链接
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Milton Abramowitz和Irene A.Stegun，编辑，加泰罗尼亚常数《数学函数手册》，1972年12月，第807页，第23.2.21节，n=2。
David H.Bailey、Jonathan M.Borwein、Andrew Mattingly和Glenn Wightwick，Pi^2和加泰罗尼亚常数以前不可及数字的计算，通知AMS，60（2013年第7号），844-854。
萨斯·查万（Sarth Chavan）和克里斯托夫·维格纳特（Christophe Vignat），加泰罗尼亚常数的三重积分表示，arXiv:2105.11771[math.NT]，2021。
David Naccache和Ofer Yifrach-Stav，关于加泰罗尼亚常数连分式，arXiv:2210.15669[cs.SC]，2022年。
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配方奶粉
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G=积分{x=0..1}反正切（x）/x dx。
G=积分{x=0..1}3*反正切（x*（1-x）/（2-x））/x dx.-发布到数论列表詹姆斯·麦克劳林，2007年9月27日
G=（ζ（2,1/4）-ζ（2,3/4））/16-格里·马滕斯2011年5月27日[使用Hurwitz zeta函数zeta。]
G=（1/2）*Sum_{n>=0}（-1）^n*（（3*n+2）*8^n）/（（2*n+1）^3*C（2*n，n）^3）（来自利马2012参考）。
G=（-1/64）*Sum_{n>=1}（-1）^n*（2^（8*n）*（40*n^2-24*n+3））/（n^3*（2*n-1）*C（2*n，n）*C（4*n，2*n）^2）（来自Lupas 2000参考）。
G=-积分_{x=0..1}（log x）/（1+x^2）dx=Integral_{x>=1}（对数x）/-克拉克·金伯利2016年11月4日
G=（Zeta（2，1/4）-Pi^2）/8=（Psi（1，1/4）-Pi^2）/8，带有Hurwitz Zeta函数和三角函数Psi（1,z）。有关名称中给定序列的部分和，请参见1949年7月/A294971型. -沃尔夫迪特·朗2017年11月15日
等于Im（Li_{2}（i））-彼得·卢什尼2019年10月4日
等于-积分{x=0..Pi/4}对数（tan（x））dx-阿米拉姆·埃尔达尔2020年6月29日
等于（1/2）*Integral_{x=0..1}K（x）dx=-1/2+Integral__{x=0..1}E（x）d\x，其中K（K）和E（K）分别是作为椭圆模K的函数的第一类和第二类完全椭圆积分-格列布·科洛斯科夫2021年6月25日
G=1/2+4*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）*n/（4*n^2-1）^2=-13/18+-1）^2*（4*n^2-9）^2x（4*n ^2-25）^2）。
G=3/2-16*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）*n/（4*n^2-1）^3=401/6-（2^13）*（（4*n^2-1）^3*（4*n ^2-9）^3x（4*n ^2-25）^3）。（结束）
等于β（2），其中β是狄利克雷β函数。
等于乘积{p素数>=3}（1-（-1）^（（p-1）/2）/p^2）^。（结束）
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例子
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0.91596559417721901505460351493238411077414937428167213426649811962176301977...
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MAPLE公司
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数学
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nmax=1000；第一个[RealDigits[Catalan，10，nmax]](*斯图亚特·克莱里2008年12月17日*）
积分[ArcTan[x]/x，{x，0，1}](*N.J.A.斯隆2013年5月3日*）
N[Im[PolyLog[2，I]]，100](*彼得·卢什尼，2019年10月4日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）｛数字=20000；默认值（真精度，数字+80）；s=1.0；n=5*数字；j=4*n+1；si=-1.0；对于（i=3，j-2，s+=si/i^2；si=-si；i++；）；s+=0.5/j^2；ttk=4.0；d=4.0*j^3；xk=2.0；xkp=xk；对于（k=21000000，term=（ttk-1）*ttk*xkp；xk++；xkp*=xk；如果（k>2，term*=xk；xk++；xkp*=xk；）；term*=bernreal（k）/d；sn=s+term；if（sn==s，break）；s=sn；ttk*=4.0；d*=（k+1）*（k+2）*j^2；k++；）；x=10*s；表示（n=0，数字，d=楼层（x）；x=（x-d）*10；写（“b006752.txt”，n，“”，d）；}/*贝塔系数（2）=1-1/3^2+1/5^2-…-1/（J-2）^2+1/（2*J^2）+2*Bern（0）/（2*J^3）-2*3*4*Bern（2）/J^5+，
（PARI）默认值（realprecision，1000+2）；/*1000个术语*/
s=总和（n=0，（-1）^n/（2*n+1）^2）；
v=Vec（Str（s））；/*==["0", ".", "9", "1", "5", "9", "6", ...*/
向量（v-2，n，eval（v[n+2]））
（岩浆）R:=RealField（100）；加泰罗尼亚语（R）//G.C.格鲁贝尔2018年8月21日
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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拉里·里夫斯的更多术语（larryr（AT）acm.org），2002年5月28日
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状态
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经核准的
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A002162
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| 自然对数2的十进制展开式。
（原名M4074 N1689）
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+10
213
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6, 9, 3, 1, 4, 7, 1, 8, 0, 5, 5, 9, 9, 4, 5, 3, 0, 9, 4, 1, 7, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 4, 5, 8, 1, 7, 6, 5, 6, 8, 0, 7, 5, 5, 0, 0, 1, 3, 4, 3, 6, 0, 2, 5, 5, 2, 5, 4, 1, 2, 0, 6, 8, 0, 0, 0, 9, 4, 9, 3, 3, 9, 3, 6, 2, 1, 9, 6, 9, 6, 9, 4, 7, 1, 5, 6, 0, 5, 8, 6, 3, 3, 2, 6, 9, 9, 6, 4, 1, 8, 6, 8, 7
(列表;常数;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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牛顿计算了这个序列的前16项。
以y=tan x，y=cot x，y=0为界的面积-克拉克·金伯利2020年6月26日
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参考文献
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G.Boros和V.H.Moll，《不可抗拒的积分：积分评估中的符号学、分析和实验》，剑桥大学出版社，2004年。
S.R.Finch，《数学常数》，剑桥，2003年，第1.3.3和6.2节。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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J.M.Borwein、P.B.Borween和K.Dilcher，Pi，Euler数和渐近展开阿默尔。数学。月刊，96（1989），681-687。
M.Kontsevich和D.Zagier，时期第4-5页。
S.Ramanujan，问题260J.Ind.数学。《社会学杂志》，第三章，第43页。
阿尔伯特·斯塔德勒，问题3567《Crux Mathematicorum》，第36卷（2010年10月），第396页；奥利弗·基佩尔，解决方案《Crux Mathematicorum》，第37卷（2011年10月），第400-401页。
D.W.Sweeney，关于欧拉常数的计算，数学。压缩机。，17 (1963), 170-178.
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配方奶粉
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log（2）=Sum{k>=1}1/（k*2^k）=Sum{j>=1}（-1）^（j+1）/j。
log（2）=积分{t=0..1}dt/（1+t）。
log（2）=（2/3）*（1+Sum{k>=1}2/（（4*k）^3-4*k））（拉马努扬）。
log（2）=4*Sum_{k>=0}（3-2*sqrt（2））^（2*k+1）/（2*k+1）（Y.Luke）-R.J.马塔尔2006年7月13日
对数（2）=1-（1/2）*Sum{k>=1}1/（k*（2*k+1））-杰姆·奥利弗·拉丰，2009年1月6日，2009年1月8日
log（2）=4*Sum_{k>=0}1/（（4*k+1）*（4*k+2）*（4*k+3））-杰姆·奥利弗·拉丰2009年1月8日
log（2）=（1/4）*（3-和{n>=1}1/（n*（n+1）*（2*n+1））））。
对数（2）=（230166911/9240-和{k>=1}（1/2）^k*（11/k+10/（k+1）+9/（k+2）+8/（k+3）+7/（k+4）+6/（k+5）-6/（k+7）-7/（k+8）-8/（k/9）-9/（k+10）-10/（k+1 1）））/35917。（结束）
根据x=1/2时的log（1-x-x^2），log（2）=（1/2）*Sum_{k>=1}L（k）/（k*2^k），其中L（n）是第n个Lucas数(A000032号). -杰姆·奥利弗·拉丰2009年10月24日
log（2）=（和{n>=1}1/（n^2*（n+1）^2x（2*n+1））+11）/16-亚历山大·波沃洛茨基2011年1月13日
对数（2）=（和{n>=1}（2*n+1）/（和{k=1..n}k^2）^2）+396）/576-亚历山大·波沃洛茨基2011年1月14日
对数（2）=105*（和{n>=1}1/（2*n*（2*n+1）*（2*n+3）*（2*n+5）x（2*n+7））-319/44100）。
对数（2）=319/420-（3/2）*Sum_{n>=1}1/（6*n^2+39*n+63））。（结束）
log（2）=（1/3）*Sum_{n>=0}（5*n+4）/（（3*n+1）*（3*n+2）*C（3*n，n））*（1/2）^n=（1/12）*Sum _{n>=0}。
log（2）=（3/16）*Sum_{n>=0}（14*n+11）/（4*n+1）*（4*n+3）*C（4*n，2*n））*（1/4）^n=（1/12）*Sum _{n>=0}（34*n+25）/（（4*nC+1）*。
请参见A142979号对于从墨卡托级数log（2）=Sum_｛n>=1｝（-1）^（n+1）/n获得的log（2）的级数加速度公式，请参见A142992号与根晶格C_n相关的对数（2）的级数。（结束）
log（2）=lim{n->oo}和{k=2^n..2^（n+1）-1}1/k-理查德·福伯格2014年8月16日
log（2）=（2/3）*和{k>=0}1/（（2*k+1）*9^k）。
定义一对整数序列a（n）=9^n*（2*n+1）/不！B（n）=A（n）*Sum_{k=0..n}1/（（2*k+1）*9^k）。两者都满足相同的二阶递推方程u（n）=（40*n+16）*u（n-1）-36*（2*n-1）^2*u（n-2）。根据这一观察结果，我们获得了连续分数扩展log（2）=（2/3）*（1+2/（54-36*3^2/（96-36*5^2/（136-…-36*（2*n-1）^2/（（40*n+16）-…））））。参见。A002391号,A073000型和A105531号用于类似的扩展。（结束）
log（2）=总和{n>=1}（Zeta（2*n）-1）/n-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年12月11日
渐进扩张：
对于N偶数，log（2）-Sum_{k=1..N/2}（-1）^（k-1）/k~（-1）（N/2）*（1/N-1/N^2+2/N^4-16/N^6+272/N^8-…），其中无符号系数[1，1，2，16，272，…]的序列是A000182号额外的初始项为1。参见Borwein等人，定理1（b）；
对于N奇数，Borwein等人的log（2）-Sum_{k=1..（N-1）/2}（-1）^（k-1）/k~（-1）（（N-1…]是A000364号.（结束）
log（2）=lim{n->oo}和{k=1..n}sin（1/（n+k））。请参见数学反射链接-米歇尔·马库斯2017年1月7日
等于和{k>=2}zeta（k）/2^k。
等于-和{k>=2}对数（1-1/k^2）。
等于积分{x=0..Pi/3}tan（x）dx。（结束）
log（2）=积分{x=0..Pi/2}（秒（x）-tan（x））dx-克拉克·金伯利2020年7月8日
log（2）=积分{x=0..1}（x-1）/log（x）dx（Boros和Moll，第97页）。
log（2）=（1/2）*积分{x=0..1}（x+2）*（x-1）^2/log（x）^2dx。
log（2）=（1/4）*积分{x=0..1}（x^2+3*x+4）*（x-1）^3/log（x）^3dx。（结束）
log（2）=2*arcsinh（sqrt（2）/4）=2*sqrt-彼得·巴拉，2022年1月14日
log（2）=Integral_{x=0..oo}（e^（-x）*（1-e^（-2x））*（1-e^（-4x））*（1-e^（-6x）））/（x*（1-e^（-14x）））dx（见Crux Mathematicorum链接）-伯纳德·肖特2022年7月11日
发件人彼得·巴拉，2023年10月22日：（开始）
对数（2）=23/32+2^3/16*Sum_{n>=1}（-1）^n*（n+1）/（n*（n+1）*（n+2））^2=707/1024-4^3/（16^2*2！^2）*Sum_{n>=1}（-1）^n*（n+2）/（n*（n+1）*（n+2）*（n+3）x（n+4））^2=42611/61440+6^3/（16^3*3！^2）*和{n>=1}（-1）^n*（n+3）/。
更一般地说，对于k>=0，log（2）=c（k）+（2*k）^3/（16^k*k！^2）*和{n>=1}（-1）^（n+k+1）*（n+k）/（n*（n+1）**（n+2*k））^2，其中c（k）是对数（2）的有理近似。c（k）的前几个值是[0，23/32，707/1024，42611/61440，38154331/5500240，76317139/110100480，26863086823/38755368960，…]。
设P（n，k）=n*（n+1）**（n+k）。
猜想：对于k>=0且r与r-1<=k偶数，级数和{n>=1}（-1）^n*（d/dn）^r（P（n，k））/（P（n，k）^2=A（r，k）*log（2）+B（r，k），其中A（r、k）和B（r、k）都是有理数。（结束）
对数（2）=5/8+（1/8）*Sum_{k>=1}（-1）^（k+1）*（2*k+1）^2/（k*（k+1
=257/384+（3！^5/2^9）*和{k>=1}（-1）^（k+1）*（2*k+1）x（2*k+3）^2*（2*k+5）/（k*（k+1
=267515/393216+（5！^5/2^19）*和{k>=1}
log（2）=3/4-1/128*Sum_{k>=0}（-1/16）^k*（10*k+12）*二项式（2*k+2，k+1）/（（k+1）*（2*k+3））。级数的项是O（1/（k^（3/2）*4^n））。（结束）
log（2）=eta（1）是一个周期，其中eta（x）是Dirichlet eta函数-安德烈亚·皮诺斯2024年3月19日
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例子
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0.693147180559945309417232121458176568075500134360255254120680009493393...
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数学
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RealDigits[Log[2]，10，120][[1](*哈维·P·戴尔2024年1月25日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）｛默认值（realprecision，20080）；x=10*log（2）；对于（n=0，20000，d=floor（x）；x=（x-d）*10；写入（“b002162.txt”，n，“”，d）；｝\\哈里·史密斯2009年4月21日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A005259号
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| Apery（Apéry）数：和{k=0..n}（二项式（n，k）*二项式式（n+k，k））^2。
（原名M4020）
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+10
126
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1、5、73、1445、33001、819005、21460825、584307365、16367912425、468690849005、13657436403073、403676083788125、12073365010564729、364713572395983725、11111 571997143198073、341034504521827105445、10534522198396293262825、327259338516161442321485
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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推测：对于每个n=1,2,3，。。。Apéry多项式An（x）=Sum{k=0..n}二项式（n，k）^2*binominal（n+k，k）*x^k在有理数域上是不可约的-孙志伟2013年3月21日
exp（Sum_{n>=1}a（n）*x^n/n）=1+5*x+49*x^2+685*x^3+11807*x^4+232771*x^5+。。。和exp（和{n>=1}a（n-1）*x^n/n）=1+3*x+27*x^2+390*x^3+7038*x^4+144550*x^5+。。。两者似乎都有整数系数。请参见A267220型. -彼得·巴拉2016年1月12日
有理函数R（x，y，z，w）的对角线=1/（1-（w*x*y*z+w*xy+w*z+x*y+x*z+y+z））；有理函数H（x，y，z，w）的对角线=1/（1-w*（1+x）*（1+y）*（1+z）*（x*y*z+y*z+y+z+1））-Gheorghe Coserea公司，2018年6月26日
以法国数学家罗杰·阿佩里（1916-1994）命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月10日
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参考文献
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朱利安·哈维尔（Julian Havil），《非理性》，普林斯顿大学出版社，普林斯顿和牛津，2012年，第137-153页。
Wolfram Koepf，超几何恒等式。第二章超几何求和：求和和和和与特殊函数恒等式的算法。德国布伦瑞克：Vieweg，第55、119和146页，1998年。
Maxim Kontsevich和Don Zagier，Periods，B.Engquist和W.Schmid的771-808页，编辑，《数学无限-2001年及以后》，第2卷。，斯普林格-Verlag，2001年。
Leonard Lipshitz和Alfred van der Poorten，“有理函数、对角线、自动机和算术”，《数论》，Richard A.Mollin主编，Walter de Gruyter，Berlin（1990），第339-358页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Jean-Paul Allouche，关于阿佩里数的一点评论，J.计算。申请。数学。，第83卷（1997年），第123-125页。
罗杰·阿佩里，不合理的zeta（2）和zeta（3）《阿里斯之旅》。德鲁米尼。1978年6月20日至24日在鲁米尼鲁米尼中心大学举行的国家科学研究中心国际学术讨论会（CNRS）。Astérisque，第61卷（1979年），第11-13页。
罗杰·阿佩里，特定实体算术《极端分析集团》，第9卷，第1期（1981-1982年），第16号实验，第2页。
Frits Beukers公司，阿佩里数的另一个同余《数论》，第25卷，第2期（1987年），第201-210页。
Frits Beukers公司，阿佩里关于泽塔的工作的后果（3），在“Zeta（3）irrationnel:les retombées”中，Rencontres Arithmétiques de Caen，1995年6月2日至3日[提到a（n）可被5次幂和11次幂整除]
William Y.C.Chen、Qing Hu Hou和Yan Ping Mu，双重求和的一种伸缩方法，J.公司。申请。数学。，第196卷，第2期（2006年），第553-566页，例4。
Stéphane Fischler，非理性泽塔之谷，arXiv:math/0303066[math.NT]，2003年。
Scott Garrabrant和Igor Pak，用不合理的瓷砖计数，arXiv:1407.8222[math.CO]，2014年。
莱昂纳德·利普希茨（Leonard Lipshitz）和阿尔弗雷德·范德普顿（Alfred J.van der Poorten），有理函数、对角线、自动机和算术，摘自：理查德·莫林（编辑），《数论》，《加拿大数论协会第一届会议论文集》，1988年4月17日至27日，阿尔伯塔省班夫中心，德格鲁特，2016年，第339-358页；备用链路;回运机器副本.
Eric Rowland和Reem Yassawi，有理函数对角线的自动同余《波尔多命名期刊》，第27卷，第1期（2015年），第245-288页；arXiv预印本，arXiv:1310.8635[math.NT]，2013-2014年。
埃里克·罗兰（Eric Rowland）、里姆·雅萨维（Reem Yassawi）和克里斯蒂安·克拉蒂海尔（Christian Kratethaler），模p^2的Apéry数的Lucas同余，arXiv:2005.04801[math.NT]，2020年。
沃尔克·斯特雷尔，递归和勒让德变换《联合王国的洛塔林根》，B29b（1992），22页。
孙志伟，Franel数的同余，arXiv预印本arXiv:1112.1034[math.NT]，2011。
阿尔弗雷德·范德普滕，欧拉错过的证据。。。，数学。Intelligencer，第1卷，第4期（1979年12月），第196-203页，等式（1.2）后的（b_n）和练习3。
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配方奶粉
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带递归的D-有限（n+1）^3*a（n+1）=（34*n^3+51*n^2+27*n+5）*a（n）-n^3*a（n-1），n>=1。
表示为超几何函数4F3的特殊值，用Maple表示法：a（n）=超几何（[n+1，n+1，-n，-n]，[1，1，1]，1），n=0，1-卡罗尔·彭森2002年7月24日
通用公式：（-1/2）*（3*x-3+（x^2-34*x+1）^（1/2））*（x+1）*（-2）*超几何（[1/3,2/3]，[1]，（-1/2-马克·范·霍伊2011年10月29日
设g（x，y）=4*cos（2*x）+8*sin（y）*cos（x）+5，设P（n，z）表示n次的勒让德多项式。然后，g.A.Edgar提出了Alexandru Lupas的一个猜想，即A（n）等于二重积分1/（4*Pi^2）*int{y=-Pi..Pi}int{x=-Pi..Pi}P（n，g（x，y））dx-dy。（添加于2015年1月7日：在数学溢出问题178790中肯定回答）-彼得·巴拉2012年3月4日；编辑人G.A.埃德加2016年12月10日
a（n）~（1+sqrt（2））^（4*n+2）/（2^（9/4）*Pi^（3/2）*n^（2/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年11月1日
a（n）=和{k=0..n}C（n，k）^2*C（n+k，k）-乔格·阿恩特2013年5月11日
0=（-x^2+34*x^3-x^4）*y'''+（-3*x+153*x^2-6*x^3）*y''+（-1+112*x-7*x^2）*y'+（5-x）*y，其中y是g.f-Gheorghe Coserea公司2016年7月14日
a（n）=和{0<=j，k<=n}（-1）^（n+j）*C（n，k）^2*C（n+k，k）|2*C。
a（n）=总和{0<=j，k<=n}C（n，k）*C（n+k，k）*C（k，j）^3（见Koepf，第55页）。
a（n）=和{0<=j，k<=n}C（n，k）^2*C（n、j）^2*C（3*n-j-k，2*n）（见Koepf，第119页）。
有理函数1/（（1-x-y）*（1-z-t）-x*y*z*t）的对角系数（Straub，2014）。（结束）
a（n）=[x^n]1/（1-x）*（图例_P（n，（1+x）/（1-x））^m，m=2时。当m=1时，我们得到阿佩里数A005258号. -彼得·巴拉2020年12月22日
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例子
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G.f.=1+5*x+73*x^2+1445*x^3+33001*x^4+819005*x^5+21460825*x^6+。。。
a（2）=（二项式（2,0）*二项式（2+0,0））^2+（二项法（2,1）*二项式（2+1,1））^2+-迈克尔·波特2016年7月14日
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MAPLE公司
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a:=proc（n）选项记忆；如果n=0，则1 elif n=1，然后5 else（n^（-3））*；fi；结束；
#备选方案：
a:=n->超深层（[-n，-n，1+n，1+n]，[1，1，1]，1）：
seq（简化（a（n）），n=0..17）#彼得·卢什尼2020年1月19日
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数学
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表[Sum[（二项式[n，k]二项式[n+k，k]）^2，{k，0，n}]，{n，0，30}](*哈维·P·戴尔2011年10月15日*）
a[n_]：=系列系数[SeriesCoefficient[Seriescoefficiency[SeriesCoefficient[1/（1-t（1+x）（1+y）（1++）（xyz+（y+1）（z+1））），{t，0，n}]，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2016年5月14日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=总和（k=0，n，（二项式（n，k）*二项式式（n+k，k））^2）\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年11月20日
（哈斯克尔）
a005259 n=a005259_列表！！n个
a005259_list=1:5:zipWithdiv（zipWith（-）
（尾部$zipWith（*）a006221_list a005259_list）
（zipWith（*）（尾部a000578_list）a005259_list
（GAP）列表（[0..20]，n->总和（[0..n]，k->二项式（n，k）^2*二项式#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年9月28日
（岩浆）[&+[二项式（n，k）^2*[0..n]]中的二项式//马里乌斯·A·伯蒂2020年1月20日
（Python）
m、 g=1，0
对于范围（n+1）中的k：
g+=米
m*=（（n+k+1）*（n-k））**2
m//=（k+1）**4
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交叉参考
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类Apéry-like数[或类Apáry-sequences，类Apery-like numbers，类Aperry-like sequences]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895号,A005258,A005259号,A005260号,A006077号,A036917号,A063007号,A081085美元,A093388号,A125143号（除了标志），A143003型,A143007号,A143413号,A143414号,A143415号,A143583号,A183204号,A214262型,A219692型,226535英镑,2016年2月22日,A227454号,A229111号（除了标志），A260667型,A260832型,A262177个,A264541号,264542元,A279619型,A290575型,A290576型（“类人猿”一词定义不明确。）
对于不划分序列项的素数A000172号,A005258号,A002893号,A081085号,A006077号,A093388号,A125143号,A229111号,A002895号,A290575型,A290576型,A005259号看见A260793型,219275元-A291284号和A133370型分别是。
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 0, 8, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 3, 7, 1, 1, 1, 3, 8, 1, 9, 1, 5, 1, 6, 0, 0, 3, 6, 9, 6, 5, 4, 1, 1, 6, 7, 9, 0, 2, 7, 7, 4, 7, 5, 0, 9, 5, 1, 9, 1, 8, 7, 2, 6, 9, 0, 7, 6, 8, 2, 9, 7, 6, 2, 1, 5, 4, 4, 4, 1, 2, 0, 6, 1, 6, 1, 8, 6, 9, 6, 8, 8, 4, 6, 5, 5, 6, 9, 0, 9, 6, 3, 5, 9, 4, 1, 6, 9, 9, 9, 1
(列表;常数;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第811页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第89页，练习。
理查德·盖伊（Richard K.Guy），《数论中未解决的问题》（Unsolved Problems in Number Theory），第3版，施普林格（Springer），2004年，F17节，齐塔函数系列，第391页。
L.D.Landau和E.M.Lifschitz，波段V，Statistische Physik，Akademie Verlag，1966年，第172和180-181页。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。第55辑，第十次印刷，1972年[备选扫描件]。
Leonhard Euler，关于倒数级数的和，arXiv:math/0506415[math.HO]，2005-2008。
卡斯滕·施奈德和瓦迪姆·祖迪林，zeta的案例研究（4），arXiv:2004.08158[math.NT]，2020年。
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配方奶粉
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zeta（4）=Pi^4/90-哈里·史密斯2009年4月29日
定义：zeta（4）：=Sum_{n>=1}1/n^4。
zeta（4）=4/17*Sum_{n>=1}（（1+1/2+…+1/n）/n）^2和
zeta（4）=16/45*Sum_{n>=1}（（1+1/3+…+1/（2*n-1））/n）^2（见Borwein和Borwein.）。
zeta（4）=256/90*Sum_{n>=1}n^2*（4*n^2+3）*（12*n^2+1）/（4*n ^2-1）^5。
系列加速度公式：
zeta（4）=36/17*和{n>=1}1/（n^4*二项式（2*n，n））（Comtet）
=36/17*Sum_{n>=1}P（n）/（（2*n*（2*n-1））^4*二项式（4*n，2*n））
=36/17*和{n>=1}Q（n）/（（3*n*（3*n-1）*（3*n-2））^4*二项式（6*n，3*n）），
其中P（n）=80*n^4-48*n^3+24*n^2-8*n+1和Q（n）=137781*n^8-275562*n^7+240570*n^6-122472*n^5+41877*n^4-10908*n^3+2232*n^2-288*n+16（参见Bala链接中的第8节）。（结束）
zeta（4）=总和{n>=1}（（楼层（sqrt（n））-楼层（squart（n-1））/n^2）-米凯尔·奥尔顿2015年1月18日
zeta（4）=乘积{k>=1}1/（1-1/素数（k）^4）-瓦茨拉夫·科特索维奇，2020年5月2日
ζ（4）=（1/3！）*Integral_{x=0..oo}x^3/（exp（x）-1）dx。见Abramowitz-Stegun，23.2.7，s=2，第807页，以及Landau-Lifschitz，Band V，第172页，等式（4），x=4。另请参见A231535型.
zeta（4）=（4/21）*积分{x=0..oo}x^3/（exp（x）+1）dx。见Abramowitz-Stegun，23.2.8，s=2，第807页，以及Landau-Lifschitz，Band V，第172页，等式（1），x=4。另请参见A337711飞机.（结束）
zeta（4）=（72/17）*Integral_{x=0..Pi/3}x*（log（2*sin（x/2）））^2。参见Richard K.Guy参考-伯纳德·肖特2022年7月20日
zeta（4）=1+（4/3）*Sum_{k>=1}（1-2*（-1）^k）/（k*（k+1）^4*（k+2））=35053/32400+48*和{k>=1}。
更一般地说，对于n>=0，zeta（4）=c（n）+（4/3）*（2*n+1）^2*Sum_{k>=1}（1-2*（-1）^k）/（（k+2*n+1）^3*Product_{i=0..4*n+2}（k+i）），其中{c（n）：n>=0}是zeta（4）的有理逼近序列，开始于[135053/324002061943067/1905120000，18594731931460103/171803893060000，25794615610329354444441/238326360453941760000，…]。（结束）
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例子
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1.082323233711138191516003696541167...
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MAPLE公司
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数学
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真数字[Zeta[4]，10，120][[1](*哈维·P·戴尔2012年12月18日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）默认值（realprecision，20080）；x=Pi^4/90；对于（n=120000，d=楼层（x）；x=（x-d）*10；写入（“b013662.txt”，n，“”，d）\\哈里·史密斯2009年4月29日
（Maxima）ev（zeta（4），数字）/*R.J.马塔尔，2012年2月27日*/
（Magma）SetDefaultRealField（RealFild（110））；五十： =黎曼泽塔（RiemannZeta）；评估（L，4）//G.C.格鲁贝尔，2019年5月30日
（鼠尾草）numerical_approx（zeta（4），数字=100）#G.C.格鲁贝尔，2019年5月30日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 0, 3, 6, 9, 2, 7, 7, 5, 5, 1, 4, 3, 3, 6, 9, 9, 2, 6, 3, 3, 1, 3, 6, 5, 4, 8, 6, 4, 5, 7, 0, 3, 4, 1, 6, 8, 0, 5, 7, 0, 8, 0, 9, 1, 9, 5, 0, 1, 9, 1, 2, 8, 1, 1, 9, 7, 4, 1, 9, 2, 6, 7, 7, 9, 0, 3, 8, 0, 3, 5, 8, 9, 7, 8, 6, 2, 8, 1, 4, 8, 4, 5, 6, 0, 0, 4, 3, 1, 0, 6, 5, 5, 7, 1, 3, 3, 3, 3
(列表;常数;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1、3
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评论
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在2011年5月广泛分发的一封电子邮件中，Wadim Zudilin反驳了Kim 2011年预印本的v1：“错误（不可修正）在第6页，等式（3.3）之后的一行。‘没有通用性损失’可以证明仅适用于有限的n_k集；由于n_k足够大（且n是固定的），epsilon的不等式是错误的。”在2013年5月的一封电子邮件中，祖迪林将其反驳扩展到了第二版，并得出结论认为，金的论点“意味着泽塔（2）、泽塔（3）、泽塔（4）和泽塔（5）中至少有一个是非理性的，这是微不足道的。”-乔纳森·桑多2013年5月6日
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参考文献
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Milton Abramowitz和Irene A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第811页。
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链接
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Milton Abramowitz和Irene A.Stegun，编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。第55辑，第十次印刷，1972年[备选扫描件]。
Michael J.Dancs和Tian Xiao He，zeta（2k+1）的欧拉型公式《数论杂志》，第118卷，第2期，2006年6月，第192-199页。
Yong-Cheol Kim，zeta（5）是非理性的，arXiv:1105.0730[math.CA]，2011年。【Jonathan Vos Post，2011年5月4日】。
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配方奶粉
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定义：zeta（5）=Sum_{n>=1}1/n^5。
zeta（5）=和{n>=1}(A010052号（n） /n^（5/2））=总和{n>=1}（（楼层（sqrt（n））-楼层（squart（n-1）））-米凯尔·奥尔顿2015年2月22日
ζ（5）=乘积_{k>=1}1/（1-1/素数（k）^5）-瓦茨拉夫·科特索维奇2020年4月30日
zeta（5）=（-1/30）*积分{x=0..1}对数（1-x^4）^5/x^5。
zeta（5）=（1/24）*积分{x=0.无穷}x^4/（exp（x）-1）。
zeta（5）=（2/45）*积分{x=0.无穷}x^4/（exp（x）+1）。
泽塔（5）=（1/（1488*泽塔（1/2）^5））*（1/2）-40*泽塔（1/2）^3*泽塔“”（1/2）*zeta“”（1/2）-20*泽塔。（完）。
发件人彼得·巴拉，2023年10月29日：（开始）
ζ（3）=（8/45）*Integral_{x>=1｝x^3*log（x）^3*（1+log（x））*log（1+1/x^x）dx=（2/45）*Integral_{x>=1｝x^4*log（x）^4*（1+log（x））/（1+x^x）dx。
zeta（5）=131/128+26*Sum_{n>=1}（n^2+2*n+40/39）/（n*（n+1）*（n+2））^5。
ζ（5）=5162893/4976640-1323520*和{n>=1}（n^2+4*n+56288/12925）/（n*（n+1）*（n+2）*。取序列的10项，得到zeta（5）的值，精确到小数点后20位。
猜想：对于k>=1，存在有理数A（k）、B（k）和c（k），使得zeta（5）=A（k*（n+2*k）^5。对于常数zeta（3）也可以作出类似的推测。（结束）
zeta（5）=（694/204813）*Pi^5-和{n>=1}（6280/3251）*（1/（n^5*（exp（4*Pi*n）-1））+和{n>=1}（296/3251）*n>=1}（37/6502）*（1/（n^5*（exp（20*Pi*n）-1）））-西蒙·普劳夫2024年1月6日
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例子
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1/1^5 + 1/2^5 + 1/3^5 + 1/4^5 + 1/5^5 + 1/6^5 + 1/7^5 + ... =
1 + 1/32 + 1/243 + 1/1024 + 1/3125 + 1/7776 + 1/16807 + ... = 1.036927755143369926331365486457...
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数学
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RealDigits公司[Zeta[5]，101100][[1]](*阿隆索·德尔·阿特，2012年1月13日*）
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黄体脂酮素
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6, 0, 7, 9, 2, 7, 1, 0, 1, 8, 5, 4, 0, 2, 6, 6, 2, 8, 6, 6, 3, 2, 7, 6, 7, 7, 9, 2, 5, 8, 3, 6, 5, 8, 3, 3, 4, 2, 6, 1, 5, 2, 6, 4, 8, 0, 3, 3, 4, 7, 9, 2, 9, 3, 0, 7, 3, 6, 5, 4, 1, 9, 1, 3, 6, 5, 0, 3, 8, 7, 2, 5, 7, 7, 3, 4, 1, 2, 6, 4, 7, 1, 4, 7, 2, 5, 5, 6, 4, 3, 5, 5, 3, 7, 3, 1, 0, 2, 5, 6, 8, 1, 7, 3, 3
(列表;常数;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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“6/Pi^2是两个随机选择的数字互素的概率，也是随机选择的整数“无平方”的概率。”[Hardy和Wright]-C.Pickover。
6/Pi^2也是一个圆的直径，其周长等于长方体与内接椭球体的体积比。6/Pi^2也是一个圆的直径，其周长等于立方体的表面积与内切球体的比值-奥马尔·波尔2011年10月8日
6/（Pi^2*n^2）是两个随机选择的正整数的最大公约数等于n，n>=1的概率-杰弗里·克雷策，2013年5月28日
等于lim_{n->infinity}（Sum_{k=1..n}phi（k）/k）/n，即phi（k）/k的极限均值，其中phi（k）是欧拉的总函数。使用维基百科链接中列出的Sum_{k=1..n}phi（k）/k公式进行证明很简单。k/phi（k）的极限平均值见A082695号. -斯坦尼斯拉夫·西科拉2014年11月14日
这是方形晶格上的随机点从原点可见的概率，即在该点和原点之间的线段上没有其他晶格点-阿米拉姆·埃尔达尔2020年7月8日
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参考文献
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哈代和赖特，《数字理论导论》。参见定理332和333。
C.Pickover，《数字的奇迹》，牛津大学出版社，纽约，2001年，第359页。
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链接
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P.Diaconis和P.Erdos，关于最大公约数的分布，摘自《赫尔曼·鲁宾的节日》，第56-61页，IMS演讲笔记专著。序列号。，45，Inst.数学。统计人员。，俄亥俄州比奇伍德，2004年
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配方奶粉
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6/Pi^2=Product_{k>=1}（1-1/素数（k）^2）=Sum_{k>=1}mu（k）/k^2-弗拉德塔·乔沃维奇，2001年5月18日
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例子
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.6079271018540266286632767792583658334261526480...
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MAPLE公司
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数学
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真数字[6/Pi^2，10，105][[1]
真数字[1/Zeta[2]，10，111][[1](*罗伯特·威尔逊v2017年1月20日*）
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黄体脂酮素
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（Harry J.Smith的VPcalc程序）：150万P x=6/Pi^2。
（PARI）默认值（realprecision，20080）；x=60/Pi^2；对于（n=0，20000，d=楼层（x）；x=（x-d）*10；写入（“b059956.txt”，n，“”，d）\\哈里·史密斯，2009年6月30日
（岩浆）R:=RealField（100）；6/（Pi（R））^2//G.C.格鲁贝尔，2018年3月9日
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经核准的
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A007434美元
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| Jordan函数J_2（n）（φ（n）的推广）。
（原名M2717）
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+10
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1, 3, 8, 12, 24, 24, 48, 48, 72, 72, 120, 96, 168, 144, 192, 192, 288, 216, 360, 288, 384, 360, 528, 384, 600, 504, 648, 576, 840, 576, 960, 768, 960, 864, 1152, 864, 1368, 1080, 1344, 1152, 1680, 1152, 1848, 1440, 1728, 1584, 2208, 1536
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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自行车组Z/mZ X Z/mZ中的点数，其顺序恰好为m。-乔治·J·谢弗（gschaeff（AT）andrew.cmu.edu），2006年3月14日
{（u+v*i）/n中不可约分数的个数：1<=u，v<=n}，i=sqrt（-1），其中一个分数（u+v*i）-n称为不可约当且仅当gcd（u，v，n）=1-莱因哈德·祖姆凯勒2005年8月20日
椭圆可除序列的分圆多项式模拟的第n个多项式的权重。也就是说，设b1=1，b2=3，b3=8，b4=12的权重，并设e1=b1，e2=b2*b1，e3=b3*b1、e4=b2*b4*b1和e5=（b2^4*b4-b3^3）*b1=b5*e1，依此类推，为椭圆可除序列。那么e2的重量=4，e3=9，e4=16，e5=25，其中en的重量通常是n^2，而bn的重量是a（n）-迈克尔·索莫斯2008年8月12日
J_2（n）除以J_{2k}（n）。J_2（n）给出了2元组（x1，x2）的数量，即1<=x1，x2<=n，gcd（x1、x2，n）=1-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2011年3月5日
设k是任意二次域，其中n的所有素因子在k中都是惰性的，O_k是相应的整数环，G（n）=（O_k/（nO_k））*是O_k模n中的整数乘法群，则a（n）是G（n）中的元素数。G（n）的指数为A306933型（n） ●●●●。
对于n>=5，a（n）可被24整除。（结束）
第106页的Del Centina文章提到Halphen的公式，用phi（n）T（n）表示-迈克尔·索莫斯2021年2月5日
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参考文献
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L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第199页，#3。
A.德尔·森蒂纳（A.Del Centina），《蓬塞莱特的观点：新发现的漫长故事》（Poncelet’s porism:A long story of new discoverys），《我，历史》（I，Hist）。精确科学。（2016），v.70，p.106。
L.E.Dickson（1919年，代表1971年）。数字理论史I。切尔西。第147页。
P.J.McCarthy，《算术函数导论》，Universitext，Springer，New York，NY，USA，1986年。
G.Pólya和G.Szegõ，分析中的问题和定理I（施普林格1924年，1972年再版），第八部分，第一章，第6节，问题64。
M.Ram Murty（2001年）。解析数论中的问题。数学研究生课文。206.施普林格-弗拉格。第11页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Dorin Andrica和Mihai Piticari，关于Jordan算术函数的一些推广《数学和信息学理论与应用国际会议论文集-ICTAMI 2003》，Alba Iulia。
西奥·杜夫罗普洛斯（Theo Douvropoulos）、乔尔·布鲁斯特·刘易斯（Joel Brewster Lewis）和亚历杭德罗·莫拉莱斯（Alejandro H.Morales），反射群的Hurwitz数III：统一公式，arXiv:2308.04751[math.CO]，2023年，见第32页。
F.A.Lewis等人，问题4002阿默尔。数学。《月刊》，第49卷，第9期，1942年11月，第618-619页。
Nittiya Pabhapote和Vichian Laohakosol，广义欧拉图腾的组合方面《国际数学与数学科学杂志》，2010年第卷（2010年），文章ID 648165，15页。
拉兹洛托斯，多变量乘法函数综述，arXiv预印本arXiv:1310.7053[math.NT]，2013。
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配方奶粉
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正方形的莫比乌斯变换。
与a（p^e）相乘=p^（2e）-p^（2e-2）-弗拉德塔·乔沃维奇，2001年7月26日
a（n）=n^2*产品{p|n}（1-1/p^2）-汤姆·埃德加2015年1月7日
a（n）=和{d|n}φ（d）*phi（n/d）*n/d；求和{d|n}a（d）=n^2-莱因哈德·祖姆凯勒2005年8月20日
a（n）=和{k=1..n}gcd（k，n）^2*cos（2*Pi*k/n）-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2013年1月18日
a（1）+a（2）+…+a（n）~1/（3*zeta（3））*n^3+O（n^2）。兰伯特级数和{n>=1}a（n）*x^n/（1-x^n）=x*（1+x）/（1-x）^3-彼得·巴拉2013年12月23日
a（n）=Sum_{k=1..n}gcd（n，k）*phi（gcd（n，k）），其中phi（k）是欧拉总函数-丹尼尔·苏图，2018年6月15日
G.f.：总和{k>=1}亩（k）*x^k*（1+x^k）/（1-x^k）^3-伊利亚·古特科夫斯基2018年10月24日
求和{k>=1}1/a（k）=Product_{primes p}（1+p^2/（p^2-1）^2）=1.8107814761215629522431259448625180897250361794500723589001447178002894356-瓦茨拉夫·科特索维奇2020年9月19日
a（n）=和{k=1..n}（n/gcd（n，k））^2*mu（gcd（n，k））/phi（n/gcd（n、k））。
a（n）=和{k=1..n}gcd（n，k）^2*mu（n/gcd（n，k））/phi（n/gcd（n、k））。
a（n）=和{k=1..n}n*phi（gcd（n，k））/gcd（n，k）。
a（n）=和{k=1..n}φ（n*gcd（n，k））*mu（n/gcd（n，k））^2。
a（n）=和{k=1..n}φ（n^2/gcd（n，k））*mu（gcd（n，k）。（结束）
a（n）=和{k=1..n}φ（gcd（n，k）^2）=和}d除以n}phi（d^2）*phi（n/d）-彼得·巴拉2024年1月17日
a（n）=和{1<=i，j<=n，lcm（i，j）=n}φ（i）*phi（j）。见托特，第14页-彼得·巴拉2024年1月29日
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例子
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a（4）=12，因为4的除数是1，2，4，我们发现φ（1）*phi（4/1）*（4/1。
G.f.=x+3*x^2+8*x^3+12*x^4+24*x^5+24*x^6+48*x^7+48*x^8+72*x^9+。。。
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MAPLE公司
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J:=程序（n，k）局部i，p，t1，t2；t1:=n^k；对于从1到n的p，如果isprime（p）和n mod p=0，则t1:=t1*（1-p^（-k））；fi；od；t1；结束；#（k=2）
加（d^2*numtheory[mobius]（n/d），d=numtheori[divisors]（n））；
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数学
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jordanTotient[n_，k_：1]：=除数和[n，#^k*MoebiusMu[n/#]&]/；（n>0）&&IntegerQ[n]；表[jordanTotient[n，2]，{n，48}](*恩里克·佩雷斯·埃雷罗2010年9月14日*）
a[n_]：=如果[n<1，0，和[d^2 MoebiusMu[n/d]，{d，除数@n}]]；(*迈克尔·索莫斯2014年1月11日*）
a[n_]：=如果[n<2，Boole[n==1]，n^2（倍数@@（（1-1/#[1]]^2）&/@FactorInteger@n））]；(*迈克尔·索莫斯2014年1月11日*）
jordanTotient[n-Integer？正，r_:1]：=狄利克雷卷积[MoebiusMu[K]，K^r，K，n]；表[jordanTotient[n，2]，{n，48}](*简·曼加尔丹2016年6月3日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，sumdiv（n，d，d^2*moebius（n/d）））}/*迈克尔·索莫斯2004年3月20日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，direculer（p=2，n，（1-X）/（1-X*p^2））[n]）}/*迈克尔·索莫斯2014年1月11日*/
（PARI）seq（n）=dirmul（向量（n，k，k^2），向量（n、k，moebius（k）））；
（PARI）约旦（n，k）=我的（a=n^k）；对于div（n，i，如果（i素数（i），a*=（1-1/（i^k）））；一个\\罗德里克·麦克菲2017年5月5日
（哈斯克尔）
a007434 n=总和$zipWith3（\x y z->x*y*z）
tdivs（反向tdivs）（反向divs）
其中divs=a027750_row n；tdivs=映射a000010 divs
（Python）
从数学导入prod
来自症状输入因子
定义A007434号（n） ：return prod（p**（e-1<<1）*（p**2-1）for p，e in factorint（n）.items（））#柴华武2024年1月29日
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