话题
搜索

Riemann Zeta函数Zeta（2）

下载Mathematica笔记本下载沃尔夫拉姆笔记本

的值

zeta（2）=sum_（k=1）^infty1/（k^2）
(1)

可以使用多种不同的技术找到（Apostol 1983、Choe 1987、Giesy 1972、Holme 1970、Kimble 1987、Knopp和Schur 1918、Kortram1996、Matsuoka 1961、Papadimitriou 1973、Simmons 1992、Stark 1969、1970、Yaglom和Yaglom 1987）。

泽塔（2）因此是不定和的定和版本

H_n^（（2））=sum_（k=1）^（n）1/（k^2）
(2)
=zeta（2）-psi1（n+1），
(3)

哪里H_n^（（2））是广义的谐波数（其分子被称为沃尔斯滕霍姆数)和psi_n（z）是一个多囊膜功能.

通过分析找到这个值的问题有时被称为巴塞尔问题（德比郡，2004年，第63和370页）或巴斯勒问题（卡斯特拉诺斯，1988年）。它最初由彼得罗·蒙戈利于1644年提出（德比郡，2004年，第370页）。解决方案

zeta（2）=（pi^2）/6
(4)

欧拉于1735年（德比郡，2004年，第64页）或1736年（斯里瓦斯塔瓦，2000年）首次发现。

Yaglom和Yaglom（1987）、Holme（1970）和Papadimitriou（1973）都得出了结果，圆周率^2/6从德莫伊夫尔的身份或相关身份。

泽塔（2）由序列给出

zeta（2）=3sum_（k=1）^infty1/（k^2（2k；k））。
(5)

（克诺普1990年，第266-267页），可能为欧拉所知，阿佩里重新发现。

Bailey（2000）和Borwein and BaileyBBP型配方奶粉包括一个数字泽塔（2）,

泽塔（2）=（27）/4sum_（k=0）^（infty）1/（64^k）[（16）/（（6k+1）^2）-（24）/（6k+2）^2
(6)
=4/9总和_（k=0）^（infty）1/（729^k）[（243）/（12k+1）^2）-（405）/（（12k+2）^2 ^2）]。
(7)

泽塔（2）由双系列

zeta（2）=sum_（i=1）^inftysum_（j=1）|infty（i-1）！（j-1）！）/（（i+j）！）
(8)

（B.Cloitre，pers.comm.，2004年12月9日）。

一个推导泽塔（2）考虑到傅里叶系列属于f（x）=x^（2n）

f（x）=1/2a_0+总和_（m=1）^inftya_mcos（mx）+总和_，
(9)

其系数由

a_0（零）=（2pi^（2n））/（2n+1）
(10)
阿米=（2pi^（2n））/（2n+1）_1F_2（n+1/2；1/2，n+3/2；-1/4mpi^2）
(11)
b月=0,
(12)

哪里_1F_2（a；b，c；z）是一个广义超几何功能和(12)是真的，因为被积函数是古怪的.因此傅里叶级数明确给出通过

x^（2n）=（pi^（2 n））/（2n+1）+总和（m=1）^输入_矩阵（mx）。
(13)

如果n=1,然后

a_m=（4（-1）^m）/（m^2），
(14)

所以傅里叶级数是

x^2=（pi^2）/3+4sum_（m=1）^infty（（-1）^mcos（mx））/（m^2）。
(15)

出租x=π给予cos（mpi）=（-1）^m,所以

pi^2=（pi^2）/3+4sum_（m=1）^infty1/（m^2），
(16)

我们有

zeta（2）=sum_（m=1）^infty1/（m^2）=（pi^2）/6。
(17)

的较高值n个可以通过查找阿米并按照上述步骤进行。

价值观泽塔（2）也可以使用根线性系数定理考虑等式sinz=0并在一个麦克劳林系列

sinz=z-（z^3）/（3！）+（z^5）/（5！）+=0
(18)
0=1-（z^2）/（3！）+（z^4）/（5！）+。。。
(19)
=1-w/（3！）+（w^2）/（5！）+。。。，
(20)

哪里w=z^2.但是零辛兹发生于z=π,2π,3π, ..., 或w=π^2,（2pi）^2, .... 因此，根的和等于系数领导任期的

1/（π^2）+1/（（2pi）^2）+1/（（3pi）*2）+=1/(3!)=1/6,
(21)

可以重新排列以产生

zeta（2）=（pi^2）/6。
(22)

另一个推导（Simmons 1992）评估泽塔（2）使用Beukers（1979）积分

我=int_0^1int_0^1（dxdy）/（1-xy）
(23)
=int_0^1int_0^1（1+xy+x^2y^2+…）dxdy
(24)
=整数_0^1[（x+1/2x^2y+1/3x^3y^2+…）]_0^1dy
(25)
=int_0^1（1+1/2y+1/3y^2+…）天
(26)
=[年+（年^2）/（2^2）+（年3）/（3^2）＋…]_0^1
(27)
=1+1/（2^2）+1/（3^2）+。。。
(28)
=泽塔（2）。
(29)

要计算积分，请将坐标系旋转π/4所以

x个=ucosheta-vsintheta=1/2sqrt（2）（u-v）
(30)
年=usintheta+vcostheta=1/2sqrt（2）（u+v）
(31)

和

xy公司=1/2（u^2-v^2）
(32)
1-xy型=1/2（2-u^2+v^2）。
(33)

然后

我=4int_0^（sqrt（2）/2）int_0^u（dudv）/（2-u^2+v^2）+4int_（sqrt/2）
(34)
=I_1+I_2。
(35)

现在计算积分I_1级和I_2级.

I_1级=4整数0^（平方码（2）/2）[整数0^u（dv）/（2-u^2+v^2）]du
(36)
=4int_0^（平方（2）/2）[1/（平方（2-u^2））tan^（-1）（v/（平方
(37)
=4int_0^（sqrt（2）/2）1/（squart（2-u^2））tan^（-1）（u/（sqert（2-u*2）））du。
(38)

进行替换

u个=sqrt（2）sintheta
(39)
平方米（2-u^2）=sqrt（2）服装
(40)
杜=sqrt（2）costhetadtheta，
(41)

所以

tan^（-1）（u/（sqrt（2-u^2）））=tan^
(42)

和

I_1=4int_0^（pi/6）1/（sqrt（2）costheta）thetasqrt。
(43)

I_2级也可以进行分析计算，

I_2级=4int_（sqrt（2）/2）^（sqrt（2））[int_0^（sqlt（2）-u）（dv）/（2-u^2+v^2）]du
(44)
=4int_（sqrt（2）/2）^（sqert（2））[1/（sqrt（2-u^2）））tan^（-1）（v/
(45)
=4int_（sqrt（2）/2）^（sqert（2））1/（squart（2-u^2））tan^（-1）（（sqrt（2）-u）/（sqort（2-u*2）））du。
(46)

但是

tan^（-1）（（平方（2）-u）/（平方（2-u^2）））=tan（-1）（（sqrt（2）-sqrt（二）sintheta）/（sqert（二）cosheta））
（47）
=tan（（1-sintheta）/（costheta））=tan^（-1）
(48)
=tan^（-1）[（sin（1/2pi-theta））/（1+cos（1/2 pi-theda））]
(49)
=tan^（-1）{（2sin[1/2（1/2pi-theta）]cos[1/2（1/2 pi-theta]））/（2cos^2[1/2（2/2pi-therta）]）}
(50)
=1/2（1/2像素），
(51)

所以

I_2级=4int_（pi/6）^（pi/2）1/（sqrt（2）成本θ）（1/4pi-1/2θ）sqrt（2）成本θ
(52)
=4[1/4pitheta-1/4theta^2]_（pi/6）^（pi/2）
(53)
=4[（（π^2）/8-（pi^2）/（16））-（pi ^2。
(54)

结合I_1（_I）和I_2级给予

zeta（2）=I_1+I_2=（pi^2）/（18）+（pi^ 2）/9=（pi ^2）/6。
(55)

另请参见

阿佩里常数,哈吉科斯塔斯的公式,黎曼-泽塔函数

与Wolfram一起探索| Alpha

新型网络搜索引擎

更多需要尝试的事情：

工具书类

阿波斯托·T·M·。“Euler错过的证据：评估泽塔（2）简单的方法。"数学。英特尔。 5, 59-60, 1983.贝利，D.H.博士。《BBP型数学常数公式简编》2000年11月28日。网址：http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/bbp-formulas.pdf.比克斯，F.“关于泽塔（2）和泽塔（3）”牛市。伦敦数学。Soc公司。 11, 268-272,1979Borwein，J.和Bailey，D。数学实验：21世纪的合理推理。马萨诸塞州韦尔斯利：AK Peters，第89-90页，2003年。Castellanos，D.“无处不在圆周率。第一部分“数学。美格。 61, 67-98, 1988.B.R.Choe。“的初步证明sum_（n=1）^（infty）1/（n^2）=（pi^2）/6”阿默尔。数学。每月 94,662-663, 1987.J.德比郡。Prime（主要）迷恋：伯恩哈德·里曼和数学中最伟大的未解决问题。纽约：企鹅出版社，2004年。吉斯，D.P。“还是另一个证据那个sum1/k^2=pi^2/6”数学。美格。 45, 148-149, 1972.哈维尔，J。伽马射线：探索欧拉常数。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社，第37-40页，2003F.霍尔姆sum_（k=1）^（infty）1/（k^2）”Nordisk Mat.Tidskr公司。 18,91-92和1201970。金布尔，G.“欧拉的其他证明”数学。美格。 60, 282, 1987.Knopp，K。理论无穷级数的应用。纽约：多佛，1990年。克诺普，K.和Schur，I.“Herleitug der Gleichungsum_（n=1）^（infty）1/（n^2）=（pi^2）/6”Archiv der Mathematik公司u.Physik公司 27, 174-176, 1918.科特伦，R.A。“简单的证据sum_（k=1）^（infty）1/（k^2）=（pi^2）/6和sinx=xproduct_（k=1）^（infty）（1-（x^2）/（k^2pi^2））”数学。美格。 69, 122-125, 1996.松冈，Y.“安小学公式的证明sum_（k=1）^（infty）1/（k^2）=（pi^2）/6”阿默尔。数学。每月 68,486-487, 1961.Papadimitriou，I.“公式的简单证明sum_（k=1）^（infty）1/（k^2）=（pi^2）/6”阿默尔。数学。每月 80, 424-425, 1973.G.F.西蒙斯。“欧拉公式sum_1^（infty）1/n^2=pi^2/6通过双重整合。“第二章。24英寸微积分珍宝：短暂的生活和难忘的数学。纽约：McGraw-Hill，1992年。间谍，O.《Quadratzahlen reziproken Die Summe der》Festschrift zum 60 Geburtstag公司冯·安德烈亚斯·斯佩塞博士（编辑：L.V.Ahlfors等。). 苏黎世：Füssli，第66-86页，1945年。斯利瓦斯塔瓦，H.M。“一些Riemann-Zeta函数求值和表示的简单算法在正整数参数处。"数学杂志。分析。申请。 246, 331-351,2000斯塔克，E.L。“公式的另一个证明sum_（k=1）^（infty）1/（k^2）=（pi^2）/6”阿默尔。数学。每月 76,552-553, 1969.斯塔克，E.L。"1-1/4+1/9-1/(16)+...=（π^2）/（12）”实践数学。 12,1-3, 1970.威尔斯，D。这个企鹅奇趣数字词典。英国米德尔塞克斯：企鹅图书，第40页，1986年。亚格罗姆，A.M。和Yaglom，I.M。中的问题145具有挑战性的数学问题与初等解法，第2卷。纽约：多佛，1987

参考Wolfram | Alpha

Riemann Zeta函数Zeta（2）

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Riemann Zeta函数Zeta（2）。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunctionZeta2.html

主题分类