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| A000172号 |
| Franel数a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）^3。
（原名M1971 N0781）
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134
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1, 2, 10, 56, 346, 2252, 15184, 104960, 739162, 5280932, 38165260, 278415920, 2046924400, 15148345760, 112738423360, 843126957056, 6332299624282, 47737325577620, 361077477684436, 2739270870994736, 20836827035351596, 158883473753259752, 1214171997616258240
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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Cusick给出了用floor（r+3）/2）项导出r阶Franel数（这是三阶Franel数列）的递归的一般方法。
V.Strehl的恒等式表明a（n）=Sum_{k=0..n}C（n，k）^2*二项式（2*k，n）。孙志伟推测，对于每一个n=2,3，。。。多项式fn（x）=Sum{k=0..n}二项式（n，k）^2*binominal（2*k，n）*x^（n-k）在有理数域上是不可约的-孙志伟2013年3月21日
猜想：当n是素数时，a（n）==2（mod n^3）-加里·德特利夫斯，2013年3月22日
a（p）==2（mod p^3）对于任何素数p，因为p|C（p，k）对于所有k=1，。。。，第1页-孙志伟2013年8月14日
a（n）是3人博弈中完全混合纳什均衡的最大数量，每个人有n+1个纯期权-雷蒙达斯·维杜纳斯2014年1月22日
这是一个Apéry-like序列-见交叉引用-雨果·普费尔特纳2017年8月6日
以瑞士数学家Jéróme Franel（1859-1939）命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月15日
似乎a（n）等于（1+x+y-z）^n*（1+x-y+z）^n（1-x+y+z。A036917号. -彼得·巴拉2021年9月20日
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参考文献
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Matthijs Coster，《超过6个家族的van krommen》【关于6个家族曲线】，硕士论文（未出版），1983年8月26日。
Jéróme Franel，《关于Laisant的问题》，数学中介，1894年第1卷，第45-47页
H.W.Gould，《组合恒等式》，摩根城，1972年，（X.14），第56页。
Murray Klamkin主编，《应用数学问题：SIAM评论选集》，SIAM，1990年；见第148-149页。
约翰·里尔丹，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第193页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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P.Barrucand，问题75-4，组合恒等式SIAM Rev.，17（1975），168。[问题陈述的注释扫描副本]
T.W.库西克，二项式系数幂和的递推《组合理论》，A辑，第52卷，第1期（1989年），第77-83页。
托米斯拉夫·多什利奇和达科·维尔扬，一些组合序列的对数行为，离散数学。，第308卷，第11期（2008年），第2182-2212页。MR2404544（2009j:05019）-自N.J.A.斯隆2012年5月1日
Jeff D.Farmer和Steven C.Leth，二项式系数幂的渐近公式，数学。天然气。，第89卷，第516号（2005年），第385-391页。
达里杰·格林伯格，现代代数导论（UMN 2019年春季数学4281笔记），明尼苏达大学（2019）。
瓦茨拉夫·科特索维奇，非攻击性棋子2013年第6版，第282页。
Marci A.Perlstadt，二项式系数幂和的一些递推《数论杂志》，弗吉尼亚。27（1987），第304-309页。
胡安·普拉，问题H-505，《高级问题与解决方案》，《斐波那契季刊》，第33卷，第5期（1995年），第473页；求和公式！Paul S.Bruckman，《H-505问题的解决方案》，同上，第35卷，第1期（1997年），第93-95页。
沃尔克·斯特雷尔，递归和勒让德变换《联合王国的洛塔林根》，B29b（1992），22页。
孙志伟，Franel数的同余，arXiv预印本arXiv:1112.1034[math.NT]，2011。
孙志伟，涉及算术序列的猜想，arXiv:1208.2683v9[math.CO]2013；《数论：香格里拉的算术》（编辑：S.Kanemitsu、H.Li和J.Liu），Proc。第六届中日研讨会（2011年8月15日至17日，上海），世界科学。，新加坡，2013年，第244-258页。
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配方奶粉
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A002893号（n） =和{m=0..n}二项式（n，m）*a（m）[Barrucand]。
求和{k=0..n}C（n，k）^3=（-1）^n*积分{x=0..无穷}L_k（x）^3经验（-x）dx.-摘自Askey的书，第43页
带递归的D-有限（n+1）^2*a（n+1）=（7*n^2+7*n+2）*a（n）+8*n^2*a（n-1）[Franel]-费利克斯·戈德堡（felixg（AT）tx.technion.ac.il），2001年1月31日
a（n）~2*3^（-1/2）*Pi^-1*n^-1*2^（3*n）乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2002年6月21日
O.g.f.：A（x）=和{n>=0}（3*n）/不^3*x^（2*n）/（1-2*x）^（3*n+1）-保罗·D·汉纳2010年10月30日
G.f.：浅层（[1/3，2/3]，[1]，27 x^2/（1-2x）^3）/（1-2x）-迈克尔·索莫斯2010年12月17日
G.f.：求和{n>=0}a（n）*x^n/n^3=[Sum_{n>=0}x^n/n！^3]^2-保罗·D·汉纳2011年1月19日
通用公式：A（x）=1/（1-2*x）*（1+6*（x^2）/（G（0）-6*x^2，
其中G（k）=3*（x^2）*（3*k+1）*（3*k+2）+（1-2*x）^3）*（（k+1）^2）-3*（x^2）*（1-2*x）^3）*（（k+1）^2）*（3*k+4）*（3*k+5）/G（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月3日
2011年孙志伟找到了公式Sum{k=0..n}C（2*k，n）*C（2*k，k）*C（2*（n-k），n-k）=（2^n）*a（n），并用Zeilberger算法进行了证明-孙志伟2013年3月20日
0=a（n）*（a（n+1）*（-2048*a（n+2）-3392*a（n+3）+768*a（n+3）+288*a（n+4））+a（n+2）*)Z中所有n的+a（n+3）*（-11*a（n/3）+4*a（n+4））-迈克尔·索莫斯2014年7月16日
对于r是非负整数，求和{k=r..n}C（k，r）^3*C（n，k）^3=C（n、r）^3*a（n-r），其中n＜0取a（n）=0-彼得·巴拉2016年7月27日
a（n）=（n！）^3*[x^n]超几何（[]，[1，1]，x）^2-彼得·卢什尼2017年5月31日
a（n）=和{k=0..层（n/2）}（n+k）/（k！^3*（n-2*k）！）*2^（n-2*k）。
G.f.y=A（x）满足：0=x*（x+1）*（8*x-1）*y''+（24*x^2+14*x-1
a（n）=[x^n]（1-x^2）^n*P（n，（1+x）/（1-x）），其中P（n、x）表示第n个勒让德多项式。见古尔德，第56页-彼得·巴拉2022年3月24日
a（n）=（2^n/（4*Pi^2））*Integral_{x，y=0..2*Pi}（1+cos（x）+cos-阿米拉姆·埃尔达尔2022年7月16日
g.f.T（x）遵循周期性ODE：
0=2*（1+4*x）*T（x）+（-1+14*x+24*x^2）*T'（x）+x*（1+x）*（-1+8*x）*T''（x）。
周期ODE可从以下Weierstrass数据中得出：
g2=（4/243）*（1-8*x+240*x^2-464*x^3+16*x^4）；
g3=-（8/19683）*（1-12*x-480*x ^2+3080*x ^3-12072*x ^4+4128*x ^5+
64*x^6）；
它决定了一个有四个奇异纤维的椭圆表面。（结束）
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例子
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外径：A（x）=1+2*x+10*x^2+56*x^3+346*x^4+225*x^5+。。。
外径：A（x）=1/（1-2*x）+3*x^2/（1-2*x）^4+（6！/2！^3）*x^4/（1-2%x）^7+（9！/3！^3-保罗·D·汉纳2010年10月30日
设g.f.A（x）=Sum_{n>=0}A（n）*x^n/n^3，那么
A（x）=1+2*x+10*x^2/2^3+56*x^3/3^3+346*x^4/4^3 + ... 哪里
A（x）=[1+x+x^2/2！^3+x^3/3！^3+x ^4/4！^3+…]^2-保罗·D·汉纳
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MAPLE公司
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加法（二项式（n，k）^3，k=0..n）；
结束过程：
A000172号_列表：=proc（len）系列（hypergeom（[]，[1,1]，x）^2，x，len）；
序列（（n！）^3*系数（%，x，n），n=0..长度-1）结束：
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数学
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表[Sum[二项式[n，k]^3，{k，0，n}]，{n，0，30}](*哈维·P·戴尔2011年8月24日*）
a[n_]：=级数系数[Hypergeometric2F1[1/3，2/3，1，27x^2/（1-2x）^3]/（1-2 x），{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年7月16日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=polcoeff（和（m=0，n，（3*m）！/m！^3*x^（2*m）/（1-2*x+x*O（x^n））^（3*m+1）），n）}\\保罗·D·汉纳2010年10月30日
（PARI）{a（n）=n！^3*polcoeff（总和（m=0，n，x^m/m！^3+x*O（x^n））^2，n）}\\保罗·D·汉纳2011年1月19日
（哈斯克尔）
a000172=总和。地图a000578。a007318_低
（鼠尾草）
x、 y，n=1，2，1
而True为真：
收益率x
n+=1
x、 y=y，（8*（n-1）^2*x+（7*n^2-7*n+2）*y）//n^2
[第（21）范围内i的下一个（a）]#彼得·卢什尼2013年10月12日
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交叉参考
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类Apéry-like数[或类Apáry-sequences，类Apery-like numbers，类Aperry-like sequences]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895号,A005258,A005259号,A005260号,A006077号,A036917号,A063007号,A081085号,A093388号,A125143号（除了标志），2013年1月13日,A143007号,A143413号,A143414号,A143415号,143583英镑,A183204号,A214262型,A219692型,A226535型,A227216号,A227454号,A229111号（除了标志），A260667型,A260832型,A262177型,A264541号,A264542号,1979年,A290575型,A290576型（术语“类Apery-like”没有明确定义。）
对于不划分序列项的素数A000172号,A005258号,A002893号,A081085美元,A006077号,A093388号,A125143号,A229111号,A002895号,209575英镑,A290576型,A005259号看见A260793型,A291275型-A291284号和A133370型分别是。
m=1..12的和{k=0..n}C（n，k）^m：A000079号,A000984号,A000172号,A005260号,A005261号,A069865号,A182421号,A182422号,A182446号,A182447号,第342294页,A342295型.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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