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提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
A000172号 Franel数a(n)=和{k=0..n}二项式(n,k)^3。
(原M1971 N0781)
118
1、2、10、56、346、2252、15184、104960、739162、5280932、38165260、278415920、2046924400、15148345760、112738423360、843126957056、633229924282、47732557620361077477684436、2739270870994736、2083682703535351596 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,2个

评论

Cusick给出了一种求r阶Franel数(这是三阶Franel数的序列)和floor((r+3)/2)项的递推的一般方法。

这是Beauville描述的曲线上一个特殊点的泰勒展开式-马蒂亚斯·科斯特2004年4月28日

a(1)=2是唯一的素数Franel数。半素Franel数包括:a(2)=10=2*5,a(4)=346=2*173,a(8)=739162=2*369581-乔纳森·沃斯·波斯特2005年5月22日

V.Strehl的一个恒等式表明a(n)=和{k=0..n}C(n,k)^2*二项式(2*k,n)。孙志伟猜想每n=2,3,。。。多项式fün(x)=和{k=0..n}二项式(n,k)^2*二项式(2*k,n)*x^(n-k)在有理数域上是不可约的-孙志伟2013年3月21日

猜想:a(n)==2(模n^3)如果n是素数-加里·德特勒夫斯2013年3月22日

a(p)==2(mod p^3),因为p | C(p,k)对于所有k=1,…,p-1-孙志伟2013年8月14日

a(n)是3个博弈者的完全混合纳什均衡的最大数目,每个人有n+1个纯期权-雷蒙达斯·维杜纳斯2014年1月22日

这是一个类似Apéry的序列-参见交叉引用-雨果·普福特纳2017年8月6日

有理函数对角线1/(1-x*y-y*z-x*z-2*x*y*z),1/(1-x-y-z+4*x*y*z),1/(1+y+z+x*y+y*z+x*z+2*x*y*z),1/(1+x+y+z+2*(x*y+y*z+x*z)+4*x*y*z)-格奥尔赫·科塞雷亚2018年7月4日

a(n)是((1+x)*(1+y)+(1+1/x)*(1+1/y))^n展开式中的常数项-真山真一2019年10月27日

有理函数1/((1-x)*(1-y)*(1-z)-x*y*z)的对角线-真山真一2020年7月11日

以瑞士数学家Jérôme Franel(1859-1939)命名-阿米拉姆埃尔达2021年6月15日

在(1+x+y-z)^n*(1+x-y+z)^n*(1-x+y+z)^n*中,a(n)等于(x*y*z)^n的系数。囊性纤维变性。A036917型. -彼得·巴拉2021年9月20日

参考文献

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链接

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P、 巴鲁坎德,问题75-4,一个组合恒等式,暹罗修订版,17(1975),168。[问题声明的带注释扫描副本]

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埃里克·韦斯坦的数学世界,弗兰尔数.

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公式

A002893号(n) =和{m=0..n}二项式(n,m)*a(m)[巴鲁坎德]。

和{k=0..n}C(n,k)^3=(-1)^n*积分{x=0..无穷}L_k(x)^3 exp(-x)dx.-从阿斯基的书中,p。43

(n+1)^2*a(n+1)=(7*n^2+7*n+2)*a(n)+8*n^2*a(n-1)[Franel]。-Felix Goldberg(felixg(AT)tx.technion.ac.il),2001年1月31日

a(n)~2*3^(-1/2)*Pi^-1*n^-1*2^(3*n)。-乔·基恩(jgk(AT)jgk.org),2002年6月21日

O、 g.f.:A(x)=和{n>=0}(3*n)/n^3*x^(2*n)/(1-2*x)^(3*n+1)-保罗·D·汉娜2010年10月30日

G、 f.:超几何([1/3,2/3],[1],27 x^2/(1-2x)^3)/(1-2x)-迈克尔·索莫斯2010年12月17日

G、 f.:和{n>=0}a(n)*x^n/n^3=[Sum{n>=0}x^n/n!^3]^2-保罗·D·汉娜2011年1月19日

G、 f.:A(x)=1/(1-2*x)*(1+6*(x^2)/(G(0)-6*x^2)),

其中G(k)=3*(x^2)*(3*k+1)*(3*k+2)+((1-2*x)^3)*((k+1)^2)-3*(x^2)*((1-2*x)^3)*((k+1)^2)*(3*k+4)*(3*k+5)/G(k+1);(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月3日

2011年孙志伟求出了和{k=0..n}C(2*k,n)*C(2*k,k)*C(2*(n-k),n-k)=2^n*a(n),并用Zeilberger算法进行了证明-孙志伟2013年3月20日

0=a(n+2)*(a(n+1)*(2048*a(n+2)-3392*a(n+3)+768*a(n+4)的+a(n+4))+a(n+2)*(1280*a(n+2)-2912*a(n+3)+744*a(n+4))+a(n+3)*(加上288*a(n+3)-96*a(n+4))))+a(n+1)*(a(n+1)*(a(n+1)*(704*a(n+2)-1232*a(n+3)+288*a(n+4)的(a(n+4))+a(a(n+4))+a(n+3+288*a(n+4)a(n+2)*(-560*a(n+2)-1372*a(n+3)+364*a(n+4))+a(n+3)*(+154*a(n+3)-53*a(n+4))+a(n+2)*(a(n+2)*(+24*a(n+2)+70*a(n+3)-20*a(n+4))+a(n+3)*(-11*a(n+3)+4*a(n+4)))表示Z中的所有n-迈克尔·索莫斯2014年7月16日

对于非负整数,求和{k=r..n}C(k,r)^3*C(n,k)^3=C(n,r)^3*a(n-r),其中n<0取a(n)=0-彼得·巴拉2016年7月27日

a(n)=(n!)^3*[x^n]超几何([],[1,1],x)^2-彼得·卢什尼2017年5月31日

格奥尔赫·科塞雷亚2018年7月4日:(开始)

a(n)=和{k=0..floor(n/2)}(n+k)/(k!^3*(n-2*k)!)*2^(n-2*k)。

G、 f.y=A(x)满足:0=x*(x+1)*(8*x-1)*y'+(24*x^2+14*x-1)*y'+2*(4*x+1)*y。

(结束)

例子

O、 g.f.:A(x)=1+2*x+10*x^2+56*x^3+346*x^4+2252*x^5+。。。

O、 g.f.:A(x)=1/(1-2*x)+3*x^2/(1-2*x)^4+(6!/2!^3)*x^4/(1-2*x)^7+(9!/3!^3)*x^6/(1-2*x)^10+(12!/4!^3)*x^8/(1-2*x)^13+-保罗·D·汉娜2010年10月30日

设g.f.A(x)=和{n>=0}A(n)*x^n/n^3,那么

A(x)=1+2*x+10*x^2/2^3+56*x^3/3^3+346*x^4/4^3+。。。哪里

A(x)=[1+x+x^2/2!^3+x^3/3!^3+x^4/4!^3+…]^2-保罗·D·汉娜

枫木

A000172号:=过程(n)

加(二项式(n,k)^3,k=0..n);

结束过程:

顺序(A000172号(n) ,n=0..10)#R、 J.马萨2014年7月26日

A000172号_list:=proc(len)系列(超几何([],[1,1],x)^2,x,len);

顺序((n!)^3*coeff(%,x,n),n=0..len-1)结束:

A000172号_列表(21)#彼得·卢什尼2017年5月31日

数学

表[Sum[二项式[n,k]^3,{k,0,n}],{n,0,30}](*哈维·P·戴尔2011年8月24日*)

表[supergeometricpfq[{-n,-n,-n},{1,1},-1],{n,0,20}](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗,2012年7月16日,符号求和*)

a[n_x]:=和[二项式[2k,n]*二项式[2k,k]*二项式[2(n-k),n-k],{k,0,n}]/2^n;表[a[n],{n,0,20}](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2013年3月20日,之后孙志伟*)

a[n_u]:=系列系数[1/3,2/3,1,27 x^2/(1-2 x)^3]/(1-2 x),{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2014年7月16日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=polcoeff(和(m=0,n,(3*m)!/m!^3*x^(2*m)/(1-2*x+x*O(x^n))^(3*m+1)),n)}\\保罗·D·汉娜2010年10月30日

(PARI){a(n)=n!^3*polcoeff(和(m=0,n,x^m/m!^3+x*O(x^n))^2,n}\\保罗·D·汉娜2011年1月19日

(哈斯克尔)

a000172=总和。地图a000578。第U行

--莱因哈德·祖姆凯勒2013年1月6日

(圣人)

定义A000172号():

x,y,n=1,2,1

如果是真的:

收益率x

n+=1

x,y=y,(8*(n-1)^2*x+(7*n^2-7*n+2)*y)//n^2

a=A000172号()

[范围(21)中i的下一个(a)]#彼得·卢什尼2013年10月12日

(平价)A000172号(n) ={sum(k=0,(n-1)\2,二项式(n,k)^3)*2+if(!比特(n,0),二项式(n,n\2)^3)}\\M、 哈斯勒2015年9月21日

交叉引用

囊性纤维变性。A002893号,A052144型,A005260型,A096191号,A033581号,A189791号. 数组第二行A094424号.

囊性纤维变性。A181543号,A006480号,A141057号,A000578号,A007318型.

类Apery数[或Apery样序列,Apery样数字,Apery样序列]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895型,A005258号,A005259号,A005260型,A006077号,A036917型,A063007年,A081085型,A093388号,A125143(除标志外),A143003号,A143007号,邮编:A143413,邮编:A143414,邮编:A143415,邮编:A143583,邮编:A183204,A214262号,A219692年,A226535号,A227216号,A227454号,A229111号(除标志外),A260667号,A260832号,A262177号,A264541号,A264542号,A279619号,邮编:A290575,邮编:A290576. (“仿人”一词的定义并不明确。)

对于不划分序列项的素数A000172号,A005258号,A002893号,A081085型,A006077号,A093388号,A125143,A229111号,A002895型,邮编:A290575,邮编:A290576,A005259号看见邮编:A260793,A291275-甲291284A133370号分别。

m=1..12时求和{k=0..n}C(n,k)^m:A000079号,A000984号,A000172号,A005260型,A005261号,A069865号,邮编:A182421,邮编:A182422,邮编:A182446,邮编:A182447,A342294飞机,A342295飞机.

上下文顺序:A323935型 邮编:A165817 A243644号*A097971号 A191277号 A290443号

相邻序列:A000169号 A000170型 A000171号*A000173号 A000174号 A000175号

关键字

,容易的,美好的,改变

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

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