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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A006003号 a(n)=n*(n^2+1)/2。
(原名M3849)
136
0、1、5、15、34、65、111、175、260、369、505、671、870、1105、1379、1695、2056、2465、2925、3439、4010、4641、5335、6095、6924、7825、8801、9855、10990、12209、13515、14911、16400、17985、19669、21455、23346、25345、27455、29679、32020、34481、37065、39775 (列表图表参考历史文本内部格式)
抵消
0,3
评论
分组写出自然数:1;2,3; 4,5,6; 7,8,9,10; ... 并添加组。换句话说,“接下来n个自然数的和”-费利斯·拉索
如果允许“交叉成形”菱形,则n X n菱形中的菱形数马蒂·德克雷恩(Matti DeCraene(AT)rug.ac.be),2000年5月14日
T(n-1)+1和T(n)之间的整数之和,第n个三角数(A000217号). 第n行的总和A000027号被视为三角形阵列。
与具有类似定义的立方体不同,此序列的两个项可以求和为三分之一。例如,a(36)+a(37)=23346+25345=48691=a(46)。可以称为二阶三角数,从而定义了三阶三角数(A027441号)作为n(n^3+1)/2等-乔恩·佩里2004年1月14日
也称为a(n)=(1/6)*(3*n^3+3*n),n>0:结构化三角菱形数(顶点结构4)(参见。A000330号=交替顶点;A000447号=结构性钻石;A100145号有关结构化数字的更多信息)James A.Record(James.Record(AT)gmail.com),2004年11月7日
从n=3开始,n×n幻方(编号为1到n^2)的幻方常数序列M(n)从M(n=15,34,65,111,175,260-Lekraj Beedassy公司2005年4月16日[评论由更正科林·霍尔2009年9月11日]
国际象棋中n皇后问题的魔法常数序列Q(n)从0、0、0,0、34、65、111、175、260……开始-保罗·穆尔贾迪2005年8月23日
替代条款A057587号. -杰里米·加德纳2005年4月10日
也有部分差异A063488美元(n) =(2*n-1)*(n^2-n+2)/2。a(n)=A063488美元(n)-A063488美元(n-1)对于n>1-亚历山大·阿达姆楚克2006年6月3日
在一个从1到n^2的n×n网格中,以任何方式从每行和每列中选择一个数字。将所选数字相加。总和与选择无关,等于该序列的第n项F.-J.Papp(fjpapp(AT)umich.edu),2006年6月6日
方程(X-Y)^3-(X+Y)=0的解的非负X值。要查找Y值:b(n)=(n^3-n)/2-穆罕默德·布哈米达,2006年5月16日
对于方程:m*(X-Y)^k-(X+Y)=0,其中X>=Y,k>=2,m是奇数,X值由a(n)=(m*n^k+n)/2定义的序列给出。Y值由b(n)=(m*n^k-n)/2定义的序列给出-穆罕默德·布哈米达2006年5月16日
如果X是一个n集,Y是X的固定3-子集,那么a(n-3)等于X与Y相交的4-子集的数目-米兰Janjic2007年7月30日
(m*(2n)^k+n,m*(2 n)^k-n)求解丢番图方程:2m*(X-Y)^k-(X+Y)=0,X>=Y,k>=2,其中m是正整数-穆罕默德·布哈米达2007年10月2日
在a^(1/2)+b^(1/2)=c^-西诺·希利亚德2008年2月9日
a(n)=n*A000217号(n) -和{i=0..n-1}A001477号(i) ●●●●-布鲁诺·贝塞利2010年4月25日
a(n)是所有项都在{0,…,n}中的三元组(w,x,y)的数目,使得这些不等式中至少有一个失败:x+y<w,y+w<x,w+x<y-克拉克·金伯利2012年6月14日
中三角形第n行的和A209297号. -莱因哈德·祖姆凯勒2013年1月19日
以“1”开头的序列是(1,2,3,3,…)的第三部分和-加里·亚当森2015年9月11日
a(n)是当n>0时,MATLAB命令magic(n)返回的矩阵的最大特征值-阿尔图格·阿尔坎2015年11月10日
a(n)是在{1,…,n}中具有所有项的三元组(x,y,z)的数目,从而满足所有这些三角形不等式:x+y>z,y+z>x,z+x>y-Heinz大岩石2016年6月3日
将其数字根与stella octangula数字共享(A007588号). 请参见A267017型. -Peter M.Chema公司2016年8月28日
证明了n>=0偶数的三个线性丢番图方程组的非负解的个数:2*a{11}+a{12}+a}13}=n,2*a}22}+a12}+a{23}=n和2*a_33}+a_13}+a通过重新映射n->2*n-2获得/2-卡米尔·布拉德勒2016年10月11日
当n>0时,a(n)与通过沿反对偶函数来回书写数字1…n^2而形成的矩阵的轨迹一致(已证明,请参见A078475美元矩阵示例)-斯特凡诺·斯佩齐亚,2018年8月7日
n×n平方矩阵的轨迹,其中元素被输入到递增反对偶矩阵中。行列式是A069480号. -罗伯特·威尔逊v,2018年8月7日
平分法是317297美元A005917号. -奥马尔·波尔2018年9月1日
具有n种可用颜色的规则四面体顶点(或面)的非球面着色数。非基色与反射色相同-罗伯特·拉塞尔2020年1月22日
a(n)是第n个中心三角形金字塔数-莱乔斯劳·拉塔奇萨克(Lechoslaw Ratajczak)2021年11月2日
参考文献
J.-M.De Koninck,Ces nombres qui nous fascinent,条目15,第5页,椭圆,巴黎,2008年。
F.-J.Papp,米其根大学数学系座谈会,2005年3月6日。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
詹姆斯·格里姆和布雷迪·哈兰,魔法六边形,数字视频(2014)。
米兰·扬基克,两个枚举函数.
米兰·扬基奇和鲍里斯·佩特科维奇,计数函数,arXiv预印本arXiv:1301.4550[math.CO],2013-N.J.A.斯隆2013年2月13日
米兰·扬基奇和鲍里斯·佩特科维奇,推广二项式系数和其他几类整数的计数函数《整数序列杂志》,17(2014),第14.3.5条-费利克斯·弗罗利奇(Felix Fröhlich)2016年10月11日
S.M.Losanitsch,Die Isomerie-Arten bei den Homologen der Claffin-Reihe异构体,化学。Ber.公司。30 (1897), 1917-1926.
S.M.Losanitsch,Die Isomerie-Arten bei den Homologen der Claffin-Reihe异构体,化学。Ber.公司。30 (1897), 1917-1926. (带注释的扫描副本)
T.P.Martin,原子壳,物理。报告,273(1996),199-241,等式(11)。
Ashish Kumar Pandey和Brajesh Kumar Sharma,关于幻方和幻数常数的注记,申请。数学。电子票据(2023)第23卷,第53条,577-582。见第577页。
A.J.Turner和J.F.Miller,递归笛卡尔遗传规划在著名数列中的应用,预印本,《2015年遗传和进化计算年会相关出版物汇编》。
埃里克·魏斯坦的数学世界,魔法常数.
维基百科,弗洛伊德三角. -保罗·穆尔贾迪2010年1月25日
常系数线性递归的索引项,签名(4,-6,4,-1)。
配方奶粉
a(n)=二项(n+2,3)+二项(n+1,3)+二项式(n,3)。[由更正米歇尔·马库斯2020年1月22日]
通用格式:x*(1+x+x^2)/(x-1)^4-楼层van Lamoen2002年2月11日
的部分总和A005448号. -乔纳森·沃斯邮报2006年3月16日
[1,4,6,3,0,0,0,…]=(1,5,15,34,65,…)的二项式变换-加里·亚当森2007年8月10日
对于Z中的所有n,a(n)=-a(-n)-迈克尔·索莫斯2011年12月24日
a(n)=和{k=1..n}a(k-1,k-1-n)其中a(i,j)=i^2+i*j+j^2+i+j+1-迈克尔·索莫斯2012年1月2日
a(n)=4×a(n-1)-6*a(n-2)+4×a(n-3)-a(n-4),其中a(0)=0,a(1)=1,a(2)=5,a(3)=15-哈维·P·戴尔2012年5月16日
a(n)=3*a(n-1)-3*a(n-2)+a(n-3)+3-蚂蚁王2012年6月13日
a(n)=A000217号(n) +n个*A000217号(n-1)-布鲁诺·贝塞利2013年6月7日
a(n)=A057145号(n+3,n)-卢西亚诺·安科拉,2015年4月10日
例如:(1/2)*(2*x+3*x^2+x^3)*exp(x)-G.C.格鲁贝尔2015年12月18日;已由更正伊利亚·古特科夫斯基2016年10月12日
a(n)=T(n)+T(n-1)+T,A000292号. -Heinz大岩石2016年6月3日
发件人伊利亚·古特科夫斯基2016年10月11日:(开始)
和{n>=1}1/a(n)=H(-i)+H(i)=1.343731971048019675756781…,其中H(k)是调和数,i是虚单位。(结束)
a(n)=A000578美元(n)-A135503号(n) ●●●●-米奎尔·塞尔达2016年12月25日
长度3序列的欧拉变换[5,0,-1]-迈克尔·索莫斯,2016年12月25日
a(n)=A037270号(n) n>0时为/n-克里萨达·穆姆昂2018年12月15日
a(n)=3*A000292号(n-1)+编号-布鲁斯·尼克尔森2019年11月23日
a(n)=A011863号(n)-A011863号(n-2)-布鲁斯·尼克尔森2019年12月22日
发件人罗伯特·拉塞尔2020年1月22日:(开始)
a(n)=C(n,1)+3*C(n、2)+3*1(n,3),其中C(n和k)的系数是使用k种颜色的四面体着色数。
a(n)=C(n+3,4)-C(n,4)。
a(n)=2*A000332号(n+3)-A006008号(n)=A006008号(n) -2个*A000332号(n)=A000332号(n+3)-A000332号(n) ●●●●。
a(n)=A325001型(3,n)。(结束)
发件人阿米拉姆·埃尔达尔,2023年8月21日:(开始)
和{n>=1}1/a(n)=2*(A248177型+A001620号).
产品{n>=2}(1-1/a(n))=cosh(sqrt(7)*Pi/2)*cosech(Pi)/4。
产品{n>=1}(1+1/a(n))=cosh(sqrt(7)*Pi/2)*cosech(Pi)。(结束)
例子
G.f.=x+5*x ^2+15*x ^3+34*x ^4+65*x ^5+111*x ^6+175*x ^7+260*x*8+。。。
对于a(2)=5,五个四面体的面为AAAA、AAAB、AABB、ABBB和BBBB,颜色为a和B-罗伯特·拉塞尔2020年1月31日
数学
表[n(n^2+1)/2,{n,0,45}]
线性递归[{4,-6,4,-1},{0,1,5,15},50](*哈维·P·戴尔2012年5月16日*)
系数列表[级数[x(1+x+x^2)/(x-1)^4,{x,0,45}],x](*文森佐·利班迪2015年9月12日*)
使用[{n=50},Total/@TakeList[Range[(n(n^2+1))/2],Range[0,n]]](*需要Mathematica版本11或更高版本*)(*哈维·P·戴尔2017年11月28日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=n*(n^2+1)/2}/*迈克尔·索莫斯2011年12月24日*/
(PARI)concat(0,Vec(x*(1+x+x^2)/(x-1)^4+O(x^20))\\费利克斯·弗罗利奇(Felix Fröhlich)2016年10月11日
(哈斯克尔)
a006003 n=n*(n^2+1)`div`2
a006003_list=扫描(+)0 a005448_list
--莱因哈德·祖姆凯勒2013年6月20日
(岩浆)[0..50]]中的[n*(n^2+1)/2:n//韦斯利·伊万·赫特2015年9月11日
(岩浆)[二项(n,3)+二项(n-1,3)+二项式(n-2,3):[2..60]]中的n//文森佐·利班迪2015年9月12日
(MATLAB)
%也适用于FreeMat。
对于(n=0:nmax);tm=n*(n^2+1)/2;fprintf('%d\t%0.f\n',n,tm);结束
%斯特凡诺·斯佩齐亚,2018年8月12日
(间隙)
a_n:=列表([0..nmax],n->n*(n^2+1)/2)#斯特凡诺·斯佩齐亚,2018年8月12日
(最大值)
a(n):=n*(n^2+1)/2$makelist(a(n),n,0,nmax)/*斯特凡诺·斯佩齐亚,2018年8月12日*/
(Python)
定义A006003号(n) :返回n*(n**2+1)>>1#柴华湖2024年3月25日
交叉参考
囊性纤维变性。A000330号,A000537号,A066886号,A057587号,A027480号,A002817号(部分金额)。
囊性纤维变性。A000578美元(立方体)。
中数组的反对角和A000027号三角形视图的行和A000027号.
囊性纤维变性。A063488美元(两个连续术语的总和),A005917号(二等分),A317297型(二等分)。
囊性纤维变性。105374美元/ 8.
四面体着色:A006008号(定向),A000332号(n+3)(无定向),A000332号(手性),A037270号(边缘)。
其他多面体颜色:A337898飞机(立方体面、八面体顶点),A337897飞机(八面体面、立方体顶点),A337962型(十二面体面,二十面体顶点),A337960型(二十面体面,十二面体顶点)。
第3行,共行A325001型(单纯形顶点和面)和A337886型(单面和峰值)。
关键词
非n,容易的,美好的,改变
作者
扩展
Albert Rich(Albert_Rich(AT)msn.com)的更好描述,1997年3月
状态
已批准

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上次修改时间:美国东部夏令时2024年3月29日02:23。包含371264个序列。(在oeis4上运行。)