%I M4499 N1905#491 2024年2月28日06:32:26

%S 0,1,8,27,641252163435127291000133117282197274433754096，

%电话：4913583268598000926110648121671382415625175761968321952，

%电话：24389270002991327683593739304428754665650653548725931964000

%N立方体：a（N）=N^3。

%C a（n）是接下来n个奇数的和；即，将奇数分组，使第n组包含如下n个元素：（1），（3，5），（7，9，11），（13，15，17，19），（21，23，25，27，29）。。。；然后每组总和=n^3=a（n）。每组的中位数=n^2=平均值。由于前n个奇数的和是n^2，这又证明了第n个部分和=（n（n+1）/2）^2_Amarnath Murthy，2002年9月14日

%C三角形内十字交叉的天狼星形成的三角形总数，使其两侧各被n划分_Lekraj Beedassy，2004年6月2日

%C还构造了三边形四面体数（顶点结构7）（参见A100175=交替顶点）；结构化四方棱镜数（顶点结构7）（参见A100177=结构化棱镜）；结构化六方钻石数（顶点结构7）（参见A100178＝交替顶点；A0000447＝结构化钻石）；和结构化三角反菱形数（顶点结构7）（参见A100188=结构化反菱形）。有关结构化多面体数的更多信息，请参阅A100145James A.Record（James.Record（AT）gmail.com），2004年11月7日

%此多面体的C Schlaefli符号：{4,3}。

%C n的最小倍数，使得每个部分和都是平方_Amarnath Murthy，2005年9月9日

%画一个正六边形。在六边形的每一侧构造点，以便这些点将每一侧划分为大小相等的线段（即，每一侧上的中点或每一侧上放置的两个点将每侧划分为大小相同的三个线段，依此类推），对六边形的每一侧进行相同的构造，以便每一侧以相同的方式等分。用与多边形至少一侧平行的线将所有这些点相互连接。结果是六边形的三角形平铺，并创建了一些较小的规则六边形。该等式给出了找到的正六边形的总数，其中n=绘制的点数+1。例如，如果在每一侧绘制1个点，则n=1+1=2和a（n）=2^3=8，因此总共有8个正六边形。如果每边画2个点，则n=2+1=3，a（n）=3^3=27，因此总共有27个正六边形。-Noah Priluck（npriluck（AT）gmail.com），2007年5月2日

%丢番图方程的解：（X/Y）^2-X*Y=0的形式为：（n^3，n），其中n>=1。丢番图方程的解：（m^2）*（X/Y）^2k-XY=0的形式为：（m*n^（2k+1），m*n^（2k-1）），其中m>=1，k>=1，n>=1。丢番图方程的解：（m^2）*（X/Y）^（2k+1）-XY=0的形式为：（m*n^（k+1），m*n*k），其中m>=1，k>=1和n>=1_Mohamed Bouhamida_，2007年10月4日

%除了前两项外，序列对应于C{2n}的维纳指数，即2n个顶点上的圈（n>1）_K.V.Iyer，2009年3月16日

%C素数p的a（p）=p^3的全乘序列-Jaroslav Krizek_，2009年11月1日

%C A176271中三角形行的总和，n>0.-_Reinhard Zumkeller_，2010年4月13日

%C五个柏拉图多面体（四面体、立方体、八面体、十二面体和二十面体）数之一（参见A053012）_Daniel Forgues_，2010年5月14日

%椭圆曲线y^2=x^3-n的扭子群t的阶为t=2的C数n_阿图尔·贾辛斯基（Artur Jasinski），2010年6月30日

%C具有Pisano周期mod k长度的序列为1、2、3、4、5、6、7、8、3、10、11、12、13、14、15、16、17、6、19、20。。。对于k>=1，显然是乘法的，通过将每九项除以3从A000027导出。A186646的立方变体_R.J.Mathar，2011年3月10日

%C一个边上有n个原子的bcc（体心立方）菱形六面体中的原子数为n^3（T.P.Martin，原子壳层，等式（8））_Brigitte Stepanov，2011年7月2日

%C二项式逆变换产生（有限的）0、1、6、6（A019538和A131689中的第三行）_R.J.Mathar，2013年1月16日

%C顶点位于（0，0），（t（n-1），t（n）），和（t（n_J.M.Bergot，2013年6月25日

%C如果n>0不等于5（mod 6），则A010888（a（n））除以a（n）。-_Ivan N.Ianakiev，2013年10月16日

%C对于n>2，a（n）=顶点位于点（二项式（n，3），二项式式（n+2,3）），（二项型（n+1,3），二项型（n+1，3））和（二项形（n+2.3），二项式（n/3））的三角形面积的两倍_J.M.Bergot，2014年6月14日

%C螺旋结S（4，k，（1,1，-1））的行列式。a（k）=测定值（S（4，k，（1,1，-1））_Ryan Stees_，2014年12月14日

%C这个序列中最古老的一个例子出现在Senkereh平板上，BM 92698，它以楔形文字显示前32个术语_Charles R Greathouse IV_，2015年1月21日

%2015年3月31日，北京：（开始）

%我们从整数1，2，3，…构造一个数字三角形。。。2*n-1如下。第一列包含所有整数1、2、3。。。2*n-1。接下来的每一列与前一列相同，但没有第一项和最后一项。最后一列只包含n。三角形中所有数字的和是n^3。

%C这是n=4的例子，其中1+2*2+3*3+4*4+3*5+2*6+7=64=a（4）：

%C 1类

%C2类

%C 3 3 3

%C 4 4 4 4

%C五五五

%丙66

%C 7

%C（结束）

%C对于n>0，a（n）是n+11到n个部分的组成数，避开了第2部分和第3部分。-_米兰Janjic_，2016年1月7日

%C不满足本福德定律[Ross，2012]_N.J.A.Sloane，2017年2月8日

%C使用最多n种颜色的立方体的不相等面着色数，每种颜色至少出现两次_David Nacin，2017年2月22日

%考虑A={A，b，C}一个有三个不同成员的集合。A的子集数是8，包括{A，b，c}和空集。这8个子集中的每个子集的数量为27。如果这样的迭代次数是n，那么子集的总数是a（n-1）_Gregory L.Simay，2018年7月27日

%C根据费马最后定理，这些是形式为x^k的整数，具有k的最小可能值，因此x^k=y^k+z^k永远不会有k的正整数x，y，z的解

%D R.L.Graham、D E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，雷丁，马萨诸塞州，1990年，第255页；第二。编辑，第269页。Worpitzky的身份（6.37）。

%D T.Aaron Gulliver，“整数立方体的序列”，《国际数学杂志》，4（2003），第5期，439-445。请参见http://www.m-hikari.com/z2003.html获取有关此日志的信息。【我扩展了参考文献，以便于查找。-N.J.A.Sloane，2019年2月18日】

%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%D·D·威尔斯，《你是一个数学家》，第238-241页，企鹅出版社1995年。

%H N.J.A.Sloane，N表，N=0..10000的A（N）</a>

%H H.Bottomley，<a href=“/A000578/A000578.gif”>初始术语说明</a>

%H大英国家博物馆，<a href=“https://www.britishuseum.org/collection/object/W_-92698“>92698平板电脑</a>

%H N.Brothers、S.Evans、L.Taalman、L.Van Wyk、D.Witchzak和C.Yarnall，<a href=“http://project欧几里得.org/欧几里得mjms/1312232716“>螺旋结</a>，《密苏里州数学科学杂志》，22（2010）。

%H M.DeLong、M.Russell和J.Schrock，<a href=“http://dx.doi.org/10.2140/involve.2015.8.361“>对于n当量+/-1（mod m），T（m，n，r，s）扭曲圆环结的着色性和行列式，Involve，第8卷（2015），第3期，361-384。

%H Ralph Greenberg，<a href=“http://www.math.washington.edu/~greenber/MathPooe.html“>诗人数学</a>

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%H米兰Janjic，<a href=“https://web.archive.org/web/20150919034515/http://www.pmfbl.org/janjic/enumfun.pdf“>有限集上某些函数的枚举公式

%金贤光，<a href=“https://doi.org/10.1090/S0002-9939-02-06710-2“>关于正则多面体数，Proc.Amer.Math.Soc.，131（2002），65-75.-由_Felix Fröhlich于2014年6月16日修复

%H T.P.Martin，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/0370-1573（95）00083-6“>原子壳，《物理报告》，273（1996），199-241，等式（8）。

%H Ed Pegg，Jr.，<a href=“http://www.mathpuzzle.com/MAA/07-Sequence%20图片/mathgames_12_08_03.html“>序列图片</a>，数学游戏专栏，2003年12月8日。

%H Ed Pegg，Jr.，<a href=“/A00043/a00043_2.pdf”>序列图片</a>，数学游戏专栏，2003年12月8日[缓存副本，经许可（仅限pdf）]

%H西蒙·普劳夫，<a href=“https://arxiv.org/abs/0911.4975“>Approximations de séries génératrices et quelques consuggestures”，魁北克大学论文，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。

%H Simon Plouffe，<a href=“/A00051/A000051_2.pdf”>1031生成函数</a>，论文附录，蒙特利尔，1992

%H Kenneth A.Ross，<A href=“http://www.jstor.org/stable/10.4169/math.mag.85.1.036“>正方形和立方的第一位数字</a>，《数学杂志》85（2012）36-42。doi:10.4169/math.mag.85.136。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/CubicNumber.html“>立方数</a>，和<a href=”http://mathworld.wolfram.com/HexPyramidalNumber.html“>十六进制金字塔编号</a>

%H Ronald Yannone，<a href=“http://megasociety.org/noesis/149/hilbert.html“>Hilbert矩阵分析</a>

%H<a href=“/index/Rec#order_04”>具有常系数的线性重复出现的索引条目，签名（4，-6,4，-1）。

%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>

%H<a href=“/index/Be#Benford”>与Benford定律相关的序列索引条目</a>

%F a（n）=和{i=0..n-1}A003215（i）。

%F与a（p^e）相乘=p^（3e）_David W.Wilson，2001年8月1日

%F G.F.:x*（1+4*x+x^2）/（1-x）^4.-_西蒙·普劳夫（Simon Plouffe）1992年论文

%F Dirichlet生成函数：zeta（s-3）.-_富兰克林·亚当斯·沃特斯（Franklin T.Adams-Waters），2005年9月11日

%例如：（1+3*x+x^2）*x*exp（x）.-_富兰克林·亚当斯·沃特斯（Franklin T.Adams-Waters），2005年9月11日-阿玛娜斯·穆尔西（_Amarnath Murthy），2005月9日

%F a（n）=Sum_{i=1..n}（Sum_{j=i.n.n+i-1}A000224（j，i））。-_Reinhard Zumkeller_，2007年6月24日

%F a（n）=lcm（n，（n-1）^2）-（n-1）^2。例如：lcm（1，（1-1）^2）-（1-1）^2=0，lcm（2，（2-1）^2_Mats Granvik，2007年9月24日

%F起始（1，8，27，64，125，…），=[1，7，12，6，0，0，…]的二项式变换_加里·亚当森，2007年11月21日

%F a（n）=A007531（n）+A000567（n）.-_Reinhard Zumkeller，2009年9月18日

%F a（n）=二项式（n+2,3）+4*二项式（n+1,3）+二项式（n，3）。[Worpitzky立方体的恒等式。参见例如，Graham等人，等式（6.37）.-Wolfdieter Lang_，2019年7月17日]

%F a（n）=n+6*二项式（n+1,3）=二项式_罗恩·诺特（Ron Knott），2019年6月10日

%F A010057（a（n））=1.-_Reinhard Zumkeller，2011年10月22日

%F a（n）=A000537（n）-A000537（n-1），两个连续三角形数的平方差_Pierre CAMI_，2012年2月20日

%F a（n）=A048395（n）-2*A006002（n）.-_J.M.Bergot_，2012年11月25日

%F a（n）=1+7*（n-1）+6*（n-1）*（n-2）+（n-1_安东尼奥·阿尔贝托·奥利瓦雷斯（Antonio Alberto Olivares），2013年4月3日

%F a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）+6.-_蚂蚁王-2013年4月29日

%F a（n）=A000330（n）+总和{i=1..n-1}A014105（i），n>=1.-_Ivan N.Ianakiev，2013年9月20日

%F a（k）=det（S（4，k，（1,1，-1）））=k*b（k）^2，其中b（1）=1，b（2）=2，b（k_Ryan Stees_，2014年12月14日

%F对于n>=1，a（n）=A152618（n-1）+A033996（n-1_步广团2015年4月1日

%F a（n）=4*a（n-1）-6*a（n-2）+4*a（n3）-a（n-4）_Jon Tavasanis，2016年2月21日

%F a（n）=n+和{j=0..n-1}和{k=1..2}二项式（3，k）*j^（3-k）.-_Patrick J.McNab，2016年3月28日

%F a（n）=A000292（n-1）*6+n.-Zhandos Mambetaliyev_，2016年11月24日

%F a（n）=n*二项式_Tony Foster III_，2017年11月14日

%F From _Amiram Eldar_，2020年7月2日：（开始）

%F和{n>=1}1/a（n）=zeta（3）（A002117）。

%F Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=3*ζ（3）/4（A197070）。（结束）

%F From _Amiram Eldar_，2021年1月20日：（开始）

%F产品{n>=1}（1+1/a（n））=cosh（sqrt（3）*Pi/2）/Pi。

%F乘积{n>=2}（1-1/a（n））=cosh（sqrt（3）*Pi/2）/（3*Pi）。（结束）

%F a（n）=Sum_{d|n}sigma_3（d）*mu（n/d）=Sum _{d|n}A001158（d）*A008683（n/d）。sigma_3（n）的Moebius变换_Ridouane Oudra，2021年4月15日

%e对于k=3，b（3）=2b（2）-b（1）=4-1=3，因此det（S（4,3，（1,1，-1））=3*3^2=27。

%e对于n=3，a（3）=3+（3*0^2+3*0+3*1^2+3*1+3*2^2+3*2）=27_Patrick J.McNab_，2016年3月28日

%p A000578：=n->n^3；

%p序列（A000578（n），n=0..50）；

%p为A000578：=过程（r）

%p局部p；

%p如果r=0或r=1，则

%p为真；

%p其他

%ifactors（r）[2]中p的p

%p如果op（2，p）mod 3<>0，则

%p返回false；

%p end if；

%p端do：

%p为真；

%p end if；

%p end程序：#_R.J.Mathar_，2013年10月8日

%t表[n^3，{n，0，30}]（*_Stefan Steinerberger_2006年4月1日*）

%t系数表[系列[x（1+4 x+x^2）/（1-x）^4，{x，0，45}]，x]（*_文森佐·利班迪，2014年7月5日*）

%t累加[表[3n^2+3n+1，{n，0,20}]]（*或*）线性递归[{4，-6,4，-1}，{1,8,27,64}，20]（*H arvey P.Dale_，2018年8月18日*）

%o（PARI）A000578（n）=n^3\\_M.F.Hasler_，2008年4月12日

%o（PARI）is（n）=ispower（n，3）\\_Charles R Greathouse IV_，2012年2月20日

%o（哈斯克尔）

%o a000578=（^3）

%o a000578_list=0:1:8:zipWith（+）

%o（映射（+6）a000578_list）

%o（map（*3）$tail$zipWith（-）（tail a000578_list）a000578-list）

%o——Reinhard Zumkeller，2015年9月5日，2012年5月24日，2011年10月22日

%o（最大值）A000578（n）：=n^3$

%o制造清单（A000578（n），n，0,30）；/*_Martin Ettl，2012年11月3日*/

%o（岩浆）[0..50]]中的n^3:n；//_韦斯利·伊万·赫特，2014年6月14日

%o（岩浆）I:=[0,1,8,27]；[n le 4选择I[n]else 4*自我（n-1）-6*自我（n-2）+4*自我（n-3）-自我（n-4）：n in[1..45]]；//_Vincenzo Librandi_，2014年7月5日

%o（Python）

%o A000578_列表，m=[]，[6，-6，1，0]

%对于范围内的_（10**2）：

%o A000578_list.append（m[-1]）

%o对于范围（3）中的i：

%o m[i+1]+=m[i]#_查瓦乌，2015年12月15日

%o（方案）（定义（A000578 n）（*n n n））_Antti Karttunen，2017年10月6日

%Y（1/12）*t*（n^3-n）+n表示t=2,4,6。。。给出A004006、A006527、A000603、A005900、A004068、A000578、A004126、A0000447、A004188、A004466、A004467、A007588、A062025、A063521、A063522、A063523。

%Y对于立方体的总和，请参阅A000537（部分总和）、A003072、A003325、A024166、A024670、A101102（第五部分总和）。

%Y参见A001158（逆Möbius变换）、A007412（补码）、A030078（n）（素数的立方）、A048766、A058645（二项式变换）、P065876、A101094、A101097。

%Y A145784的后续序列。

%Y参考A260260（注释）_布鲁诺·贝塞利（Bruno Berselli），2015年7月22日

%Y参见A000292（四面体数）、A005900（八面体数），A006566（十二面体数”），A0006564（二十面体数“）。

%Y参考A098737（主对角线）。

%K non，core，easy，nice，mult

%0、3

%A _N.J.A.斯隆_