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提示
问候整数序列的在线百科全书!)
A000 0182 切线(或“Zag”)数:E.F.TaN(x),(也有符号),例如F.TANH(X)。
(前M2096 N0829)
一百三十八
1, 2, 16、272, 7936, 353792、22368256, 1903757312, 209865342976、29088885112832, 4951498053124096, 101542388650685235、24692148020207983616、702516030439、95988 7872、23 119、184、187809597 841473536 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

1,2

评论

具有2n-1个节点的乔伊斯树数。{0,1,…,2n}的颤音排列数。-拉尔夫斯蒂芬3月28日2003

这个序列的Hankel变换是A000 0178(n)对于n奇数=1, 12, 34560,…;例子:DET([ 1, 2, 16;2, 16, 272,16, 272, 7936 ])=34560。-菲利普德勒姆07三月2004

A(n)=具有2n-1个顶点的增加标记的完全二叉树的数目。全二进制表示每一个非叶顶点有两个孩子,区分为左和右;标记意味着顶点被标记为1,2,…,2n-1;增加意味着每个孩子都有一个大于其父的标签。-戴维卡兰11月29日2007

来自Micha Hofri(HOFRI(AT)WPI .EDU),5月27日2009:(开始)

A(n)被发现是[2n]排列的数目,当按顺序插入时,形成二叉搜索树,产生最大可能全部树(只有一个子节点)。

E.F.是SEC^ 2(x)=1+TaN ^ 2(x),并且同样的系数可以由TAN(x)本身来制造,这是对于例如奇数个节点的树的数目的E.F.(结束)

A(n)是具有2n-1个节点的增长的严格二叉树的数目。有关增加具有相关排列的严格二叉树的更多信息,请参见A245894. -曼达里尔,八月07日2014

对于交替置换、Euler和伯努利多项式、ZigZAG数、三角函数、方波、量子代数的傅立叶变换、以及在n维超立方体上以及在格林函数上的积分,参见霍奇和Sukumar。对于量子代数的进一步讨论,见后霍奇和Sukumar参考文献和HETYI的论文提出连接到ViNNOW的一般组合理论上的正交多项式,逆多项式,三对角矩阵,和晶格路径(从而涉及连续分数和累积量)。-汤姆·科普兰11月30日2014

锯齿形Hankel变换是A000 0178. 也就是说,A000 0178(2×N-K)=DET([a(i+j-k)] {i,j=1…n}),对于n> 0和k= 0,1。米迦勒索摩斯3月12日2015

A(n)=歪斜形状的标准杨氏表数(n,n,n-1,n-2,…,3,2)/(n-1,n-2,n-3,…,2,1)。-潘然4月10日2015

对于Sheffer Appell算子演算和一个生成Micxer-PulaCeZek和Krawtchouk正交多项式的Riccati微分方程的关系,请参阅FEILION Link和Rzadkowski的第45页。-汤姆·科普兰9月28日2015

对于椭圆曲线的关系,维尔斯特拉斯椭圆函数,洛伦兹形式群律,Lie无穷小产生器,以及欧拉数。A000 829A1555 85. -汤姆·科普兰9月30日2015

欧拉三角形中奇数行的交替求和的绝对值(其中三角形顶点的单数1为行×1);A000 829. 实际交变和在符号中交替,例如1、2, 16、272等(偶数行具有交替的总和总是0)。格雷戈瑞热拉尔沃纳尔9月28日2018

推荐信

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罗斯街,连接耕地、数学树、排列和三角关系的令人惊讶的关系,从7月15日,2015,麦克里大学的讲座幻灯片。[N.J.A.斯隆]有一个网页OEIS.ORG。它通过输入序列的前几个术语来说明这个序列是否发生在数学中的其他地方。研究生Daniel Steffen追踪到这一点,发现我们惊讶的是,这个序列与切线函数有关。谭·瑞安和Tam找到了关于这个连接的已知内容,发现了一些明显的新结果。我们都觉得这很有趣,我也希望你也能。”

范凡森康拉德,椭圆函数的一些连分式展开,博士论文,俄亥俄州立大学,2002,第28页。

链接

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支伟隼涉及组合序列的猜想,ARXIV预告ARXIV:1208.2683 [数学,CO],2012。——来自斯洛文尼亚州,12月25日2012

M. S. Tokmachev数值棱镜中元素与序列的相关性《乌拉尔南部州立大学Ser公报》。数学机械物理学,2019卷,第11卷,第1期,第24至33页。

王毅和鲍轩竹数论和组合序列单调性的若干猜想的证明,ARXIV预告ARXIV:1303.5595 [数学,CO],2013。

Eric Weisstein的数学世界,切线数

Eric Weisstein的数学世界,交替排列

Philip B. Zhang关于(n-2)-栈可排序排列的下降多项式的实根性,ARXIV预告ARXIV:1408.4235 [数学,CO],2014。

鲍轩竹组合序列单调性和对数行为的分析方法,ARXIV预告ARXIV:1309.5693 [数学,CO],2013。

“核心”序列的索引条目

与BotoPoffon变换相关的序列的索引条目

与伯努利数相关的序列的索引条目。

公式

E.g.f.:log(SEX)= SuMu{n>0 } A(n)*x^(2×n)/(2×n)!.

E.g.f.:TaNx= SuMu{{N>=0 } A(n+1)*x^(2×n+1)/(2×n+1)!.

E.g.f.:(SEX)^ 2=SuMu{{N>=0 } A(n+1)*x^(2×n)/(2×n)!.

2 /(EXP(2x)+ 1)=1+SuMu{{N>=1 }(-1)^(n+1)a(n)x^(2n-1)/(2n-1)!=1×x+x ^ 3/3 - 2×x ^ 5/15+17×x ^ 7/315 - 62×x^ 9/2835+…

A(n)=2 ^(2×n)(2 ^(2×n)- 1)bz(2*n)/(2×n),其中Byn是伯努利数(A000 0367/A000 2445A02664/A027

渐近性:A(n)~2 ^(2×n+1)*(2×n-1)!/p^(2×n)。

求和〔2 ^(2×n+1-k)*(- 1)^(n+k+1)*k!*斯特林S2(2×N+ 1,K],{K,1, 2×N+1 }。- Victor Adamchik,10月05日2005

A(n)=ABS[C(2×n-1)],其中C(n)=2 ^(n+1)*(1-^(n+1))*(n+1)/(n+1)=2 ^(n+1)*(1-1(n+1))*(-1)^ n* Zeta(-n)=[-[1(Ber +EN())] ^ n=2 ^ n*gn(n+1)/(n+-)=α^ n*Ep(n,α)=(--)^ n*e(n,--)=(--)^ n*n!*滞后[n,-p(…,-1)/2 ] uBr= =(-2)^ n*n!* {{T[,p(,1)/ 2 ] +n,n}为符号欧拉数En(n),伯努利数BER(n),GyoCKI数Gn(n),Euler多项式Ep(n,t),欧拉多项式E(n,t),TouCHARDAR/Bell多项式t(n,t),二项式函数c(x,y)=x![(X-Y)!* Y!和多项式p(j,t)A131758. -汤姆·科普兰,10月05日2007

A(1)=A094665(0,0)*A156919(0,0)和A(n)=和(2 ^(n-1 k-1)*)A094665(n-1,k)*A156919(k,0),k=1…n-1)n=2, 3,…A162005. -约翰内斯·梅杰6月27日2009

G.f.:1 /(1-1×2×x/(1-2×3×x/)(1-3*4*x/(1-4*4*x/)(1-5*6×x/(1)…(连分数)。-保罗·巴里2月24日2010

保罗·巴里,3月29日2010:(开始)

G.f.:1/(1-2X-12X ^ 2 /(1-18X-240X^ 2)/(1-50X-1260X^ 2)/(1-98X-4032×2)/(1-162X-9900X^ 2 /(1)…(连分数);

系数序列由4*(n+1)^ 2×(2n+1)*(2n+3)和2(2n+1)^ 2(见Van Fossen Conrad参考)给出。(结束)

E.g.f.:SuMu{{N>=0 }乘积{{K=1…n} TANH(2K*X)= SUMY{{N>=0 } A(n)*x^ n/n!-保罗·D·汉娜5月11日2010

(二项式(k,r)*和(和(二项式)(2)^(j))和((1)^(n)*二项(j,i)*(J2*i)^(2×n),i,0,底((j-1)/2)*(-1)^(L j),j,1,L)*(-1)^ L*二项式(R+L-1,R-1),L,1,2*N)*(-1)^(1-R),R,1,K)/K,K,1,2*N,n> 0。A(n)=和(和)-弗拉迪米尔克鲁钦宁8月23日2010

A(n)=(-1)^(n+1)*和(j)!*斯特林2(2×n+1,j)* 2 ^(2×n+1-j)*(-1)^(j),j,1,2*n+1)。n>=0。-弗拉迪米尔克鲁钦宁8月23日2010

如果n为奇数,则2×n-1为素数,则A(n)=1(mod(2×n-1));如果n为偶数,则2×n-1为素数,则A(n)==1(mod(2*n-1))。-弗拉迪米尔谢维列夫,SEP 01 2010

递推:A(n)=(-1)^(n-1)+ SuMu{{i=1…n-1 }(-1)^(n+i 1)*c(2×n-1,2*i-1)*a(i)。-弗拉迪米尔谢维列夫,八月08日2011

E.g.f.:TaN(x)=SuMu{{N>=1 } A(n)*x^(2×n-1)/(2×n-1)!=x/(1 -x ^ 2 /(3×x 2)/(5×x 2)/(7 -x^ 2 /(9×x 2)/(11 - x ^ 2 /(……………))(来自J.H.朗伯特-γ的连续分数)。-保罗·D·汉娜9月21日2011

E.g.f.:(SEC(x))^ 2=1+x ^ 2 /(x^ 2+u(0)),其中u(k)=(k+1)(2k+1)-2x^ 2 +2x^ 2 *(k+1)(2k+1)/u(k+1);(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克10月31日2011

E.g.f.:TaN(x)=x*t(0),其中t(k)=1-x^ 2 /(x^ 2 -(2k+1)*(2k+3)/t(k+1));(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克11月21日2011

E.g.f.:TaN(x)=x/(g(0)+x),其中G(k)=2×k+ 1×2×x+x/(1 +x/g(k+1));(J. H. Lambert的连续分数,2步)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克1月16日2012

A(n)=(-4)^ n*Li{{1-2*n}(-1)。-彼得卢斯尼6月28日2012

E.g.f.:Tangh(x)=x/(g(0)-x),其中G(k)=k+ 1+2×x×2×x*(k+1)/g(k+1);(连续分数欧拉的第一类,1步)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克6月30日2012

E.g.f.:TaN(x)=2×x/w(0),其中w(k)=1 +x^ 2 *(4×k+5)/((4×k+1)*(4×k+3)*(4*k+5)-占卜×x ^ *(α* k+a)+x^×*(y*k+a)/w(k+y));(连续分数,2步)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克8月15日2012

E.g.f.:TaN(x)=x/t(0),其中t(k)=1~4×k^ 2 +x^ 2 *(1~4×k^ 2)/t(k+1);(连续分数,1步)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克9月19日2012

E.g.f.:TaN(x)=-3×x/(t(0)+3×x^ 2),其中t(k)=64*k ^ 3+48*k ^ 2×4*k*(2×x ^ 2+1)-占卜×x^α-x ^ ^ *(α*k+)*(ωk+a)/t(k+y);(连续分数,1步)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克11月10日2012

G.f.:1/g(0),其中G(k)=1~2×x*(2×k+1)^ 2 -x^ 2 *(2×k+1)*(2*k+2)^ * *(ωk+a)/g(k+y);(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克,1月13日2013。

O.g.f.:x+ 2×x*Suth{{n>=1 } x^ n*乘积{{k=1…n}(2×k-1)^ 2 /(1 +(2×k-1)^ 2×x)。-保罗·D·汉娜,05月2日2013

G.f.:2×q(0)-1,其中q(k)=1 +x^ 2 *(4*k+1)^ 2 /(x+x^ 2 *(4*k+1)^ 2 -x ^占卜*(α*k+x)^ *(x+x^ * *(α*k+x)^))/(x^×*(α*k+^)^ +(x+x^ *(α*k+x)^)/q(k+x));(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克3月12日2013

G.f.:(1 - 1 / g(0))*SqRT(-x),其中G(k)=1 +SqRT(-x)-x*(k+1)^ 2 /g(k+1);(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克5月29日2013

G.f.:Q(0),其中q(k)=1××(k+ 1)*(k+ 2)/(x*(k+1)*(k+2)-1/q(k+1));(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克,10月09日2013

a(n)=(4)^ n*(4 ^ n-1)* Zeta(1-2*n)。-让弗兰,十二月05日2013

渐近展开:4*((2×(2×n-1))/(π*e))^(2×n-1/2)*EXP(1/2+1/(12×(2×n-1))- 1 /(360 *(2*n-1)^ 2)+α/(α*(α*n-1)^)……)。(见Luschny链接)彼得卢斯尼7月14日2015

彼得巴拉,9月11日2015:(开始)

E.F.A(x)=TaN(x)满足微分方程a’(x)=2*a(x)* a(x),a(0)=0,a(0)=1,导致递归A(0)=0,A(1)=1,否则A(n)=2 * SUMY{{I=0…N-2 }二项式(N-2,I)* A(i)*(N-1~I),用于充气序列[0, 1, 0,0, 1, 0,γ,…]。

注意,相同的递归,但是在初始条件A(0)=1和A(1)=1时,产生序列n!并且具有(0)=1/2和A(1)=1。A8080635. 囊性纤维变性。A000 2105A24797. (结束)

A(n)=2×多Γ(2×n-1,1/2)/p^(2×n)。-弗拉迪米尔·雷斯捷尼科夫10月18日2015

A(n)=2 ^(2n-2)*p(2n-1,- 1/2),其中pnn(x)是移位的行多项式。A019538. 例如,A(2)=2=2 ^ 2×1+6(-1/2)+6(-1/2)2 2。-汤姆·科普兰10月19日2016

彼得巴拉,五月05日2017:(开始)

用偏移0,O.G.F. A(x)=1+2×x+16×x ^ 2+272×x^ 3+…具有其4-第二项式变换1(/ 1 - 4×x)A(x/(1 - 4×x))具有S分数表示1 /(1 - 6×x/(1 - 2×x /(1 - 20×x /)(20 - *×x / /(- -*×x / /(- -*×x /(α-…………)),其中连续部分的部分分子中的系数α,,…,…)是通过交换相邻项而从序列[α,α,…,n*(n+-),……]获得的。与Paul Barry给出的A(x)相关的S-分数进行比较。

a(x)=1(/ 1×x - 3×x/(1×4×x/)(1 + x -15×x/(1 - 16×x/)(1+x -35×x /(1 - 1×x /(α+x…………)),其中,部分分子[u],α,……中的无符号系数成对形式为n*1,α*n^,n=1,2,…(结束)

A(n)=SuMu{{i=1…n-1 }二项式(2×n-2,2×k-1)*a(k)*a(n- k),具有a(1)=1。-米迦勒索摩斯,八月02日2018

A(n)=2 ^(2×n-1)*Euler(2×n-1,0),其中Euler(n,x)是Euler多项式。-丹尼尔苏特11月21日2018

例子

TAN(x)=x+2×x ^ 3/3!+ 16×x ^ 5/5!+ 272×x ^ 7/7!+…=x+1/3×x ^ 3+2/15×x ^ 5+17/315×x ^ 7+62/2835×x ^ 9+O(x^ 11)。

TANH(x)=x - 1/3×x ^ 3+2/15×x ^ 5 - 17/315×x ^ 7+62/2835×x ^ 9 - 1382/155925×x ^ 11+…

(秒x)^ 2=1+x ^ 2+2/3×x ^ 4+17/45×x ^ 6+…

A(3)=16,因为我们有:{ 1, 3, 2,5, 4 },{ 1, 4, 2,5, 3 },{1, 4, 3,5, 2 },

{ 1, 5, 2,4, 3 },{ 1, 5, 3,4, 2 },{ 2, 3, 1,5, 4 },{2, 4, 1,5, 3 },

{ 2, 4, 3,5, 1 },{ 2, 5, 1,4, 3 },{ 2, 5, 3,4, 1 },{3, 4, 1,5, 2 },

{ 3, 4, 2,5, 1 },{ 3, 5, 1,4, 2 },{ 3, 5, 2,4, 1 },{4, 5, 1,3, 2 },

{ 4, 5, 2,3, 1 }。-杰弗里·克里茨5月19日2013

枫树

系列(TAN(X),X,40);

(NUM):A:= n->ABS(2 ^(2×n)*(2 ^(2×n)-1)*伯努利(2×n)/(2×n));

A000 0182O列表:= PROC(n)局部t,k,j;t〔1〕:=1;

对于k从2到n,t[k]:=(k-1)*t[k-1 ] OD;

对于k从2到n

j从k到n

T[j]:=(J-K)*T[J-1] +(J-K+ 2)*T[j] OD OD;

SEQ(t[j],j=1…n)结束:

A000 0182表(15);彼得卢斯尼,APR 02 2012

Mathematica

表〔2〕(2×n+1—k)*(-1)^(n+k+1)*k!*斯特林S2(2×n+1,k],{k,1, 2×n+1 },{n,0, 7 }(* Victor Adamchik,OCT 05×2005)

V〔1〕=2;v[n]:/n>=2:=v[n]=和[二项式[ 2 n- 3, 2 k- 2 ] v[k] v[nk],{k,n- 1 };表[v[n]/2,{n,15 }](*)零度拉霍斯,JUL 08 2009*)

休息@联盟[范围] 0, 29!系数列表[TaN[x],{x,0, 30 },x] ](*)哈维·P·戴尔10月19日2011;由Robert G. Wilson五世,APR 02 2012*)

t[ 1, 1 ]=1;t〔1, 0〕=0;t[n]/n>1,m]:t[ n,m]=m*(m+1)*和[t[n-1,k],{k,m-1,n-1 }];a [n]:= t[n,1 ];表[a[n],{n,1, 15 }](*)让弗兰,02月2013日后A064 190*)

a[n]:=如果[n<1, 0,] {m=2 n- 1 },m!级数系数[Ta[x],{x,0,M}] ];(*)米迦勒索摩斯3月12日2015*)

[n]:=如果[n<1, 0,((16)^ n-(4)^ n)zeta [ 1 - 2 n] ];米迦勒索摩斯3月12日2015*)

表〔2聚γ[2n- 1, 1/2〕/p^(2n),{n,1, 10 }〕(*)弗拉迪米尔·雷斯捷尼科夫10月18日2015*)

a[n]:=a[n]=[n<2,布尔[ n=1 ] ],和〔二项式〔2 n- 2, 2 k- 1〕〕[k] a[n- k],{k,n- 1 }] ];米迦勒索摩斯,八月02日2018日)

黄体脂酮素

(PARI){A(n)=IF(n<1, 0,(-(4)^ n(- 16)^ n)*BelnFrac(2×n)/(2×n))};

(n)=a(n)=i(an);如果(n=2,n=1,a=vector(n,m,1));(m=2,n,a[m]=和(k=1,m-1,二项式(2×m- 2, 2×k- 1)* [k] *[a[mk]));[n] };/*米迦勒索摩斯*/

(PARI){A(n)=IF(n<1, 0,(2×N - 1)!*PoCoFEF(TAN(x+O(x^(2×n+1))),2×n- 1)};/*米迦勒索摩斯*/

(PARI){A(n)=局部(x= x+x*o(x^ n),Egf);EGF=和(m=0,n,pod(k=1,m,tANH(2×k*x)));n!*POLCOFEF(EGF,N)}/*保罗·D·汉娜5月11日2010*

(PARI)/*连续分数为E.F.TAN(x),从保罗·D·汉娜:*/

{a(n)=局部(cf=1+o(x));(i=1,n,cf=1 /(2*(n+i 1)-1-x^ 2 *cf));(2×n-1);*POLCOFEF(X*CF,2×N-1)}

(PARI)/* O.G.F. SUMU{{N>=1 } A(n)*x^ n,来自保罗·D·汉娜2000年2月05日:*/

{a(n)=PoCoFEF(x+ 2×x*和)(m=1,n,x^ m*PROD(k=1,m,(2×k-1)^ 2 /(1 +(2×k-1)^ 2×x+x*o(x^ n))),n)}

求和(二项式(k,r)*和(和(二项式)(2)^(j))*和((1)^(n)*二项式(j,i)*(j** i)^(2×n),i,0,底((j-1)/2)*(-1)^(L j),j,1,L)*(-1)^ L*二项式(R+L-1,R-1),L,1, 2 *N)*(-1)^(1-r),r,1,k)/k,k,1, 2*n;(极大值)A(n):弗拉迪米尔克鲁钦宁8月23日2010*

(Python),这个实现的目的是效率。

αn>[0,a(1),a(2),…,a(n)],n>0。

DEFA000 0182列表(n):

…t==0,i在范围(1,n+1)中

…t〔1〕=1

对于k的范围(2,n+1):

…t[k]=(k-1)*t[k-1 ]

对于k的范围(2,n+1):

…j范围内(k,n+1):

……t[j]=(j-k)*t[j-1 ] +(j-k+ 2)*t[j]

……返回T

打印(打印)A000 0182(100)彼得卢斯尼,八月07日2011

L.SEIDEL(SAGE)算法(1877)

αn>[a(1),…,a(n)],n>=1。

DEFA000 0182列表(LeN):

r=[];a= {-1:0,0:1};k=0;e=1;

对于I(0…2×1):

AM=0;a[k+e]=0;e= -e

对于j in(0…i):AM+= a[k];a[k]=AM;k+= e

如果E>0:R.append(A[I// 2 ])

返回R

A000 0182清单(15)彼得卢斯尼3月31日2012

交叉裁判

A(n)=2 ^(n-1)*A000 2105(n)。除了符号,2 ^(2n-2)*A00 1459(n)=n*a(n)。

囊性纤维变性。A00 1459A000 2430A03627A000 0364(割线数)A000 0111(割线正切数)A02483A000 97 64. 第一对角线A059419以及A064 190.

囊性纤维变性。A000 9006A000 97 25A09584AA012509A000 9123A000 9567.

等于A000 2425(n)* 2 ^A101921(n)。

等于最左边的列A162005. -约翰内斯·梅杰6月27日2009

囊性纤维变性。A2588A258901. 囊性纤维变性。A000 2105A8080635A24797.

囊性纤维变性。A019538.

语境中的顺序:A05097 A012188 A217816*A000 97 64 A189257 A227 74

相邻序列:A000 0179 A000 0180 A000 0181*A000 0183 A000 0184 A000 0185

关键词

诺恩核心容易

作者

斯隆

地位

经核准的

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