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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A000182号 切线(或“Zag”)数:例如f.tan(x),也可以(最多符号),例如f.tanh(x)。
(原名M2096 N0829)
173
1, 2, 16, 272, 7936, 353792, 22368256, 1903757312, 209865342976, 29088885112832, 4951498053124096, 1015423886506852352, 246921480190207983616, 70251601603943959887872, 23119184187809597841473536, 8713962757125169296170811392, 3729407703720529571097509625856 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
具有2n-1个节点的Joyce树的数量。{0,1,…,2n}的颤音排列数-拉尔夫·斯蒂芬2003年3月28日
这个序列的Hankel变换是A000178号(n) 对于奇数n=1,12,34560。。。;示例:det([1,2,16;2,16,272,16,72,7936])=34560-菲利普·德尔汉姆2004年3月7日
a(n)是具有2n-1个顶点的递增标记全二叉树的数目。完全二进制意味着每个非叶顶点都有两个子节点,分别为左和右;标记表示顶点标记为1,2,。。。,2n-1;增加意味着每个孩子的标签都比父母大-大卫·卡伦2007年11月29日
来自Micha Hofri(Hofri(AT)wpi.edu),2009年5月27日:(开始)
a(n)是[2n]的排列数,当按顺序插入时,形成二叉搜索树,得到最大可能树(只有一个子节点)。
例如,f.是sec^2(x)=1+tan^2(x),并且可以从tan(x)本身生成相同的系数,即上述奇数节点的树数的示例f。(结束)
a(n)是具有2n-1个节点的递增严格二叉树的数目。有关使用关联置换增加严格二叉树的更多信息,请参阅A245894型. -曼达·里尔2014年8月7日
有关交替置换、欧拉多项式和伯努利多项式、锯齿数、三角函数、方波的傅里叶变换、量子代数以及n维超立方体和格林函数上的积分的关系,请参见Hodges和Sukumar。关于量子代数的进一步讨论,请参阅后来的Hodges和Sukumar参考文献,以及Hetyei的论文,该论文介绍了Viennot关于正交多项式、逆多项式、三对角矩阵和格路径的一般组合理论的联系(因此与连分式和累积量有关)-汤姆·科普兰2014年11月30日
Zigzag-Hankel变换是A000178号也就是说,A000178号(2*n-k)=det([a(i+j-k)]_{i,j=1.n}),对于n>0和k=0,1-迈克尔·索莫斯2015年3月12日
a(n)是斜形状(n,n,n-1,n-2,…,3,2)/(n-1,n-2,n-3,…,2,1)的标准Young表的数量-潘然2015年4月10日
有关Sheffer-Appell算子演算和生成Meixner-Pollaczek和Krawtchouk正交多项式的Riccati微分方程的关系,请参阅Feinsilver链接和Rzadkowski的第45页-汤姆·科普兰,2015年9月28日
对于与椭圆曲线、Weierstrass椭圆函数、Lorentz形式群定律、Lie无穷小生成器和Euler数的关系A008292号,请参阅A155585型. -汤姆·科普兰2015年9月30日
欧拉三角形奇数行交替和的绝对值(其中三角形顶点的单个1计为第1行),A008292号.实际的交替和以符号交替出现,例如1、-2、16、-272等(偶数行的交替和始终为0。)-格雷戈里·杰拉德·沃纳2018年9月28日
序列是任意奇数素数p的周期模。如果p==1模4,最小周期为(p-1)/2,如果p==3模4则最小周期为p-1[Knuth&Buckholtz,1967,定理1]-艾伦·斯坦格2020年8月3日
发件人彼得·巴拉,2021年12月24日:(开始)
推测:
1) 取任意整数k的模的序列最终会随着周期除以φ(k)而变为周期。
2) 高斯同余a(n*p^k)==a(n*p^(k-1))(mod p^ k)适用于所有素数p和正整数n和k,除非p=2,n=1和k=1或2。
3) 对于i>=1,定义a_i(n)=a(n+i)。高斯同余a_i(n*p^k)==a_i,(n*p ^(k-1))(mod p^k。有关示例,请参见A262145型.(结束)
参考文献
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链接
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配方奶粉
例如:log(sec x)=和{n>0}a(n)*x^(2*n)/(2*n)!。
例如:tan x=和{n>=0}a(n+1)*x^(2*n+1)/(2*n+1)!。
例如:(秒x)^2=Sum_{n>=0}a(n+1)*x^(2*n)/(2*n)!。
2/(exp(2x)+1)=1+和{n>=1}(-1)^(n+1)a(n)x^(2n-1)/(2n-1)!=1-x+x^3/3-2*x^5/15+17*x^7/315-62*x^9/2835+。。。
a(n)=2^(2*n)(2^(2%n)-1)|B_(2*n)|/(2*m)其中B_n是伯努利数(A000367号/A002445号A027641号/A027642号).
渐近:a(n)~2^(2*n+1)*(2*n-1)/Pi^(2*n)。
求和[2^(2*n+1-k)*(-1)^(n+k+1)*k!*StirlingS2[2*n+1,k],{k,1,2*n+1}].-维克托·阿达姆奇克,2005年10月5日
a(n)=abs[c(2*n-1)]其中c(n)=2^ n!*号滞后[n,-P(.,-1)/2]本影=(-2)^n*n!*C{T[,P(.,-1)/2]+n,n}暗含符号Euler数EN(n),Bernoulli数Ber(n)、Genocchi数GN(n/[(x-y)!*y!]和的多项式P(j,t)A131758号. -汤姆·科普兰2007年10月5日
a(1)=A094665号(0,0)*A156919号(0,0)和a(n)=和{k=1..n-1}2^(n-k-1)*A094665号(n-1,k)*A156919号(k,0)对于n=2,3。。,看见A162005型. -约翰内斯·梅耶尔2009年6月27日
G.f.:1/(1-1*2*x/(1-2*3*x/-保罗·巴里,2010年2月24日
发件人保罗·巴里,2010年3月29日:(开始)
G.f.:1/(1-2x-12x^2/(1-18x-240x^2/(1-50x-1260x^2/(1-8x-4032x^2/(1-162x-9900x^2/(1-…(续分数));
由4*(n+1)^2*(2n+1)*(2n+3)和2(2n+1)^2给出的系数序列(参见Van Fossen Conrad参考)。(结束)
例如:x*Sum_{n>=0}Product_{k=1..n}tanh(2*k*x)=Sum_}n>=1}a(n)*x^n/(n-1)-保罗·D·汉纳,2010年5月11日[更正人:保罗·D·汉纳2023年9月28日]
a(n)=(-1)^(n+1)*Sum_{j=1..2*n+1}j*当n>=0时,箍筋2(2*n+1,j)*2^(2*n+1-j)*(-1)^j。弗拉基米尔·克鲁奇宁,2010年8月23日:(开始)
如果n是奇数,使得2*n-1是素数,那么a(n)==1(mod(2*n-1));如果n是偶数,使得2*n-1是素数,那么a(n)==-1(mod(2*n-1))-弗拉基米尔·舍维列夫2010年9月1日
递归:a(n)=(-1)^(n-1)+和{i=1..n-1}(-1)*(n-i+1)*C(2*n-1,2*i-1)*a(i)-弗拉基米尔·舍维列夫2011年8月8日
例如:tan(x)=和{n>=1}a(n)*x^(2*n-1)/(2*n-1)!=x/(1-x^2/(3-x^2/[(5-x^2//(7-x^2/(9-x^2/-(11-x^2/.(13-…))))])(从J.H.Lambert-1761继续分数)-保罗·D·汉纳2011年9月21日
发件人谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年10月31日至2013年10月9日:(开始)
连续分数:
例如:(秒(x))^2=1+x^2/(x^2+U(0)),其中U(k)=(k+1)*(2k+1)-2x^2+2x^2*(k+1。
例如:tan(x)=x*T(0),其中T(k)=1-x^2/(x^2-(2k+1)*(2k+3)/T(k+1))。
例如:tan(x)=x/(g(0)+x),其中g(k)=2*k+1-2*x+x/(1+x/g(k+1))。
例如:tanh(x)=x/(g(0)-x),其中g(k)=k+1+2*x-2*x*(k+1)/g(k+1)。
例如:tan(x)=2*x-x/W(0),其中W(k)=1+x^2*(4*k+5)/((4*k+1)*(4xk+3)*。
例如:tan(x)=x/T(0),其中T(k)=1-4*k^2+x^2*(1-4*k^2)/T(k+1)。
例如:tan(x)=-3*x/(T(0)+3*x^2),其中T(k)=64*k^3+48*k^2-4*k*(2*x^2+1)-2*x^2-3-x^4*(4*k-1)*(4xk+7)/T(k+1)。
G.f.:1/G(0),其中G(k)=1-2*x*(2*k+1)^2-x^2*(2xk+1)*(2*k+2)^2x(2*k+3)/G(k+1)。
通用公式:2*Q(0)-1,其中Q(k)=1+x^2*(4*k+1)^2/。
G.f.:(1-1/G(0))*sqrt(-x),其中G(k)=1+sqrt。
G.f.:Q(0),其中Q(k)=1-x*(k+1)*(k+2)/(x*(k+1)*。(结束)
O.g.f.:x+2*x*Sum_{n>=1}x^n*Product_{k=1..n}(2*k-1)^2/(1+(2*k-1)^2*x)Paul D.Hanna,2013年2月5日
a(n)=(-4)^n*Li_{1-2*n}(-1)Peter Luschny,2012年6月28日
a(n)=(-4)^n*(4^n-1)*Zeta(1-2*n)-Jean-François Alcover公司2013年12月5日
渐近展开:4*((2*(2*n-1))/(Pi*e))^。(请参阅Luschny链接。)-彼得·卢什尼2015年7月14日
发件人彼得·巴拉2015年9月11日:(开始)
例如,f。A(x)=tan(x)满足微分方程A’’(x)=2*A(x)*A’(x),其中A(0)=0,A’(0)=1,导致A(0)=0,A(1)=1,否则A(n)=2*Sum_{i=0..n-2}充气序列[0,1,0,2,0,16,0,272,…]的二项(n-2,i)*A(i)*A(n-1-i)。
注意,相同的递归,但在初始条件a(0)=1和a(1)=1下,产生序列n!a(0)=1/2和a(1)=1产生A080635号.参见。A002105号,A234797型.(结束)
a(n)=2*多蜂(2*n-1,1/2)/Pi^(2*n)-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年10月18日
a(n)=2^(2n-2)*p(2n-1,-1/2)|,其中pn(x)是A019538年例如,a(2)=2=2^2*|1+6(-1/2)+6(-1-2)^2|-汤姆·科普兰2016年10月19日
发件人彼得·巴拉2017年5月5日:(开始)
偏移量为0时,o.g.f.A(x)=1+2*x+16*x^2+272*x^3+。。。具有其第四二项式变换1/(1-4*x)A(x/(1-4*.x))具有S分数表示1/(1-6*x/(1-2*x/, ...] 通过交换相邻的术语。与Paul Barry给出的与A(x)相关的S分数进行比较。
A(x)=1/(1+x-3*x/(1-4*x/,。。。。(结束)
a(n)=和{i=1..n-1}二项式(2*n-2,2*k-1)*a(k)*a-迈克尔·索莫斯,2018年8月2日
a(n)=2^(2*n-1)*|Euler(2*n-1,0)|,其中Euler(n,x)是Euler多项式-丹尼尔·苏图2018年11月21日(重述科普兰2007年的一种配方。)
x和{n>=1}(-1)^n*a(n)*x^(2*n)/(2*n)!=x-对数(cosh(x))。x-log(cosh(x))的级数反转为(1/2)*x-(1/2)*log(2-exp(x),)=Sum_{n>=0}A000670号(n) *x^(n+1)/(n+1-彼得·巴拉2022年7月11日
对于n>1,a(n)=2*Sum_{j=1..n-1}和{k=1..j}二项式(2*j,j+k)*(-4*k^2)^(n-1)*(-1)^k/(4^j)-Tani Akinari2023年9月20日
例子
tan(x)=x+2*x^3/3!+16*x^5/5!+272*x^7/7!+…=x+1/3*x^3+2/15*x^5+17/315*x^7+62/2835*x^9+O(x^11)。
tanh(x)=x-1/3*x^3+2/15*x^5-17/315*x^7+62/2835*x^9-1382/155925*x ^11+。。。
(秒x)^2=1+x^2+2/3*x^4+17/45*x^6+。。。
a(3)=16,因为我们有:{1,3,2,5,4},{1,4,2,5,3},},
{1,5,2,4,3},{1,5,3,4,2},{2,3,1,5,4},{2,4,1,5,3},
{2, 4, 3, 5, 1}, {2, 5, 1, 4, 3}, {2, 5, 3, 4, 1}, {3, 4, 1, 5, 2},
{3,4,2,5,1},{3,5,1,4,2},{3,5,2,4,1},{4,5,1,3,2},
{4, 5, 2, 3, 1}. -杰弗里·克雷策2013年5月19日
MAPLE公司
系列(tan(x),x,40);
(数字理论):a:=n->abs(2^;
A000182号_列表:=proc(n)局部T,k,j;T[1]:=1;
对于从2到n的k do T[k]:=(k-1)*T[k-1]od;
对于k从2到n do
对于从k到n的j do
T[j]:=(j-k)*T[j-1]+(j-k+2)*T[j]od;
seq(T[j],j=1..n)结束:
A000182号_列表(15)#彼得·卢什尼2012年4月2日
数学
表[总和[2^(2*n+1-k)*(-1)^(n+k+1)*k!*StirlingS2[2*n+1,k],{k,1,2*n+1}],{n,0,7}](*Victor Adamchik,2005年10月5日*)
v[1]=2;v[n]/;n>=2:=v[n]=和[二项式[2n-3,2k-2]v[k]v[n-k],{k,n-1}];表[v[n]/2,{n,15}](*零入侵拉霍斯2009年7月8日*)
休息@Union[Range[0,29]!系数列表[系列[Tan[x],{x,0,30}],x]](*哈维·P·戴尔2011年10月19日;修改人罗伯特·威尔逊v2012年4月2日*)
t[1,1]=1;t[1,0]=0;t[n/;n>1,m]:=t[n,m]=m*(m+1)*和[t[n-1,k],{k,m-1,n-1}];a[n]:=t[n,1];表[a[n],{n,1,15}](*Jean-François Alcover公司2013年1月2日之后A064190号*)
a[n_]:=如果[n<1,0,With[{m=2n-1},m!系列系数[Tan[x],{x,0,m}]];(*迈克尔·索莫斯2015年3月12日*)
a[n]:=如果[n<1,0,((-16)^n-(-4)^n)Zeta[1-2n]];(*迈克尔·索莫斯2015年3月12日*)
表[2 PolyGamma[2n-1,1/2]/Pi^(2n),{n,1,10}](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年10月18日*)
a[n]:=a[n]=如果[n<2,Boole[n==1],和[二项式[2n-2,2k-1]a[k]a[n-k],{k,n-1}]];(*迈克尔·索莫斯2018年8月2日*)
a[n]:=(2^(2*n)*(2^2*n)-1)*Abs[BernoulliB[2*n])/(2*n);a/@范围[20](*斯坦·瓦贡2022年11月21日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=如果(n<1,0,(-4)^n-(-16)^n)*bernfrac(2*n)/(2*n))};
(PARI){a(n)=my(an);如果(n<2,n==1,an=向量(n,m,1);对于(m=2,n,an[m]=和(k=1,m-1,二项式(2*m-2,2*k-1)*an[k]*an[m-k]);an[n])}/*迈克尔·索莫斯*/
(PARI){a(n)=如果(n<1,0,(2*n-1)!*polceoff(tan(x+O(x^(2*n+2)),2*n-1))}/*迈克尔·索莫斯*/
(PARI){a(n)=my(X=X+X*O(X^n),Egf);Egf=X*和(m=0,n,prod(k=1,m,tanh(2*k*X));(n-1)!*polcoeff(Egf,n)}/*保罗·D·汉纳2010年5月11日*/
(PARI)/*例如f.tan(x)的续分数,来自保罗·D·汉纳: */
{a(n)=局部(CF=1+O(x));对于(i=1,n,CF=1/(2*(n-i+1)-1-x^2*CF));(2*n-1)!*polcoeff(x*CF,2*n-l)}
(PARI)/*O.g.f.总和{n>=1}a(n)*x^n,来自保罗·D·汉纳2013年2月5日:*/
{a(n)=polcoeff(x+2*x*和(m=1,n,x^m*prod(k=1,m,(2*k-1)^2/(1+(2*k-1)^2*x+x*O(x^n))),n)}
(极大值)a(n):=和(和(二项式(k,r)*和(和)1,k)/k,k,1,2*n)/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2010年8月23日*/
(极大值)a[n]:=如果n=1,则1其他2*和(和(二项式(2*j,j+k)*(-4*k^2)^(n-1)*(-1)^k/(4^j),k,1,j),j,1,n-1);
临时名单(a[n],n,1,30)/*塔尼·阿基纳里2023年9月20日*/
(Python)#此实现的目标是提高效率。
#n->[0,a(1),a(2),…,a(n)]表示n>0。
定义A000182号_列表(n):
T=[0,i在范围(1,n+2)内]
T[1]=1
对于范围(2,n+1)中的k:
T[k]=(k-1)*T[k-1]
对于范围(2,n+1)中的k:
对于范围(k,n+1)中的j:
T[j]=(j-k)*T[j-1]+(j-k+2)*T[j]
返回T
打印(A000182号_列表(100))#彼得·卢什尼,2011年8月7日
(Python)
来自sympy import bernoulli
定义A000182号(n) :返回abs((2-(2<<(m:=n<<1))*伯努利(m)<<m-2)//n)#柴华武2023年4月14日
(Sage)#L.Seidel的算法(1877)
#n->[a(1),…,a(n)],对于n>=1。
定义A000182号_列表(长度):
R=[];A={-1:0,0:1};k=0;e=1
对于(0..2*len-1)中的i:
Am=0;A[k+e]=0;e=-e
对于(0..i)中的j:Am+=A[k];A[k]=Am;k+=e
如果e>0:R.append(A[i//2])
返回R
A000182号_列表(15)#彼得·卢什尼2012年3月31日
交叉参考
A350972型基本上是相同的序列。
a(n)=2^(n-1)*A002105号(n) ●●●●。除符号外,2^(2n-2)*A001469号(n) =n*a(n)。
囊性纤维变性。A001469号,A002430型,A036279号,A000364号(正割数),A000111号(正切数),A024283号,A009764号.的第一对角线A059419号和,共A064190号.
等于A002425号(n) *2个^A101921号(n) ●●●●。
等于的最左侧列A162005型. -约翰内斯·梅耶尔2009年6月27日
囊性纤维变性。A258880型,A258901型.参见。A002105号,A080635号,A234797型.
囊性纤维变性。A019538年.
关键词
非n,核心,容易的,美好的
作者
状态
经核准的

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上次修改时间:美国东部夏令时2024年3月19日04:58。包含370952个序列。(在oeis4上运行。)