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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A001008号 调和数H(n)的分子=Sum_{i=1..n}1/i。
(原名M2885 N1157)
441
1, 3, 11, 25, 137, 49, 363, 761, 7129, 7381, 83711, 86021, 1145993, 1171733, 1195757, 2436559, 42142223, 14274301, 275295799, 55835135, 18858053, 19093197, 444316699, 1347822955, 34052522467, 34395742267, 312536252003, 315404588903, 9227046511387 (列表图表参考历史文本内部格式)
抵消
1,2
评论
H(n)/2是一堆n张牌在不倾倒的情况下可以伸出桌子边缘的最大距离。
根据Wolstenholme定理,p^2除以所有素数p>3的a(p-1)。
发件人亚历山大·阿达姆楚克2006年12月11日:(开始)
p除以所有素数p>3的a(p^2-1)。
p为素数p除以a((p-1)/2A001220号.
p将素数p除以a((p+1)/2)或a((p-3)/2)A125854号.
a(n)是n的素数A056903号相应的素数由下式给出A067657号.(结束)
a(n+1)是多项式a[1,n](1)的分子,其中多项式a[属1,等级n](m)定义为和{d=1..n-1}m^(n-d)/d-阿图尔·贾辛斯基2008年10月16日
M.Paterson和U.Zwick发现了更好的卡片堆叠问题解决方案(参见链接)-雨果·普福尔特纳,2012年1月1日
a(n)=A213999型(n,n-1)-莱因哈德·祖姆凯勒2012年7月3日
a(n)与A175441号(n) 当且仅当n不来自序列A256102型.商a(n)/A175441号(n) 对于n inA256102型作为对应条目给出A256103型. -沃尔夫迪特·朗2015年4月23日
关于Harmonic级数发散的简短证明,请参阅Goldmakher链接-N.J.A.斯隆2015年11月9日
所有项都是奇数,而相应的分母(A002805号)对于n>1都是偶数(Pólya和Szegő的证明)-伯纳德·肖特2021年12月24日
参考文献
H.W.Gould,《组合标识》,Morgantown Printing and Binding Co.,1972年,第1.45号,第6页,第3.122号,第36页。
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik,《具体数学》。Addison-Wesley,马萨诸塞州雷丁,1990年,第259页。
哈代和赖特,《数论导论》。第三版,牛津大学出版社,1954年,第347页。
D.E.Knuth,《计算机编程的艺术》。Addison-Wesley,雷丁,马萨诸塞州,第1卷,第615页。
G.Pólya和G.Szegő,《分析中的问题和定理》,第二卷,施普林格,1976年版重印,1998年,第251期,第154页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
Kenny Lau,n=1..2295时的n,a(n)表(前200个条款由T.D.Noe提供)
David H.Bailey、Jonathan M.Borwein和Roland Girgensohn,欧拉和的实验评价,专家。数学。3(1) (1994), 17-30; 他们计算常数Sum{k>=1}H_k^m/(k+1)^n。
陈洪伟,几种可变欧拉和的计算《整数序列杂志》,第9卷(2006年),第06.2.3条。
安塔尔·伊万尼,同步网络中的领导者选举《Sapientiae大学学报》,Mathematica,第5期,第2期(2013年),第54-82页。
弗雷德里克·约翰逊,如何(不)计算谐波数。2009年2月21日。
Masanobu Kaneko,贝努利数的Akiyama-Tanigawa算法《整数序列》,3(2000),#00.2.9。
罗密奥·梅斯特罗维奇,沃尔斯滕霍尔姆定理:五十年来的推广与推广(1862-2011),arXiv预印本arXiv:11111.3057[math.NT],2011。
杰里·梅茨格和托马斯·理查兹,囚犯问题变体《整数序列杂志》,第18卷(2015年),第15.2.7条。
Mike Paterson等人。,最大悬垂.
马克西·施密特,广义j因子函数、多项式及应用,J.国际顺序。13(2010),10.6.7,第4.3节。
Peter Shiu,调和数的分母,arXiv:1607.02863[math.NT],2016年。
N.J.A.斯隆,初始术语说明.
Jonathan Sondow和Eric W.Weisstein,MathWorld:谐波数.
维基百科,谐波数.
配方奶粉
H(n)~对数n+伽马+O(1/n)。[见哈迪和赖特,第422页。]
log n+gamma-1/n<H(n)<log n+gamma+1/n[很容易效仿Hardy和Wright,Th.422]-大卫·阿普尔盖特N.J.A.斯隆2008年10月14日
H(n)的G.f.:对数(1-x)/(x-1)-贝诺伊特·克洛伊特2003年6月15日
H(n)=sqrt(求和{i=1..n}求和{j=1..n{1/(i*j))-亚历山大·阿达姆楚克,2004年10月24日
a(n)是伽玛/n+Psi(1+n)/n=伽玛+Psi(n)的分子,其中Psi是二伽玛函数-阿图尔·贾辛斯基2008年11月2日
H(n)=3/2+2*Sum_{k=0..n-3}二项式(k+2,2)/(n-2-k)*(n-1)*n),n>1-加里·德特利夫斯2011年8月2日
H(n)=(-1)^(n-1)*(n+1)*n*和{k=0..n-1}k*箍筋2(n-1,k)*箍筋1(n+k+1,n+1)/(n+k+1)-弗拉基米尔·克鲁奇宁2013年2月5日
H(n)=n*和{k=0..n-1}(-1)^k*二项式(n-1,k)/(k+1)^2。(文昌楚)-加里·德特利夫斯2013年4月13日
H(n)=(1/2)*和{k=1..n}(-1)^(k-1)*二项式(n,k)*二项式(n+k,k)/k(H.W.古尔德)-加里·德特利夫斯2013年4月13日
例如,H(n)=a(n)/A002805号(n) :(gamma+log(x)-Ei(-x))*exp(x),其中gamma是Euler-Marcheroni常数,Ei(x)是指数积分-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月24日
H(n)=残差((psi(-s)+gamma)^2/2,{s,n}),其中psi是digamma函数,gamma是Euler-Marcheroni常数-Jean-François Alcover公司2014年2月19日
H(n)=Sum_{m>=1}n/(m^2+n*m)=gamma+digamma(1+n),分子和分母。(请参阅Digamma上的数学世界链接)-理查德·福伯格2015年1月18日
H(n)=(1/2)和{j>=1}和{k=1..n}((1-2*k+2*n)/(-1+k+j*n)*(k+j*n))+log(n)+1/(2*n)-迪米特里·帕帕佐普洛斯2016年1月13日
H(n)=(n!)^2*和{k=1..n}1/(k*(n-k)*(n+k)!)-弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年3月31日
a(n)=斯特林1(n+1,2)/gcd(斯特林1(n+1,2),n!)=A000254号(n) /gcd号(A000254号(n) ,n!)-马克斯·阿列克塞耶夫,2018年3月1日
发件人彼得·巴拉2019年1月31日:(开始)
H(n)=1+(1+1/2)*(n-1)/(n+1)+(1/2+1/3)*(n-1)*(n-2)/((n+1。
H(n)/n=1+(1/2^2-1)*(n-1)/(n+1)+。
对于奇数n>=3,(1/2)*H((n-1)/2)=(n-1。囊性纤维变性。A195505型。请参阅中的Bala链接A036970号.(结束)
H(n)=((n-1)/2)*超几何([1,1,2-n],[2,3],1)+1-阿图尔·贾辛斯基2021年1月8日
猜想:对于非零m,H(n)=(1/m)*和{k=1..n}((-1)^(k+1)/k)*二项式(m*k,k)*二项式(n+(m-1)*k,n-k)。情况m=1是众所周知的;Detlefs(2013年4月13日)给出了上述情况m=2-彼得·巴拉2022年3月4日
a(n)=连分数1/(1-1^2/(3-2^2/-彼得·巴拉2024年2月18日
H(n)=和{k=1..n}(-1)^(k-1)*二项式(n,k)/k(H.W.古尔德)-加里·德特利夫斯2024年5月28日
例子
H(n)=[1,3/2,11/6,25/12,137/60,49/20,363/140,761/280,7129/2520,…]。
巧合A175441号:前19个条目重合,因为20是A256102型的确,a(20)/A175441号(20) = 55835135 / 11167027 = 5 =A256103型(1). -沃尔夫迪特·朗2015年4月23日
MAPLE公司
A001008号:=进程(n)
加(1/k,k=1..n);
数字(%);
结束进程:
序列(A001008号(n) ,n=1..40)#零入侵拉霍斯2007年3月28日;R.J.马塔尔2016年12月2日
数学
表[分子[HarmonicNumber[n]],{n,30}]
(*生成A[1,n](m)的程序(见注释部分)*)m=1;aa={};做[k=0;做[k=k+m^(r-d)/d,{d,1,r-1}];附加到[aa,k],{r,1,20}];美国(*阿图尔·贾辛斯基2008年10月16日*)
分子[累加[1/范围[25]]](*阿尔特阿隆索2018年11月21日*)
分子[表[(n-1)/2)*HypergeometricPFQ[{1,1,2-n},{2,3},1]+1,{n,1,29}]](*阿图尔·贾辛斯基2021年1月8日*)
黄体脂酮素
(PARI)A001008号(n) =分子(总和(i=1,n,1/i))\\迈克尔·波特2009年12月8日
(PARI)H1008=列表(1);A001008号(n) ={对于(k=#H1008,n-1,listput(H1008、H1008[k]+1/(k+1));分子(H1008[n])}\\大约比n=1.1500快100倍-M.F.哈斯勒2019年7月3日
(哈斯克尔)
导入数据。比率(%),分子)
a001008=分子。总和。地图(1%)。enumFromTo 1
a001008_list=映射分子$scanl1(+)$map(1%)[1..]
(鼠尾草)
def harmonic(a,b):#参见F.Johansson链接。
如果b-a==1:
返回1,a
m=(a+b)//2
p、 q=谐波(a,m)
r、 s=谐波(m,b)
返回p*s+q*r,q*s
定义A001008号(n) :H=谐波(1,n+1);返回分子(H[0]/H[1])
[A001008号(n) 对于(1..29)中的n#彼得·卢什尼2012年9月1日
(岩浆)[分子(谐波数(n)):[1..30]]中的n//布鲁诺·贝塞利,2016年2月17日
(Python)
从sympy导入整数
[对于范围(1,n+1)中的i,求和(1/Integer(i))。对于范围(1,31)中的n,求numerator()]#因德拉尼尔·戈什2017年3月23日
(GAP)列表([1..30],n->NumeratorRat(总和([1..n],i->1/i))#穆尼鲁A阿西鲁2018年12月20日
交叉参考
囊性纤维变性。A145609号-A145640号. -阿图尔·贾辛斯基2008年10月16日
囊性纤维变性。A003506号. -保罗·柯茨,2013年11月30日
以下分数相互关联:总和1/n:A001008号/A002805号,和1/素数(n):A024451号/A002110号A106830号/A034386号,总和1/非素数(n):A282511型/A282512型,总和1/组合(n):A250133型/A296358型.
囊性纤维变性。A195505型.
关键词
非n,压裂,美好的,容易的
作者
扩展
编辑人马克斯·阿列克塞耶夫2011年10月21日
更改了标题,删除了不正确的名称“Wolstenholme numbers”,该名称与Weisstein的《数学世界》和Wikipedia以及OEIS中对后者的定义相冲突A007406号. -斯坦尼斯拉夫·西科拉2016年3月25日
状态
经核准的

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上次修改时间:美国东部夏令时2024年6月15日06:51。包含373402个序列。(在oeis4上运行。)