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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A001008号 调和数H(n)=和{i=1..n}1/i的分子。
(原M2885 N1157)
407
1,3,11,25,137,49,363,761,7129,7381,83711,86021,1145993,1171733,1195757,2436559,42142223,14274301,275295799,55835135,18858053,19093197,444316699,1347822955,340522467,34395742267,3125362522003,315404588903,9227046511387 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

1,2

评论

H(n)/2是一堆n张卡片在不倾倒的情况下伸出桌子边缘的最大距离。

根据Wolstenholme定理,p^2对p>3的所有素数a(p-1)进行除。

亚历山大·阿达姆丘克2006年12月11日:(开始)

p除以所有素数p>3的a(p^2-1)。

p除以a((p-1)/2)得到素数p inA001220型.

p除以a((p+1)/2)或a((p-3)/2)得到素数p inA125854号.

a(n)是n的素数A056903号相应的素数由A067657号(结束)

a(n+1)是多项式a[1,n](1)的分子,其中多项式a[属1,级n](m)定义为和{d=1..n-1}m^(n-d)/d。(参见下面生成[1,n](m)的Mathematica过程。)-雅辛斯基2008年10月16日

M.Paterson和U.Zwick已经找到了更好的解决卡片堆叠问题的方法(见链接)-雨果·普福特纳2012年1月1日

a(n)=A213999号(n,n-1)-莱因哈德·祖姆凯勒2012年7月3日

a(n)与A175441号(n) 当且仅当n不是来自序列A256102商a(n)/A175441号(n) n英寸A256102作为A256103. -狼牙2015年4月23日

关于谐波级数发散的一个很短的证明,请参阅Goldmakher链接-N、 斯隆2015年11月9日

所有的项都是奇数,而相应的分母(A002805型)都是n>1的偶数(Pólya和Szegő的证明)-伯纳德·肖特2021年12月24日

参考文献

R、 L.Graham,D.E.Knuth和O.Patashnik,混凝土数学。Addison Wesley,雷丁,马萨诸塞州,1990年,第259页。

G、 哈代和赖特,《数论导论》。第三版,牛津大学出版社,1954年,第347页。

D、 计算机编程的艺术。Addison Wesley,雷丁,文学硕士,第一卷,第615页。

G、 Pólya和G.Szegő,《分析中的问题和定理》,第二卷,斯普林格,1976年版再版,1998年,问题251,第154页。

N、 J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。

N、 J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。

链接

刘德华,n=1..2295的n,a(n)表(前200个条款由T.D.Noe提供)

大卫·H·贝利,乔纳森·M·博文,罗兰·吉根森,欧拉和的实验评价,实验。数学。3(1)(1994),17-30;他们计算常数Sum{k>=1}H_k^m/(k+1)^n。

陈宏伟,几种变欧拉和的估计《整数序列杂志》,第9卷(2006年),第06.2.3条。

陈宏伟,与中心二项式系数、加泰罗尼亚数和调和数有关的有趣级数,国际期刊。19(2016年),#16.1.5。

R、 迪卡先生,调和数与书籍堆积问题.

利奥·戈德马克尔,调和级数发散性的一个简短证明.

安塔尔·伊瓦尼,同步网络中的领导者选举《智慧大学学报》,Mathematica,5,2(2013),54-82。

弗雷德里克·约翰逊,如何计算调和数。2009年2月21日。

Masanobu Kaneko先生,贝努利数的秋山谷川算法,J.整数序列,3(2000),#00.2.9。

罗密欧·梅斯特罗维奇,Wolstenholme定理:它在过去一百五十年中的推广和推广(1862-2011),arXiv预印本arXiv:1111.3057[math.NT],2011年。

杰里·梅茨格和托马斯·理查兹,囚犯问题变体《整数序列杂志》,第18卷(2015年),第15.2.7条。

三岛真三郎,Wolstenholme数的因式分解,n=1..100,n=101..200,n=201..300.

Mike Paterson等人。,最大悬挑.

马克西·D·施密特,广义j-阶乘函数、多项式及其应用,国际期刊。13(2010),10.6.7,第4.3节。

小彼得,调和数的分母,arXiv:1607.02863[math.NT],2016年。

N、 J.A.斯隆,初始术语说明.

乔纳森·桑多和埃里克·W·韦斯坦,数学世界:调和数.

埃里克·韦斯坦的数学世界,书籍堆叠问题,Wolstenholme定理,调和平均数,Digamma函数.

维基百科,谐波数.

公式

H(n)~对数n+γ+O(1/n)。[见哈代和赖特,第422页。]

对数n+gamma-1/n<H(n)<logn+gamma+1/n[很容易从Hardy和Wright,Th.422]得到-大卫·阿普盖特N、 斯隆2008年10月14日

G、 f.对于H(n):对数(1-x)/(x-1)-贝诺伊特·克罗伊特2003年6月15日

H(n)=sqrt(和{i=1..n}和{j=1..n}1/(i*j))-亚历山大·阿达姆丘克2004年10月24日

a(n)是Gamma/n+Psi(1+n)/n=Gamma+Psi(n)的分子,其中Psi是digamma函数-雅辛斯基2008年11月2日

H(n)=3/2+2*和{k=0..n-3}二项式(k+2,2)/((n-2-k)*(n-1)*n),n>1-加里·德特勒夫斯2011年8月2日

H(n)=(-1)^(n-1)*(n+1)*n*和{k=0..n-1}k*斯特林2(n-1,k)*斯特林1(n+k+1,n+1)/(n+k+1)-弗拉基米尔·克鲁基宁2013年2月5日

H(n)=n*和{k=0..n-1}(-1)^k*二项式(n-1,k)/(k+1)^2。(文昌楚)-加里·德特勒夫斯2013年4月13日

H(n)=(1/2)*和{k=1..n}(-1)^(k-1)*二项式(n,k)*二项式(n+k,k)/k。(H.W.古尔德)-加里·德特勒夫斯2013年4月13日

E、 H(n)的g.f.=a(n)/A002805型(n) :(gamma+log(x)-Ei(-x))*exp(x),其中gamma是Euler-Mascheroni常数,Ei(x)是指数积分-弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2013年4月24日

H(n)=残数((psi(-s)+gamma)^2/2,{s,n}),其中psi是digamma函数,gamma是Euler-Mascheroni常数-让·弗朗索瓦·阿尔科弗2014年2月19日

H(n)=和{m>=1}n/(m^2+n*m)=γ+双伽马(1+n),分子和分母。(参见Digamma上的Mathworld链接)-理查德·R·福伯格2015年1月18日

H(n)=(1/2)和{j>=1}和{k=1..n}((1-2*k+2*n)/(-1+k+j*n)*(k+j*n)))+对数(n)+1/(2*n)-帕帕佐普洛斯2016年1月13日

H(n)=(n!)^2*和{k=1..n}1/(k*(n-k)*(n+k)!)-弗拉基米尔·克鲁基宁2016年3月31日

a(n)=斯特林1(n+1,2)/gcd(斯特林1(n+1,2),n!)=A000254号(n) /gcd公司(A000254号(n) ,n!)-马克斯·阿列克谢耶夫2018年3月1日

彼得·巴拉2019年1月31日:(开始)

H(n)=1+(1+1/2)*(n-1)/(n+1)+(1/2+1/3)*(n-1)*(n-2)/((n+1)*(n+2))+(1/3+1/4)*(n-1)*(n-2)*(n-3)/((n+1)*(n+2)*(n+3))+。

H(n)/n=1+(1/2^2-1)*(n-1)/(n+1)+(1/3^2-1/2^2)*(n-1)*(n-2)/((n+1)*(n+2))+(1/4^2-1/3^2)*(n-1)*(n-2)*(n-3)/((n+1)*(n+3))+。

对于奇数n>=3,(1/2)*H((n-1)/2)=(n-1)/(n+1)+(1/2)*(n-1)*(n-3)/((n+1)*(n+3))+1/3*(n-1)*(n-3)*(n-5)/((n+1)*(n+3)*(n+5))+…Cf。邮编:A195505。请参阅中的Bala链接A036970型(结束)

H(n)=((n-1)/2)*超几何([1,1,2-n],[2,3],1)+1-雅辛斯基2021年1月8日

猜想:对于非零m,H(n)=(1/m)*和{k=1..n}((-1)^(k+1)/k)*二项式(m*k,k)*二项式(n+(m-1)*k,n-k)。案例m=1是众所周知的;案例m=2由Detlefs给出(日期为2013年4月13日)-彼得·巴拉2022年3月4日

例子

H(n)=[1,3/2,11/6,25/12,137/60,49/20,363/140,761/280,7129/2520,…]。

巧合A175441号:前19个条目重合,因为20是A256102实际上,a(20)/A175441号(20) =55835135/11167027=5=A256103(1) 一-狼牙2015年4月23日

枫木

A001008号:=过程(n)

加(1/k,k=1..n);

数字(%);

结束过程:

顺序(A001008号(n) ,n=1..40)#泽伦瓦拉乔斯2007年3月28日;R、 J.马萨2016年12月2日

数学

表[分子[HarmonicNumber[n]],{n,30}]

(*生成A[1,n](m)(见注释部分)*)m=1;aa={};Do[k=0;Do[k=k+m^(r-d)/d,{d,1,r-1}];附录[aa,k],{r,1,20}];aa(*雅辛斯基2008年10月16日*)

分子[累加[1/范围[25]](*阿隆索·德尔阿尔特2018年11月21日*)

分子[表[((n-1)/2)*超几何pfq[{1,1,2-n},{2,3},1]+1,{n,1,29}]](*雅辛斯基2021年1月8日*)

黄体脂酮素

(平价)A001008号(n) =分子(和(i=1,n,1/i))\\迈克尔·B·波特2009年12月8日

(PARI)H1008=列表(1);A001008号(n) ={对于(k=#H1008,n-1,listput(H1008,H1008[k]+1/(k+1));分子(H1008[n])}\\ n=1..1500的速度大约快100倍-M、 哈斯勒2019年7月3日

(哈斯克尔)

导入数据。比率(%),分子)

a001008=分子.总和.映射(1%).enumFromTo 1

a001008_list=map分子$scanl1(+)$map(1%)[1..]

--莱因哈德·祖姆凯勒2012年7月3日

(圣人)

def harmonic(a,b):#参见F.Johansson link。

如果b-a==1:

返回1,a

m=(a+b)//2

p、 q=谐波(a,m)

r、 s=谐波(m,b)

返回p*s+q*r,q*s

定义A001008号(n) :H=谐波(1,n+1);返回分子(H[0]/H[1])

[A001008号(n) 对于n in(1..29)]#彼得·卢什尼2012年9月1日

(岩浆)[分子(调和数(n)):n in[1..30]]//布鲁诺·贝尔塞利2016年2月17日

(蟒蛇)

从sympy导入整数

[范围(1,n+1)中的i求和(1/Integer(i))。范围(1,31)中的n的numerator()]#印度教2017年3月23日

(GAP)列表([1..30],n->NumeratorRat(Sum([1..n],i->1/i))#阿西鲁2018年12月20日

交叉引用

囊性纤维变性。A002805型(分母),A007406号,A007408号,A007410号,A075135号,A001220型,A125854号,A121999年,A014566号,A056903号,A067657号,电话:177427,邮编:A177690.

囊性纤维变性。A145609号-A145640号. -雅辛斯基2008年10月16日

囊性纤维变性。A003506号. -保罗·柯茨2013年11月30日

以下分数相互关联:和1/n:A001008号/A002805型,和1/素数(n):A024451号/A002110型A106830/A034386号,总和1/非质(n):邮编:A282511/A282512,总和1/复合(n):A250133号/A296358号.

囊性纤维变性。邮编:A195505.

上下文顺序:A060746号 A111935号 A175441号*A231606型 A096617号 A025529号

相邻序列:A001005型 A001006号 A001007号*A001009号 A001010型 A001011型

关键字

,压裂,美好的,容易的

作者

N、 斯隆

扩展

编辑马克斯·阿列克谢耶夫2011年10月21日

修改了标题,删除了“Wolstenholme numbers”的错误名称,这与Weisstein的数学世界和Wikipedia以及OEIS对后者的定义相冲突A007406号. -斯坦尼斯拉夫·西科拉2016年3月25日

状态

经核准的

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上次修改时间:2022年11月27日19:48。包含358406个序列。(运行在oeis4上。)