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| A143003型 |
| a（0）=0，a（1）=1，a（n+1）=（2*n+1）*（n^2+n+5）*a（n）-n^6*a（n-1）。 |
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43
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0, 1, 21, 1091, 114520, 21298264, 6410456640, 2923097201856, 1920450126458880, 1747596822651334656, 2133806329230225408000, 3405545462439659704320000, 6950705677729940374290432000, 17807686090745585163974737920000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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一般递归的解可以表示为和：a（n）=n^3*p_m（n）*Sum_{k=1..n}1/（k^3*p_m（k-1）*p.m（k）），其中p_（x）=和{k=0..n}C（2*k，k）^2*C（n+k，2*k）*C（x+k，2*k）是x中2*m次的多项式。
前几项是p_0（x）=1，p_1（x）=2*x^2+2*x+1，p_2（x）=（3*x^4+6*x^3+9*x^2+6*x+2）/2和p_3（x）=（10*x^6+30*x^5+85*x^4+120*x^3+121*x^2+66*x+18）/18。对于固定n，序列[p_n（k）]k>=0是乘积晶格A_n x A_n的水晶球序列。参见A143007号对于值表[pn（k）]n，k>=0。观察[p_n（n）]n>=0是Apery数的序列A005259号.
互易律p_m（n）=p_n（m）适用于非负整数m和n。特别是，我们有p_m⑴=2*m^2+2*m+1和p_m⑵=（3*m^4+6*m^3+9*m^2+6*m+2）/2。
多项式p_m（x）是差分方程（x+1）^3*f（x+1+x^3*f（x-1）=（2*x+1）*（x^2+x+2*m^2+2*m+1）*f（x）的唯一多项式解，并进行了规范化，使f（0）=1。互易定律现在产生了类Apery-like递归m^3*p_m（x）+（m-1）^3*p（m-2）（x）=（2*m-1）*（m^2-m+1+2*x^2+2*x）*p_（m-1，x）。
多项式函数p_m（x）的零点位于复平面上的垂直线Rex=-1/2上；即多项式p_m（x-1），m＝1，2，3，。。。，满足黎曼假设（改编[BUMP等人]第4页引理的证明）。
上面第一段中的一般递归有第二个解b（n）=n^初始条件b（0）=1，b（1）=2*m^2+2*m+1的3*p_m（n）。因此，对于大n，a（n）的行为由lim_{n->infinity}（n）/b（n）=Sum_{k>=1}1/（k^3*p_m（k-1）*p_m（k））=1/（（2*m^2+2*m+1）-1^6/（3*（2*m2+2*m+3）-2^6/=和{k>=1}1/（m+k）^3。最终的平等来自拉马努扬的结果；参见[Berndt，第12章，条目32（iii）]。
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参考文献
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布鲁斯·伯恩特（Bruce C.Berndt），《拉马努扬的笔记本第二部分》（Ramanujan’s Notebooks Part II），斯普林格·弗拉格（Springer-Verlag）。
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链接
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D.Bump、K.Choi、P.Kurlberg和J.Vaaler，局部黎曼假设，数学。宙特。233, (2000), 1-19.
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配方奶粉
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a（n）=n^3*p（n）*Sum_｛k=1..n｝1/（k^3*p（k-1）*p（k）），其中p（n）=2*n^2+2*n+1=A001844号（n） ●●●●。
递归：a（0）=0，a（1）=1，a（n+1）=（2*n+1）*（n^2+n+5）*a（n）-n^6*a（n-1）。
序列b（n）：=n^3*p（n）满足初始条件b（0）=1，b（1）=5的相同递归。因此，我们得到了有限连分式展开式a（n）/b（n）=1/（5-1^6/（21-2^6/（55-3^6/（119-…-（n-1）^6/（（2*n-1）*（n^2-n+5））））），对于n>=2。大n的a（n）的行为由lim_{n->无穷大}a（n，b（n）=Sum_{k>=1}1/（k^3*（4*k^4+1））=1/（5-1^6/（21-2^6/zeta（3）-1，其中最终的平等来自于Ramanujan的结果；参见[Berndt，第12章，条目32（iii）at x=1]。
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MAPLE公司
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p:=n->2*n^2+2*n+1:a:=n->n^3*p（n）*和（1/（k^3*p）（k-1）*p（k）），k=1..n）：序列（a（n），n=0..14）
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数学
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递归表[{a[0]==0，a[1]==1，a[n+1]==（2n+1）（n^2+n+5）a[n]-n^6 a[n-1]}，a[n]，{n，15}](*哈维·P·戴尔2011年6月20日*）
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交叉参考
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类Apéry-like数[或类Apáry-sequences，类Apery-like numbers，类Aperry-like sequences]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895号,A005258号,A005259号,A005260号,A006077号,A036917号,A063007号,A081085号,A093388号,A125143号（除了标志），A143003型,A143007号,A143413号,A143414号,2014年11月15日,A143583号,A183204号,142262元,A219692型,A226535型,A227216号,A227454号,A229111号（除了标志），A260667型,A260832型,A262177型,A264541号,A264542号,A279619型,A290575型,A290576型（术语“类Apery-like”没有明确定义。）
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关键字
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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