话题
搜索

Hurwitz Zeta函数

下载Mathematica笔记本下载沃尔夫拉姆笔记本

Hurwitz zeta函数泽塔（s，a）是对黎曼zeta函数 泽塔这也被称为广义zeta函数。它的经典定义是这个公式

zeta（s，a）=sum_（k=0）^infty1/（（k+a）^s）
（1）

对于R[s]>1和依据解析延拓到其他s=1，其中任何带有k+a=0不包括在内。它以这种形式在Wolfram语言作为赫尔维茨泽塔[秒,一].

略有不同的形式

ζ^*（s，a）=sum_（k=0）^infty1/（[（a+k）^2]^（s/2））
（2）

在中实现Wolfram语言作为泽塔[秒,一]. 请注意，这两者仅在以下情况下相同R[a]>0.

HurwitzZeta函数

上图显示泽塔（s，a）真的秒和一，零轮廓用黑色表示。

对于a> -1个,一个全局收敛的级数泽塔（s，a）（其中，对于固定一，给出了解析延拓属于泽塔（s，a）到整个综合体秒-除点以外的平面s=1)由提供

zeta（s，a）=1/（s-1）sum_（n=0）^infty1/（n+1）sum=（k=0）|n（-1）^k（n；k）（a+k）^（1-s）
(3)

（哈斯1930）。

Hurwitz zeta函数在Wolfram语言作为泽塔[秒,一].

对于a=1,泽塔（s，a）减少到黎曼-泽塔函数 泽塔,

zeta（s，1）=zeta（s）。
(4)

如果单数项不包括在泽塔（s，a），然后zeta（s，0）=zeta（s）也。

Hurwitz zeta函数由积分给出

zeta（s，a）=1/（伽马）int_0^infty（t^（s-1）dt）/（e^（at）（1-e^，-t））
(5)

对于R[s]>1和R[a]>0.

HurwitzZetaZeros公司

上图显示了泽塔（s，a）（Trott 1999），其中s=x+iy这里，综合体秒-平面是水平的，真实的一-线是垂直的，从a=1/2底部至a=1在顶部。上面的行是批评的线 R[s]=1/2,其中包含的零zeta（s）=zeta（s，1）。下面的两行是R[s]=0和R[s]=1/2（再次），其中包含的零2分之一秒和泽塔分别，因为zeta（s，1/2）=（2^s-1）zeta（s）; 参见下面的方程式（9）。

这一情节也出现在2004年3月发行的集中，的美国新闻杂志数学协会。

Hurwitz zeta函数也可以由函数方程给出

zeta（s，p/q）=2Gamma（1-s）（2piq）^（s-1）sum_（n=1）^qsin（（pis）/2+（2pinp）/q）zeta（1-s，n/q）
(6)

（Apostol 1995，Miller和Adamchik 1999），或积分

zeta（s，a）=1/2a^（-s）+（a^，1-s）/（s-1）+2int_0^系数（a^2+y^2）^（s-s/2）{sin[标准（-1）（y/a）]}（dy）/（e^（2piy）-1）。
(7)

如果R[z]<0和0<a<=1,然后

zeta（z，a）=（2Gamma（1-z））/（2pi）^（1-z））[sin（（piz）/2）sum_（n=1）^infty（cos（2pian））/
(8)

（Hurwitz 1882；Whittaker和Watson 1990，第268-269页）。

Hurwitz zeta函数满足

zeta（-n，a）=-（B_（n+1）（a））/（n+1
(9)

对于n> =0（Apostol 1995，第264页），其中_k（a）是一个伯努利多项式,给出特殊情况

zeta（0，a）=1/2-a。
(10)

此外，

泽塔（s，1/2）=sum_（k=0）^（infty）（k+1/2）^
(11)
=2^ssum_（k=0）^（infty）（2k+1）^
(12)
=2^s[zeta（s）-sum_（k=1）^（infty）（2k）^
(13)
=2^s（1-2^（-s））zeta（s）
(14)
=（2^s-1）zeta（s）。
(15)

衍生身份包括

d/（ds）zeta（0，a）=ln[γ（a）]-1/2ln（2pi）
（16）
d/（ds）zeta（0,0）=-1/2英寸（2pi），
(17)

哪里伽马（z）是伽马函数（贝利等。2006,第179页）。定义（1）意味着

d/（da）zeta（s，a）=-szeta（s+1，a）
(18)

对于s=0,1.

在极限情况下，

lim（s->1）[zeta（s，a）-1/（s-1）]=-psi0（a）
(19)

（Whittaker和Watson 1990年，第271页；Allouche 1992年），其中psi0（z）是地高玛函数.

这个多囊膜功能 磅/平方英寸（z）可以用Hurwitz zeta函数表示通过

psi_m（z）=（-1）^（m+1）m！zeta（1+m，z）。
(20)

对于正整数 k个,第页、和q> 第页,

zeta^'（-2k+1，p/q）=（[psi（2k）-ln）^（k+1）2（2k-1）！）/（（2piq）^（2k））sum_（n=1）^，
(21)

哪里B_n（B_n）是一个伯努利数,B_n（x）一伯努利多项式,psi_n（z）是一个多囊膜功能、和泽塔（z）是黎曼泽塔功能（Miller和Adamchik，1999年）。Miller和Adamchik（1999）也给出了封闭式表达式（其中在表达式如下）

泽塔^'（1-2k，1/2）=-（B_（2k）ln2）/（4^kk）-（（2^（2k-1）-1）zeta^'（-2k+1））
(22)
泽塔^’（1-2k，1/3；2/3）=∓（平方（3）（9^k-1）B_（2k）π）/（8k·9^k）-（3B_（2 k）ln3）/
(23)
zeta（1-2k，1/4；3/4）=∓（4^k-1）B_（2k）π）/（4^（k+1）k）+（4^-（k-1）-1）B_
(24)
泽塔（1-2k，1/6；5/6）=∓（9^k-1）（2^（2k-1）+1）B_（2k）pi）/（8sqrt（3）k·6^/3）/（2sqrt（3）（12pi）^（2k-1））+（2^，
(25)

哪里泽塔^'（z0，a）方法dzeta（z，a）/dz |（z=z0）,泽塔^'（z0）方法dzeta（z）/dz |（z=z0）,等式左侧的上下分数对应于右边分别是加号和减号。

另请参阅

赫尔维茨公式,钦钦常数,Polygamma函数,QRS（QRS）常量,黎曼-泽塔函数,泽塔功能

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarims/Zeta2/

本条目的部分内容由乔纳森·桑多(作者的链接)

与Wolfram一起探索| Alpha

新型网络搜索引擎

更多需要尝试的事情：

工具书类

Adamchik，V.《一类对数积分》ISSAC’97：1997年7月21日至23日，夏威夷毛伊岛：1997年国际研讨会论文集符号与代数运算（W.W.Kuechlin编辑）。纽约：ACM，1997年。阿达姆奇克，V.S。和H.M.Srivastava。“一些齐塔人系列和相关函数。"分析 18, 131-144,1998阿波斯托·T·M·。介绍解析数论。纽约：Springer-Verlag，1995年。贝利，D.H。；Borwein，J.M。；新泽西州卡尔金。；Girgensohn，R。；卢克·D·R。；和V.H.Moll。实验数学在行动。马萨诸塞州韦尔斯利：A K Peters，2007年。伯恩特，公元前。“关于Hurwitz Zeta-Function。”落基山数学杂志。 2,151-157, 1972.Cvijovic，D.和Klinowski，J.《传奇的价值》Chi和Hurwitz Zeta在理性论证中发挥作用。"数学。计算。 68,1623-1630, 1999.Elizalde，E。；奥丁佐夫（Odintsov，A.D.）。；和A.罗密欧。泽塔正则化技术及其应用。新泽西州River Edge：世界科学，1994埃尔德莱伊，A。；马格纳斯，W。；Oberhettinger，F。；和特里科米，F.G.公司。“广义Zeta函数”较高的先验函数，第1卷。纽约：Krieger，第24-27页，1981Hasse，H.“总经理泽塔-赖赫。"数学。Z。 32, 458-464, 1930.豪斯，M。Verallgemeinerte公司斯特林、伯努利和尤勒·扎伦、德伦·安文登根和施奈尔·康弗根特·莱亨福尔泽塔·芬克蒂翁。德国亚琛：Verlag Shaker，1995年。赫尔维茨，A.“狄利克雷函数的特征F（s）=总和（D/n）·1/（n^s），死在卡拉塞南扎伦Bestimmung der KlassenazahlenBinärer quadratischer Formen auftreten公司。"Z.für数学。和Physik 27,86-101, 1882.Knopfmacher，J.“广义欧拉常数”程序。爱丁堡数学。索克。 21, 25-32, 1978.西马格纳斯。和Oberhettinger，F。公式数学物理特殊函数定理，第三版。新建约克：Springer-Verlag，1966年。Miller，J.和Adamchik，V.“衍生品用于理性论证的Hurwitz Zeta函数。"J.计算。申请。数学。 100,201-206, 1999.Prudnikov，A.P。；马里切夫，O.I。；和Brychkov，于。答：。“广义Zeta函数泽塔（s，x），伯努利多项式B_n（x），欧拉多项式E_n（x）、和多对数链接（_N）第1.2节积分和系列，第3卷：更多特殊功能。新泽西州纽瓦克：戈登和布雷奇，第23-24页，1990年。Spanier，J.和Oldham，K.B。“赫尔维茨功能泽塔语（nu；u）."Ch.62英寸安功能地图集。华盛顿特区：《半球》，第653-6641987页。特洛特，M.“广义Riemann-Zeta函数的零点泽塔（s，a）作为的函数一。“图形库中的背景图像。在Wolfram，S。这个《数学书》，第4版。英国剑桥：剑桥大学出版社，第982页，1999年。http://documents.wolfram.com/v4/MainBook/G.2.22.html.惠塔克，E.T.公司。和G.N.Watson。A类现代分析课程，第四版。英国剑桥：剑桥大学出版社，第268-2691990页。J.R.威尔顿。“关于膨胀系数泽塔（s，x）在权力范围内s-1段."J.纯应用。数学。 50, 329-332, 1927.

引用的关于Wolfram | Alpha

Hurwitz Zeta函数

引用如下：

乔纳森·索多和埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Hurwitz Zeta函数”摘自数学世界--A类Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/HurwitzZetaFunction.html

主题分类