zeta函数，两个数互素的奇数

两个数字互素的概率

事实上，我们不能从整数集中随机选择一个数字，让我们重新表述一下这个问题。找出两个从1到n的数字的概率，是相对最好的，当n接近无穷大时取极限。

两个数字有一个概率为（1/p）的p的公约数².换句话说，每个数都可以被概率为1/p的p整除。由于n mod p的余数，此概率可能不准确，但当n增大时，概率接近1/p².取补语，我们的两个数字没有一个概率为1-1/p的公共因子p².由中国剩余定理,所有素数都可以被视为独立事件。因此，相对素数的概率是1-1/p的乘积²，当p穿过所有素数≤n时。随着n的增加，我们不断引入p的更多因子，概率单调下降。我们只需要找到极限。

考虑这个产品的倒数。每个因素现在看起来像对²/（第页²-1).将其改写为收敛级数：

1+1/p²+1/页⁴+1/页⁶+1/页⁸+ …

作为检查，将此序列乘以p²-1,然后得到p²/（p）²-1） 又回来了。

我们必须取这些无穷级数的乘积，每个素数一个级数。将其展开为产品总和正如（a+b）×（x+y）变成ax+ay+bx+by。当然这有点复杂，因为我们有无穷和的无穷乘积。然而，分配定律仍然成立，幸运的是，我们只需要在展开中考虑有限乘积。每个有限乘积产生1/n²对于某个整数n。例如，1×1/4×1/9=1/36。由算术基本定理,每个平方反比只产生一次。扩展后的产品现在是1/n的总和²,或ζ（2）。根据前面的定理，ζ(2) = π²/6.取倒数，两个数是概率为6/π的互质²大约60%。

这可以推广到两个以上的数字。随机选择k个数字，它们的最大公约数是1概率为1/ζ（k）。证明与上面一样，但使用了k^第个幂而不是方块。

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