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问候整数序列的在线百科全书!)
A000 0364 欧拉(或割线或“Zig”)数:E.F.(甚至仅幂)秒(x)=1/COS(x)。
(前M4019 N1667)
二百一十七
1, 1, 5、61, 1385, 50521、2702765, 199360981, 19391512145、2404879675441, 370371188237525, 69348874393137901、1551453557086905、40870725313129923、12522596140369865668、5、44 15439243901045、53636828、1775 1939 1579539、8928 94363678989665 列表图表参考文献历史文本内部格式
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0、3

评论

逆古德曼年Gd^(- 1)(x)=log(SEC(x)+TAN(x))=log(TAN(π/4+x/2))=ARCATANH(Sin(x))=2*ARCATANH(TAN(X/2))=2*ARCTANH(CSC(X)-COT(X))。-米迦勒索摩斯3月19日2011

a(n)=[2n]的下位排列的数目。例子:A(2)=5计数4231, 4132, 3241,3142, 2143。-戴维卡兰11月21日2011

A(n)=顶点{01,1,2,…,2n}上增加的完全二叉树的数目,其中最左边的叶被标记为2n。戴维卡兰11月21日2011

A(n)=大小为2n+1的无序增长树的数目,且仅允许偶数度和由COSH(t)给出的程度权重生成函数。-马库斯库巴9月13日2014

A(n)=歪斜形状的标准杨氏表数(n+1,n,n-1,…,3,2)/(n-1,n-2,…,2,1)。-潘然4月10日2015

由于Cs(z)在z=π/2上具有根,而在C中没有其它根,具有较小的z z,所以E.F.f(拟复值)的收敛半径是π/ 2=π/=A01969(也见)A028-斯坦尼斯拉夫西科拉,10月07日2016

所有的条款都是奇怪的。-阿洛伊斯·P·海因茨7月22日2018

推荐信

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J. M. Hammersley大学生操作练习数学。科学家,14(1989),1-23。

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D. E. Knuth和Thomas J. Buckholtz切线、欧拉和伯努利数的计算数学。COMP21 1967 63-68。[注释扫描的副本]

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米格尔·A·M·恩德斯,拉斐尔·S·N·S·MMOPS、幺半群和算子:Seffer-多项式的组合论《组合数学》电子期刊25(3)(2018),第3页。

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Hisanori Mishima欧拉数n=0…78的因式分解n=80…106.

N. E.·诺伦德沃勒森根,Springer Verlag,柏林,1924 [注释144-151和566—463页的扫描拷贝]

Simon Plouffe68000项,直至E(34000)(2.1千兆)

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D. Shanks广义Euler与类数. 数学COMP21(1967)68~694.

D. Shanks广义Euler与类数数学。COMP21(1967),68~694;22(1968),699。[注释扫描的副本]

Vladimir Shevelev具有两个变量函数的具有上下结构的排列数,整数,12(2012),αa1。-来自斯隆,07月2日2013

斯隆,我最喜欢的整数序列在序列及其应用中(SETA’98的程序)。

Michael Z. Spivey和Laura L. SteilK-二项变换与Hankel变换《整数序列》,第9卷(2006),第061.1页。

斯隆,整数序列百科全书的一个著名应用(Vugraph从OEIS谈起)

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R. P. Stanley排列

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支伟隼关于Euler数模幂的两个问题《数字理论杂志》,第115卷,第2期,2005年12月,第37页至第380页。

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Sam Wagstaff伯努利和Euler数的素数因子

Eric Weisstein的数学世界,欧拉数割线数交替排列.

沃尔夫拉姆研究Eyn的生成函数

“核心”序列的索引条目

与BotoPoffon变换相关的序列的索引条目

公式

E.g.f.:SUMU{{N>=0 } A(n)*x^(2×n)/(2×n)!=秒(x)。-米迦勒索摩斯8月15日2007

E.g.f.:SUMU{{N>=0 } A(n)*x^(2×n+1)/(2×n+1)!= Gd^(- 1)(x)。-米迦勒索摩斯8月15日2007

E.g.f.:SUMU{{N>=0 } A(n)*x^(2×n+1)/(2×n+1)!= 2*ARCTANH(COSEC(X)-COTAN(X))。-拉尔夫斯蒂芬12月16日2004

π/4〔SuMu{{=0…n-1 }(-1)^ k/(2×k+1)〕~(1/2)*[ SuMu{{K>=0 }(-1)^ k*e(k)/(2×n)^(2k+1)]为正偶数n〔BurWein,Borwein,Dilcher〕

此外,对于正奇n,log=1(n-1)/2 }(- 1)^(k-1)/k~(-1)^((n-1)/2)*SuMu{{K>=0 }(-1)^ k*e(k)/n^(2×k+1),其中E(k)是k次欧拉数,由博温、Borwein和Dilcher引理2与f(x)=1 /(x+1/2),h=y,然后用x(n-1)/x代替x。-彼得巴拉10月29日2016

设Myn为nxn矩阵Myn(i,j)=二项式(2*i,2*(j-1))=A08666(i,j-1);然后对于n>0,A(n)=DET(Myn);例子:DET([ 1, 1, 0,0;1, 6, 1,0;1, 15, 15,1;1, 28, 70,28)=1385。-菲利普德勒姆,SEP 04 2005

该序列也为(-1)^ n*Euler(2×n)或ABS(Euler(2×n))。- Paul Abbott(保罗(AT)物理学,UWA,EDU,AU),4月14日2006

A(n)=2 ^ n* Eyn(1/2),其中Eyn(x)是一个欧拉多项式。

A(k)=A(L)(mod 2 ^ n)当且仅当k=L(mod 2 ^ n)(k和L为偶数)。[斯特恩;也见瓦格斯塔夫和太阳]

Eyk(3 ^(k+ 1)+1)/4=(3 ^ k/2)*Suth{{j= 0…2 ^ n-1 }(-1)^(j-1)*(2J+1)^ k*[(3J+1)/2 ^ n](mod 2 ^ n)(mod 2 ^ n),其中k是偶数,[x]是最大整数函数。太阳

A(n)~2 ^(n+2)*n!/p^(n+1)为n->无穷大。

A(n)=SuMu{{K=0…n}A094665(n,k)* 2 ^(N-K)。-菲利普德勒姆6月10日2004

递推:A(n)=-(- 1)^ n*SuMu{{i=0…n-1 }(-1)^ i*a(i)*二项式(2×n,2×i)。-拉尔夫斯蒂芬2月24日2005

O.g.f.:1 /(1-x/(1-4*x/(1-9*x/)(1-16*x/(…--n^ 2×x/(1 -………))(T. J. Stieltjes的连续分数)。-保罗·D·汉娜,10月07日2005

A(n)=(整){t=0π} log(TaN(t/2)^ 2)^(2n)dt)/p^(2n+1)。- Logan Kleinwaks(KelnWakes(AT)校友,普林斯顿,教育部),3月15日2007

彼得巴拉,3月24日2009:(开始)

基本超几何生成函数:2×EXP(-T)*和{N>=0 }乘积{{=1…n}(1-EXP(-(4×K-2)*T))*EXP(-2 *N*T)/乘积{{K=1…n+1 }(1 +EXP(-(4×K-2)*T))=1 +T+5*t^ 2/2!+ 61×T ^ 3/3!+…对于具有类似类型的生成函数的其他序列A000 0464A000 2105A000 2439A079144A158690.

A(n)=2*(- 1)^ n*L(- 2×n),其中L(s)是Dirichlet L-函数L(s)=1—1/3 ^ s+1/5 ^ s- +…(结束)

SUMU{{N>=0 } A(n)*Z^(2×N)/(4×N)!=β(1 /2-Z/(2×PI),1/2 +Z/(2×皮))/β(1/2,1/2)具有β(z,w)β函数。-约翰内斯·梅杰,朱尔06 2009

A(n)=SUMUIF(SUMUZ)(二项式(k,m)*(- 1)^(n+k)/(2 ^(m-1))*SUMUM(二项式(m,j)*(2×J-m)^(2×n),j,0,m/2)*(-1)^(k- m),m,0,k),k,1,2*n,n> 0。-弗拉迪米尔克鲁钦宁,八月05日2010

如果n是素数,则A(n)=1(mod 2×n)。-弗拉迪米尔谢维列夫,SEP 04 2010

彼得巴拉,1月21日2011:(开始)

(1)…a(n)=(1/4)^ n*b(2×n,1);

其中{b(n,x)} n>=1=[ 1, 1+x,1+6×x+x^ 2, 1+23 *x+23 *x^ 2+x^ 3,…]是B型的欧拉多项式序列。A060187. 等价地,

(2)…A(n)=SUMY{{K=0…2×n} SUMU{{j=0…k}(-1)^(N-J)*二项式(2×N+1,K-J)*(J+1/2)^(2×N)。

我们也有

(3)…a(n)=2*a(2×n,i)/(1+i)^(2×n+1),

其中i=qRT(-1),其中{a(n,x)} n>=1=[x,x+x^ 2,x+**x^ 2+x^ 3,……]表示欧拉多项式的序列-参见A000 829. 等价地,

(4)…A(n)=i*SuMu{{k=1…2×n}(- 1)^(n+k)*k!*斯特林2(2×N,K)*((1+i)/ 2)^(k-1)

= i * Suthi{{=1…2×n}(- 1)^(n+k)*((1 +i)/2)^(k-1)SuMu{{j=0…k}(-1)^(K-J)*二项式(k,j)*j^(2×n)。

对于A(n)或(2)以上的这个显式公式可以用来获得A(n)的同余结果。例如,素数P

(5A)…a(p)=1(mod p)

(5b)…A(2*p)=5(mod p)

奇数素数p

(6A)…((p+ 1)/2)=(- 1)^((p-1)/2)(mod p)

(6b)…((P-1)/ 2)=-1(- 1)^((P-1)/2)(mod p)。

(结束)

a(n)=(- 1)^ n* 2 ^(4×n+1)*(ζ(-2×n,1/4)-zeta(-2×n,3/4))。-格里马顿5月27日2011

A(n)可以表示为在2×n的所有组成中所取的多项式的总和为偶数部分(VelLA 2008):A(n)=SUMU{{ 2×II1+…+ 2×Iyk=2×n}(- 1)^(n+k)*多项式(2*n,2*Iy1,…,2*Iyk)。例如,数字6的4个组成为偶数部分,即6, 4+2, 2+4和2+2+2,因此A(3)=6。6!- 6!(4)* 2!- 6!(2)* 4!+ 6!(2)* 2!* 2!= 61。用(Malnfand 2011)给出了将(n)作为在2×n-1的成分上取为奇数部分的总和的一个伴随公式。-彼得巴拉,朱尔07 2011

A(n)=m ^ n中的左上项,其中m是无穷平方生成矩阵;M[i,j]=A000 0290(i)=i ^ 2,i>=1和1 << j=i+1,m(i,j)=0,i>1,j>=i+2(见例子)。-加里·W·亚当森7月18日2011

a(x)满足微分方程a’(x)=COS(a(x))。-弗拉迪米尔克鲁钦宁03月11日2011

彼得巴拉,11月28日2011:(开始)

A(n)=d^(2×n)(COSH(x))在x=0处被计算,其中D是算子COSH(x)*d/dx。a(n)=d^(2×n-1)(f(x))在x=0处被计算,其中f(x)=1+x+x^ 2/2;D是算子f(x)*d/dx。

其他生成函数:COSH(int {t=0…x} 1/COS(t))=1+x ^ 2/2!+ 5×x ^ 4/4!+ 61×x ^ 6/6!+ 1385×x ^ 8/8!+…囊性纤维变性。A012131.

A(x):= ARCHSIH(TAN(x))=log(SEC(x)+TAN(x))=x+x^ 3/3!+ 5×x ^ 5/5!+ 61×x ^ 7/7!+ 1385×x ^ 9/9!+…A(x)满足‘(x)=COSH(a(x))。

B(x):=级数反转(log(SEC(x)+TAN(x))=X-X^ 3/3!+ 5×x ^ 5/5!- 61×x ^ 7/7!+ 1385×x ^ 9/9!-…= AcTaN(SnH(x))。B(x)满足B′(x)=COS(b(x))。(结束)

汉克尔变换是A09776. pSUM变换是A1732. -米迦勒索摩斯5月12日2012

a(n+1)-a(n)=(n)=1A000 6212(2×N)。-米迦勒索摩斯5月12日2012

a(0)=1,对于n>0,a(n)=(-1)^ n*((4×n+1)/(2×n+1)- SuMu{{k= 1…n}(4 ^(2*k)/2*k)*二项式(2 *n,y*k-1)*A000 0367(k)/A000 2445(k);见布库尔等。链接-埃德森杰弗里9月17日2012

O.g.f.:SUMU{{N>=0 }(2×N)!/ 2 ^ n*x^ n/乘积{{k=1…n}(1 +k^ 2×x)。-保罗·D·汉娜9月20日2012

谢尔盖·格拉德科夫斯克10月31日2011至10月11日2013:(开始)

连分数:

E.g.f.:(SEC(x))=1 +x^ 2/t(0),t(k)=2(k+1)(2k+1)-x^ 2 +x^ 2 *(2k+1)(2k+2)/t(k+1)。

E.g.f.:2/q(0)其中q(k)=1+1 /(1~x^ 2 /(x^ 2 - 2 *(k+1)*(2×k+1)/q(k+1)))。

G.f.:1/q(0)其中q(k)=1+x*k*(3×k-1)-x*(k+1)*(2*k+1)*(x*k^ 2+1)/q(k+1)。

E.g.f.:(2 +x^ 2+2*u(0))/(2 +(2 -x^ 2)*u(0)),其中u(k)=4*k+4+1 /(1 +x^ 1 /(α-x^ +(α* k+a)*(α*k+a)/u(k+x)))。

E.g.f.:1/COS(x)=8×(x^ 2+1)/(4×x^ 2+8 -x^ 4*u(0)),其中u(k)=1+4*(k+1)*(k+1)/(α*k+α-x^ * *(α* k+a)/(x^α-*(k+y)*(k+y)*(k+a)/(k+x)))。

G.f.:1/U(0),其中u(k)=1+x-x*(2×k+1)*(2×k+2)/(1××(2×k+1)*(2*k+2)/u(k+1))。

G.f.:1±x/g(0),其中G(k)=1+x-x*(2×k+2)*(2×k+3)/(1××(2×k+2)*(2×k+3)/g(k+1))。

设f(x)=SEC(x^(1/2))=SuMu{{n>=0 } A(n)*x^ n/(2×n)!然后f(x)=2(/ q(0)+ 1),其中q(k)=1×/(2×k+1)/(2×k+2)/(1 - 1 /(1 + 1 /q(k+1)))。

G.f.:Q(0),其中q(k)=1××(k+ 1)^ 2 /(x*(k+1)^ 2 -1/q(k+1))。

E.g.f.:1/COS(x)=1 +x^ 2 /(2-x^ 2)*q(0),其中q(k)=1~2×x^ 2 *(k+1)*(2*k+1)/(2*x ^ * *(k+a)*(α*k+a)+(12x^α+ k* + + k k ^))*(2-x^ + + k*+k*k ^ ^)/q(k+x)。(结束)

A(n)=SuMu{{=1…2×n}(SuMu{{ 0=K-1}(i-k)^(2*n)*二项式(2×k,i)*(-1)^(i+k+n))/2 ^(k-1)为n> 0,a(0)=1。-弗拉迪米尔克鲁钦宁,10月05日2012

A(n)=3A076562(n 1)+2*(- 1)^ n对于n>=1。猜想同余:a(2×n)=5(mod 60)对于n>=1,a(2×n+1)=1(mod 60),对于n>=0。-彼得巴拉7月26日2013

彼得巴拉,MAR 09 2015:(开始)

O.g.f.:SUMU{{N}=0 } 1/2 ^ n*SuMu{{K=0…n}(-1)^ k*二项式(n,k)/(1 -qRT(-x)*(2×k+1))= SuMu{{N>=0 } 1/2 ^ n*SuMu{{K}0…n}(-1)^ k*二项式(n,k)/(1 +x*(ωk+^)^)。

O.G.F.是1 +x*d/dx(log(f(x))),其中f(x)=1+x+3×x ^ 2+23×x ^ 3+371×x^ 4+…是O.G.F.A25588. (结束)

SuMuz(n>=1,A034 947(n)/n^(2D+1)=a(d)*pi ^(2d+ 1)/(2 ^(2d+2)-2)(2D)!D=0;参见AououChh和Soudou.,2015。-乔纳森·索道3月21日2015

渐近展开:4*(4×N/(π*))^(2×n+1/2)*EXP(1/2 + 1 /(24×N)- 1 /(2880×N ^ 3)+ 1 /(40320*n^ 5)-…)。(参见Luxy链接)彼得卢斯尼7月14日2015

A(n)=2*(- 1)^ n*im(Li{{2n}(i)),其中Lyn(x)是多对数,i=qRT(- 1)。-弗拉迪米尔·雷斯捷尼科夫10月22日2015

Limi{{N}((2×N)!(a)(n)^(1/(2×n))=π/2。-斯坦尼斯拉夫西科拉,10月07日2016

O.g.f.:1 /(1 + x - 2×x /(1 - 2×x/)(1 + x -12×x/(1 - 12×x/)(1 + x - 30×x/)(1 -ω*x/(α+x)…-(2×n - 1)*(2×n)*x/(1 -(2×n- 1)*(2×n)*x/(1 + x -…-彼得巴拉09月11日2017

例子

G.F.=1+x+5×x ^ 2+61×x ^ 3+1385×x ^ 4+50521×x ^ 5+2702765×x ^ 6+199360981×x ^+++…

秒(x)=1+1/2×x ^ 2+5/24×x ^ 4+61/720×x ^ 6+…

加里·W·亚当森,7月18日2011:(开始)

矩阵M的前几行是:

1, 1, 0,0, 0,…

4, 4, 4,0, 0,…

9, 9, 9,9, 0,…

16, 16, 16,16, 16,…(结束)

枫树

系列(SEC(X),X,40):SeaSertSeSerieMult(%):SUs(x= SqRT(y),%):SeristestOLIST(%);

程序结束

A000 0364O列表:= PROC(n)局部S,K,J;S〔0〕:=1;

对于k从1到n ds[k]:=k*s[k-1 ] OD;

对于k从1到n

j从k到n

S[j]:=(J-K)*S[J-1] +(J-K+ 1)*S[j] OD OD;

SEQ(S[j],j=1…n)结束:

A000 0364表(16);彼得卢斯尼,APR 02 2012

A000 0364= PROC(n)

ABS(Euler(2×N));

结束进程马塔尔3月14日2013

Mathematica

取[范围] 0, 32!*系数列表[SEC[X],{X,0, 32 },X],{ 1, 32, 2 }(*)Robert G. Wilson五世4月23日2006*)

表[ABS[Eule[2n] ],{n,0, 30 }](*)雷钱德勒3月20日2007*)

a[n]:=如果[n<0, 0,] {m=2 n},m!级数系数[SEC[X],{X,0,M}] ];(*)米迦勒索摩斯11月22日2013*)

a[n]:=如果[n<0, 0,] {m=2 n+1 },m!级数系数[ReSuffuldman年[X],{x,0,M}[] ];(*)米迦勒索摩斯11月22日2013*)

A[N]:=和〔二项式[k,m](- 1)^(n+k)/(2 ^(m-1))和[二项[ m,j ] *(2J-m)^(2n),{j,0,m/2 }](-1)^(k m),{m,0,k},{k,1,2n};表[a[n],{n,0, 16 }](*)让弗兰6月26日2019后弗拉迪米尔克鲁钦宁*)

黄体脂酮素

(PARI){A(n)=局部(CF=1 +x*O(x^ n));如果(n=0,返回(0),为(k=1,n,cf=1 /(1 -(n+k+1)^ 2×x*cf));返回(VEC(CF)[n+1)] }\保罗·D·汉娜10月07日2005

(PARI){A(n)=IF(n<0, 0,(2×n)!*PoCoFEF(1/COS(x+o(x^(2×n+1))),2×n)};/*米迦勒索摩斯6月18日2002*

(PARI){a(n)=i(a);如果(n<0, 0,n=2×n+1;a=x*o(x^ n);n!* PoCOFEFF(log(1/COS(x+a)+TaN(x+a)),n)};/*米迦勒索摩斯8月15日2007*

(PARI){A(n)=PoCOFEFF(求和)(m=0,n,(2×m)!/ 2 ^ m*x^ m/PROD(k=1,m,1 +k^ 2×x+x*o(x^ n)),n)}保罗·D·汉娜9月20日2012

(PARI)列表(n)=i(V=VEC)(1/COS(x+O(x^(2×n+1×1));向量(n,i,v[2*i-1)*(2×i-2))\\查尔斯10月16日2012

(PARI)A(n)=SuST(BnnPOL(2×n+1),‘x,1/4’)*4 ^(2×n+1)*(-1)^(n+1)/(2×n+1)\查尔斯12月10日2014

(极大)a(n):=和(二项(k,m)*(- 1)^(n+k)/(2 ^(m-1))*和(二项式(m,j)*(2×J-m)^(2×n),j,0,m/2)*(-1)^(km),m,0,k),k,1, 2*n;弗拉迪米尔克鲁钦宁,八月05日2010

(极大值)a[n]:=n=0,然后是1个和(和((i)k)^(2×n)*二项式(2×k,i)*(-1)^(i+k+n),i,0,k-1)/(2 ^(k-1)),k,1, 2*n;MaKelista(a[n],n,0, 16);弗拉迪米尔克鲁钦宁,10月05日2012

(圣人)

L.SeIDEL算法(1877)

αn>[a(0),a(1),…,a(n-1)],n>0。

DEFA000 0364列表(LeN):

r=[];a= {-1:0,0:1};k=0;e=1;

对于I(0…2×1):

AM=0;a[k+e]=0;e= -e

对于j in(0…i):AM+= a[k];a[k]=AM;k+= e

如果E<0:R.append(A[I//2)]

返回R

A000 0364清单(17)彼得卢斯尼3月31日2012

交叉裁判

囊性纤维变性。A000 0111A000 0182A011248A01969A034 947A0600 75A013525A000 0816A000 2436A000 0464A000 2105A000 2439A079144A158690.

基本相同A028A122045.

三角形第一列A0600 74.

三角形的两个主对角线A0600 58(作为迭代平方和)。

行和的绝对值A16085. -约翰内斯·梅杰,朱尔06 2009

三角形的左边缘A210108也见A125053A076562. 囊性纤维变性。A25588.

二分法(偶数部分)A317139.

语境中的顺序:A196125 A09637 A11547*A028 A159316 A121798

相邻序列:A000 0361 A000 0362 A000 0363*A000 0365 A000 0366 A000 0367

关键词

诺恩容易核心

作者

斯隆

扩展

按名称更正安德斯克拉森,十二月01日2015

地位

经核准的

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