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| A142999号 |
| a（0）=0，a（1）=1；对于n>1，a（n+1）=（2*n+1）*a（n）+n^4*a（n-1）。 |
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9
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0, 1, 3, 31, 460, 12076, 420336, 21114864, 1325949696, 109027627776, 10771080883200, 1316468976307200, 187978181665996800, 31997755234356019200, 6232784237890147123200, 1409976507981835100160000, 359243973790625586216960000, 104259271562188189469245440000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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这是一般递归a（0）=1，a（1）=1的情况m=0，a（n+1）=（2*m+1）*（2*n+1）*a（n）+n^4*a（n-1）（我们抑制了a（n）对m的依赖性），这是在加速常数1/2*zeta（2）的级数和{k=1..inf}（-1）^（k+1）/k^2的收敛时出现的。其他情况请参见A143000个（m=1），A143001型（m=2）和A143002号（m=3）。
一般递归的解可以表示为和：a（n）=n^2*p_m（n）*sum{k=1..n}（-1）^（k+1）/（k^2*p_（k-1）*p_ m（k）），其中p_m〔x〕：=总和{k=0..m}C（m，k）*C（x，k）*C（x+k，k）。注意，通过交换m和x的作用而获得的多项式q_m（x）：=和{k=0..m}C（m，k）*C（m+k，k）*C（x，k）可以被不同地描述为a_m型根系凸包形成的多面体的Ehrhart多项式，该多项式生成a_m晶格的水晶球序列[Bacher等人]，或N=-1[Gogin&Hirvensalo]处的离散Chebyshev多项式D_m（N；x）。与中的注释进行比较A142995号.
前几个值是p_0（x）=1，p_1（x”）=x^2+x+1，p_2（x）=（x^4+2*x^3+7*x^2+6*x+4）/4和p_3（x“）=（x^6+3*x^5+22*x^4+39*x^3+85*x^2+66*x+36）/36。
多项式p_m（x）是差分方程（x+1）^2*f（x+1）-x^2*f（x-1）=（2*m+1）*（2x+1）*f（x）的唯一多项式解，归一化为f（0）=1。这些多项式的零点位于复平面的垂直线Rex=-1/2上；即多项式p_m（x-1），m=1,2,3，。。。，满足黎曼假设（改编[BUMP等人]第4页引理的证明）。
上面第一段中的一般递归有第二个解b（n）=n^初始条件b（0）=1，b（1）=2*m+1的2*pm（n）。因此，对于大n，a（n）的行为由limn->infinity a（nn^4/（（（2*n+1）*（2*m+1）+…）））=1/2*总和{k=1..inf}1/（m+k）^2。最终的平等来自拉马努扬的结果；参见[Berndt，第12章，条目30的推论]。
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参考文献
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布鲁斯·伯恩特（Bruce C.Berndt），《拉马努扬的笔记本第二部分》（Ramanujan’s Notebooks Part II），斯普林格·弗拉格（Springer-Verlag）。
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链接
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R.Bacher、P.de la Harpe和B.Venkov，羊角面包和波尔尼奥尔哈特协会《傅里叶学会年鉴》，《托姆49》（1999）第3期，第727-762页。
R.Bacher、P.de la Harpe和B.Venkov，羊角面包和埃哈特羊角协会，C.R.学院。科学。巴黎，325（系列1）（1997），1137-1142。
D.Bump、K.Choi、P.Kurlberg和J.Vaaler，局部黎曼假设，数学。宙特。233, (2000), 1-19.
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公式
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a（n）=n^2*Sum_{k=1..n}（-1）^（k+1）/k^2。
递归：a（0）=0，a（1）=1，a（n+1）=（2*n+1）*a（n）+n^4*a（n-1）。
序列b（n）：=n^2满足初始条件b（0）=1，b（1）=1的相同递归。因此，对于n>=2，我们得到了有限连分式展开式a（n）/b（n）=1/（1+1^4/（3+2^4/。Lim n->无穷大a（n）/b（n）=1/（1+1^4/（3+2^4/和{k=1..inf}（-1）^（k+1）/k^2=1/2*zeta（2）。
求和{n>=0}a（n）*x^n/（n！）^2=-polylog（2，-x）/（1-x）-伊利亚·古特科夫斯基2020年7月15日
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MAPLE公司
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a:=n->n^2*加（（-1）^（k+1）/k^2，k=1..n）：序列（a（n），n=0..20）；
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数学
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f[k_]：=（k^2）（-1）^（k+1）
t[n_]：=表格[f[k]，{k，1，n}]
a[n_]：=对称多项式[n-1，t[n]]
递归表[{a[0]==0，a[1]==1，a[n]==（2（n-1）+1）a[n-1]+（n-1”^4 a[n-2]}，a，{n，20}](*哈维·P·戴尔，2014年4月26日*）
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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