无方形

如果一个数是平方的，则称其为无平方的（有时称为quadrafrei；Shanks 1993）首要的分解不包含重复的因子。全部素数因此，它们都是无平方的。这个根据惯例，数字1被视为不受限制的。平方折射数是1、2、3，3、5、6、7、10、11、13、14、15。。。（组织环境信息系统A005117号).这个正方形的数字（即包含至少一个正方形）是4、8、9、12、16、18、20、24、25。。。（组织环境信息系统A013929号).

这个Wolfram语言功能方形FreeQ[n个]确定一个数字是否是平方自由的。注意，出于技术原因Wolfram语言认为1是平方自由的，一种约定，它与定义一个数字为无平方时一致，其中是莫比乌斯函数.因此，数字1有一个奇怪的区别，即同时存在一完全正方形和平方自由。

让哪里是平方自由的哪里包含一个或多个正方形，因此。那么

对于和是黎曼泽塔功能（哈迪和赖特，1979年，第255页）。

第一个的值整数绘制在上面的网格，以白色显示无平方值。清除出现了这样的模式，即多个数字共享一个或多个重复因子。

没有已知的多项式时间算法来识别平方自由整数或用于计算无平方部分的整数事实上，这个问题可能并不比整数分解的一般问题（显然，如果是整数可以完全分解，是自由的若（iff）它不包含重复的因素）。这个问题是一个重要的未解决的问题数理论因为计算整数环代数数域的无平方的部分的整数（Lenstra 1992年，Pohst和Zassenhaus1997年）。

所有小于的数字在里面西尔维斯特序列是平方自由的，并且不正方形的这个序列中的数字是已知的（瓦尔迪1991). 每卡迈克尔数是自由的。这个二项式系数 只有在, 3, 4, 6, 9, 10, 12, 36, ..., 其他人不少于. The中心的二项式系数只有在, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 17, 19, 23, 71, ... （组织环境信息系统A046098型),其他不少于1500人。

让是正平方自由数数字（哈代和赖特1979年，第251页）。然后针对, 2, ..., 前几个值是0、1、2、3、3、4、5、6、，6, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 11, 11, ... （组织环境信息系统A013928号).的总和包括

哪里是莫比乌斯函数.

渐近数平方自由数由提供

（Landau 1974，第604-609页；Nagell 1951，第130页；Hardy and Wright 1979，第269-270页；Hardy1999，第65页）。因此，渐近密度为（组织环境信息系统A059956号；Wells 1986年，第28页；博文和Bailey 2003，第139页），其中是黎曼泽塔功能。的值对于, 100, 1000, ... 是7、61、608、6083、60794、607926、6079291、，60792694, 607927124, 6079270942, ... （组织环境信息系统A071172号).

类似地，方折射的渐近密度高斯整数由提供（组织环境信息系统A088454号)，其中是加泰罗尼亚常数（Pegg；Collins and Johnson 1989；Finch 2003，第601页）。

这个莫比乌斯函数由提供

所以表示是自由的。的渐近公式等于公式

（哈代和赖特1979年，第270页）

让是连续数字的数目具有这样的话和都是自由的。对于, 1, ... 由1、5、33、323给出，3230, 32269, 322619, 3226343, 32263377, 322634281, 3226340896, ... （组织环境信息系统A087618号).然后渐近地由

（组织环境信息系统A065474号；Carlitz 1932，Heath-Brown 1984），其中是第个素数和是费勒-托尼尔常数.