无平方的

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一个数被称为无平方(或有时是四元数;Shank 1993),如果它的首要的分解不包含重复因素。素数因此,平凡无平方。第1个数字按惯例是无平方的。无平方数分别为1, 2、3, 5, 6、7, 10, 11、13, 14, 15、…(OEIS)A000夸夸其谈的数字(即,包含至少一个平方的数)是4, 8, 9,12, 16, 18,20, 24, 25,…(OEIS)A013929

这个钨语言功能平方自由度[N*确定一个数是否是无平方的。请注意,出于技术原因,钨语言认为1是无平方的,是一个与定义一个数字为无平方的一致的约定。亩(n)!= 0在哪里亩(n)M比比斯函数. 因此,第1个数字同时具有一个奇怪的区别。完美平方无平方。

q(n)=1在哪里?N无平方和q(n)=0在哪里?N包含一个或多个正方形,以便q(n)=μ亩(n). 然后

SuMui(n=1)^(ffTy)(q(n))/(n^ s)=SuMui(n=1)^(ffTy)(μMn(n))/(n^ s)
(1)
=(ζ(s))/(ζ(2s))
(2)

S>1泽塔(S)Riemann zeta函数(哈代和赖特1979,第255页)。

平方自由度图

第一个价值观10 ^ 4整数是在上面绘制的。100×100网格,在White中显示了无平方值。清晰的模式出现在多个数字中每个共享一个或多个重复因子。

没有已知的多项式时间算法来识别无平方误差。整数或用于计算无平方部分一个整数. 事实上,这个问题可能不比整数分解的一般问题容易(显然,如果是整数)N可以完全分解,N无平方敌我识别它没有重复的因素)。这个问题是一个重要的未解决的问题。数论因为计算整数环代数数域的可约性计算无平方部分一个整数(LeSTRA 1992,PoHST和ZasehanHUS 1997)。

所有数字小于2.5×10 ^(15)进入Sylvester级数无平方无夸夸其谈的这个序列中的数字是已知的(VADI 1991)。每个Carmichael数是无平方的。这个二项式系数 (2n-1;n)无平方n=2,3, 4, 6,9,10, 12, 36,…,没有其他小于n=1500. 这个中心二项式系数无平方n=1,2, 3, 4,5,7, 8, 11,17, 19, 23,71,…(OEIS)A046098),没有其他不到1500。

q(n)正平方无标数<(哈代和赖特1979,第251页)。然后为n=1,2,…,前几个值是0, 1, 2,3,3, 4, 5,6, 6, 6,7, 8, 8,9, 10, 11,11,…(OEIS)A013928)求和q(n)包括

q(n)=SuMuz(k=1)^(n-1)μ^ 2(k)
(3)
=SuMuz(k=1)^(n-1)μ(k)
(4)
=SuMuz(d=1)^(SqRT(n-1))μ(d)(n-1)/(d^ 2)
(5)
=SuMuz(k=1)^(n-1)Mu(N-K)(mod 2)
(6)
=SuMuz(k=1)^(n-1)μ(nk)
(7)

在哪里?亩(n)M比比斯函数.

方形自由馏分

渐近数q(n)无平方数<是通过

 q(n)=(6n)/(π2)+O(qRT(n))
(8)

(Landau 1974,pp.604-609;Ngell 1951,P 130;哈代和赖特1979,pp.269—270;Hardy 1999,P 65)。因此,渐近密度是1 /ζ(2)=6/π^ 2约0.607927(OEIS)A05956,威尔斯1986,第28页;博温和贝利2003,第139页),在哪里ζ(n)Riemann zeta函数. 价值观q(n)n=10,100, 1000,…分别为7, 61, 608、6083, 60794, 607926、6079291, 60792694, 607927124、6079270942、…(OEIS)A071172

同样,无平方的渐近密度。高斯整数是由6(π^ 2K)=0.66370…(OEIS)A084044,在哪里K加泰罗尼亚常数(Pegg;柯林斯和约翰逊1989;芬奇2003,第601页)。

这个M比比斯函数是由

 MU(n)={0,如果n有一个或多个重复素数因子;1,如果n=1;(-1)^ k,如果n是k个素数的乘积,
(9)

所以亩(n)!= 0表明N是方形的。q(x)等于公式

 SuMui(n=1)^ xμ(n)=(6x)/(π2)+O(qRT(x))
(10)

(哈代和赖特1979,第270页)

平方自由度分数

q2(n)是连续数字的个数(K,K+1)K<n这样KK+ 1都是方形的。Qu2(10 ^ n)n=0,1,…分别给出了1, 5, 33、323, 3230, 32269、322619, 3226343, 32263377、322634281, 3226340896、…(OEIS)A08618然后Qu2(n)/n渐近给出

产品(n=1)^(ffTy)(1-2/(pN=2))=2F-1
(11)
=0.3226340989…
(12)

(OEIS)A065674CARITZ 1932,Heath Brown 1984),在哪里PnN第四素数f费勒-托尼尔常数.

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