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施密特问题

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Schmidt（1993）提出了确定是否为任何整数的问题r> =2，数字序列{c_k^（（r））}_（k=1）^infty由定义二项式总和

sum_（k=0）^n（n；k）^r（n+k；k）
(1)

都是整数。

下表给出了sum_（k=0）^（n）（n；k）^r（n+k；k）^r对于小型第页.

第页组织环境信息系统值
1A001850号1, 3, 13, 63, 321, 1683, 8989, 48639, ...
2A005259号1, 5, 73, 1445, 33001, 819005, ...
三A092813号1中，9, 433, 36729, 3824001, 450954009, ...
4A092814号1,17, 2593, 990737, 473940001, ...
5A092815号1,33155327748833，61371200001。。。

斯特雷尔（1993、1994）和施密特（1995）在本案中证明了这一点r=2，对应于弗兰纽尔数字斯特雷尔（1994）也发现了该案例的明确表达r=3。的结果标识r=2,3因此被称为斯特利尔身份格雷厄姆重申了这个问题等。（1994年，第256页和549），他表示H.S。威尔夫已经表现出来了cn^（（r））为任意整数第页对于n≤9（祖迪林，2004年）。

Zudilin（2004）对这个问题作出了肯定的回答，他发现所有人都有明确的表达方式cn^（（r））.特殊情况包括

cn^（（2））=总和_（j=0）^（n）（n；j）^3
(2)
=sum_（j=0）^（n）（n；j）^2（2j；n）
(3)
cn^（（3））=总和（j=0）^（n）（2j；j）^2（2j，n-j）（n；j）
(4)
cn^（（4））=总和（j=0）^（n）（2j；j）^3（n；j）总和（k=0）
(5)
cn^（（5））=总和（j=0）^（n）（2j；j）^4（n；j），
（6）

具有的值r> 5个由提供

c_n^（（2s））=sum_（j=0）^（n）（2j；j）^（2s-1）（n；j）sum_（k_1=0）^；k_（s-1）-j）^2（2j；k_（s-1）-j）
（7）
c_n^（（2s+1））=sum_（j=0）^（n）（2j；j）^；k_（s-1）-j）^2（2j；k_（s-1）-j）
（8）

（祖迪林，2004年）。

下表总结了cn^（（r））对于小型第页。请注意cn^（（2））正是弗兰纽尔数字.

第页组织环境信息系统{cn^（（r））}
2A000172号1,2, 10, 56, 346, 2252, 15184, 104960, ...
三A000658号1,4, 68, 1732, 51076, 1657904, 57793316, ...
4A092868号1,8, 424, 48896, 6672232, 1022309408, ...

另请参阅

Apéry编号,二项式和,Franel编号,斯特利尔身份

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参考文献

格雷厄姆，R.L。；Knuth，D.E。；和O.Patashnik。混凝土数学：计算机科学基础，第二版。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，1994施密特，A.L。“广义q个-勒让德多项式。"J.计算。申请。数学。 49,243-249, 1993.施密特，A.L。“Legendre变换和Apéry’s序列。"J.澳大利亚。数学。Soc.序列号。A类 58第358-3751995页。斯隆，新泽西州。答：。序列A000172号/M1971，A001850号/M2942，A005259号/M4020，A000658号,A092813号,A092814号,A092815号,和A092868号在线百科全书整数序列的。"斯特雷尔，V.“二项式和和恒等式”Maple技术新闻稿 10, 37-49, 1993.斯特雷尔，V。“二项式恒等式——组合和算法方面。”离散的数学。 136, 309-346, 1994.Zudilin，W.“组合论阿斯穆斯·施密特问题。"Elec.J.组合。 11，2004年2月2日，1-8日。http://www.combinatics.org/Volume_11/Abstracts/v11i1r22.html.

引用关于Wolfram | Alpha

施密特问题

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“施密特的问题。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SchmidtsProblem.html

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