显示找到的20个结果中的1-10个。
1, 1, 1, 3, 2, 1, 8, 7, 3, 1, 24, 22, 12, 4, 1, 75, 73, 43, 18, 5, 1, 243, 246, 156, 72, 25, 6, 1, 808, 844, 564, 283, 110, 33, 7, 1, 2742, 2936, 2046, 1092, 465, 158, 42, 8, 1, 9458, 10334, 7449, 4178, 1906, 714, 217, 52, 9, 1, 33062, 36736, 27231, 15904, 7670, 3096, 1043, 288, 63, 10, 1
配方奶粉
G.f.：对于k-1列：（（1-sqrt（（1-4*x））^k/（1+sqrt）（1-4**）+2*x）^k）/x。
T（n，k）=[x^k]（p（n+1，x））的系数，其中p（n，x）=和{j=0..n}（j/（2*n-j））*二项式（2*nj，n-j）*斐波那契（j，x），p（0，x）=1，斐波那奇（n，x）是斐波那契多项式。
例子
三角形开始：
1;
1, 1;
3, 2, 1;
8, 7, 3, 1;
24, 22, 12, 4, 1;
75, 73, 43, 18, 5, 1;
243, 246, 156, 72, 25, 6, 1;
808, 844, 564, 283, 110, 33, 7, 1;
...
数学
P[n_，x_]：=P[n，x]=如果[n==0，1，和[（j/（2*n-j）））*二项式[2*n-j，n-j]*斐波那契[j，x]，{j，0，n}]]；
T[n_，k_]：=系数[P[n+1，x]，x，k]；
表[T[n，k]，{n，0，13}，{k，0，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2022年6月14日*）
黄体脂酮素
（SageMath）
定义f（n，x）：返回和（（0..（n-1）//2）中j的二项式（n-j-1，j）*x^（n-2*j-1））
定义p（n，x）：
如果（n==0）：返回1
else：（0..n）中j的返回和（（j/（2*n-j））*二项式（2*n-j，n-j）*f（j，x）
定义A237596型（n，k）：返回（p（n+1，x））.序列（x，n+1）.列表（）[k]
根据切比雪夫多项式U_n（x），由x的幂展开三角形的偶数列构成的三角形。
+10
133
1, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 9, 5, 1, 14, 28, 20, 7, 1, 42, 90, 75, 35, 9, 1, 132, 297, 275, 154, 54, 11, 1, 429, 1001, 1001, 637, 273, 77, 13, 1, 1430, 3432, 3640, 2548, 1260, 440, 104, 15, 1, 4862, 11934, 13260, 9996, 5508, 2244, 663, 135, 17, 1
评论
T（n，k）是从（0,0）到（n，n）的晶格路径数，步骤E=（1,0）和n=（0,1），它们接触但不穿过x-y=k线，且仅位于该线上方；例如：T（3,2）=5，因为我们有EENNNE，EENNEN，EENENN，ENEENN，NEEENN-菲利普·德尔汉姆2005年5月23日
半长n且k向下返回x轴的Grand Dyck路径数。（半长n的Grand Dyck路径是半平面x>=0中的路径，从（0,0）开始，到（2n，0）结束，由步骤u=（1,1）和d=（1，-1）组成）。例如：T（3,2）=5，因为我们有u（d）uud（d），uud-Emeric Deutsch公司2006年5月6日
三角形也可以由M^n*[1,0,0,0,0,0,0,0,0，…]生成，其中M是无限三对角矩阵，所有1都在超对角和次对角中，[1，2，2，2，2，2，2，…]在主对角线中-菲利普·德尔汉姆2007年2月26日
该三角形属于由以下定义的三角形族：T（0,0）=1，T（n，k）=0，如果k<0或如果k>n，T。其他三角形是通过为（x，y）选择不同的值而产生的：
从（0,0）到（2n，2k）的2n步行走次数，由步长u=（1,1）和d=（1，-1）组成，路径保持在非负象限中。例如：T（3,0）=5，因为我们有uuuddd、uududd、ududud、uduudd、uuddud；T（3,1）=9，因为我们有uuudd、uuuddu、uudud、ududuu、uuduud、uduudu、uudduu、uduuudu；T（3,2）=5，因为我们有uuuuu d，uuuudu，uuuduu，uuduuu；T（3,3）=1，因为我们有uuuuu-菲利普·德尔汉姆2007年4月16日、17日、18日
设a_m的和{n>=0}a（n）*x^n=（1+x）/（1-mx+x^2）=o.g.f.，则和{k=0..n}T（n，k）*a（k）=（m+2）^nA099493号,A033999号,A057078号,A057077号,A057079号,A005408号,A002878号,A001834号,A030221号,A002315号,A033890美元,A057080号,A057081号,A054320型,A097783号,A077416号,A126866号,A028230型,A161591号，对于m分别为-3、-2、-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15-菲利普·德尔汉姆2009年11月16日
Kn11、Kn12、Fi1和Fi2三角形和用三个序列连接上述三角形；请参阅交叉参考。有关这些三角形和的定义，请参见A180662号. -约翰内斯·梅耶尔2011年4月20日
4^n=（第n行项）点（第一个n+1个奇数整数项）。例如：4^4=256=（14，28，20，7，1）点（1，3，5，7，9）=（14+84+100+49+9）=256-加里·亚当森，2011年6月13日
由前n行定义的系数为n个方程组的线性方程组求解具有n=2n+1条边的正多边形的对角线长度；常数c^0，c^1，c^2。。。位于右侧，其中c=2+2*cos（2*Pi/N）。示例：取与9边（非边）相关的前4行，N=2*4+1；其中c=2+2*cos（2*Pi/9）=3.5320888……方程为（1,0,0,0）=1；（1,1,0,0）=c；（2,3,1,0）=c^2；（5,9,5,1）=立方。解为1、2.53208…、2.87938…和1.87938。。。；边=1的9边（非边）的四个不同对角线长度。（参见中的注释A089942号它使用类似的运算，但c=1+2*cos（2*Pi/9）。）-加里·亚当森2011年9月21日
在Andrew Lobb之后，也称为Lobb数，是加泰罗尼亚数的自然推广，由L（m，n）=（2m+1）*二项式（2n，m+n）/（m+n+1）给出，其中n>=m>=0。对于m=0，我们得到第n个加泰罗尼亚数。请参阅添加的参考-贾扬达·巴苏2013年4月30日
T（n，k）=A053121号（2*n，2*k）。T（n，k）出现在代数数rho（n）的（2*n）次幂的公式中：=2*cos（Pi/n）=R（n，2），根据单位圆（长度单位1）内切的规则n-gon中的奇数诱导对角线/边长比R（n、2*k+1）=S（2*k，rho（n））。S（n，x）是切比雪夫的S多项式（参见A049310美元):
ρ（N）^（2*N）=和{k=0..N}T（N，k）*R（N，2*k+1），N>=0，在N>=1中相同。有关证据，请参阅2013年9月21日的评论A053121号注意，如果R（N，j）的j>delta（N），代数数rho（N）的次数（参见A055034号)，出现。
方程的多项式分子的无符号系数。Chakravarty和Kodama论文的2.1，定义了A067311号. -汤姆·科普兰2016年5月26日
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准局应用数学。1964年第55辑（以及各种重印本），第796页。
T.Myers和L.Shapiro，序列1、5、22、93、386的一些应用。。。Dyck小路和整齐的树木，众议员。，204 (2010), 93-104.
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
乔纳森·比格利（Jonathan E.Beagley）和保罗·德鲁布（Paul Drube），Tableau反演的组合数学，电子。J.Combina.，22（2015），#P2.44。
安德鲁·洛布，推导第n个加泰罗尼亚数《数学公报》，第83卷，第496号（1999年3月），第109-110页。
Pedro J.Miana、Hideyuki Ohtsuka和Natalia Romero，加泰罗尼亚三角数的幂和，arXiv:1602.04347[math.NT]，2016年（见2.8）。
阿萨纳西奥斯·帕普利斯，一种新的拉普拉斯变换反演方法，夸脱。申请。数学。，第14卷，第4期（1957年），405-414:124。[注意：有一个输入错误]
配方奶粉
T（n，k）=C（2*n-1，n-k）-C（2*n-1，n-k-2），n>=1，T（0,0）=1。
T（n，k）=（2*k+1）*二项式（2*n，n-k）/（n+k+1）。
G.f.：G（t，z）=1/（1-（1+t）*z*C），其中C=（1-sqrt（1-4*z））/（2*z）是加泰罗尼亚函数。（结束）
T（n，k）=C（2*n，n-k）*（2*k+1）/（n+k+1）。总和（k>=0；T（n，k）*T（m，k）=A000108美元（n+m））；A000108美元：加泰罗尼亚语的数字。
对于k列的G.f:Sum_{n>=0}T（n，k）*x^n=x^k*C（x）^（2*k+1），其中C（xA000108美元（n） *x^n是加泰罗尼亚数字的g.f，A000108美元.
如果n<0或n<k，T（0，0）=1，T（n，k）=0；T（n，0）=T（n-1,0）+T（n-1，1）；对于k>=1，T（n，k）=T（n-1，k-1）+2*T（n-1，k）+T（n-l，k+1）。
三角形T（n，k）=（-1）^（n+k）*二项式（n+k，2*k）=*A085478号（n，k）。
和{k=0..n}（2*k+1）*T（n，k）=4^n。
和{k>=h}T（n，k）=二项式（2n，n-h）。
和{k=0..n}T（n，k）*（-1）^k=A000007号（n） ●●●●。
Sum_｛k=0..n｝T（n，k）*（-2）^k=（-1）^n*A064310号（n） ●●●●。
求和{k=0..n}T（n，k）*sin（（2*k+1）*x）=sin（x）*（2*cos（x））^（2*n）。
T（n，n-k）=和{j>=0}（-1）^（n-j）*A094385号（n，j）*二项式（j，k）。
如果求和{k>=0}a（k）*x^k=（1+x）/（x^2-m*x+1），则求和{k=0..n}T（n，k）*a（k）=（m+2）^n。
和{k=0..n}T（n，k）*k^2=A000531号（n） ，对于n>=1。
（结束）
求和{k=0..n}T（n，k）*（2*k+1）^2=（4*n+1）*二项式（2*n，n）-沃纳·舒尔特2015年7月22日
求和{k=0..n}T（n，k）*（2*k+1）^3=（6*n+1）*4^n-沃纳·舒尔特2015年7月22日
求和{k=0..n}（-1）^k*T（n，k）*（2*k+1）^（2*m）=0表示0<=m<n（另请参见A160562号). -沃纳·舒尔特2015年12月3日
T（n，k）=GegenbauerC（n-k，-n+1，-1）-GegenbauerC-（n-k-1，-n+1、-1）-彼得·卢什尼2016年5月13日
T（n，n-3）=n*（2*n-1）*（2*n-5）/3-R.J.马塔尔2019年1月30日
T（n，n-4）=n*（n-1）*（2*n-1）x（2*n-7）/6-R.J.马塔尔2019年1月30日
T（n，n-5）=n*（n-1）*（2*n-1）x（2*n-3）*（2*n-9）/30-R.J.马塔尔2019年1月30日
例子
三角形T（n，k）开始于：
否0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0: 1
1: 1 1
2: 2 3 1
3: 5 9 5 1
4: 14 28 20 7 1
5: 42 90 75 35 9 1
6: 132 297 275 154 54 11 1
7: 429 1001 1001 637 273 77 13 1
8: 1430 3432 3640 2548 1260 440 104 15 1
9: 4862 11934 13260 9996 5508 2244 663 135 17 1
生产矩阵开始
1, 1,
1, 2, 1,
0, 1, 2, 1,
0, 0, 1, 2, 1,
0, 0, 0, 1, 2, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 2, 1,
0,0,00,0,1,2,1（结束）
ρ（N）=2*cos（Pi/N）幂的示例：
n=2:rho（n）^4=2*R（n，1）+3*R（n，3）+1*R（n，5）=
2+3*S（2，rho（N））+1*S（4，rho。对于N=4（只有一条明显对角线的正方形），度数△（4）=2，因此R（4，3）和R（4,5）可以减少，即分别为R（4,1）=1和R（4]，5）=-R（4,1）=-1。因此，ρ（4）^4=（2*cos（Pi/4））^4=2+3-1=4。（结束）
MAPLE公司
T： =（n，k）->（2*k+1）*二项式（2*n，n-k）/（n+k+1）：对于从0到12的n，do seq（T（n，k），k=0..n）od；#以三角形形式生成序列#Emeric Deutsch公司2006年5月6日
T:=proc（n，k）选项记忆；如果k=n，则1 elif k>n，则0 elif k=0，则T（n-1，0）+T
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..9）od#彼得·卢什尼2023年2月14日
数学
表[Abs[Differences[Table[二项式[2n，n+i]，{i，0，n+1}]]，{n，0，7}]//展平(*杰弗里·克雷策2011年12月18日*）
连接[{1}，扁平[Table[二项式[2n-1，n-k]-二项式[2]，{n，10}，{k，0，n}]](*哈维·P·戴尔2011年12月18日*）
压扁[表[二项式[2*n，m+n]*（2*m+1）/（m+n+1），{n，0，9}，{m，0，n}]](*贾扬达·巴苏2013年4月30日*）
黄体脂酮素
（Sage）#L.Seidel的算法（1877）
#打印三角形的前n行
D=[0]*（n+2）；D[1]=1
b=正确；h=1
对于范围（2*n-1）中的i：
如果b：
对于范围（h，0，-1）中的k：D[k]+=D[k-1]
h+=1
其他：
对于范围（1，h，1）中的k：D[k]+=D[k+1]
如果b：打印（[D[z]代表（1..h-1）中的z）
b=非b
（岩浆）/*作为三角形*/[[二项式（2*n，k+n）*（2*k+1）/（k+n+1）：k in[0..n]]：n in[0..15]]//文森佐·利班迪2015年10月16日
（PARI）a（n，k）=（2*n+1）/（n+k+1）*二项式（2*k，n+k）
三角行（n）=对于（x=0，n-1，对于（y=0，x，print1（a（y，x），“，”））；打印（“”）
加泰罗尼亚语三角形T（n，k）（按行读取）：每个项是上面和左边条目的总和，即T（n、k）=总和{j=0..k}T（n-1，j）。
+10
117
1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 5, 5, 1, 4, 9, 14, 14, 1, 5, 14, 28, 42, 42, 1, 6, 20, 48, 90, 132, 132, 1, 7, 27, 75, 165, 297, 429, 429, 1, 8, 35, 110, 275, 572, 1001, 1430, 1430, 1, 9, 44, 154, 429, 1001, 2002, 3432, 4862, 4862, 1, 10, 54, 208, 637, 1638, 3640, 7072, 11934
评论
这个三角形中的条目（以多种形式）通常称为选票号码。
T（n，k）=形状（n，k）的标准表格数量（n>0，0<=k<=n）。例如：T（3,1）=3，因为我们有134/2、124/3和123/4-Emeric Deutsch公司，2004年5月18日
T（n，k）是具有n+1个内部节点和跳转长度k的完整二叉树的数量。在完整二叉树前序遍历中，从深层节点到严格较高层次节点的任何转换都称为跳转；水平的正差异称为跳跃距离；给定有序树中跳跃距离的总和称为跳跃长度-Emeric Deutsch公司2007年1月18日
右边的第k条对角线（k=1，2，…）给出了通过询问我们可以用多少种方式投掷一枚公平硬币，直到我们第一次得到的正面多于反面的k个。第k对角线有公式k（2m+k-1）/（m！（m+k）！）和g.f.（C（x））^k，其中C（x）是加泰罗尼亚数的生成函数，（1-sqrt（1-4*x））/（2*x）-安东尼·罗宾2007年7月12日
T（n，k）也是腰围k（腰围（α）=max（Im（α）））的降阶和降阶全变换（n元素链）的数目-阿卜杜拉希·奥马尔2008年8月25日
格式化为右上三角形（见表）a（c，r）是具有c+2个顶点的不同三角化平面多边形的数量，对于相同的顶点X，三角形度数为c-r+1（c=列号，r=行号，其中c>=r>=1）-帕特里克·拉巴基2010年7月28日
加泰罗尼亚三角形的第m行由二项式（m+k，m）-二项式（m+k，m+1）与0<=k<=m的唯一非负差异组成（参见链接）-R.J.卡诺2014年7月22日
T（n，k）也是长度为n+1且最大元素为k+1的非递减停车函数数。例如，T（3,2）=5，因为我们有（1,1,1,3），（1,1,2,3）-潘然2015年11月16日
T（n，k）是从（0,0）到（n+2，n+2）的Dyck路径数，从n-k+2东台阶开始，仅在最后一个北台阶上接触对角线y=x-菲利佩·鲁埃达2019年9月18日
k<n的T（n-1，k）是以n-k为前缀的n个括号对的格式良好的字符串数；T（n，n）=T（n，n-1）-赫尔曼·斯坦姆·威尔勃朗2021年5月2日
参考文献
William Feller，《概率论及其应用导论》，第一卷，第2版，第3章，第1节。1,2.
Ki Hang Kim、Douglas G.Rogers和Fred W.Roush，相似关系和半序。《第十届东南组合数学、图论和计算会议论文集》（佛罗里达大西洋大学，佛罗里达州博卡拉顿，1979年），第577-594页，国会。数字。，XXIII-XXIV，实用数学。，温尼伯，曼彻斯特，1979年。MR0561081（81i:05013）。
D.E.Knuth，TAOCP，第4卷，第7.2.1.6节，等式22，第451页。
C.Krishnamachary和M.Bheemasena Rao，元素为欧拉的行列式，编制了伯努利和其他数字，J.印度数学。《社会学杂志》，14（1922），55-62，122-138和143-146。
M.Bellon，查询5467，《数学杂志》，4（1925，11）；H.Ory，4（1925），120-N.J.A.斯隆2022年3月9日
Andrzej Proskurowski和Ekaputra Laiman，二叉树的快速枚举、排序和解列。第十三届东南组合学、图论和计算会议论文集（佛罗里达州博卡拉顿，1982年）。恭喜。数字。35（1982），401-413.MR0725898（85a:68152）。
M.Welsch，注释#371，《数学国际》，2（1895），第235-237页-N.J.A.斯隆2022年3月2日
链接
埃里克·艾斯（Erik Aas）、阿文德·艾耶（Arvind Ayyer）、斯万特·利努森（Svante Linusson）和萨穆·波特卡（Samu Potka），具有非局部边界跳跃的半透膜TASEP的精确相图，arXiv:1902.02019【第二次统计】，2019年。
Ron M.Adin、E.Bagno和Y.Roichman，置换的块分解与Schur正性，arXiv:1611.06979[math.CO]，2016-2017年。
凯西·阿彻、阿比盖尔·毕晓普、亚历山大·迪亚兹·洛佩兹、路易斯·大卫·加西亚·普恩特、达伦·格拉斯和乔尔·劳斯玛，投标人的算术结构，arXiv:1903.01393[math.CO]，2019年。
J.L.Arregui，切线和伯努利数通过数字三角形与Motzkin和Catalan数字相关，arXiv:math/0109108[math.NT]，2001年。
阿克塞尔·巴赫、安东尼奥·贝尔尼尼、卢卡·费拉里、本杰明·冈比、伦佐·平扎尼和朱利安·韦斯特，Dyck模式偏序集离散数学。321 (2014), 12--23. MR3154009。
D.F.Bailey，1和1的计数安排《数学杂志》，69（1996）：128-131。见第129页的表格。
Elena Barcucci、Alberto Del Lungo、Elisa Pergola和Renzo Pinzani，一种平面树枚举方法《形式幂级数与代数组合数学第七届会议论文集》（Noisy-le-Grand，1995）。离散数学。180（1998），第1-3、45--64号。MR1603693（98m:05090）。
E.Barccci和M.C.Verri，加泰罗尼亚数的更多性质，离散数学。，102 (1992), 229-237.
A.Bernini、L.Ferrari、R.Pinzani和J.West，Dyck模式偏序集，arXiv:1303.3785[math.CO]，2013年。
M.Bousquet-Mélou和M.Petkovsek，常系数线性回归：多元情形，离散数学。225 (2000), 51-75.
本杰明·布劳恩、雨果·科拉莱斯、斯科特·科里、路易斯·大卫·加西亚·普恩特、达伦·格拉斯、内森·卡普兰、杰里米·马丁、格雷格·穆西克和卡洛斯·瓦伦西亚，路径和循环上的计数算法结构.arXiv:1701.06377[math.CO]，2017年。
S.Brlek、E.Duchi、E.Pergola和S.Rinaldi，关于继承规则的等价性问题，离散。数学。，298 (2005), 142-154.
Steve Butler、R.Graham和C.H.Yan，树木上的停车分布，《欧洲组合数学杂志》65（2017），168-185。
拉波·西奥尼和卢卡·费拉里，Queuesort算法下的预映像，arXiv预打印arXiv:2102.07628[math.CO]，2021；离散数学。，344 (2021), #112561.
Ari Cruz、Pamela E.Harris、Kimberly J.Harry、Jan Kretschmann、Matt McClinton、Alex Moon、John O.Museus和Eric Redmon，停车函数的一些离散统计，arXiv:2312.16786[math.CO]，2023。
Italo J.Dejter，一种用于中级图的数字系统，Elec.J.图论与应用（2021），第9卷，第1期，137-156。见第139页。
E.Deutsch和L.Shapiro，精细数字综述，离散数学。，241 (2001), 241-265.
理查德·埃伦堡（Richard Ehrenborg）、加博尔·海泰伊（Gábor Hetyei）和玛格丽特·雷迪（Margaret Readdy），勒让德多面体均匀标志三角剖分的分类，arXiv:1901.07113[math.CO]，2019年。
R.Ehrenborg、S.Kitaev和E.Steingrimsson，312避免排列图中的循环数，arXiv:1310.1520[math.CO]，2013年。
W.J.R.Eplett，关于加泰罗尼亚三角的注记，离散数学。25（1979），第3期，289--291。MR0534947（80i:05007）
Jackson Evoniuk、Steven Klee和Van Magnan，枚举最小长度格路径，J.国际顺序。，第21卷（2018年），第18.3.6条。
I.Fanti、A.Frosini、E.Grazzini、R.Pinzani和S.Rinaldi，几类permutominoes的特征和计数，聚氨酯。M.A.，第18卷（2007年），第3-4期，第265-290页。
Dominique Foata和Guo-Niu Han，双布隆多项式三角形，公羊。J.23（2010），第107-126页。
Dominique Foata和Guo-Niu Han，双子数和新的q正切数，夸脱。数学杂志。62 (2) (2011) 417-432.
H.G.Forder，组合学中的几个问题，数学。《公报》，第45卷，1961年，199-201年。
C.A.Francisco、J.Mermin和J.Schweig，加泰罗尼亚数、二叉树和定点伪三角剖分2013年预印本；《欧洲组合学杂志》，第45卷，2015年4月，第85-96页。
J.M.Hammersley，操纵本科生练习，数学。《科学家》，14（1989），1-23。
J.M.Hammersley，操纵本科生练习，数学。《科学家》，14（1989），1-23。（带注释的扫描副本）
F.Hivert、J.-C.Novelli和J.-Y.Thibon，二叉搜索树代数《理论计算机科学》，339（2005），129-165。
金东素和林志聪，精炼限制反演序列，arXiv:1706.07208[math.CO]，2017年。
W.Krandick，树、跳跃和真正的根，J.计算与应用数学。，162, 2004, 51-55.
G.Kreweras，细分市场《巴黎高等教育学院》，第15号，巴黎，1970年，第3-41页。
G.Kreweras，细分市场巴黎大学统计研究所，巴黎大学统计局，第15号（1970年），3-41。[带注释的扫描副本]
C.Krishnamachary和M.Bheemasena Rao，元素为欧拉数、预备伯努利数和其他数的行列式，J.印度数学。《社会学杂志》，14（1922），55-62，122-138和143-146。[带注释的扫描副本]
D.Merlini、R.Sprugnoli和M.C.Verri，网球问题《组合理论》，A 99（2002），307-344（表一）。
J.-C.Novelli和J.-Y.Thibon，非交换对称函数与拉格朗日反演，arXiv:math/0512570[math.CO]，2005-2006年。
R.Parviainen，排列、循环和模式2-13，arXiv:math/0607793[math.CO]，2006年。
Gabriel Bravo Rios和Agustin Moreno Cañadas，代数表示论中的Dyck路哥伦比亚国立大学（2020年）。
A.Robertson、D.Saracino和D.Zeilberger，精细限制排列，arXiv:math/0203033[math.CO]，2002年。
L.W.夏皮罗，加泰罗尼亚三角，离散数学。，14, 83-90, 1976.
塔德·怀特，配额树，arXiv:2401.01462[math.CO]，2024。见第17页。
配方奶粉
T（n，m）=二项式（n+m，n）*（n-m+1）/（n+1），0≤m≤n。
柱m的G.f:（x^m）*N（2；m-1，x）/（1-x）^（m+1），m>=0，其中行多项式来自三角形A062991号和N（2；-1，x）：=1。
通用公式：C（t*x）/（1-x*C（t**x））=1+（1+t）*x+（1+2*t+2*t^2）*x^2+。。。，其中C（x）=（1-sqrt（1-4*x））/（2*x）是加泰罗尼亚函数-Emeric Deutsch公司2004年5月18日
三角形T（n，k）的另一种形式由[1，0，0，0,0，…]DELTA[0,1,1,1,1，1，…]=1给出；1, 0; 1, 1, 0; 1, 2, 2, 0; 1, 3, 5, 5, 0; 1, 4, 9, 14, 14, 0; ... 其中DELTA是在A084938号. -菲利普·德尔汉姆2005年2月16日
O.g.f.（带偏移量1）是x*（1+x*（1-t））/（1+x）^2=x-x^2*（1+t）+x^3*（1+2*t）-x^4*（1+3*t）+……的级数反转-彼得·巴拉2012年7月15日
总和{k=0..层（n/2）}T（n-k+p-1，k+p-1）=A001405号（n+2*p-2）-C（n+2*p-2，p-2），p>=1-约翰内斯·梅耶尔2013年10月3日
设A（x，t）表示o.g.f.，则1+x*d/dx（A（x、t））/A（x，t）=1+（1+t）*x+（1+2*t+3*t^2）*x^2+（1+3*t+6*t^2+10*t^3）*x*3+。。。是o.g.fA059481号. -彼得·巴拉2015年7月21日
第n行多项式等于函数（1-2*x）/（1-x）^（n+2）关于0的第n次泰勒多项式。例如，对于n=4，（1-2*x）/（1-x）^6=1+4*x+9*x^2+14*x^3+14*x^4+O（x^5）-彼得·巴拉2018年2月18日
T（n，k）=二项式（n+k+1，k）-2*二项式-大卫·卡伦2022年6月15日
例子
三角形从第n=0行开始，其中0<=k<=n：
1;
1, 1;
1, 2, 2;
1, 3, 5, 5;
1, 4, 9, 14, 14;
1, 5, 14, 28, 42, 42;
1, 6, 20, 48, 90, 132, 132;
1, 7, 27, 75, 165, 297, 429, 429;
1, 8, 35, 110, 275, 572, 1001, 1430, 1430;
1, 9, 44, 154, 429, 1001, 2002, 3432, 4862, 4862;
MAPLE公司
A009766号：=proc（n，k）二项式（n+k，n）*（n-k+1）/（n+1）；结束进程：
数学
压扁[NestList[Append[Accumulate[#]，Last[Accumlate[#]]&，{1}，9]](*Birkas Gyorgy公司2012年5月19日*）
T[n_，k_]：=T[n，k]=其中[k==0，1，k>n，0，真，T[n-1，k]+T[n、k-1]]；表[T[n，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*Jean-François Alcover公司2016年3月7日*）
黄体脂酮素
（PARI）{T（n，k）=如果（k＜0||k＞n，0，二项式（n+1+k，k）*（n+1-k）/（n+1+k））}/*迈克尔·索莫斯2006年10月17日*/
（PARI）b009766=（n1=0，n2=100）->{my（q=if（！n1，0，二项式（n1+1，2））\\R.J.卡诺2014年7月22日
（哈斯克尔）
a009766 n k=a009766_tabl！！不！！k个
a009766_行n=a009766 _ tabl！！n个
a009766_tabl=迭代（\row->scanl1（+）（row++[0]））[1]
（鼠尾草）
@缓存函数
定义投票（p，q）：
如果p==0且q==0：返回1
如果p<0或p>q：返回0
S=选票（p-2，q）+选票（p，q-2）
如果q%2==1:S+=选票（p-1，q-1）
返回S
（Sage）[[二项式（n+k，n）*（n-k+1）/（n+1）for k in（0..n）]for n in（0..10）]#G.C.格鲁贝尔2019年3月7日
（GAP）平面（列表（[0.10]，n->列表（[0..n]，m->二项式（n+m，n）*（n-m+1）/（n+1）））#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年2月18日
（岩浆）[[二项式（n+k，n）*（n-k+1）/（n+1）：k in[0..n]]：n in[0..10]]//G.C.格鲁贝尔2019年3月7日
交叉参考
以下是相同加泰罗尼亚三角形的所有版本（本质上）：A009766号,A008315美元,A028364号,A030237号,A047072美元,A053121号,A059365号,A062103号,A099039号,106566英镑,A130020型,140344英镑.
浅对角线之和给出A001405号，中心二项系数：1=1，1=1、1+1=2、1+2=3、1+3+2=6、1+4+5=10、1+5+9+5=20。。。
对角线给予A000108美元,A000108美元,A000245型,A002057号,A000344号,A003517号,A000588号,A003518号,A003519号,A001392号, ...
三角形T（n，k），0<=k<=n，按行读取，由[0，1，1，1,1，…]DELTA[1，0，0，0,0，0A084938号.
+10
59
1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 2, 2, 1, 0, 5, 5, 3, 1, 0, 14, 14, 9, 4, 1, 0, 42, 42, 28, 14, 5, 1, 0, 132, 132, 90, 48, 20, 6, 1, 0, 429, 429, 297, 165, 75, 27, 7, 1, 0, 1430, 1430, 1001, 572, 275, 110, 35, 8, 1, 0, 4862, 4862, 3432, 2002, 1001, 429, 154, 44, 9, 1
评论
加泰罗尼亚卷积三角形；k列的g.f.：（x*c（x））^k和c（x）g.fA000108美元（加泰罗尼亚数字）。
链接
A.Robertson、D.Saracino和D.Zeilberger，精细限制排列，arXiv:math/0203033[math.CO]，2002年。
L.W.Shapiro、S.Getu、W.-J.Woan和L.C.Woodson，Riordan集团，离散应用数学。，34 (1991), 229-239.
配方奶粉
T（n，k）=二项式（2n-k-1，n-k）*k/n，对于n>0的0<=k<=n；T（0，0）=1；如果k>0，T（0，k）=0。
T（0，0）=1；如果n>0，T（n，0）=0；如果k>0，T（0，k）=0；对于k>0和n>0：T（n，k）=Sum{j>=0}T（n-1，k-1+j）。
和{j>=0}T（n+j，2j）=二项式（2n-1，n），n>0。
求和{j>=0}T（n+j，2j+1）=二项式（2n-2，n-1），n>0。
和{k>=0}T（n，k）*x^（n-k）=C（x，n）；C（x，n）是广义加泰罗尼亚数。
G.f.：和{n>=0，k>=0}T（n，k）*x^k*z^n=1/（1-x*z*c（z））其中c（zA000108美元. -迈克尔·索莫斯2022年10月1日
例子
三角形开始：
1;
0, 1;
0, 1, 1;
0, 2, 2, 1;
0, 5, 5, 3, 1;
0, 14, 14, 9, 4, 1;
0, 42, 42, 28, 14, 5, 1;
0, 132, 132, 90, 48, 20, 6, 1;
生产阵列是
0, 1,
0, 1, 1,
0, 1, 1, 1,
0, 1, 1, 1, 1,
0, 1, 1, 1, 1, 1,
0, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
0，1，1，1,1,1,1,1（结束）
MAPLE公司
如果n＝0，那么
1;
elif k<0或k>n那么
0;
其他的
二项式（2*n-k-1，n-k）*k/n；
结束条件：；
黄体脂酮素
（岩浆）
106566英镑：=func<n，k|n eq 0选择1 else（k/n）*二项式（2*n-k-1，n-k）>；
（鼠尾草）
定义106566英镑（n，k）：如果（n==0）else（k/n）*二项式（2*n-k-1，n-k），则返回1
（PARI）{T（n，k）=如果（k<=0||k>n，n==0&k==0，二项式（2*n-k，n）*k/（2*n-k））}/*迈克尔·索莫斯2022年10月1日*/
交叉参考
k列表示k=0，1，2。。。，13:A000007号,A000108美元,A000108美元,A000245型,A002057号,A000344号,A003517号,A000588号,A003517号,A001392号,A003518号,A000589号,A003519号,A000590号
-11≤x≤10的广义加泰罗尼亚数C（x，n）：A064333号,A064332号,A064331美元,A064330号,A064329号,A064328号,A064327号,A064326号,A064325号,A064311号,A064310号,A000012号,A000108美元,A064062号,A064063美元,A064087号,A064088号,A064089号,A064090号,A064091号,A064092号,A064093号.
1, 0, 2, 3, 11, 31, 101, 328, 1102, 3760, 13036, 45750, 162262, 580638, 2093802, 7601043, 27756627, 101888163, 375750537, 1391512653, 5172607767, 19293659253, 72188904387, 270870709263, 1019033438061, 3842912963391, 14524440108761
评论
两个连续项的和是a（n-1）+a（n）=1，2，5，14，42=A000108美元（n） （加泰罗尼亚数字）。素数p除以a（（p-3）/2）得到p=11,19,29,31,41,59,61,71=A045468号（素数与{1,4}模5同余）。素数p除以a（2*p+1）得到p=5，11，19，29，31，41，59，61，71=A038872号（素数与{0,1,4}模5同余）。还有奇数素数，其中5是平方模p-亚历山大·阿达姆楚克2006年7月3日
单子数和可加分解数（2143，2413，3142）-避免无+键排列（上升1），偏移量为1。等价地，（2143，2413，3142）的数量-避免以1开头或以n结尾的排列（顶部条目）。例如，n=3时为132和213；n=4时为132414323214-亚历山大·伯斯坦2015年5月22日
配方奶粉
a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*C（k），其中C（k=A000108美元（k） ●●●●。
a（n）=（（-1）^（n+1）-二项式（2*（n+1，n+1））*Sum_{k=0..n+1}（-5）^k*二项式。
猜想：（n+1）*a（n）+3*（-n+1）*a（n-1）+2*（-2*n+1）*a（n-2）=0-R.J.马塔尔2012年11月30日
由于g.f.满足（x-3*x^2-4*x^3）*g'（x）+（1-6*x^2）*g（x）=1，因此猜想成立-罗伯特·伊斯雷尔2015年5月22日
a（n）~2^（2*n+2）/（5*sqrt（Pi）*n^（3/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年10月3日
MAPLE公司
记录：=（n+1）*a（n）+3*（-n+1）*a（n-1）+2*（-2*n+1）*a（n-2）=0：
A： =gfun:-rectproc（{rec，A（0）=1，A（1）=0}，A（n），记住）：
数学
表[总和[（-1）^（k+n）*CatalanNumber[k]，{k，0，n}]，{n，0，60}](*亚历山大·阿达姆楚克2006年7月3日*）
圆形@桌子[（-1）^n/GoldenRatio+CatalanNumber[n+1]超几何2F1[1，n+3/2，n+3，-4]，{n，0，20}]（*这里Round相当于FullSimplify，但速度快得多-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年10月2日*）
表[（加泰罗尼亚数[n]（2+（n+1）超几何2F1[1，-n，1/2，5/4]）-（-1）^n）/2，{n，0，20}](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年10月3日*）
黄体脂酮素
（鼠尾草）
f、 c，n=1，1，1
为True时：
产量f
n+=1
c=c*（4*n-6）//n
f=c-f
打印（[范围（27）中_的下一个（a）]）#彼得·卢什尼2016年11月30日
交叉参考
囊性纤维变性。A000045号,A000108美元,A000958号,A001622号,A002212号,A014137号,A014138号,A033297号,A038872号,A045468号,A064739号.
在半长n的所有无山Dyck路径中返回到x轴的次数（如果Dyck道路在级别1没有峰值，则称其为无山路径）。
+10
5
0, 1, 2, 7, 22, 73, 246, 844, 2936, 10334, 36736, 131709, 475714, 1729345, 6322534, 23232616, 85757008, 317839438, 1182341740, 4412949358, 16521076012, 62024023306, 233451103612, 880764587512, 3330234867792, 12617475113968
配方奶粉
a（n）=和{k=1..floor（n/2）}k^2*二项式（2*n-2*k，n-2*k）/（n-k）。
总面积：（1-平方（1-4*x））^2/（1+平方（1-4*x）+2*x）^2。
a（n）~5*4^（n+1）/（27*sqrt（Pi）*n^（3/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年3月20日
递归2*（n+2）*a（n）+（-7*n-1）*a-R.J.马塔尔2022年7月26日
例子
a（4）=7，因为在六条半长为4的无山Dyck路径中，即
UUD（D）UUD（D）、UUDUDUD（D）、UUDUUDD（D）、UUUDDUD（D）、UUUDDUD（D）、UUUDUDD（D）和UUUUDDD（D），我们总共有7个返回到x轴（显示在括号之间）。
MAPLE公司
a： =n->总和（k^2*二项式（2*n-2*k，n-2*k）/（n-k），k=1..楼层（n/2））：seq（a（n），n=1.30）；
#第二个Maple项目：
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n<3，n*（n-1）/2，
（（105*n^3-286*n^2+123*n+10）*a（n-1）
+2*（n-1）*（2*n-1）x（15*n+2）*a（n-2））/
（2*（n-2）*（n+2）*（15*n-13））
结束时间：
数学
其余[系数列表[系列[（1-Sqrt[1-4*x]）^2/（1+Sqrt[1-4*x]+2*x）^2，{x，0，20}]，x]](*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年3月20日*）
黄体脂酮素
（PARI）对于（n=1,25，print1（总和（k=1，floor（n/2），k^2*二项式（2*n-2*k，n-2*k）/（n-k）），“，”）\\G.C.格鲁贝尔2017年1月31日
从级别1开始没有DUDU的半长n的Dyck路径数。
+10
5
1, 1, 2, 4, 11, 32, 99, 318, 1051, 3550, 12200, 42520, 149930, 533890, 1917181, 6934722, 25243539, 92405718, 339940116, 1256122632, 4660081434, 17350844808, 64814186646, 242838410652, 912333763806, 3436240272972, 12972454874704, 49078874293528, 186051766180496
评论
显然，对于n>0，a（n）是长度为n-1的Motzkin路径的数目，有两种颜色的平坦步长（F和F），并且在0级避免FF。例如，对于n=3，a（3）=4路径是UD、ff、ff和ff-大卫·斯卡布勒2013年6月27日
避免连续图案[12][34][56]的n^2形状标准Young表的数量，按列读取-潘然2015年9月27日
假设我们只知道下面公式部分中给出的g.f.A（z）。写出的LHS（n）R.J.马塔尔的递归形式为2*（n+1）*a（n）+（-5*（n-1）-4）*a。经过一些简单的代数，我们得到了Sum_{n>=3}LHS（n）*z^n=z*A'（z）*（2-5*z-11*z^2-4*z^3）+A（z）x（2-4*z+6*z^2+2*z^ 3）-（2+9*z^2）。
我们对A（z）的分母进行有理化，得到A（zA000108美元现在将上述表达式中的公式替换为A（z），并使用CAS（例如SageMath）进行简化。
我们得到Sum_{n>=3}LHS（n）*z^n=z^3。这意味着R.J.马塔尔的递归对于n>=4是正确的，但对于n=3则为1。（结束）
链接
郭牛汉，标准拼图的枚举，arXiv:2006.14070[math.CO]，2020年。
A.Sapounakis、I.Tasoulas和P.Tsikouras，计算Dyck路径中的字符串，离散数学。，307 (2007), 2909-2924.
配方奶粉
a（n）~25*4^（n-1）/（9*sqrt（Pi）*n^（3/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年3月20日
猜想：2*（n+1）*a（n）+（-5*n+1）*a（n-1）+（-11*n+28）*a-R.J.马塔尔2015年10月20日
例子
a（4）=11，因为在14个(=A000108美元（4） ）半长为4的Dyck路径不符合以下条件：UDUDUUDD、UUDDUUD和UDUDUDUD。
MAPLE公司
G： =（2*z*C-z+C）/（1+z*C）：C:=（（1-4*z））*1/2）/z:Gser:=系列（G，z=0，30）：seq（系数（Gser，z，n），n=0..25）#Emeric Deutsch公司2007年12月13日
a： =proc（n）options操作符，箭头：二项式（2*n-2，n-1）/n+（总和（（-1）^j*（j+3）*二项式（2xn-j-2，n），j=0..n-2））/（n+1）结束proc:1，seq（a（n），n=1..25）#Emeric Deutsch公司2007年12月13日
#第三个Maple项目：
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n<4，[1$2，2，4][n+1]，
（（5*n-1）*a（n-1）+（11*n-28）*a
结束时间：
A135339列表：=proc（m）局部A，P，n；答：=[1,1,2]；P:=[1,2]；
对于从1到m-2的n，做P:=ListTools:-部分和（[op（P），P[-2]]）；
A:=[op（A），P[-1]]od；A结束：A135339列表（28）#彼得·卢什尼2022年3月26日
数学
系数列表[系列[（2*x*（1-Sqrt[1-4*x]）/（2*x）-x+(*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年3月20日*）
三角形T（n，k）给出了长度为2n且第一个峰值高度等于k的无山Dyck路径数。
+10
4
1, 1, 1, 3, 2, 1, 8, 6, 3, 1, 24, 18, 10, 4, 1, 75, 57, 33, 15, 5, 1, 243, 186, 111, 54, 21, 6, 1, 808, 622, 379, 193, 82, 28, 7, 1, 2742, 2120, 1312, 690, 311, 118, 36, 8, 1, 9458, 7338, 4596, 2476, 1164, 474, 163, 45, 9, 1, 33062, 25724, 16266, 8928, 4332, 1856, 692, 218, 55, 10, 1
链接
Emeric Deutsch和L.Shapiro，精细数字综述，离散数学。，241 (2001), 241-265.
配方奶粉
T（n，k）=和{j=0..floor（（n-k）/2）}（k-1+2*j）*二项式（2*n-k-1-2*j，n-1）/（2*n-k-1-2*j）。
G.f.：t^2*z^2*C/（（1-z^2*C^2）*（1-t*z*C）），其中C=（1-sqrt（1-4*z））/（2*z）是加泰罗尼亚函数。（结束）
例子
T（3,2）=1反映了长度为6的唯一Dyck路径（UUDUDD），没有丘陵，第一个峰的高度等于2。
三角形开始：
1;
1, 1;
3, 2, 1;
8, 6, 3, 1;
24, 18, 10, 4, 1;
75, 57, 33, 15, 5, 1;
243, 186, 111, 54, 21, 6, 1;
808, 622, 379, 193, 82, 28, 7, 1;
2742, 2120, 1312, 690, 311, 118, 36, 8, 1;
MAPLE公司
a:=proc（n，k）如果n=0且k=0，则1 elif k<2或k>n，则0 else和（（k-1+2*j）*二项式（2*n-k-1-2*j，n-1）/（2*n-k-1-2*j），j=0..floor（（n-k）/2））fi-end:seq（seq（a（n，k），k=2..n），n=1.14）；
数学
nmax=12；t[n，k_]：=和[（k-1+2j）*二项式[2n-k-1-2j，n-1]/（2n-k-1-2]），{j，0，（n-k）/2}]；扁平[表[t[n，k]，{n，2，nmax}，{k，2，n}]](*Jean-François Alcover公司2011年11月8日，Maple之后*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a065602 n k=总和
[（k-1+2*j）*a007318'（2*n-k-1-2*j）（n-1）`div`（2*n-k-1-2*j）|
j<-[0..div（n-k）2]
a065602_row n=地图（a065602 n）[2..n]
a065602_tabl=映射a065602行[2]
（SageMath）
定义T（n，k）：（0..（n-k）//2）中j的返回和（（k+2*j-1）*二项式（2*n-2*j-k-1，n-1）/（2*n-2*j-k-1）
压扁（[[T（n，k）代表k in（2..n）]代表n in（2..12）]）#G.C.格鲁贝尔2022年5月26日
1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 6, 8, 6, 3, 1, 18, 24, 18, 10, 4, 1, 57, 75, 57, 33, 15, 5, 1, 186, 243, 186, 111, 54, 21, 6, 1, 622, 808, 622, 379, 193, 82, 28, 7, 1, 2120, 2742, 2120, 1312, 690, 311, 118, 36, 8, 1, 7338, 9458, 7338, 4596, 2476, 1164, 474, 163, 45, 9, 1
配方奶粉
总和_｛k=0..n｝T（n，k）*2^（n-k）=A064306号（n） ●●●●。（结束）
例子
三角形开始：
1;
0, 1;
1, 1, 1;
2, 3, 2, 1;
6, 8, 6, 3, 1;
18, 24, 18, 10, 4, 1;
57, 75, 57, 33, 15, 5, 1;
186, 243, 186, 111, 54, 21, 6, 1;
622, 808, 622, 379, 193, 82, 28, 7, 1;
2120, 2742, 2120, 1312, 690, 311, 118, 36, 8, 1;
生产矩阵开始：
0, 1;
1, 1, 1;
1, 1, 1, 1;
1, 1, 1, 1, 1;
1, 1, 1, 1, 1, 1;
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1;
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1;
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1;
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1;
数学
A065602型【n，k】：=A065602型[n，k]=和[（k-1+2*j）*二项式[2*（n-j）-k-1，n-1]/（2*（n-j-k-1），{j，0，（n-k）/2}]；
表[T[n，k]，{n，0，12}，{k，0，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2022年5月26日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
导入数据。列表（genericIndex）
a167772 n k=通用索引（a167772_行n）k
a167772_row n=通用索引a167772表n
a167772_tab=[1]：[0，1]：
地图（\xs@（_：x:_）->x:xs）（尾部a065602tabl）
（SageMath）
定义A065602型（n，k）：（0..（n-k）//2）中j的返回和（（k+2*j-1）*二项式（2*n-2*j-k-1，n-1）/（2*n-2*j-k-1）
Fuss-Catalan三角形的1阶，按行读取。与二叉树相关。
+10
三
1, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 3, 5, 0, 1, 4, 9, 14, 0, 1, 5, 14, 28, 42, 0, 1, 6, 20, 48, 90, 132, 0, 1, 7, 27, 75, 165, 297, 429, 0, 1, 8, 35, 110, 275, 572, 1001, 1430, 0, 1, 9, 44, 154, 429, 1001, 2002, 3432, 4862, 0, 1, 10, 54, 208, 637, 1638, 3640, 7072, 11934, 16796
评论
m阶的Fuss-Catalan三角是一个基于（0，0）的正则表，递归定义如下：设置行（0）=[1]和行（1）=[0，1]。现在假设已经构造了行（n-1）并复制了行（n-1）的最后一个元素。接下来将累计和m次应用于该列表，以获得行（n）。这里m=1。（有关参考实现，请参阅Python程序。）
配方奶粉
Fuss-Catalan三角形的一般公式是，对于m>=0和0<=k<=n：
FCT（n，k，m）=（m*（n-k）+m+1）*（m*n+k-1）/（（m*n+1）*（k-1）！）对于k>0且FCT（n，0，m）=0^n，这里考虑的情况是T（n、k）=FCT（n，k，1）。
T（n，k）=（n-k+2）*（n+k-1）/（（n+1）*（k-1）！）对于k>0；T（n，0）=0^n。
m阶FC-三角形第n行的g.f.为0^n+（x-（m+1）*x^2）/（1-x）^（m*n+2），因此：
T（n，k）=[x^k]（0^n+（x-2*x^2）/（1-x）^（n+2））。
例子
表T（n，k）开始：
[0] [1]
[1] [0, 1]
[2] [0, 1, 2]
[3] [0, 1, 3, 5]
[4] [0, 1, 4, 9, 14]
[5] [0, 1, 5, 14, 28, 42]
[6] [0, 1, 6, 20, 48, 90, 132]
[7] [0, 1, 7, 27, 75, 165, 297, 429]
[8] [0, 1, 8, 35, 110, 275, 572, 1001, 1430]
[9] [0, 1, 9, 44, 154, 429, 1001, 2002, 3432, 4862]
.
视为从主对角线开始读取对角线的数组：
[0] 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, ...A000108美元
[1] 0, 1, 3, 9, 28, 90, 297, 1001, 3432, 11934, 41990, ...A000245型
[2] 0, 1, 4, 14, 48, 165, 572, 2002, 7072, 25194, 90440, ...A099376号
[3] 0, 1, 5, 20, 75, 275, 1001, 3640, 13260, 48450, 177650, ...15144年
[4] 0, 1, 6, 27, 110, 429, 1638, 6188, 23256, 87210, 326876, ...A115145号
[5] 0, 1, 7, 35, 154, 637, 2548, 9996, 38760, 149226, 572033, ...A000588号
[6] 0, 1, 8, 44, 208, 910, 3808, 15504, 62016, 245157, 961400, ...A115147号
[7] 0, 1, 9, 54, 273, 1260, 5508, 23256, 95931, 389367, 1562275, ...151148英镑
黄体脂酮素
（Python）
从functools导入缓存
从itertools导入累加
@高速缓存
def Trow（n:int）->列表[int]：
如果n==0：返回[1]
如果n==1：返回[0，1]
行=Trow（n-1）+[Trow（n-1）[n-1]]
返回列表（累加（行））
对于范围（11）中的n：打印（Trow（n））
搜索在0.027秒内完成
查找|欢迎光临|维基|注册|音乐|地块2|演示|索引|浏览|网络摄像头
贡献新序列。或评论|格式|样式表|变换|超级搜索|最近
OEIS社区|维护人OEIS基金会。
许可协议、使用条款、隐私政策。.
上次修改时间：2024年9月21日17:58 EDT。包含376087个序列。（在oeis4上运行。）
| 
