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A009766号

加泰罗尼亚语三角形T（n，k）（按行读取）：每个项是上面和左边条目的总和，即T（n、k）=总和{j=0..k}T（n-1，j）。

+0
114

1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 5, 5, 1, 4, 9, 14, 14, 1, 5, 14, 28, 42, 42, 1, 6, 20, 48, 90, 132, 132, 1, 7, 27, 75, 165, 297, 429, 429, 1, 8, 35, 110, 275, 572, 1001, 1430, 1430, 1, 9, 44, 154, 429, 1001, 2002, 3432, 4862, 4862, 1, 10, 54, 208, 637, 1638, 3640, 7072, 11934 (列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

	抵消	`0,5`
	评论	`这个三角形中的条目（以多种形式）通常称为选票号码。` `T（n，k）=形状（n，k）的标准表格数量（n>0，0<=k<=n）。例如：T（3,1）=3，因为我们有134/2、124/3和123/4-Emeric Deutsch公司2004年5月18日` `T（n，k）是具有n+1个内部节点和跳转长度k的完整二叉树的数量。在完整二叉树前序遍历中，从深层节点到严格较高层次节点的任何转换都称为跳转；水平的正差异称为跳跃距离；给定有序树中跳跃距离的总和称为跳跃长度-Emeric Deutsch公司2007年1月18日` `右边的第k条对角线（k=1，2，…）给出了通过询问我们可以用多少种方式投掷一枚公平硬币，直到我们第一次得到的正面多于反面的k个。第k对角线有公式k（2m+k-1）/（m！（m+k）！）和g.f.（C（x））^k，其中C（x）是加泰罗尼亚数的生成函数，（1-sqrt（1-4x））/（2x）-安东尼·罗宾，2007年7月12日` `T（n，k）也是腰围k（腰围（α）=max（Im（α）））的降阶和降阶全变换（n元素链）的数目-阿卜杜拉希·奥马尔2008年8月25日` `格式化为右上三角形（见表）a（c，r）是具有c+2个顶点的不同三角化平面多边形的数量，对于相同的顶点X，三角形度数为c-r+1（c=列号，r=行号，其中c>=r>=1）-帕特里克·拉巴基2010年7月28日` `三角形和，请参见A180662号对于他们的定义，连接加泰罗尼亚三角，它的镜子是A033184号，具有多个序列，请参见交叉引用-约翰内斯·梅耶尔2010年9月22日` `加泰罗尼亚三角形的第m行由二项式（m+k，m）-二项式（m+k，m+1）与0<=k<=m的唯一非负差异组成（参见链接）-R.J.卡诺2014年7月22日` `T（n，k）也是长度为n+1且最大元素为k+1的非递减停车函数数。例如，T（3,2）=5，因为我们有（1,1,1,3），（1,1,2,3）-冉·潘2015年11月16日` `T（n，k）是从（0,0）到（n+2，n+2）的Dyck路径数，从n-k+2东台阶开始，仅在最后一个北台阶上接触对角线y=x-费利佩·鲁埃达2019年9月18日` `k<n的T（n-1，k）是以n-k为前缀的n个括号对的格式良好的字符串数；T（n，n）=T（n，n-1）-赫尔曼·斯坦姆·威尔勃朗2021年5月2日`
	参考文献	`威廉·费勒，《概率论及其应用导论》，第一卷，第二版，第三章，A节。1、2。` `Ki Hang Kim、Douglas G.Rogers和Fred W.Roush，相似关系和半序。《第十届东南组合数学、图论和计算会议论文集》（佛罗里达大西洋大学，佛罗里达州博卡拉顿，1979年），第577-594页，国会。数字。，XXIII-XIV，实用数学。，温尼伯，曼彻斯特，1979年。MR0561081（81i:05013）。` `D.E.Knuth，TAOCP，第4卷，第7.2.1.6节，等式22，第451页。` `C.Krishnamachary和M.Bheemasena Rao，元素为欧拉的行列式，编制了伯努利和其他数字，J.印度数学。《社会学杂志》，14（1922），55-62，122-138和143-146。` `M.Bellon，查询5467，《数学国际》，4（1925，11；H.Ory，4（1992），120-N.J.A.斯隆2022年3月9日` `Andrzej Proskurowski和Ekaputra Laiman，二叉树的快速枚举、排序和解列。第十三届东南组合学、图论和计算会议论文集（佛罗里达州博卡拉顿，1982年）。恭喜。数字。35（1982），401-413.MR0725898（85a:68152）。` `M.Welsch，注释#371，《数学国际》，2（1895），第235-237页-N.J.A.斯隆2022年3月2日`
	链接	`T.D.Noe，三角形的行数n=0..100，展平` `埃里克·艾斯（Erik Aas）、阿文德·艾耶（Arvind Ayyer）、斯万特·利努森（Svante Linusson）和萨穆·波特卡（Samu Potka），具有非局部边界跳跃的半透膜TASEP的精确相图，arXiv:1902.02019【第二次统计】，2019年。` `Ron M.Adin、E.Bagno和Y.Roichman，置换的块分解与Schur正性，arXiv:1611.06979[math.CO]，2016-2017年。` `凯西·阿彻、阿比盖尔·毕晓普、亚历山大·迪亚兹·洛佩兹、路易斯·大卫·加西亚·普恩特、达伦·格拉斯和乔尔·劳斯玛，投标人的算术结构，arXiv:1903.01393[math.CO]，2019年。` `J.L.Arregui，切线和伯努利数通过数字三角形与Motzkin和Catalan数字相关，arXiv:math/0109108[math.NT]，2001年。` `Jean-Christophe Aval，多元Fuss-Catalan数，arXiv:0711.0906[math.CO]，2007年。` `Jean-Christophe Aval，多元Fuss-Catalan数，离散数学。，308 (2008), 4660-4669.` `阿克塞尔·巴赫、安东尼奥·贝尔尼尼、卢卡·费拉里、本杰明·冈比、伦佐·平扎尼和朱利安·韦斯特，Dyck模式偏序集离散数学。321 (2014), 12--23. 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	配方奶粉	`T（n，m）=二项式（n+m，n）（n-m+1）/（n+1），0<=m<=n。` `柱m的G.f:（x^m）N（2；m-1，x）/（1-x）^（m+1），m>=0，其中行多项式来自三角形A062991号和N（2；-1，x）：=1。` `通用公式：C（tx）/（1-xC（t*x））=1+（1+t）x+（1+2t+2t^2）x^2+。。。，其中C（x）=（1-sqrt（1-4x））/（2x）是加泰罗尼亚函数-Emeric Deutsch公司2004年5月18日` `三角形T（n，k）的另一种形式由[1，0，0，0,0，…]DELTA[0,1,1,1,1，1，…]=1给出；1, 0; 1, 1, 0; 1, 2, 2, 0; 1, 3, 5, 5, 0; 1, 4, 9, 14, 14, 0; ... 其中DELTA是在A084938号. -菲利普·德尔汉姆2005年2月16日` `O.g.f.（带偏移量1）是x（1+x（1-t））/（1+x）^2=x-x^2（1+t）+x^3（1+2t）-x^4（1+3t）+……的级数反转-彼得·巴拉2012年7月15日` `总和{k=0..层（n/2）}T（n-k+p-1，k+p-1）=A001405号（n+2p-2）-C（n+2p-2，p-2），p>=1-约翰内斯·梅耶尔2013年10月3日` `设A（x，t）表示o.g.f.，则1+xd/dx（A（x、t））/A（x，t）=1+（1+t）x+（1+2t+3t^2）x^2+（1+3t+6t^2+10t^3）x3+。。。是o.g.fA059481号. -彼得·巴拉2015年7月21日` `第n行多项式等于函数（1-2x）/（1-x）^（n+2）关于0的第n次泰勒多项式。例如，对于n=4，（1-2x）/（1-x）^6=1+4x+9x^2+14x^3+14x^4+O（x^5）-彼得·巴拉2018年2月18日` `T（n，k）=二项式（n+k+1，k）-2*二项式-大卫·卡伦2022年6月15日`
	例子	`三角形从第n=0行开始，其中0<=k<=n：` `1;` `1, 1;` `1, 2, 2;` `1, 3, 5, 5;` `1, 4, 9, 14, 14;` `1, 5, 14, 28, 42, 42;` `1, 6, 20, 48, 90, 132, 132;` `1、7、27、75、165、297、429、429；` `1, 8, 35, 110, 275, 572, 1001, 1430, 1430;` `1, 9, 44, 154, 429, 1001, 2002, 3432, 4862, 4862;`
	MAPLE公司	`A009766号：=proc（n，k）二项式（n+k，n）*（n-k+1）/（n+1）；结束进程：` `seq（序列(A009766号（n，k），k=0..n），n=0..10）#R.J.马塔尔2010年12月3日`
	数学	`压扁[NestList[Append[Accumulate[#]，Last[Accumlate[#]]&，{1}，9]](Birkas Gyorgy公司，2012年5月19日）` `T[n_，k_]：=T[n，k]=其中[k==0，1，k>n，0，真，T[n-1，k]+T[n、k-1]]；表[T[n，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(Jean-François Alcover公司2016年3月7日）`
	黄体脂酮素	`（PARI）{T（n，k）=如果（k<0 \| \| k>n，0，二项式（n+1+k，k）（n+1-k）/（n+1+k））}/迈克尔·索莫斯2006年10月17日/` `（PARI）b009766=（n1=0，n2=100）->{my（q=if（！n1，0，二项式（n1+1，2））\\R.J.卡诺2014年7月22日` `（哈斯克尔）` `a009766 n k=a009766_tabl！！不！！k个` `a009766_行n=a009766 _ tabl！！n个` `a009766_tabl=迭代（\row->scanl1（+）（row++[0]））[1]` `--莱因哈德·祖姆凯勒2012年7月12日` `（圣人）` `@缓存函数` `定义投票（p，q）：` `如果p==0且q==0：返回1` `如果p<0或p>q：返回0` `S=选票（p-2，q）+选票（p，q-2）` `如果q%2==1:S+=选票（p-1，q-1）` `返回S` `A009766号=λn，k：选票（2k，2n）` `对于（0..7）中的n：[A009766号（n，k）对于k in（0..n）]#彼得·卢什尼2014年3月5日` `（Sage）[[二项式（n+k，n）（n-k+1）/（n+1）for k in（0..n）]for n in（0..10）]#G.C.格鲁贝尔2019年3月7日` `（GAP）平面（列表（[0.10]，n->列表（[0..n]，m->二项式（n+m，n）（n-m+1）/（n+1）））#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年2月18日` `（岩浆）[[二项式（n+k，n）（n-k+1）/（n+1）：k in[0..n]]：n in[0..10]]//G.C.格鲁贝尔2019年3月7日`
	交叉参考	`以下是相同加泰罗尼亚三角形的所有版本（本质上）：A009766号,A008315号,A028364美元,A030237号,A047072号,A053121号,A059365号,A062103号,A099039号,A106566号,A130020型,A140344号。` `囊性纤维变性。A062745号,2014年2月。` `浅对角线之和给出A001405号，中心二项系数：1=1，1=1、1+1=2、1+2=3、1+3+2=6、1+4+5=10、1+5+9+5=20。。。` `行和以及浅对角线的平方和给出加泰罗尼亚数字(A000108号).` `的反射版本A033184号。` `对角线给出A000108号,A000108号,A000245美元,A002057号,A000344号,A003517号,A000588号,A003518号,A003519号,A001392号, ...` `三角总和（见注释）：A000108号（第1行），A000957号（第2行），A001405号（Kn11），A014495号（Kn12），A194124号（Kn13）中，A030238号（Kn21），A000984号（Kn4），A000958号（图2），A165407型（Ca1），A026726号（Ca4），A081696号（Ze2）。`
	关键词	`非n,表,美好的`
	作者	`沃特·梅森`
	状态	`经核准的`

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