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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A009766号 加泰罗尼亚语三角形T(n,k)(按行读取):每个项是上面和左边条目的总和,即T(n、k)=总和{j=0..k}T(n-1,j)。 114

%I#432 2024年2月26日11:00:49

%S 1,1,1,2,2,1,3,5,5,1,4,9,14,14,12,5,14,15,14,28,42,2,1,6,20,48,90132132,

%电话:1,7,27,75165297429429,1,8,35110275572100114301430,1,9,44,

%电话:15442910012002343248624862,10,5420863716383640707211934

%N加泰罗尼亚语三角形T(N,k)(按行读取):每个项是上面和左边条目的总和,即T(N、k)=总和{j=0..k}T(N-1,j)。

%这个三角形中的条目(以多种形式)通常称为选票号码。

%C T(n,k)=形状(n,k)的标准表格数量(n>0,0<=k<=n)。例如:T(3,1)=3,因为我们有134/2、124/3和123/4_Emeric Deutsch_,2004年5月18日

%C T(n,k)是具有n+1个内部节点和跳转长度k的完整二叉树的数量。在完整二叉树前序遍历中,从深层节点到严格较高层次节点的任何转换都称为跳转;水平的正差异称为跳跃距离;给定有序树中跳跃距离的总和称为跳跃长度_Emeric Deutsch,2007年1月18日

%C右边的第k条对角线(k=1,2,…)给出了一个序列,通过询问我们可以用多少种方式投掷一枚公平的硬币,直到我们得到的正面多于反面的k个。第k对角线有公式k(2m+k-1)/(m!(m+k)!)和g.f.(C(x))^k,其中C(x)是加泰罗尼亚数的生成函数,(1-sqrt(1-4*x))/(2*x)_安东尼·罗宾(Anthony C Robin),2007年7月12日

%C T(n,k)也是腰围k(腰围(α)=最大(Im(α)))的降阶和降阶全变换(n元素链)的数目_Abdullahi Umar_,2008年8月25日

%C格式化为右上三角形(见表)a(C,r)是具有C+2个顶点的不同三角化平面多边形的数量,对于相同的顶点X,三角形度数为C-r+1(C=列号,r=行号,其中C>=r>=1)_Patrick Labarque_,2010年7月28日

%C三角形和,其定义见A180662,连接加泰罗尼亚三角形,其镜像为A033184,具有多个序列,见交叉参考_Johannes W.Meijer,2010年9月22日

%C加泰罗尼亚语三角形的第m行由形式为二项式(m+k,m)-二项式(m+k,m+1)与0≤k≤m的唯一非负差组成(见链接)_R.J.Cano,2014年7月22日

%C T(n,k)也是长度为n+1且最大元素为k+1的非递减停车函数数。例如T(3,2)=5,因为我们有(1,1,1,3),(1,1,2,3)_Ran Pan_,2015年11月16日

%C T(n,k)是从(0,0)到(n+2,n+2)的Dyck路径数,从n-k+2东台阶开始,仅在最后一个北台阶上接触对角线y=x_Felipe Rueda,2019年9月18日

%对于k<n,C T(n-1,k)是以n-k为前缀的n个括号对的格式良好的字符串数;T(n,n)=T(n,n-1)_赫尔曼·斯坦姆·威尔布兰特,2021年5月2日

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%叶玛莎,<a href=“https://arxiv.org/abs/1703.00057“>Rook Placements and Jordan Forms of Upper-Triangular幂零矩阵。

%F T(n,m)=二项式(n+m,n)*(n-m+1)/(n+1),0≤m≤n。

%F G.F.对于m列:(x^m)*N(2;m-1,x)/(1-x)^(m+1),m>=0,三角形A062991和N(2,-1,x)的行多项式:=1。

%F G.F.:C(t*x)/(1-x*C(t*x))=1+(1+t)*x+(1+2*t+2*t^2)*x^2+。。。,其中C(x)=(1-sqrt(1-4*x))/(2*x)是加泰罗尼亚函数_Emeric Deutsch_,2004年5月18日

%F三角形T(n,k)的另一种形式由[1,0,0,0,0,…]DELTA[0,1,1,1,1,…]=1给出;1, 0; 1, 1, 0; 1, 2, 2, 0; 1, 3, 5, 5, 0; 1, 4, 9, 14, 14, 0; ... 其中,DELTA是A084938中定义的运算符_菲利普·德雷厄姆(Philippe Deléham),2005年2月16日

%F O.g.F.(带偏移量1)是x*(1+x*(1-t))/(1+x)^2=x-x^2*(1+t)+x^3*(1+2*t)-x^4*(1+3*t)+….-的级数反转_Peter Bala,2012年7月15日

%F Sum_{k=0..楼层(n/2)}T(n-k+p-1,k+p-1)=A001405(n+2*p-2)-C(n+2*p-2,p-2),p>=1.-_Johannes W.Meijer,2013年10月3日

%F设A(x,t)表示o.g.F,则1+x*d/dx(A(x、t))/A(x,t)=1+(1+t)*x+(1+2*t+3*t^2)*x^2+(1+3*t+6*t^2+10*t^3)*x*3+。。。是A059481的o.g.f.-_Peter Bala,2015年7月21日

%第n行多项式等于函数(1-2*x)/(1-x)^(n+2)关于0的第n次泰勒多项式。例如,对于n=4,(1-2*x)/(1-x)^6=1+4*x+9*x^2+14*x^3+14*x^4+O(x^5)_Peter Bala,2018年2月18日

%F T(n,k)=二项式(n+k+1,k)-2*二项式

%e三角形从第n=0行开始,其中0<=k<=n:

%e 1;

%e 1,1;

%e 1、2、2;

%e 1、3、5、5;

%e 1、4、9、14、14;

%e 1、5、14、28、42、42;

%e 1、6、20、48、90、132、132;

%e 1、7、27、75、165、297、429、429;

%e 1、8、35、110、275、572、1001、1430、1430;

%e 1、9、44、154、429、1001、2002、3432、4862、4862;

%p A009766:=过程(n,k)二项式(n+k,n)*(n-k+1)/(n+1);结束进程:

%p序列(序列(A009766(n,k),k=0..n),n=0..10);#_R.J.Mathar,2010年12月3日

%t Flatten[NestList[Append[Accumlate[#],Last[Accumate[#]]&,{1},9]](*Birkas Gyorgy_,2012年5月19日*)

%tT[n_,k_]:=t[n,k]=其中[k==0,1,k>n,0,真,t[n-1,k]+t[n、k-1]];表[T[n,k],{n,0,10},{k,0,n}]//Flatten(*Jean-François Alcover_,2016年3月7日*)

%o(PARI){T(n,k)=如果(k<0||k>n,0,二项式(n+1+k,k)*(n+1-k)/(n+1+k))};/*_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2006年10月17日*/

%o(PARI)b009766=(n1=0,n2=100)->{my(q=if(!n1,0,二项式(n1+1.2))

%o(哈斯克尔)

%o a009766 n k=a009766_tabl!!不!!k个

%o a009766_row n=a009766 _ tabl!!n个

%o a009766_tabl=迭代(\row->scanl1(+)(row++[0]))[1]

%o——Reinhard Zumkeller,2012年7月12日

%o(鼠尾草)

%o@CachedFunction

%o定义投票(p,q):

%o如果p==0且q==0:返回1

%o如果p<0或p>q:返回0

%o S=选票(p-2,q)+选票(p,q-2)

%o如果q%2==1:S+=选票(p-1,q-1)

%o返回S

%o A009766=λn,k:选票(2*k,2*n)

%o表示n in(0..7):[A009766(n,k)表示k in(0..n)]#_Peter Luschny_,2014年3月5日

%o(Sage)[[二项式(n+k,n)*(n-k+1)/(n+1)for k in(0..n)]for n in(0..10)]#_G.C.Greubel_,2019年3月7日

%o(GAP)平面(列表([0..10],n->列表([0..n],m->二项式(n+m,n)*(n-m+1)/(n+1)));#_Muniru A Asiru_,2018年2月18日

%o(岩浆)[[二项式(n+k,n)*(n-k+1)/(n+1):k in[0..n]]:n in[0..10]];//_G.C.Greubel,2019年3月7日

%Y以下是相同加泰罗尼亚三角形(基本上)的所有版本:A009766、A008315、A028364、A030237、A047072、A053121、A059365、A062103、A099039、A106566、A130020、A140344。

%Y参考A062745,A214292。

%浅对角线的Y和给出A001405,中心二项式系数:1=1,1=1、1+1=2、1+2=3、1+3+2=6、1+4+5=10、1+5+9+5=20。。。

%Y行和以及浅对角线的平方和给出加泰罗尼亚数字(A000108)。

%Y反映版A033184。

%Y对角线给出A000108、A000108,A000245,A002057,A000344,A003517,A000588,A00351,A00359,A001392。。。

%Y三角和(见注释):A000108(第1行)、A000957(第2行)、P001405(Kn11)、A014495(Kn12)、A194124(Kn13)、A030238(Kn21)、A0000984(Kn4)、A00958(Fi2)、A165407(Ca1)、A026726(Ca4)和A081696(Ze2)。

%K non,tabl,不错

%0、5

%外梅森(_W)_

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