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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A002057 加泰罗尼亚数的第四卷积:4*二项式(2n+3,n)/(n+4)。
(原名M3483 N1415)
62
1,4,14,48,165,572,2002,7072,25194,90440,326876,1188640,4345965,15967980,58929450,218349120,811985790,3029594040,11338026180,42550029600,160094486370,603784920024,2282138106804,8643460269248327988447717001246808499918352 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,2个

评论

a(n)是通过迭代得到的(扁平化)列表的和:将每个整数k替换为列表0,…,k+1在起始值0上。此列表的长度为加泰罗尼亚语(n)或A000108号. -伍特·梅森2001年11月11日

a(n-2)=单位增加标记为3(cf。佐兰苏尼奇参考)。-贝诺伊特·克罗伊特2003年10月7日

形状的标准表格数量(n+2,n-1)。-德国金刚砂2004年5月30日

a(n)=加泰罗尼数(n+3)-2*加泰罗尼数(n+2)。证据。从其定义为加泰罗尼亚数字的卷积,a(n)计算总大小(半长度)=n的4条Dyck路径的列表。通过3个上步(U)和3个向下步(D)连接4条路径。这是一个可逆过程。所以a(n)也是结束DDD的Dyck(n+3)路径的数目(D代表下行)。设C(n)表示CatalanNumber(n)(A000108号). 因为C(n+3)是Dyck(n+3)-路径的总数,C(n+2)是结束UD的数量,所以(*)C(n+3)-C(n+2)是结束DD的Dyck(n+3)路径的数量。另外,(**)C(n+2)是结束UDD的Dyck(n+3)路径的数量(将Dyck(n+2)路径中的最后一个D更改为UDD)。从(*)中减去(**)得到a(n)=C(n+3)-2C(n+2)。-大卫·凯伦2006年11月21日

不带首字母“1”之一的加泰罗尼亚序列的卷积平方:(1+4x+14x^2+48x^3+…)=(1/x^2)*平方(x+2x^2+5x^3+14x^4+…)

a(n+1)=A214292号(2*n+4,n)。-莱因哈德·祖姆凯勒2012年7月12日

a(n)是具有n+3个内部节点的二叉树的数目,其中根的两个子树都不是空的。A068875号[塞吉威克和弗莱约特]。-杰弗里·克里特2013年1月5日

对于偏移量4,a(n)是{1,2,…,n}上123回避的置换数,即,不包含三项单调子序列,其第一次上升位于位置(4,5);例如,n=7上有48个123避免排列,其中第一次上升位于点(4,5)。见康诺利链接。在这里,一般来说,第k个Catalan卷积是123个避免置换的数目,其中第一个上升是在(k,k+1)。(对于n=k,如果置换是没有上升的递减置换,则第一个上升定义为位置(k,k+1)-阿南特神殿2014年1月17日

偏移量为4时,a(n)=在{1,2,…,n}上避免123次且整数n在第4位的置换数;参见Connolly link。-阿南特神殿2014年1月17日

a(n)是从(0,0)到(n+2,n+2)的东北晶格路径的数量,这些路径在次矩形y=x-1之下正好有一个东台阶。详细信息见Pan和Remmel链接的第3.1节。-冉潘2016年2月4日

a(n)是从(0,0)到(n+2,n+2)的东北晶格路径数,这些路径从对角线y=x向右反弹一次,但不会从y=x向左反弹。详情见Pan和Remmel链接的第4.2节。-冉潘2016年2月4日

a(n)是从(0,0)到(n+2,n+2)的东北方向晶格路径数,这些路径水平穿过对角线y=x一次,但不垂直穿过对角线。详情见Pan和Remmel链接的第4.3节。-冉潘2016年2月4日

参考文献

P、 德拉哈普,几何群理论专题,芝加哥大学出版社,2000年,第11页,P_4(z)系数。

C、 奥里安和其他的数列是准备好的。第14卷(1922年),第55-62页,第122-138页和第143-146页。

R、 Sedgewick和P.Flajolet,《算法分析》,Addison-Wesley,1996年,第225页。

N、 J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。

N、 J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。

链接

T、 诺伊和冯林,n=0..1000时的n,a(n)表(前100项由T.D.Noe计算)

保罗·巴里,整数序列的Catalan变换及其相关变换《整数序列杂志》,第8卷(2005年),第05.4.5条。

朱莉娅·E·伯格纳,塞德里克·哈珀,瑞安·凯勒,马蒂尔德·罗西·马歇尔,行动图,平面根森林,加泰罗尼亚数的自卷积,arXiv:1807.03005[math.CO],2018年。

Daniel Birmajer,Juan B.Gil,Michael D.Weiner,有理格路径的反弹统计,arXiv:1707.09918[math.CO],2017年,第9页。

A、 凯利,关于多边形的划分,过程。伦敦数学。Soc.,22(1891),237-262=数学论文集。沃尔斯。1-13,剑桥大学出版社,伦敦,1889-1897年,第13卷,第93页及其后。

朱利奥·塞尔拜,安德斯·克莱森,卢卡·法拉利,具有限制堆栈的堆栈排序,arXiv:1907.08142[cs.DS],2019年。

G、 夏皮罗,夏皮罗,有序树的突变效应,arXiv预印本arXiv:1410.1249[math.CO],2014(见第4页)。

S、 康诺利,Z.盖博和A.戈德博勒,在123避免排列中第一次上升的位置,arXiv:1401.2691[math.CO],2014年。

S、 J.Cyvin,J.Brunvoll,E.Brendsdal,B.N.Cyvin和E.K.Lloyd,多烯烃的计数:一个完整的数学解,化学杂志。信息计算机。《科学》,35(1995)743-751。

S、 J.Cyvin,J.Brunvoll,E.Brendsdal,B.N.Cyvin和E.K.Lloyd,多烯烃的计数:一个完整的数学解,化学杂志。信息计算机。《科学》,35(1995)743-751。[带注释的扫描副本]

H、 爱德华兹,椭圆曲线的一种正规形式《公告》(A.44-2.2007),第42-3页。

R、 K.盖伊,写给N.J.A.Sloane的信,1990年5月

R、 K.盖伊,马道、沙阶和帕斯卡金字塔《整数序列杂志》,第3卷(2000年),#00.1.6。

五、 小霍格特。,给N.J.A.Sloane的7页打印信,其中包括对新序列的建议,大约1977年。

五、 小霍格特和比克内尔,由Pascal三角矩阵的逆产生的Catalan及相关序列,小谎。夸脱,14(1976),395-405。

C、 克里希纳马查里和M.Bheemasena Rao,元素为欧拉、贝努利等数的行列式,J.印度数学。第14卷(1922年),第55-62页,第122-138页和第143-146页。[带注释的扫描副本]

W、 朗,关于Catalan数母函数幂的多项式,小谎。夸脱。38(2000)408-419。见公式(3)。

李京焕,吴世珍,加泰罗尼亚三角形数和二项式系数,arXiv:1601.06685[math.CO],2016年。

N、 莱杰罗斯,奥罗齐尔,tau(rho)==0(mod p)方程的一个新解,国际期刊。13(2010年)#10.7.4。

冉潘,杰弗里·B·伦梅尔,格路径中的成对模式,arXiv:1601.07988[math.CO],2016年。

J、 里奥丹,写给N.J.A.斯隆的信,1970年11月10日

J、 里奥丹,第74页,共74页

五十、 夏皮罗,加泰罗尼亚三角形,离散数学。14(1976年),第1期,83-90页。

五十、 夏皮罗,加泰罗尼亚三角形,离散数学。14(1976年),第1期,83-90页。[带注释的扫描副本]

佐伊克·桑兰,自描述序列与Catalan家族树,选择。J、 Combin.,10(2003年第1期)。

默里·坦诺克,具有支配模式的网格模式的等价类,雷克雅未克大学硕士论文,2016年5月。见附录B2。

S、 泰德福德,加泰罗尼亚数卷积的组合解释,整数11(2011年)#A3

W、 ——J.沃恩、L.夏皮罗和D.G.罗杰斯,加泰罗尼亚数、Lebesgue积分和4^{n-2},艾默尔。数学。月刊,104(1997),926-931。

公式

a(n)=A033184(n+3,4)=4*二项式(2*n+1,n-1)/(n+3)=2*n*A000108号(n+1)/(n+3)。

G、 f.:c(x)^4,带c(x)G.fA000108号(加泰罗尼亚语)。

行和A145596号. 第4列A033184. 由多项式的行列式给出的恒等式A145596号得到了a(n)=Sum{k=0..n}(-1)^k*二项式(n+1,k+1)*a(k)*4^(n-k)和a(n)=Sum{k=0..floor(n/2)}二项式(n+1,2*k+1)*Catalan(k+1)*2^(n-2*k)。从后一个恒等式我们可以得到同余a(2n+1)==0(mod 4)和a(2n)==Catalan(n+1)(mod 4)。因此,对于某些m>=2,a(n)是奇数当且仅当n=(2^m-4)。-彼得·巴拉2008年10月14日

设A为n阶Toeplitz矩阵,定义如下:A[i,i-1]=-1,A[i,j]=加泰罗尼亚语(j-i),(i<=j),A[i,j]=0,否则。那么,对于n>=3,a(n-3)=(-1)^(n-3)*系数(charpoly(a,x),x^3)。-米兰-扬吉奇2010年7月8日

G、 f.:(1平方米(1-4倍)+2倍(-2倍+平方米(1-4倍)+x))/(2倍^4倍)。-哈维·P·戴尔2011年5月5日

D-有限递归:(n+4)a(n)=8*(2*n-1)*a(n-3)-20*(n+1)*a(n-2)+4*(2*n+5)*a(n-1)。-林风2014年1月29日

D-有限递归:(n+4)*a(n)+2*(-3*n-7)*a(n-1)+4*(2*n+1)*a(n-2)=0。-R、 J.马萨2014年6月3日

渐近性:a(n)~4^(n+3)/sqrt(4*Pi*n^3)。-林风2014年3月31日

a(n)=32*4^n*伽马(5/2+n)*(1+n)/(sqrt(Pi)*伽马(5+n))。-彼得·卢什尼2015年12月14日

a(n)=C(n+1)-2*C(n),其中C是加泰罗尼亚数A000108号.纪宇春,2017年10月18日[注:抵消减少2]

E、 g.f.:d/dx 2*exp(2*x)*贝塞利(2,2*x)/x-伊利亚·古特科夫斯基2017年11月1日

布拉德利·克莱2018年3月5日:(开始)

其中F(x)=16/(1+sqrt(1-4*x))^4 g.FA002057,xi(x)=F(x/4)*(x/4)^2,K(16*x)=2F1(1/2,1/2;1;16*x)总面积A002894号,q(x)g.f.的A005797号,和q'(x)g.f.的A274344号:

K(x)=(1+sqrt(xi(x))*K(xi(x))。

2*K(1-x)=(1+sqrt(xi(x)))*K(1-xi(x))。

q(x)=平方英尺(q(xi(16*x)/16))=q'(xi(16*x)/16)/sqrt(xi(16*x)/16)。(结束)

例子

彼得·巴拉2017年4月14日开始

这个序列出现在广义加泰罗尼亚三角形的主对角线上。构造一个下三角数组(T(n,k)),n,k>=0,方法是将序列[0,0,0,1,1,1,1,…],然后使用规则T(n,k)=T(n,k-1)+T(n-1,k)填充数组中的其余条目。结果数组开始

n\k | 0 1 2 3 4 5 6 7。。。

  ---+-------------------------------

0 | 0

1 | 0 0

2 | 0 0 0

3 | 1 1 1 1 1

4 | 1 2 3 4 4

5 | 1 3 6 10 14 14

6 | 1 4 10 20 34 48 48

7 | 1 5 15 35 69 117 165 65

   ...

(参见Tedford2011;这基本上是Lee和Oh符号中的数组C_4(n,k))。与…比较A279004. (结束)

枫木

a:=n->32*4^n*伽马(5/2+n)*(1+n)/(sqrt(Pi)*伽马(5+n)):

顺序(a(n),n=0..23)#彼得·卢什尼2015年12月14日

数学

{0{0,0}整型[0,0]

表[4二项式[2n+3,n]/(n+4),{n,0,30}](*或*)系数列表[系列[(1-Sqrt[1-4 x]+2 x(-2+Sqrt[1-4 x]+x))/(2 x^4),{x,0,30}],x](*哈维·P·戴尔2011年5月5日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=如果(n<0,0,n+=2;2*二项式(2*n,n-2)/n)}/*迈克尔·索莫斯2005年7月31日*/

(PARI)x='x+O('x^100);Vec((1-(1-4*x)^(1/2)+2*x*(-2+(1-4*x)^(1/2)+x))/(2*x^4)\\阿尔图阿尔坎2015年12月14日

(岩浆)[4*二项式(2*n+3,n)/(n+4):n in[0..30]]//文琴佐·利班迪2016年2月4日*)

(GAP)列表([0..25],n->4*二项式(2*n+3,n)/(n+4))#阿西鲁2018年3月5日

交叉引用

T(n,n+4)表示n=0,1,2,…,数组T如A047072型. 也可以是A059365号A009766号.

囊性纤维变性。A001003号.

任何本质上等价的数组的对角线A009766号,A030237号,A033184,A059365号,A099039号,A106566,A130020型,A047072型.

囊性纤维变性。A000108号,A000245型,A000344号,A003517型,A00588号,A0518号,A003519号,A001392型.

囊性纤维变性。A145596号(行总和)。囊性纤维变性。A279004.

上下文顺序:A094827号 A094667号 A099376号*A047048号 A071745号 A071749号

相邻序列:A002054 A002055 A002056号*A002058号 A002059 A002060

关键字

,容易的,美好的

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年7月11日15:50。包含335626个序列。(运行在oeis4上。)