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| A059481美元 |
| 按行读取三角形。T（n，k）=二项式（n+k-1，k），对于0<=k<=n。 |
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1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 3, 6, 10, 1, 4, 10, 20, 35, 1, 5, 15, 35, 70, 126, 1, 6, 21, 56, 126, 252, 462, 1, 7, 28, 84, 210, 462, 924, 1716, 1, 8, 36, 120, 330, 792, 1716, 3432, 6435, 1, 9, 45, 165, 495, 1287, 3003, 6435, 12870, 24310, 1, 10, 55, 220, 715, 2002, 5005, 11440, 24310, 48620, 92378
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.5
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评论
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T（n，k）是在n个不同的容器中分布k个相同对象的方法数；容器可能是空的。
T（n，k）是从{1，…，k}到{1，..，n}的非递减函数f的数目-丹尼斯·沃尔什2011年4月7日
函数x^2/（x-1）的Faber多项式系数-迈克尔·索莫斯2003年9月9日
考虑向量A（n）=[1,2,3，…，n]的k重笛卡尔积CP（n，k）。
CP（n，k）的一个元素是一个n元组T_T，其形式为T_T=[i_1，i_2，i_3，…，i_k]，T=1，。。。，n ^k。
我们计算CP（n，k）中满足某些条件delta（T_T）的成员T，所以delta（.）是一个指示函数，根据是否计算T_T而获得1或0的值；CP的所有元素T_T的总和{CP（n，k）}δ（T_T）产生计数。
对于这里的三角形，如果任意两个i_j，其中一个i_j>i_（j+1），T（n，k）=Sum_{CP（n，k）}delta（T_T）=Sum{CP（n，k）}delta（i_j>i_（j+1）），我们就得到了δ（T_T=0。
在i_j=i_（j+1）上测试的指示符函数生成A158497号，其中包含此类计数的更多示例。
从n个元素{1,2，…，n}重复的k个元素组合数的三角形（当每个元素i，i=1，…，n出现在k个组合中，或者是0，或者1，或者2，…或k次）-弗拉基米尔·舍维列夫2012年6月19日
费伯多项式的G.f.为-log（-t*x-（1-sqrt（1-4*t））/2+1）=和（n>0，t（n，k）*t^k/n）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2013年7月4日
所有参数均等于1的完全齐次对称多项式的值，或等价于n个变量中k次单项式的个数-汤姆·科普兰2014年4月7日
无限方阵A[k，n]=C（n，k），n>=0的行k>=0将以第一个非零元素C（k，k）=1前面的k个零开始；这是通过取行k=0，1，2，…的前k+1个非零项C（k..2k，k）得到的三角形。。。该数组的-M.F.哈斯勒2017年3月5日
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参考文献
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R.Grimaldi，《离散与组合数学》，Addison-Wesley，第4版，第1.4章。
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链接
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配方奶粉
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温度（n，0）+T（n，1）+…+T（n，n-1）=T（n，n）-乔纳森·桑多2014年6月28日
T（n，k）=和{j=k.n.n}（-1）^（k+j）*二项式（2*n，n+j）*二项式。
O.g.f.：1/2*（x*（2*x-1）/（平方（1-4*t*x）*（1-x-t））+（1+2*x）/sqrt（1-4*1*x）+（1-t-）/（1-x-t））=1+（1+t）*x+（1+2*t+3*t^2）*x^2+（1+3*t+6*t^2+10*t^3）*x^3+。。。。
第n行多项式R（n，t）=[x^n]（（1+x）^2/（1+x（1-t））^n。
exp（和{n>=1}R（n，t）*x^n/n）=1+（1+t）*x+（1+2*t+2*t^2）*x ^2+（1+3*t+5*t^2+5*t*t^3）*x*3+。。。是o.g.fA009766号.（结束）
对于n>=k>0，T（n，k）=Sum_{j=1.n}二项式（k+j-2，k-1）=Sum_{j=1.n}A007318号（k+j-2，k-1）-斯特凡诺·斯佩齐亚2018年10月30日
T（n，k）=上升阶乘（n，k）/k-彼得·卢什尼2023年11月24日
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例子
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三角形T（n，k），n>=0，0<=k<=n，开始
1 5 15 35 70 126 /
1 6 21 56 126 252 462
1 7 28 84 210 462 924 1716
1 8 36 120 330 792 1716 3432 6435
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T（3,2）=6考虑了具有3^2=9个元素（1,1）、（1,2）、（1.3）、（2,1）、。
T（3,3）=10，因为将3个对象分布到三个容器中的方式是：（3,0,0）（0,3,0）“（0,0,3）（2,1,0）（1,2,0）（2,0,1）（1,0,2）（0,1,1）（1,1,1），总共有10种可能性。
T（3,3）=10，因为（x^2/（x-1））^3=（x+1+1/x+O（1/x^2））^3=x^3+3x^2+6x+10+O（x）。
T（4,2）=10，因为从{1,2}到{1,2,3,4}有10个非递减函数f。用<f（1），f（2）>表示这样一个函数，这十个函数分别是<1,1>，<1,2>，<1.3>，<1,4>，<2,2>，<2,3>，<3,3>，<3,4>和<4,4>-丹尼斯·沃尔什2011年4月7日
T（4,0）+T（4,1）+T（4,2）+T（4,3）=1+4+10+20=35=T（4,4）-乔纳森·桑多2014年6月28日
考虑数组
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, ... = 1/（n+1）=1/A000027号（n）
1/3, 1/6, 1/10, 1/15, 1/21, 1/28, ... = 2/（（n+2）*（n+3））=1/A000217号（n+2）
1/10, 1/20, 1/35, 1/56, 1/84, 1/120, ... = 6/（（n+3）*（n+4）*（n+5））=1/A000292号（n+2）（见三角形T（n，k））。
每一行都是第二种自动序列。（请参阅OEIS Wiki，Autosequence。）
通过减少反对偶，数组的分母是a（n）。
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MAPLE公司
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对于从0到10的n do，对于从0到n的k do打印（二项式（n+k-1，k））；日期：日期：#R.J.马塔尔2009年3月31日
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数学
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（*在第一个注释中定义的组合对象，当n>=1时，可以由：*）r[n_，k_]：=FrobeniusSolve[ConstantArray[1，n]，k]生成；(*彼得·卢什尼2019年1月24日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=如果（n<0，0，polceoff（Pol（（1/（x-x^2）+x*O（x^n））^n+O（x））*x^n（k））}/*迈克尔·索莫斯2003年9月9日*/
（Magma）&cat[[&*[二项式（n+k-1，k）]：k在[0.n]]中：n在[0.30]]中//文森佐·利班迪2011年4月8日
（哈斯克尔）
a059481 n k=a059481_tabl！！不！！n个
a059481_row n=a059481 _ tabl！！n个
a059481_tabl=地图背面a100100_tabl
（GAP）平面（列表（[0..10]，n->List（[0..n]，k->二项式（n+k-1，k）））#斯特凡诺·斯佩齐亚2018年10月30日
（Maxima）sjoin（v，j）：=应用（sconcat，rest（join（makelist（j，length（v）），v））$display_triangle（n）：=对于从0到n的i执行disp（sjoin（makelist（二项式（i+j-1，j），j，0，i），“”））；显示_三角形（10）；/*三角形输出*//*斯特凡诺·斯佩齐亚2018年10月30日*/
（Sage）[[二项式（n+k-1，k）表示范围（n+1）中的k]表示范围（11）中的n]#G.C.格鲁贝尔2018年11月21日
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交叉参考
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以帕斯卡三角形为例A007318号，删除中心右侧垂直线右侧的条目，然后扫描对角线。
A000984号,A001700号,A001791号,A002054号,A002694号,A004319号,A005809号,A025174号,A045721号,A088218号,A165817号,A054977号,A165257号,A000027号,A000217号,A006134号（对称Pascal矩阵的轨迹）。
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关键字
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作者
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扩展
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