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A014138号 部分和(加泰罗尼亚数字从1,2,5开始…)。 291
0、1、3、8、22、64、196、625、2055、6917、23713、82499、290511、1033411、3707851、13402696、48760366、178405156、656043856、2423307046、8987427466、3345369486、124936258126、467995871776、1757900019100 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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评论

在所有有n+1条边的有序树中从根开始的路径数(一条路径是一个没有输出度大于1的顶点的非空树)。例如:a(2)=8,因为五棵有三条边的树的根上总共有1+0+2+2+3=8条路径。-德国金刚砂2002年10月20日

所有(1+n)路径上的最大(a)和是Dyck。此外,a(n)=所有Dyck(n+1)-路径上的平均最大锯齿尺寸之和。金字塔。锯齿形)在Dyck路径中是U^k D^k形式的子路径(resp。(UD)^k),k>=1,k为其大小。例如,Dyck path uUUDD | UD | UDdUUDD中的最大金字塔由大写字母表示(并用竖线分隔)。它们的大小从左到右为2,1,1,2,路径的平均最大金字塔大小为6/4=3/2。此外,该路径的平均最大锯齿尺寸为(1+2+1)/3=4/3。-大卫·凯伦2006年6月7日

p^2除以a(p-1)得到形式为p=6k+1的素数p(A002476号(k) )。-亚历山大·阿达姆丘克2006年7月3日

p^2除以a(p^2-1)得到素数p>3。p^2除以a(p^3-1)得到素数p=7,13,19,。。。素数p,形式为p=6k+1。-亚历山大·阿达姆丘克2006年7月3日

三角形行和A137614号. -加里·W·亚当森2008年1月30日

等于逆变换A095930号:(1,4,15,57,220,859,…)。-加里·W·亚当森2009年5月15日

a(n)<A000108号(n+1),因此邮编:A176137(n) <=1。-莱因哈德·祖姆凯勒2010年4月10日

a(n)也是加泰罗尼亚三角形中数的总和(A009766号)从0行到n行-帕特里克·拉巴尔克2010年7月27日

等于以(1,1,2,…)卷积开始的加泰罗尼亚序列A014137号开始(1,2,4,9,…)。-加里·W·亚当森2013年5月20日

p除以素数{11,23,47,59,…}的a((p-3)/2)=68A0231质数与11和12相等。-亚历山大·阿达姆丘克2013年12月27日

链接

G、 C.格雷贝尔,n=0..1000时的n,a(n)表(术语0到200由T.D.Noe计算)

保罗·巴里,不变数三角形、特征三角形和Somos-4序列,arXiv预印本arXiv:1107.5490[math.CO],2011年。

S、 B.Ekhad,M.Yang,整数序列在线百科全书中一类代数形式幂级数系数线性递归的证明,(2017年)

恩格拉·梅斯特,何塞·阿加皮托,自同构族群,J.Int.Seq.,第22卷(2019年),第19.8.5条。

凯文·托普利,Catalan数和的计算有效界,arXiv:1601.04223[math.CO],2016年。

公式

a(n)=A014137号(n) -1。

G、 f.:(1-2*x-sqrt(1-4x))/(2x(1-x))=(C(x)-1)/(1-x),其中C(x)是加泰罗尼亚数字的生成函数。-Rocio Blanco,2007年4月2日

a(n)=和{k=1..n}A000108号(k) 一。-亚历山大·阿达姆丘克2006年7月3日

二项式变换A005554号:(1,2,3,6,13,30,72,…)。-加里·W·亚当森2007年11月23日

D-有限递归:(n+1)*a(n)+(1-5n)*a(n-1)+2*(2n-1)*a(n-2)=0。-R、 J.马萨2011年12月14日

等于以(1,1,2,…)卷积开始的加泰罗尼亚序列A014137号开始(1,2,4,9,…)。-加里·W·亚当森2013年5月20日

G、 f.:1/x-G(0)/(1-x)/x,其中G(k)=1-x/(1-x/(1-x/G(k+1)));(续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月17日

G、 f.:1/x-T(0)/(2*x*(1-x)),其中T(k)=2*x*(2*k+1)+k+2-2*x*(k+2)*(2*k+3)/T(k+1));(连分式)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月27日

a(n)~2^(2*n+2)/(3*sqrt(Pi)*n^(3/2))。-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年12月10日

a(n)=和{i+j<n}C(i)*C(j),其中C=A000108号. -纪宇春2019年1月10日

枫木

a: =n->和((二项式(2*j,j)/(j+1)),j=1..n):顺序(a(n),n=0..24)#泽伦瓦拉乔斯2006年12月1日

数学

表[总和[(2k)!/k!/(k+1)!,{k,1,n}],{n,1,70}](*亚历山大·阿达姆丘克,2006年7月3日*)

加入[{0},累加[CatalanNumber[Range[30]]](*哈维·P·戴尔2013年1月25日*)

系数列表[系列[(1-2 x-(1-4 x)^(1/2))/(2 x(1-x)),{x,0,40}],x](*文琴佐·利班迪2015年6月21日*)

a[0]:=0;a[n_]:=Sum[catalanumber[k],{k,1,n}];表[a[n],{n,0,50}](*G、 C.格雷贝尔2017年1月14日*)

黄体脂酮素

(平价)Vec((1-2*x-(1-4*x)^(1/2))/(2*x*(1-x)))\\查尔斯R格雷特豪斯四世2011年2月11日

(哈斯克尔)

a014138 n=a014138_列表!!n

a014138 U列表=扫描1(+)a000108 U列表--莱因哈德·祖姆凯勒2013年3月1日

(蟒蛇)

来自未来进口部

A014138号_列表,b,s=[0],1,0

对于范围(1,10**2)中的n:

s+=b

    A014138号_list.append(s)

b=b*(4*n+2)/(n+2)#吴柴华2016年1月28日

交叉引用

囊性纤维变性。A000108号,A002476号,A005554号,A068231,A095930号,A137614号,A155587号.

上下文顺序:邮编:A164934 A047926号 邮编:A192681*A099324号 A290898号 A117420型

相邻序列:A014135号 A014136号 A014137号*A014139号 A014140型 A014141号

关键字

,美好的

作者

N、 斯隆

扩展

编辑马克斯·阿列克谢耶夫2009年9月13日(包括添加首字母0)

定义编辑人N、 斯隆2009年10月3日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年12月5日12:51。包含338947个序列。(运行在oeis4上。)