格子路径和选票数

A类晶格路径是中的路径 $\mathbb{R}^{n}$ 其顶点是晶格点在一些晶格（例如 $\mathbb{R}^{n}$ 他们所有人协调是整数）。本文考虑平面上的晶格路径 $(0,0)$ 到 $(m,n)$ 对于 $m,n\geq 0$ 其顶点落在 $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ .

作为热身，总共有多少条路 $(0,0)$ 到 $(m,n)$ 如果我们将步长限制为 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ （也就是说，一条路一次只能向北走一步或向东走一步）？有 $m+n$ 步骤，我们可以选择任何 $n个$ 其中有垂直台阶，所以答案很明显

\dbinom{m+n}{n}

另一种可视化答案的方法是将路径编码为序列属于 $H（H）$ 的和 $V（V）$ 对应于水平和垂直台阶；问题是：有多少个长度序列 $m+n$ 有确切的吗 $n个$ $V（V）$ 是吗？同样，答案如上所述。

假设我们对以下路径感兴趣 $(0,0)$ 到 $(m,n)$ 对于 $m>n$ 严格低于对角线的（原产地除外）？请注意，任何这样的路径都必须以水平步长开始，因此计算这些路径与计算 $(1,0)$ 到 $(m,n)$ 严格地保持在对角线以下。我们知道总共有多少条路径： $\tbinom{m+n-1}{n}$ （使用上述公式，开始于 $(1,0)$ 而不是 $(0,0)$ ). 我们将计算与对角线接触或超出对角线的路径数，并从中减去一条。

我们可以通过建立一个双射用一些更容易计数的东西。事实上 $(1,0)$ 到 $(m,n)$ 接触或穿过对角线的路径总数与 $(0,1)$ 到 $(m,n)$ .双射可以描述如下。考虑下图：

红色路径是不需要的穿过对角线的路径之一。给定这样的路径，选择路径与对角线接触的第一个点，然后反映沿着直线向上走到那一点 $x=y$ 。这给出了一条路径 $(0,1)$ 到 $(m,n)$ ; 在图中，它是通向两条路径交叉点的蓝色路径，然后它与从该点开始的红色路径相同。

清晰地将一条路径反射两次可以得到原始路径，因此反射地图是内射的到路径中 $(0,1)$ 到 $(m,n)$ 同时 $(0,1)$ 到 $(m,n)$ 必须在某个点穿过对角线，因为 $m>n$ ，因此它是来自 $(1,0)$ 到 $(m,n)$ 因此，我们已经建立了所需的双射。

现在，来自的路径总数 $(0,1)$ 到 $(m,n)$ 是 $\dbinom{m+n-1}{m}$ ，因此来自的路径总数 $(1,0)$ 到 $(m,n)$ 那就永远不会碰到对角线了

	$\displaystyle\dbinom{m+n-1}{m-1}$	$\displaystyle-\dbinom{m+n-1}{m}=\frac{(m+n-1)!}{(m-1)!n!}-\frac{(m+n-1)!}{m!(n% -1)!}$
		$\displaystyle=\frac{1}{m+n}\left(\frac{(m+n)!}{(m-1)!n!}-\frac{(m+n)!}{m!(n-1)% !}\right)=\frac{1}{m+n}\left(m\frac{(m+n)!}{m!n!}-n\frac{(m+n)!}{m!n!}\right)$
		$\displaystyle=\frac{m-n}{m+n}\dbinom{m+n}{m}$

这些数字被称为选票号码：如果我们在两名候选人之间进行选举，获胜者获得 $米$ 投票和失败者 $n个$ 选票，选票号码统计选票的计数方式，以便获胜者始终领先。我们也可以很容易地看到，投票以这种方式计算的概率是

\frac{m-n}{m+n}

通过调整启动和终点，这个论点可以很容易地用于推导对角线上或下的路径的公式。

现在，考虑一下特殊情况 $m=n+1$ ，即来自 $(1,0)\to(n+1,n)$ 保持在对角线以下。根据上述规定，这些数据按

\frac{1}{2n+1}\dbinom{2n+1}{n}=\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}=\frac{1}{n+1}\dbinom{2n}% {n}

哪些是加泰罗尼亚数字.

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\可变的