0,2个

这也是将生成函数A->1/（（1-x）*（1-x*A））的转换应用于Catalan数的g.f.的结果。

p除素数p=3和p={7，13，19，31，37，43，…}=A002476号（形式为6*n+1的素数）。p^2除以a（p^2）-3得到素数p>3-亚历山大·阿达姆丘克2006年7月11日

素数p除以p={2，3，5，11，17，23，29，41，47，53，59，71，83，89，101，…}=A045309号（与{0，2}mod 3同余的素数）；和A045309号（素数p使得x^3=n（整数）只有一个解mod p）。非质数n使得n除a（n）列在邮编：A128287={1，8，133，…}-亚历山大·阿达姆丘克2007年2月23日

对于p prime>=5，根据p=1或-1（mod 3），a（p-1）=1或-2（mod p）（请参见Pan和Sun link）。例如，当p=5时，a（p-1）=23=-2（mod p）-大卫·凯伦2007年11月29日

汉克尔变换是A010892型（n+1）-保罗·巴里2009年4月24日

等于逆变换A000245型：（1，3，9，28，…）-加里·W·亚当森2009年5月15日

（a）一个部分数（a，197，a子序列）=487（a，a子序列）=487（a，a子序列）=487；看见A121852号. -乔纳森·沃斯·波斯特2010年2月10日

使用步骤（1，k），（k，1），k>=1，包括两种（1,1），从（0,0）到（n，n）不超过对角线x=y的格路径数-海因茨2015年10月14日

二项式变换A086246（n+1）=[1，1，1，2，4，9，…]，或，相当于A001006号（Motzkin数字）前面有1个。

G、 C.格雷贝尔，n=0..1000时的n，a（n）表（术语0到200由T.D.Noe表示）

G、 阿尔瓦雷斯，J.E.伯格纳和R.洛佩兹，行动图和加泰罗尼亚数字，国际期刊。第18卷（2015年），第15.7.2节。

麦基·本德科夫斯基和皮埃尔·莱斯卡纳，显式置换的组合数学，arXiv:1804.03862[cs.LO]，2018年。

W、 查曼，F.马塞兰和R.斯法西，正交多项式，加泰罗尼亚数，和一般汉克尔行列式评估，线性代数应用。436（7）（2012年），第2105-2116页。

丹尼斯·E·达文波特、劳拉·K·普德威尔、路易斯·W·夏皮罗和利昂·C·伍德森，有序树的边界《整数序列杂志》，18（2015），第15.5.8条。

Nancy S.S.Gu、Nelson Y.Li和Toufik Mansour，二叉树：双射及相关问题，配电盘。数学，308（2008），1209-1221。

郭牛涵，标准谜题的列举2011年。[缓存副本]

郭牛涵，标准谜题的列举，arXiv:2006.14070[math.CO]，2020年。

恩格拉·梅斯特和何塞·阿加皮托，Riordan群自同构族，J.Int.Seq.，第22卷（2019年），第19.8.5条。

一、 帕克，分划恒等式与几何双射，过程。阿默尔。数学。Soc。132（2004年），3457-3462。

潘浩和孙志伟，一个组合恒等式及其在Catalan数中的应用，arXiv:math/0509648[math.CO]，2005-2006年。

默里·坦诺克，具有支配模式的网格模式的等价类，雷克雅未克大学硕士论文，2016年5月。见附录B2。

凯文·托普利，Catalan数和的计算有效界，arXiv:1601.04223[math.CO]，2016年。

a（n）=A014138号（n-1）+1。

G、 f.：（1-（1-4*x）^（1/2））/（2*x*（1-x））。

Sum{i=1..n}c（i）=和{i=1..n}二项式（2*i-2，i-1）/i=1/（n-1）！*[n ^（n ^（n ^（n ^（n ^（n ^（n ^（n ^（n ^（n ^（n ^（n ^（n ^（n ^（n ^（n 4，2）+19*二项式（n-4，2）+14*二项式（n-4，2）+14*二项式（n-4，4）}*n ^（n-4，4）}n ^（n-4）+{18*二项式（n-5，5，0）+82*二项（n-5，1）+2299*二项（n-5，2）+323*二项（n-5，3）3）+244*二项（n-5，3）244，4）+95*二项式（n-5，5）+15*二项式（n-5，6）}*n^（n-5）+…+二项式（n-3，0）*（n-1）！]（其中c（）=加泰罗尼亚数字A000108号). -安德烈夫·拉博西2004年5月17日

a（n）=和{k=0..n}（2k）/（k！）^2/（k+1）-亚历山大·麦克阿达克2006年7月11日

D-有限递归：（n+1）*a（n）+（1-5*n）*a（n-1）+2*（2*n-1）*a（n-2）=0-R、 J.马萨2011年12月14日

Mathar公式化简为2*（2*n-1）*C（n-1）=（n+1）*C（n），这是加泰罗尼亚数的一个已知的循环，所以这个猜想是正确的-彼得·泰勒2015年3月23日

设C（n+1）=二项式（2*n+2，n+1）/（n+2），H（n）=超几何（[1，n+3/2]，[n+3]，4），则A014137号（n） =—（-1）^（2/3）-C（n+1）*H（n）和A014138号（n） =-I^（2/3）-C（n+1）*H（n）-彼得·卢什尼2012年8月9日

G、 f.（猜想）：Q（0）/（1-x），其中Q（k）=1+（4*k+1）*x/（k+1-2*x*（k+1）*（4*k+3）/（2*x*（4*k+3）+（2*k+3）/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月14日

a（n）~2^（2*n+2）/（3*sqrt（Pi）*n^（3/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年12月10日

如果n>=0，0=a（n）*（16*a（n+1）-26*a（n+2）+10*a（n+3））+a（n+1）*（-14*a（n+1）+23*a（n+2）-11*a（n+3））+a（n+2）*（a（n+2）+a（n+3））-迈克尔·索莫斯2015年10月24日

a（n）=（1）+A000108号（n） *（3*（n+1）*超几何（[1，-n]，[1/2-n]，1/4）-4*n-2））/2-弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2016年10月3日

G、 f.A（x）满足：A（x）=1/（1-x）+x*（1-x）*A（x）^2-伊利亚·古特科夫斯基2021年7月25日

G、 f.=1+2*x+4*x^2+9*x^3+23*x^4+65*x^5+197*x^6+626*x^7+2056*x^8+。。。

a： =proc（n）选项记住`如果`（n<2，n+1，

（（5*n-1）*a（n-1）-（4*n-2）*a（n-2））/（n+1））

结束：

顺序（a（n），n=0..30）；  #海因茨2013年5月18日

表[Sum[（2k）！/（k！）^2/（k+1），{k，0，n}]，{n，0，30}](*亚历山大·阿达姆丘克，2006年7月11日*）

累加[加泰罗尼亚数[范围[0，30]](*哈维·P·戴尔2012年5月8日*）

a[n_]：=系列系数[（1-（1-4 x）^（1/2））/（2 x（1-x）），{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2015年10月24日*）

表[（1+catalanumber[n]（3（n+1）超几何2f1[1，-n，1/2-n，1/4]-4n-2））/2，{n，0，20}](*弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2016年10月3日*）

（平价）Vec（（1-（1-4*x）^（1/2））/（2*x*（1-x））+O（x^99））\\查尔斯R格雷特豪斯四世2011年2月11日

（平价）

sm（v）={my（s=向量（#v））；s[1]=v[1]；对于（n=2，#v，s[n]=v[n]+s[n-1]）；s；}

C（n）=二项式（2*n，n）/（n+1）；

sm（矢量（66，n，C（n-1）））

/*乔尔阿恩特2013年5月4日*/

（蟒蛇）

来自未来进口部

A014137号_列表，b，s=[]，1，0

对于范围内的n（10**2）：

s+=b

    A014137号_list.append（s）

b=b*（4*n+2）/（n+2）#柴华武2016年1月28日

（圣人）

定义A014137号():

f，c，n=1，1，1

如果是真的：

收益率f

n+=1

c=c*（4*n-6）//n

f=c+f

a=A014137号()

打印（[范围（29）内的下一个（a）]）#彼得·卢什尼2016年11月30日

囊性纤维变性。A000108号,A000245型,A000984号,A001246号,A002476号,A002897号,A006134号,A033536号,A045309号,A079727号,A082894号,A094638号,A094639号,邮编：A128287.

上下文顺序：A000083号 A092668号 A164039号*A245158 A245159 A245160型

相邻序列：A014134号 A014135号 A014136号*A014138号 A014139号 A014140型

不,美好的

N、 斯隆

经核准的