搜索： a106737-编号：a106737
|
| |
| |
|
|
|
1, 1, 2, 1, 2, 12, 1, 1, 2, 2, 12, 4, 1, 3, 4, 1, 2, 8, 4, 6, 4, 24, 6, 12, 3, 3, 2, 1, 4, 24, 1, 3, 2, 4, 12, 56, 4, 48, 2, 10, 4, 16, 24, 24, 2, 18, 120, 4, 1, 3, 6, 1, 6, 12, 1, 3, 4, 4, 24, 8, 1, 3, 2, 1, 2, 2, 4, 12, 4, 48, 6, 8, 28, 8, 24, 112, 6, 24, 8, 2, 4, 16, 24, 336, 8, 96, 12, 120, 6, 24, 4, 6, 8, 720, 6, 36, 3, 3, 2, 21, 6, 36, 3, 15, 14, 6
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）
A005940号（n） ={my（p=2，t=1）；n--；直到（！n\=2，if（（n%2），（t*=p），p=nextprime（p+1））；t}；\\发件人A005940号
A106737号（n） =总和（k=0，n，（二项式（n+k，n-k）*binominal（n，k））%2）；
A324054（n） =｛my（p=2，mp=p*p，m=1）；while（n，if（！（n%2），p=nextprime（1+p）；mp=p*p，if（3==（n%4），mp*=p，m*=（mp-1）/（p-1））；n>>=1）；（m）；｝；
\\或者作为：
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A000005号
|
| d（n）（也称为τ（n）或σ0（n）），n的除数。
（原名M0246 N0086）
|
|
+10
4822
|
|
|
|
1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, 3, 4, 4, 6, 2, 8, 2, 6, 4, 4, 4, 9, 2, 4, 4, 8, 2, 8, 2, 6, 6, 4, 2, 10, 3, 6, 4, 6, 2, 8, 4, 8, 4, 4, 2, 12, 2, 4, 6, 7, 4, 8, 2, 6, 4, 8, 2, 12, 2, 4, 6, 6, 4, 8, 2, 10, 5, 4, 2, 12, 4, 4, 4, 8, 2, 12, 4, 6, 4, 4, 4, 12, 2, 6, 6, 9, 2, 8, 2, 8
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
评论
|
如果n到素数幂的标准因式分解是乘积p^e（p），那么d（n）=乘积（e（p）+1）。更一般地说，对于k>0，sigma_k（n）=Product_p（（p^（（e（p）+1）*k））-1）/（p^k-1）是n的除数的k次幂之和。
将n写成n=x*y，1<=x<=n，1<=y<=n的方法的数量。关于x*y=n的无序解的数量，请参见A038548号.
整数多项式x^n-1因式分解中的因子数-T.D.诺伊2003年4月16日
也等于n的分区数p，这样所有部分都具有相同的基数，即max（p）=min（p）-乔瓦尼·雷斯塔2006年2月6日
对于奇数n，这是将n划分为连续整数的次数。证明：对于n=1，明显正确。对于n=2k+1，k>=1，将每个（必然是奇数）除数映射到这样的分区，如下所示：对于1和n，分别映射k+（k+1）和n。对于任何剩余的除数d≤sqrt（n），映射（n/d-（d-1）/2）+…+（n/d-1）+（n/d）+（n/d+1）+…+（n/d+（d-1）/2）{也就是说，n/d加上（d-1）/2对，每对求和为2n/d}。对于任何剩余的除数d>sqrt（n），映射（（d-1）/2-（n/d-1））+…+（（d-1）/2-1）+（d-1（（d+1）/2+（n/d-1））{即，n/d对每个对求和为d}。由于所有这些分区必须是上述形式之一，因此1对1的通信和证明是完整的-里克·L·谢泼德，2008年4月20日
只有1、2、3、4、6、8、12个数字k使得tau（k）>=k/2-迈克尔·德弗利格2016年12月14日
a（n）也是2*n划分为相等部分的数量，减去2*n分为连续部分的数量-奥马尔·波尔2017年5月3日
设k（n）=log d（n）*log log n/（log 2*log n），则lim-sup k（nA280235型)每一个n（尼古拉斯和罗宾，1983年）。
存在无穷多个n，使得d（n）=d（n+1）（Heath-Brown，1984）。此类整数n<=x的数量至少为c*x/（log-log x）^3（Hildebrand，1987），但最多为O（x/sqrt（log-log x））（Erdős，Carl Pomerance和sárközy，1987）。
（结束）
|
|
|
参考文献
|
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第840页。
T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第38页。
G.Chrystal，《代数：中学和大学高级班的基础教科书》，第6版，切尔西出版公司，纽约1959年第二部分，第345页，练习二十一（16）。MR0121327（22#12066）
G.H.Hardy和E.M.Wright，由D.R.Heath-Brown和J.H.Silverman修订，《数字理论导论》，第6版，牛津大学出版社，2008年。
K.Knopp，《无穷级数的理论与应用》，布莱克，伦敦，1951年，第451页。
D.S.Mitrinovic等人，《数论手册》，Kluwer，第二章。（针对不平等等）
S.Ramanujan，《论文集》，编辑G.H.Hardy等人，剑桥，1927年；纽约州切尔西，1962年。有很多关于这个序列的引用-N.J.A.斯隆2014年6月2日
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
B.Spearman和K.S.Williams，《数字理论估计手册》，卡尔顿数学。1975年第14号讲稿系列；见第2.1页。
E.C.Titchmarsh，《函数理论》，牛津，1938年，第160页。
特伦斯·陶（Terence Tao），《庞加莱的遗产》（Poincaré's Legacies），第一部分，阿米尔（Amer）。数学。Soc.，2009年，d（n）的上限见第31ff页。
|
|
|
链接
|
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。1972年第十次印刷55系列[替代扫描副本，需要Flash插件]。
G.E.安德鲁斯，我欠的一些债Séminaire Lotharingien de Combinatoire，论文B42a，第42期，2000年；见（7.1）。
吉米·德维利特（Jimmy Devillet）和盖格利·基斯（Gergely Kiss），对偶运算的特征，arXiv:1806.02073[math.RA]，2018年。
保罗·埃尔德斯（Paul Erdős）、卡尔·波梅兰斯（Carl Pomerance）和安德烈斯·萨尔科齐（András sárközy），关于某些算术函数的局部重复值，程序。阿默尔。数学。Soc.101（1987），1-7。
C.R.Fletcher，小阶环，数学。加兹。第64卷，第13页，1980年。
Robert Fokkink和Jan van Neerven，问题人员/UWC（荷兰语）
D.R.Heath-Brown，连续整数的除数函数马塞马提卡31（1984），141-149。
阿道夫·希尔德布兰德，连续整数的除数函数《太平洋数学杂志》。129 (1987), 307-319.
J.J.Holt和J.W.Jones，计数除数《发现数论》第1.4节。
M.Maia和M.Mendez，关于组合物种的算术乘积，arXiv:math/0503436[math.CO]，2005年。
小埃德·佩格。，序列图片《数学游戏》专栏，2003年12月8日。
小埃德·佩格。，序列图片《数学游戏》专栏，2003年12月8日。[缓存副本，经许可（仅pdf格式）]
王正兵、罗伯特·福克金和万·福克金，分区与除数的关系，美国数学。《月刊》，第102期（1995年4月），第4期，第345-347页。
|
|
|
配方奶粉
|
如果n写为2^z*3^y*5^x*7^w*11^v*。。。则a（n）=（z+1）*（y+1）*。。。
a（n）=2当n是素数时。
通用公式：求和{n>=1}a（n）x^n=求和{k>0}x^k/（1-x^k）。这通常称为兰伯特系列（见克诺普，蒂奇马什）。
a（n）=和{k=1..n}f（k，n）其中f（k、n）=1，如果k除以n，则为0（Mobius变换A000012号). 等价地，f（k，n）=（1/k）*和{l=1..k}z（k，l）^n与z（k、l）是单位的第k个根-拉尔夫·斯蒂芬2002年12月25日
G.f.：求和{k>0}（（-1）^（k+1）*x^（k*（k+1）/2）/（（1-x^k）*Product_{i=1..k}（1-x ^i））-迈克尔·索莫斯2003年4月27日
a（n）=n-总和{k=1..n}（天花板（n/k）-地板（n/k））-贝诺伊特·克洛伊特2003年5月11日
通用公式：和{k>0}x^（k^2）*（1+x^k）/（1-x^k）。Dirichlet g.f.：zeta（s）^2-迈克尔·索莫斯2003年4月5日
和{n>0}a（n）/（n^n）=和{n>0，m>0}1/（n*m）-杰拉尔德·麦卡维2007年12月15日
对数g.f.：求和{n>=1}a（n）/n*x^n=-log（乘积{n>=1}（1-x^n）^（1/n））-乔格·阿恩特2008年5月3日
a（n）=总和{k=1..n}（楼层（n/k）-楼层（n-1）/k））-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2009年8月27日
对于n>1，a（n）=2+Sum_{k=2..n-1}层（（cos（Pi*n/k））^2）。和floor（（cos（Pi*n/k））^2）=floor（1/4*e^（-（2*i*Pi*n）/k）+1/4*e*（（2*i*Pi*n/k）+1/2）-埃里克·德斯比亚，2010年3月9日，2011年4月16日更正
a（n）=1+Sum_｛k=1..n｝（楼层（2^n/（2^k-1））mod 2）对于每个n。-Fabio Civolani（civox（AT）tiscali.it），2010年3月12日
（Sum_{d|n}a（d））^2=Sum_}d|n{a（d，d）^3（J.Liouville）。
a（n）=σ_0（n）=1+求和{m>=2}求和{r>=1}（1/m^（r+1））*求和{j=1..m-1}求和和{k=0..m^（r+1）-1}e^（2*k*Pi*i*（n+（m-j）*m^r）/m^（r+1））-A.内维斯2010年10月4日
求和{n>=1}a（n）*q^n=（log（1-q）+psi_q（1））/log（q），其中psi_q（z）是q-digama函数-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月23日
上述公式是通过展开Lambert级数和{k>=1}x^k/（1-x^k）得到的-乔格·阿恩特2014年3月12日
G.f.：求和{n>=1}求和{d|n}（-log（1-x^（n/d））^d/d-保罗·D·汉纳2014年8月21日
2*Pi*a（n）=和{m=1..n}积分{x=0..2*Pi}r^。这个公式是由Lambert级数sum_{k>=1}x^k/（1-x^k）的残数之和得到的-基里卡米（Seiichi Kirikami）2015年10月22日
一般公式：2*x/（1-x）-和{k>0}x^k*（1-2*x^k）/（1-x^k-马穆卡·吉卜拉泽，2018年8月29日
a（n）=和{k=1..n}1/phi（n/gcd（n，k））-丹尼尔·苏图2018年11月5日
a（k*n）=a（n）*（f（k，n）+2）/（f（k，n）+1），其中f（k、n）是k除以n的最高幂的指数，k是素数-加里·德特利夫斯2019年2月8日
a（n）=（1/n）*求和{k=1..n}σ（gcd（n，k）），其中σ（n）=n的除数之和-Orges Leka公司2019年5月9日
a（n）=（1/n）*Sum_{k=1..n}φ（gcd（n，k））*sigma（n/gcd（n，k））/phi（n/gccd（n、k））。（结束）
a（n）=和{j=1..n}和{k=1..j}（1/j）*cos（2*k*n*Pi/j）；
a（n）=Sum_{j=1.n}Sum_{k=1..j}（1/j）*e^（2*k*n*Pi*i/j），其中i^2=-1。（结束）
|
|
|
例子
|
G.f.=x+2*x ^2+2*x ^3+3*x ^4+2**x ^5+4*x ^6+2*x^7+4*x^8+3*x^9+。。。
|
|
|
MAPLE公司
|
带有（数字理论）：A000005号：=τ；[seq（τ（n），n=1..100）]；
|
|
|
数学
|
系数列表[系列[（Log[1-q]+QPolyGamma[1，q]）/（q Log[q]），{q，0，100}]，q](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月23日*）
a[n_]：=系列系数[（QPolyGamma[1，q]+Log[1-q]）/Log[q]，{q，0，绝对值@n}]; (*迈克尔·索莫斯2013年4月25日*）
a[n]：=级数系数[q/（1-q）^2 q超几何PFQ[{q，q}，{q^2，q^2}，q，q^2]，{q，0，绝对值@n}]; (*迈克尔·索莫斯2014年3月5日*）
a[n_]：=级数系数[q/（1-q）q超几何PFQ[{q，q}，{q^2}，q，q]，{q，0，绝对值@n}] (*Mats Granvik公司2015年4月15日*）
具有[{M=500}，系数列表[Series[（2x）/（1-x）-Sum[x^k（1-2x^k）/(*马穆卡·吉卜拉泽2018年8月31日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=如果（n==0，0，numdiv（n））}/*迈克尔·索莫斯2003年4月27日*/
（PARI）{a（n）=n=abs（n）；如果（n<1，0，方向（p=2，n，1/（1-X）^2）[n]）}/*迈克尔·索莫斯2003年4月27日*/
（PARI）{a（n）=polcoeff（和（m=1，n+1，和div（m，d，（-log（1-x^（m/d）+x*O（x^n）））^d/d！），n）}\\保罗·D·汉纳2014年8月21日
（岩浆）[1..100]]中的[NumberOfDivisors（n）:n；//谢尔盖·哈勒（Sergei（AT）Sergei-Haller.de），2006年12月21日
（MuPAD）编号：：tau（n）$n=1..90//零入侵拉霍斯2008年5月13日
（Sage）[范围（1105）内n的σ（n，0）]#零入侵拉霍斯2009年6月4日
（哈斯克尔）
除数1=[1]
除数n=（1：过滤器（（==0））。雷姆）
[2..n`div`2]）++[n]
a=长度。约数
（哈斯克尔）
a000005=产品。地图（+1）。a124010_低--莱因哈德·祖姆凯勒2013年7月12日
（Python）
从sympy导入divisor_count
对于范围（1，20）中的n：print（divisor_count（n），end='，'）#斯特凡诺·斯佩齐亚2018年11月5日
（GAP）列表（[1..150]，n->Tau（n））#穆尼鲁·A·阿西鲁2019年3月5日
（朱莉娅）
函数tau（n）
i=2；数量=1
而i*i<=n
如果rem（n，i）==0
e=0
而rem（n，i）==0
e+=1
n=div（n，i）
结束
数字*=e+1
结束
i+=1
结束
返回n>1？num+num:num
结束
println（[τ（n）代表1:104中的n]）#彼得·卢什尼2023年9月3日
|
|
|
交叉参考
|
参见。A007427号（Dirichlet逆），A001227号,A005237号,A005238号,A006601号,A006558号,A019273号,A039665号,A049051号,A001826号,A001842号,A049820号,A051731号,A066446号,A106737号,129510英镑,A115361号,A129372号,127093英镑,A143319号,A061017号,A091202号,A091220型,A156552号,A159933号,A159934号,A027750型,A163280号,A183063号,A263730型,A034296号,A237665型.
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A005940号
|
| Doudna序列：以二进制形式写入n-1；a（n）中素数（k）的幂是后面跟着k-1 0的1的幂。
（原名M0509）
|
|
+10
491
|
|
|
|
1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 8, 7, 10, 15, 12, 25, 18, 27, 16, 11, 14, 21, 20, 35, 30, 45, 24, 49, 50, 75, 36, 125, 54, 81, 32, 13, 22, 33, 28, 55, 42, 63, 40, 77, 70, 105, 60, 175, 90, 135, 48, 121, 98, 147, 100, 245, 150, 225, 72, 343, 250, 375, 108, 625, 162, 243, 64, 17, 26, 39
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
评论
|
这个不规则的表可以表示为二叉树。左边的每个孩子都可以通过应用A003961号给父母，右边的每个孩子都是通过双倍的父母获得的：
1
|
...................2...................
3 4
5......../ \........6 9......../ \........8
/ \ / \ / \ / \
/ \ / \ / \ / \
/ \ / \ / \ / \
7 10 15 12 25 18 27 16
11 14 21 20 35 30 45 24 49 50 75 36 125 54 81 32
等。
（结束）
每一项都有与其指数相同的偶数部分（相当于相同的二元估值）。
使用Antti Karttunen 2014年评论中描述的树：
（结束）
根据库茨（1981）的说法，他是从美国数学家拜伦·利昂·麦卡利斯特（1929-2017）那里得知这个序列的，他将这个序列的发明归因于20世纪50年代中期威斯康星州大学一位名叫杜德纳（名字叫保罗？）的研究生-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月17日
替代（递归）定义：如果n是2的幂，则a（n）=n。否则，如果2^j是2的最大幂，但不超过n，并且如果k=n-2^j，则a。
示例：使用n=77=2^6+13的递归。a（13）=25，因为11是最小的奇素数m，所以m*a（13。（结束）
当通过将a（2*n-1）中的所有素数（k）^e替换为素数（k-1）^e进行变换时，奇数对分返回a（n），从而返回序列-大卫·詹姆斯·桑莫尔2022年9月28日
|
|
|
参考文献
|
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
|
|
|
链接
|
迈克尔·德弗利格（Michael De Vlieger），第6排Doudna树图如评论中所述。
Michael De Vlieger，带注释的扇形二叉树，显示10个级别，使用颜色函数，其中2^m在第m行中显示为中蓝色，k<2^m为深蓝色，k>2^m是亮绿色，每行中的记录显示为红色。
罗纳德·库茨，两个不寻常的序列，《两年制大学数学期刊》，第12卷，第5期（1981年），第316-319页。
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）=f（n-1，1，1）
其中f（n，i，x）=x，如果n=0，
=f（n/2，i+1，x），如果n>0是偶数
否则=f（（n-1）/2，i，x*素数（i））。（结束）
将此序列的起始偏移量0版本定义为：
b（0）=1，b（1）=2，[基本情况]
然后用递推法计算其余部分：
或
也可以定义为相关排列的组合：
（结束）
发件人安蒂·卡图恩2014年12月21日至2015年1月4日：（开始）
（结束）
（结束）
a（2n）=2*a（n），或者通常a（2^k*n）=2^k*a（n）-阿米拉姆·埃尔达尔2022年10月3日
|
|
|
例子
|
设c_i=n-1的二进制展开式中右边有i0的1的个数，设p（j）=j-th素数。那么a（n）=产品_ip（i+1）^c_i。
如果n=9，n-1是1000，c3=1，a（9）=p（4）^1=7。
如果n=10，n-1=1001，c0=1，c2=1，a（10）=p（1）*p（3）=2*5=10。
如果n=11，n-1=1010，c1=1，c2=1，a（11）=p（2）*p（3）=15。（结束）
|
|
|
MAPLE公司
|
f:=proc（n，i，x）选项记忆；如果n=0，则x；elif类型（n，‘偶数’）然后是procname（n/2，i+1，x）；else进程名（（n-1）/2，i，x*ithprime（i））；结束条件：；结束进程：
|
|
|
数学
|
f[n_]：=块[｛p=Partition[Split[Join[InterDigits[n-1，2]，｛2｝]]，2]}，Times@@Flatten[Table[q=Take[p，-i]；素数[Count[Flatten[q]，0]+1]^q[[1，1]]，{i，Length[p]}]]；表[f[n]，{n，67}](*罗伯特·威尔逊v2005年2月22日*）
表[Times@@Prime/@（Join@@Position[Reverse[IntegerDigits[n，2]]，1]-范围[DigitCount[n，2，1]]+1），{n，0，100}](*古斯·怀斯曼2022年12月28日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）A005940号（n） ={my（p=2，t=1）；n--；直到（！n\=2，n%2&&（t*=p）|p=nextprime（p+1））；t}\\M.F.哈斯勒，2010年3月7日；2014年8月29日更新
（PARI）a（n）=我的（p=2，t=1）；对于（i=0，指数（n），如果（位测试（n，i），t*=p，p=下一素数（p+1））；t吨\\查尔斯·格里特豪斯四世2021年11月11日
（哈斯克尔）
a005940 n=f（n-1）1其中
f 0 y=y
fxyi|m==0=fx'y（i+1）
|m==1=f x’（y*a000040 i）i
其中（x'，m）=divMod x 2
（方案，带有Antti Karttunen的IntSeq-library的备忘录宏定义）
（定义(A005940号n） （A005940关闭0（-n 1））；；off=1版本，使用三种不同的offset-0实现中的任意一种：
（定义（A005940off0 n）（秒（（<=n 2）（+1 n））（偶数？n）(A003961号（A005940off0（/n 2）））（其他（*2（A00594 off0（/（-n 1）2））
（定义（A005940off0 n）（让循环（（n n）（i 1）（x 1））（秒（（0？n）x）（偶数？n）（循环（/n 2）（+i 1）x））（其他（循环（/（-n 1）2）i（*x(A000040型i） ））
（Python）
从sympy导入质数
导入数学
定义A（n）：返回n-2**int（math.floor（math.log（n，2）））
def b（n）：如果n<2，则返回n+1 else素数（1+（len（bin（n）[2:]）-bin（n）[2]。count（“1”））*b（A（n））
打印（[b（n-1）表示范围（1101）中的n）]#因德拉尼尔·戈什2017年4月10日
（Python）
从数学导入prod
从itertools导入累加
从集合导入计数器
从sympy导入质数
定义A005940号（n） ：return prod（计数器中a和b的质数（len（a）+1）**b（累加（bin（n-1）[2:].split（'1'）[：0:-1]））.items（））#柴华武2023年3月10日
|
|
|
交叉参考
|
另请参阅A000142号,A001511号,A002450型,A112798号,A252463型,A252464号,A252745型,A252750型,A324054,A324106型,A323505型,A323508型.
参见。A106737号,A290077型,A323915型,A324052型,A324054,A324055型,A324056型,A324057型,A324058型,A324114型,A324335型,A324340型,324348英镑,A324349型对于应用于该序列（即由其排列）的各种理论数列。
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
由添加的二叉树图解和关键字选项卡安蒂·卡图恩2014年12月21日
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 7, 6, 9, 16, 11, 32, 17, 10, 15, 64, 13, 128, 19, 18, 33, 256, 23, 12, 65, 14, 35, 512, 21, 1024, 31, 34, 129, 20, 27, 2048, 257, 66, 39, 4096, 37, 8192, 67, 22, 513, 16384, 47, 24, 25, 130, 131, 32768, 29, 36, 71, 258, 1025, 65536, 43, 131072, 2049, 38, 63, 68, 69, 262144
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,3
|
|
|
评论
|
素数成为2的幂（2->1，3->2，5->4，7->8）；合成数是通过将系数的值按递增顺序乘以2的连续幂并求和而形成的。请参阅示例部分。
偶数对分（包含奇数项），当每个项减去一个并减半时，将返回该序列。
（结束）
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
对于n>=0，a（2n+1）=2*A244153号（n+1）。[根据上述公式的后一条。]
作为相关排列的组合：
（结束）
对于所有n>=0：
（结束）
对于n>1，a（n）=Sum_{d|n，d>1}2^A033265号（a（d））。[见评论。]
更多链接公式：
（结束）
以下序列由a（n）的基-2展开式导出或与之相关：
通过将依赖于其参数的素因式分解的函数应用于（n），可以获得以下序列，该函数“与纹理相反”，因为a（n）是n因式分解中的二进制代码，在这些情况下，再对其进行因式分解：
（结束）
|
|
|
例子
|
对于84=2*2*3*7->1*1+1*2+2*4+8*8=75。
对于105=3*5*7->2*1+4*2+8*4=42。
对于137=p_33->2^32=4294967296。
对于420=2*2*3*5*7->1*1+1*2+2*4+4*8+8*16=171。
对于147=3*7*7=p_2*p_4*p_4->2*1+8*2+8*4=50。
|
|
|
数学
|
表[Floor@Total@Flatten@MapIndexed[#1 2^（#2-1）&，Flatten[Table[2^（PrimePi@#1-1），{#2}]&@@@FactorInteger@n]]，{n，67}](*迈克尔·德弗利格2016年9月8日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（Perl）
#然而，它只给出了n=136的正确答案，然后由于环绕效应而导致损坏。
#注意，n=137的正确答案是A156552号(137) = 4294967296.
$max=$ARGV[0]；
$pow=0；
每$i（最多2..$）{
@a=分割（//，`系数$i`）；
移位@a；
$shift=0；
$cur=0；
while（$n=int移位@a）{
$prime｛$n｝=1<<$pow++如果！定义（$prime{$n}）；
$cur|=$prime{$n}<<$shift++；
}
打印“$cur”；
}
打印“\n”；
（方案，使用Antti Karttunen的IntSeq-library中的memoization-macro definec，两种不同的实现）
（PARI）a（n）={my（f=因子（n），p2=1，res=0）；对于（i=1，#f~，p=1<<（素数（f[i，1]）-1）；res+=（p*p2*（2^（f[i,2]）-1））；p2<<=f[i、2]）；res}\\大卫·A·科内斯2019年3月8日
（PARI）
A064989美元（n） ={my（f）；f=因子（n）；如果（n>1&&f[1,1]==2），f[1,2]=0）；对于（i=1，#f~，f[i，1]=precprime（f[i、1]-1））；因子回退（f）}；
（Python）
来自sympy import primepi，factorint
定义A156552号（n） ：返回和（（1<<primepi（p）-1）<<i for i，p in enumerate（factorint（n，multiple=True））#柴华武2023年3月10日
|
|
|
交叉参考
|
参见。A000079号,A000120号,A001222号,A052126号,A054429号,A061395号,A064216号,A064989美元,A003188号,A243071型,A243065型-A243066型,A244153号,A243354型,A112798号,A125106号,A056239号,A161511号.
另请参阅A297106型,A297112型（莫比乌斯变换），A297113型,A153013号,A290308型,A300827型,A323243型,A323244型,A323247型,A324201型,A324812型（n，其中a（n）是正方形），A324813型,A324822型,A324823型,A324398型,A324713型,A324815型,A324819型,A324865飞机,A324866飞机,A324867飞机.
其他相关排列：A253551型,A253792型,A253564号,A253791型,A277195型,A297163型,A297164型,A297165型,A297166型,A302023型,A305418型,A322863型,A322864型.
|
|
|
关键词
|
容易的,基础,非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A010052号
|
| 平方的特征函数：如果n是平方，则a（n）=1，否则为0。 |
|
+10
362
|
|
|
|
1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0.1个
|
|
|
评论
|
|
|
|
参考文献
|
Jean-Paul Allouche和Jeffrey Shallit，《自动序列》，剑桥大学出版社，2003年，第3-4页，第166页，执行5.5.1。
Tom M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第48页，问题20。
Michael D.Hirschhorn，《q的力量》，施普林格出版社，2017年。参见第8页的φ（q）。
米歇尔·里戈（Michel Rigo），《形式语言、自动机和数字系统》，第2卷。，威利，2014年。提及此序列-请参阅第2卷中的“序列列表”。
Stephen Wolfram，《一种新的科学》，Wolfram Media，2002年，第55页。
|
|
|
链接
|
大卫·克里斯托弗和泰米尔纳德邦，具有固定大小数的分区《整数序列杂志》，15（2015），第15.11.5条。
亚什·普里和托马斯·沃德，周期轨道的算法和增长，J.整数序列。，第4卷（2001年），第01.2.1条。
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）=楼层（sqrt（n））-楼层（squart（n-1）），对于n>0。
a（n）=A000005号（n） 模块2，n>0.-艾哈迈德·法尔斯（ahmedfares（AT）my-deja.com），2001年4月19日
G.f.A（x）满足：0=f（A（x，A（x^2），A（x^4）），其中f（u，v，w）=（u-w）^2-（v-w）*（v+w-1）-迈克尔·索莫斯2004年7月19日
如果x>0，a（n）=f（n，0），f（x，y）=f（x-2*y-1，y+1），否则为0^（-x）-莱因哈德·祖姆凯勒2008年9月26日
a（n）=sumdiv（n，d，（-1）^ bigomega（d）），对于n>=1-贝诺伊特·克洛伊特2009年10月25日
a（n*m）=a（n/gcd（n，m））*a（m/gcd（n，m））对于所有n和m>0（推测）-维林·亚涅夫2019年2月13日[证据来自迈克尔·波特2019年2月16日：如果nm是一个正方形，nm=product_i（p_i^2），其中p_i是质数，不一定是不同的。每个p_i要么在n中出现两次，要么在m中出现两个，要么在每个中出现一次，因此出现在gcd中。所以n/gcd（n，m）和m/gcd（n，m）都是正方形。如果nm不是正方形，则有一个q_j出现在n或m中的一个中，但不出现在gcd中。因此，n/gcd（n，m）或m/gcd（n，m）都不是正方形。]
通用公式：A（q）=Sum_{n>=0}q^（2*n）*Product_{k>=2*n+1}1-（-q）^k-彼得·巴拉2021年2月22日
如果e是偶数，则与a（p^e）相乘=1，否则为0-阿米拉姆·埃尔达尔2022年12月29日
|
|
|
例子
|
G.f.=1+x+x^4+x^9+x^16+x^25+x^36+x^49+x^64+x^81+。。。
|
|
|
MAPLE公司
|
readlib（issqr）：f:=i->如果issqr（i），则1为0；fi；[seq（f（i），i=0..100）]；
|
|
|
数学
|
lst={}；Do[AppendTo[lst，2*Sum[Floor[n/k]-Floor[（n-1）/k]，{k，Floor[Sqrt[n]]}]-DivisorSigma[0，n]]，{n，93}]；前置[lst，1](*埃里克·德斯比亚2012年1月29日*）
表[If[IntegerQ[Sqrt[n]]，1，0]，{n，0，100}](*哈维·P·戴尔2014年7月19日*）
a[n_]：=级数系数[1/（1-q）*q超几何PFQ[{-q，-q}，{-（q^2）}，-q，-q]，{q，0，绝对值@n}] (*Mats Granvik公司2016年1月1日*）
范围[0，120]/。{n_/；整数Q@Sqrt@n->1，n_/，n！=1->0}(*迈克尔·德弗利格2016年1月2日*）
a[n_]：=总和[如果[Mod[n，k]==0，Re[Sqrt[LiouvilleLambda[k]]*Sqrt[PiouvilleLampda[n/k]]]，0]，{k，1，n}](*Mats Granvik公司2018年8月10日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=发行方（n）}；
（PARI）a（n）=如果（n<1，1，sumdiv（n，d，（-1）^bigomega（d）））\\贝诺伊特·克洛伊特2009年10月25日
（PARI）a（n）=如果（n<1，1，direculer（p=2，n，1/（1-X^2））[n]）\\米歇尔·马库斯2015年3月8日
（哈斯克尔）
a010052 n=来自枚举$a000196 n^2==n
a010052_list=concat（迭代（\xs->xs++[0，0]）[1]）
（Python）
定义A010052号（n） ：return int（math.isqrt（n）**2==n）##似乎比sympy.theory.primetest.is_square快，至少高达10^8。
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,美好的,容易的,多重
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 3, 4, 7, 6, 12, 13, 15, 8, 18, 24, 28, 31, 39, 40, 31, 12, 24, 32, 42, 48, 72, 78, 60, 57, 93, 124, 91, 156, 120, 121, 63, 14, 36, 48, 56, 72, 96, 104, 90, 96, 144, 192, 168, 248, 234, 240, 124, 133, 171, 228, 217, 342, 372, 403, 195, 400, 468, 624, 280, 781, 363, 364, 127, 18, 42, 56, 84, 84, 144, 156, 120, 112, 216, 288, 224
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
如所述大卫·A·科内斯函数f（n）=a（n-1）[即该序列的offset-1版本]似乎是“几乎是乘法的”。顺序A324109型给出了f（n）满足乘法性的位置n，即f（n）=f（p（1）^e（1））*…*当n=p（1）^e（1）*…*p（k）^e（k），以及A324110型这不适用的位置。
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
|
|
|
数学
|
nn=76；a[0]=1；Do[Set[a[n]，素数[1+DigitCount[n，2，0]]*a[n-2^Floor@Log2@n]]，{n，nn}]；数组[DivisorSigma[1，a[#]]&，nn，0](*迈克尔·德弗利格2022年8月3日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）
A005940号（n） ={my（p=2，t=1）；n--；直到（！n\=2，if（（n%2），（t*=p），p=nextprime（p+1））；t}；\\发件人A005940号
（PARI）A324054（n） ={my（p=2，mp=p*p，m=1）；while（n，如果（！（n%2），p=下一素数（1+p）；mp=p*p，如果（3==（n%4），mp*=p，m*=（mp-1）/（p-1）））；n>>=1）；（m）；}；
（Python）
从数学导入prod
从itertools导入累加
从集合导入计数器
从sympy导入质数
定义A324054（n） ：返回计数器中a和b的prod（（（p:=质数（len（a）+1））**（b+1）-1）//（p-1）（累加（bin（n）[2:].split（'1'）[：0:-1]））.items（））#柴华武2023年3月10日
|
|
|
交叉参考
|
参见。A000203号,A005940号,A038712号,A324055型,A324056型,A324057型,A324058型,A324108型,A324109型,324110美元,A324111型,A324112型,A356321型.
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A252754型
|
| “Eratosthenes树”排列的逆：a（1）=0，之后a（2n）=1+2*a（n），a（2n+1）=2*a(A268674型（2n+1））。 |
|
+10
19
|
|
|
|
0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 7, 6, 9, 16, 11, 32, 17, 10, 15, 64, 13, 128, 19, 14, 33, 256, 23, 12, 65, 18, 35, 512, 21, 1024, 31, 22, 129, 20, 27, 2048, 257, 34, 39, 4096, 29, 8192, 67, 30, 513, 16384, 47, 24, 25, 26, 131, 32768, 37, 28, 71, 38, 1025, 65536, 43, 131072, 2049, 66, 63, 36, 45, 262144, 259, 46, 41, 524288, 55, 1048576, 4097, 130, 515, 40
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,3
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
a（1）=0，之后a（2n）=1+2*a（n），a（2n+1）=2*a(A268674型（2n+1））。
作为相关排列的组合：
（结束）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（方案，带有备忘录-宏定义）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 1, 2, 1, 4, 0, 5, 1, 6, 2, 6, -4, 19, -3, 14, 1, 10, 4, 10, -2, 22, -12, 12, -12, 41, 7, 26, -19, 94, -12, 41, 1, 12, 8, 18, 0, 38, -12, 22, -10, 58, -4, 18, -48, 102, -54, 30, -28, 109, 25, 66, -17, 148, -72, 47, -51, 286, 32, 126, -64, 469, -39, 122, 1, 16, 10, 22, 4, 46, -12, 42, -8, 70, 4, 42, -56, 178, -60, 58, -26, 118, 20
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
|
|
|
数学
|
数组[Block[{p=Partition[Split[Join[Integer Digits[#，2]，{2}]]，2]}，2#-DivisorSigma[1，#]&[Times@@Flatten@Table[Prime[Count[Flatten@#，0]+1]^#[[1，1]]&@Take[p，-i]，{i，Length[p]}]]&，82，0](*迈克尔·德弗利格2019年3月11日之后罗伯特·威尔逊v在A005940号*)
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）
A005940号（n） ={my（p=2，t=1）；n--；直到（！n\=2，if（（n%2），（t*=p），p=nextprime（p+1））；t}；\\发件人A005940号
（PARI）A324055型（n） ={my（m1=2，m2=1，p=2，mp=p*p）；while（n，if（！（n%2），p=下一素数（1+p）；mp=p*1，m1*=p；if（3==（n%4），mp*=p，m2*=（mp-1）/（p-1）））；n>>=1）；（m1-m2）；}；
|
|
|
交叉参考
|
请参见A106737号,A290077型,A323915型,A324052型,A324054,A324056型,A324057型,A324058型,A324114型,A324335型,A324340型,324348英镑,A324349型,A324394型,A324395型对于由置换的其他序列A005940号，并比较其散点图。
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1，1
|
|
|
评论
|
备注：应该在数据库中添加更多这样的序列。
|
|
|
链接
|
J.-P.Allouche，有限自动机与算术Seminaire Lotharingien de Combinatoire，B30c（1993），23页[原名：Publ.I.R.M.A.Strasbourg，1993年，1993/034年，第1-18页]
|
|
|
配方奶粉
|
G.f.满足A^3+x^（-1）*A+1=0（mod 2）。
如果Cloitre的上述观察成立，那么我们也有（假设起始偏移量为0，a（0）=1）：
（结束）
|
|
|
MAPLE公司
|
A:=x；对于从1到100的n do级数（x+x*A^3+O（x^（n+2）），x，n+2；A:=系列（%mod 2，x，n+2）；od:A；
|
|
|
数学
|
m=100；A[_]=0；
做[A[x_]=x+xA[x]^3+O[x]m//正态//多项式模式[#，2]&，{m}]；
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, 3, 4, 4, 6, 2, 8, 2, 6, 6, 4, 4, 9, 2, 4, 4, 8, 2, 8, 2, 6, 5, 4, 2, 10, 3, 6, 6, 6, 2, 8, 4, 8, 6, 4, 2, 12, 2, 4, 4, 7, 4, 12, 2, 6, 8, 8, 2, 12, 2, 4, 4, 6, 4, 8, 2, 10, 6, 4, 2, 12, 6, 4, 8, 8, 2, 10, 4, 6, 6, 4, 4, 12, 2, 6, 4, 9, 2, 12, 2, 8, 9
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
评论
|
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）
up_to=65537；
ordinal_transform（invec）={my（om=Map（），outvec=向量（长度（invec）），pt）；对于（i=1，长度（invesc），如果（mapisdefined（om，invec[i]），pt=mapget（om，invec[i]；
（PARI）
\\或者，也可以使用上面的一些代码：
A003961号（n） =my（f=因子（n））；对于（i=1，#f~，f[i，1]=下一素数（f[i、1]+1））；factorback（f）；\\发件人A003961号
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
搜索在0.025秒内完成
|
