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除数函数


除数函数

除数函数西格玛(n)对于n整数是定义为k权力的(正整数)约数属于n,

 σk(n)=和(d | n)d^k。
(一)

它在沃尔夫拉姆语作为除数sigma[k,n].

符号d(n)(哈代和赖特1979年,第239页),nu(n)(俄勒冈州1988年,第86页),以及τ(n)(伯顿1989年,p、 128)有时用于西格玛0(n),哪个给予的除数n.令人惊讶的是,多项式的因子个数a^n-b^n也是给予者d(n).价值观西格玛0(n)可以是结果是相反的莫比乌斯变换属于1,1,1。。。(斯隆和普劳夫1995年,第22页)。希斯布朗(1984)证明了这一点σ0(n)=σ0(n+1)无限经常。数字具有递增最大除数的调用高度地复合数.功能西格玛0(n)满足身份

西格玛0(p^a)=a+1
(二)
西格玛0(p_1^(a_1)p_2^(a_2)=(a_1+1)(a_2+1)。。。,
(三)

在哪里皮尤i是不同的素数和p_1^(a_1)p_2^(a_2)。。。素因式分解一个数字的n.

除数函数西格玛0(n)古怪的 敌我识别 n是一个广场.

功能西格玛1(n)这给了我们总和属于的除数n通常没有下标,即。,西格玛(n).

作为计算的一个例子西格玛(n),考虑140号,它有约数 d_i=1,2,4,5,7、10、14、20、28、35、70和140,总计N=12个除数全部。因此,

西格玛0(140)=N=12个
(四)
西格玛1(140)=和(i=1)^(N)d_i=336
(五)
西格玛2(140)=总和(i=1)^(N)d_i^2=27300
(六)
西格玛3(140)=总和(i=1)^(N)d_i^3=3164112。
(七)

下表总结了西格玛(n)对于小型kn=1,2。。。。

kOEIS西格玛(n)对于n=1,2。。。
0A000005号1,2,2,3,2,4,2,4,3,4,2,6。。。
1A000203型1个,3,4,7,6,12,8,15,13,18。。。
2A0011571个,5,10,21,26,50,50,85,91,130。。。
A0011581个,9、28、73、126、252、344、585、757、1134。。。

的总和约数属于n排除n本身(即适当的约数属于n)被称为受限制的除数函数并表示s(n).第一个少数值是0,1,1,3,1,6,1,7,4,8,1,16。。。(OEIS)A001065型).

除数之和西格玛1(N)可以发现如下。N=ab型具有a=b(a,b)=1.对于任何除数d属于N,d=一个,其中阿圭是的除数一博伊是除数属于b.的除数一是1,阿丘1,阿丘2, ..., 一.的除数b是1,bˉ1,2号楼, ...,b。的总和那么除数就是

西格玛1(a)=1+a_1+a_2++一
(八)
西格玛1(b)=1+b+1+b+2++b。
(九)

为了一个给定的阿圭,

 a_i(1+b_1+b_2+…+b)=a_isigma_1(b)。
(十)

总括阿圭,

 (1+a_1+a_2+…+a)西格玛1(b)=西格玛1(a)西格玛1(b),
(十一)

所以西格玛1(N)=西格玛1(ab)=西格玛1(a)西格玛1(b).分裂一b进入基本因子,

 西格玛1(N)=西格玛1(p_1^(α1))西格玛1(p_2^(α2))。。。西格玛1(p_r^(αr))。
(十二)

作为一个质数权力 p_i^(α_i),的除数是1,皮尤i,第2页, ...,p_i^(α_i),所以

 西格玛1(p_i^(α_i))=1+p_i+p_i^2++p_i^(αi)=(p_i^(α_i+1)-1)/(p_i-1)。
(十三)

N,因此,

 西格玛1(N)=积(i=1)^r(p_i^(αi+1)-1)/(p_i-1)
(十四)

(Berndt 1985年)。

对于特殊情况N首要的,(14)简化为

 西格玛1(p)=(p^2-1)/(p-1)=p+1。
(十五)

同样,对于N权力属于两个(14)简化为

 西格玛1(2^α)=(2^(α+1)-1)/(2-1)=2^(α+1)-1。
(十六)

身份(◇) 以及(◇) 可以概括为

西格玛(N)=西格玛k(p_1^(α1))西格玛k(p_2^(α2))。。。西格玛(p_r^(αr))
(十七)
=乘积(i=1)^(r)(p_i^((αi+1)k)-1)/(p_i^k-1)。
(十八)

涉及除数函数的和由

 和(n=1)^infty(西格玛0(n))/(n^s)=zeta^2(s)
(十九)

对于s> 1,

 和(n=1)^infty(sigma_1(n))/(n^s)=zeta(s)zeta(s-1)
(二十)

对于s> 二,更广泛地说,

 和(n=1)^infty(sigma_k(n))/(n^s)=zeta(s)zeta(s-k)
(二十一)

对于s> 1k> =0(哈代和赖特1979年,第250页)。

A生成函数对于西格玛0(n)被给予朗伯级数

长(x)=总和(n=1)^(infty)(x^n)/(1-x^n)
(二十二)
=(磅/平方英寸×1)+ln(1-x))/(lnx)
(二十三)
=西格玛0(1)x+西格玛0(2)x^2+。。。
(二十四)
=x+2x^2+2x^3+3x^4+2x^5+。。。,
(二十五)

哪里功率因数(x)是一个-一夫多妻功能.

这个西格玛1(n)函数有级数展开

 西格玛1(n)=1/6npi^2[(1+(-1)^n)/(2^2))+(2cos(2/3npi))/(3^2)+(2cos(1/2npi))/(4^2)+(2[cos(2/5npi)+cos(4/5npi)])/(5^2)+…]
(二十六)

(哈代1999年)。拉马努扬给出了一个美丽的公式

 和(n=1)^infty(sigma_(n)sigma_b(n))/(n^s)=(zeta(s)zeta(s-a-a)zeta(s-a-b))/(zeta(2s-a-b)),
(二十七)

哪里泽塔(n)齐塔人功能R[s],R[s-a],R[s-b],R[s-a-b]>1(威尔逊)1923年),英厄姆用它来证明首要的数论(哈代1999年,第59-60页)。这就是特例

 和(n=1)^infty([d(n)]^2)/(n^s)=([zeta(s)]^4)/(zeta(2s))
(二十八)

(哈代1999年,第59页)。

格伦沃尔定理声明

 极限(n->infty)^(sigma_1(n))/(nlnlnn)=e^伽马,
(二十九)

哪里伽马射线欧拉·马斯切罗尼常数(哈代和赖特1979年,第266页;罗宾1984年)。这是可以写的作为一个明显的不平等

 (西格玛1(n))/(nlnlnn)<=e^gamma+c/((lnlnn)^2),
(三十)

哪里伽马射线欧拉·马斯切罗尼常数在平等的地方n=12个,给予

c=7/3(lnln12)-e^伽马(lnln12)^2
(三十一)
=0.648213649。。。
(三十二)

(Robin 1984,定理2)。实际上,如果黎曼假设坚持,因为黎曼假设相当于

 (西格玛1(n))/(nlnlnn)<e^gamma
(三十三)

对所有人n> =5041(Robin 1984,定理1)。

西格玛1(n)是2的幂敌我识别 n=1n不同的梅森素数(西尔宾斯基1958/59,Sivaramakrishnan 1989年,Kaplansky 1999年)。最初的几个n是1,3,7,21,31、93、127、217、381、651、889、2667。。。(OEIS)A046528号),2的幂次是0,2,3,5,5,7,7,8,9,10,10,12,12,13,14。。。(OEIS)A048947号).

使用模块化形式理论

 sigma_3(n)-sigma_7(n)+120和(k=1)^(n-1)sigma_3(k)sigma_3(n-k)=0
(三十四)
 -10西格玛_3(n)+21西格玛_5(n)-11西格玛_9(n)+5040总和(k=1)^(n-1)西格玛_3(k)西格玛_5(n-k)=0
(三十五)

(Apostol 1997,第140页),以及

 21西格玛_5(n)-20sigma_7(n)-sigma_7(n)(13)(n)+10080sum_(k=1)^(n-1)sigma_5(n-k)sigma_7(k)=0
(三十六)
 -10西格玛_3(n)+11西格玛_9(n)-西格玛_(13)(n)+2640总和(k=1)^(n-1)sigma_3(n-k)sigma_9(k)=0
(三十七)
 -21西格玛_5(n)+22西格玛_9(n)-西格玛_(13)(n)-2904和(k=1)^(n-1)西格玛9(n-k)西格玛_9(k)+504sum_x(k=1)^(n-1)sigma_5(n-k)sigma_(13)(k)=0
(三十八)

(M.Trott,pers.comm.)。

除数函数西格玛1(n)(事实上,西格玛(n)对于k> =1)是古怪的 敌我识别 n是一个广场或者两次平方数.除数功能西格玛1(n)满足同余

 nsigma_1(n)=2(模φ(n)),
(三十九)

对所有人素数而且没有混合成的数字4、6和22除外(Subbarao 1974)。

除数d(n)首要的无论何时西格玛1(n)它本身就是首要的(Honsberger 1991年)。因子分解西格玛1(p^a)对于首要的 p是索利给的。

除数函数求和

1838年,迪里克莱特指出约数从1到n是渐近的

 (和(k=1)^(n)d(k))/n∼lnn+2gamma-1
(四十)

(Conway and Guy 1996;Hardy 1999,第55页;Havil 2003,第112-113页),如上图所示,其中细实心曲线绘制实际值,粗虚线曲线绘制绘制渐近函数。这与迪里克莱特除数问题,寻找“最佳”系数θ在里面

 和(k=1)^nd(k)=nlnn+(2gamma-1)n+O(n^theta)
(四十一)

(哈代和赖特1979年,第264页)。

这个求和函数对于西格玛a具有a> 1

 和(k=1)^nsigma_a(k)=(zeta(a+1))/(a+1)n^(a+1)+O(n^a)。
(四十二)

a=1,

 和(k=1)^nsigma_1(k)=(pi^2)/(12)n^2+O(nlnn)
(四十三)

(哈代和赖特1979年,第266页)。

除数函数也可以推广到高斯整数。定义需要谨慎,因为原则上有歧义至于每一个除数从四个关联中选出哪一个。Spira(1961)定义复数的除数之和z通过保理z变成不同高斯素数的幂的乘积,

 z=epsilonproductp_i^(k_i),
(44个)

哪里ε是一个单位皮尤i存在于复平面的第一象限,然后写

 sigma_1(z)=产品(p_i^(k_i+1)-1)/(p_i-1)。
(四十五)

这使得西格玛乘法函数给予|西格玛1(z)|>=z。此分机是沃尔夫拉姆语作为除数sigma[1,z,高斯积分->真]。下表给出了西格玛1(a+ib)对于非负的小值一b.

a\b型012456
112+12+2英寸5+5i2+4i6+8英寸2+6英寸
22+3英寸3+1第五章3+3i-2+10i3+5英寸-5+15英寸
42+6英寸4+2英寸8+4i6+5英寸9+7英寸8+8i
4-4+5英寸5+13+11英寸-1+6英寸-8+15+5i-3+15英寸
54+8i3+9英寸6+2英寸10磅6+4英寸20英里6+6英寸
68+12英寸7+1-10+10i12+4英寸2+16英寸7+5英寸20英里

另请参见

Dirichlet除数问题,独特的素因子,除数,除数积,偶数除数函数,因素,费马氏症除数问题,最大素因子,格伦沃尔定理,高度复合数,最小素因子,多重完全数,奇怪的除数函数,奥雷猜想,完美的数量,基本因子,可重构数量,限制因子函数,罗宾定理,西尔弗曼常数,社会数字,总和平方函数,过剩数,τ函数,折腾功能,总价函数,双峰,统一的除数函数 探索数学世界课堂上的这个话题

相关钨矿

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工具书类

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参考Wolfram | Alpha

除数函数

引用如下:

韦斯坦,埃里克W。“除数函数。”数学世界--Wolfram网络资源。https://mathworld.wolfram.com/divisiorfunction.html

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