A001222-OEIS公司

A001222号

用多重数计算的n的素因子数（也称为n的大ω、大ω（n）或ω（n））。
（原名M0094 N0031）

3227

0, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 4, 1, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 4, 2, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 5, 2, 2, 2, 4, 1, 2, 2, 4, 1, 3, 1, 3, 3, 2, 1, 5, 2, 3, 2, 3, 1, 4, 2, 4, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 3, 6, 2, 3, 1, 3, 2, 3, 1, 5, 1, 2, 3, 3, 2, 3, 1, 5, 4, 2, 1, 4, 2, 2, 2, 4, 1, 4, 2, 3, 2, 2, 2, 6, 1, 3, 3, 4, 1, 3, 1, 4, 3, 2, 1, 5, 1, 3, 2

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,4

n的任何因式分解中的最大项数。

除以n的素数幂（不包括1）。

n的素数幂因子分解的指数之和-丹尼尔·福格斯2009年3月29日

求和{d|n}2^(-A001221号（d） -a（n/d））=和{d|n}2^（-a（d）-A001221号（n/d））=1（见Dressler和van de Lune链接）。 -米歇尔·马库斯2012年12月18日

行总和A067255号. -莱因哈德·祖姆凯勒2013年6月11日

猜想：设f（n）=（x+y）^a（n），g（n）=x^a（n），h（n）＝（x+y）^A046660号（n） *年^A001221号（n） x，y复数，0^0=1。则f（n）=Sum_{d|n}g（d）*h（n/d）。这在x=1-y时得到了证明（见Dressler和van de Lune链接）。 -沃纳·舒尔特2018年2月10日

设r，s是一些固定整数。然后我们有：

（1）对于素数p和e>=0，r^bigomega（n）和s^bigome（n）的序列b（n）=Dirichlet卷积与b（p^e）=（r^（e+1）-s^（e+1））/（r-s）相乘。情况r=s导致b（p^e）=（e+1）*r^e。

（2） r^bigomega（n）和mu（n）*s^bigome（n）的序列c（n）=Dirichlet卷积与素数p和e>0的c（p^e）=（r-s）*r^（e-1）和c（1）=1相乘，其中mu（n）=A008683号（n） ●●●●。 -沃纳·舒尔特2019年2月20日

a（n）也是每个n阶可解群的合成级数的长度-迈尔斯·恩格利佐2024年4月25日

参考文献

L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第119页，#12，omega（n）。

G.H.Hardy，Ramanujan：关于其生活和工作所建议主题的十二次讲座，剑桥大学出版社，1940年，第48-57页。

M.Kac，概率、分析和数论中的统计独立性，Carus专题论文12，数学。美国律师协会。1959年，见第64页。

N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

链接

丹尼尔·福格斯，n=1..100000时的n，a（n）表（前10000个术语来自N.J.A.Sloane）

M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。第55辑，第十次印刷，1972年[替代扫描件]，第844页。

贝诺伊特·克洛伊特，RH的牛头座方法，arXiv:1107.0812[math.NT]，2011年。

Robert E.Dressler和Jan van de Lune，关于数论函数ω和ω的几点注记，程序。阿默尔。数学。Soc.41（1973），403-406。

G.H.Hardy和S.Ramanujan，一个数的素因子的正规数，夸脱。数学杂志。 48 (1917), 76-92.还收集了Srinivasa Ramanujan的论文，AMS Chelsea Publ。，普罗维登斯，RI（2000）：262-275。

道格拉斯·伊恩努奇（Douglas E.Iannucci）和厄本·拉尔森（Urban Larsson），算术函数的博弈值，arXiv:2101.07608[math.NT]，2021。第1.1.1条。第4-5页。

阿玛纳斯·穆尔西和查尔斯·阿什巴赫，广义划分与数论和Smarandache序列的一些新思想、Hexis、Phoenix；美国2005年。见第1.4节，1.10。

埃里克·魏斯坦的数学世界，主要因素

埃里克·魏斯坦的数学世界，圆度（Roundness）

Wolfram研究公司，前50个数字已计算在内

“核心”序列的索引项

根据n的因式分解中的指数计算序列的索引项

根据素因子分解中的索引计算序列的索引项

配方奶粉

n=产品（p_j^k_j）->a（n）=总和。

Dirichlet g.f.：ppzeta（s）*zeta（s）。这里，ppzeta（s）=和{p素数}和{k>=1}1/（p^k）^s。注意，ppzeta=和{p素}1/。 -富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2005年9月11日

a（p）=1的全加性。

a（n）=如果n=1，则0，否则a（n/A020639美元（n））+1。 -莱因哈德·祖姆凯勒2008年2月25日

a（n）=总和{k=1。。A001221号（n） }A124010型（n，k）。 -莱因哈德·祖姆凯勒2011年8月27日

a（n）=A022559号（n）-A022559号（n-1）。

G.f.：和{p素数，k>=1}x^（p^k）/（1-x^。 -伊利亚·古特科夫斯基2017年1月25日

a（n）=A091222号(A091202号（n））=A000120号(A156552号（n））。 -安蒂·卡图恩，大约2004年和2017年3月6日

a（n）>=A267116型（n） >=A268387型（n） ●●●●。 -Antti Karttunen公司2017年4月12日

和{k=1..n}2^(-A001221号（gcd（n，k））-a（n/gcd（n，k））/phi（n/gcd（n，k））=Sum_｛k=1..n｝2^（-a（gcd（n，k））-A001221号（n/gcd（n，k））/phi（n/gcr（n，k））=1，其中phi=A000010号. -理查德·奥尔勒顿2021年5月13日

a（n）=a(A046523号（n））=A007814号(A108951号（n））=A061395号(A122111号（n））=A056239号(A181819号（n））=A048675号(A293442型（n））。 -Antti Karttunen公司2022年4月30日

例子

16=2^4，所以a（16）=4；18=2*3^2，所以a（18）=3。

MAPLE公司

（数量理论）：seq（bigomega（n），n=1..111）；

数学

数组[Plus@@Last/@FactorInteger[#]&，105]

PrimeOmega[范围[120]](*哈维·P·戴尔2011年4月25日*）

黄体脂酮素

（PARI）矢量（100，n，bigomega（n））

（Magma）[n eq 1 select 0 else&+[p[2]：p in Factorization（n）]：n in[1..120]]； //布鲁诺·贝塞利2013年11月27日

（萨格马特）[斯隆。A001222号（n）对于（1..120）中的n#朱塞佩·科波列塔2015年1月19日

（SageMath）[gp.bigomega（n）代表范围（131）内的n]#G.C.格鲁贝尔2024年7月13日

（哈斯克尔）

导入数学。数字理论。底漆。分解（factorise）

a001222=总和。瑞士。解压缩。因子分解酶

--莱因哈德·祖姆凯勒2015年11月28日

（方案）

（定义(A001222号n）（让循环（（n n）（z 0））（如果（=1 n）z（循环（/n(A020639号n））（+1 z）））

；；还需要A020639号在该条目下可以找到一个同样朴素的实现。 -安蒂·卡图恩2017年4月12日

（GAP）级联（[0]，列表（[2..150]，n->长度（因子（n）））； #穆尼鲁·A·阿西鲁2019年2月21日

（Python）

来自sympy import primeomega

定义a（n）：返回素数（n）

打印（[a（n）代表范围（1112）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2022年4月30日

（朱莉娅）

使用Nemo

函数NumberOfPrimeFactors（n；distinct=true）

不同返回长度（系数（ZZ（n））

因子（ZZ（n））中（p，e）的总和（e）；初始化=0）

结束

println（[NumberOfPrimeFactors（n，distinct=false）for n in 1:60]）#彼得·卢什尼2024年1月2日

交叉参考

囊性纤维变性。A001221号（ω，素数不计重数），A008836号（刘维尔λ，等于（-1）^a（n）），A046660号,114494英镑,A074946号,A134334号.

平分法给出A091304型和A073093号.A086436号基本上是相同的序列。囊性纤维变性。A022559号（部分金额），A066829号（奇偶校验），A092248号（ω的奇偶性）。

列出n的序列，其中a（n）=r：A000040型（r=1），A001358号（r=2），A014612美元（r=3），A014613号（r=4），A014614号（r=5），A046306号（r=6），A046308号（r=7），A046310号（r=8），A046312号（r=9），A046314号（r=10），A069272号（r=11），A069273号（r=12），A069274号（r=13），A069275号（r=14），A069276号（r＝15），A069277号（r=16），A069278美元（r=17），A069279号（r=18），A069280号（r=19），A069281号（r=20）。 -杰森·金伯利2011年10月2日

囊性纤维变性。A079149号（素数可调整为最多有2个素数因子的整数，a（n）<=2）。

囊性纤维变性。A000120号,A020639号,A091202号,A091222号,A156552号,A267116型,268387元.

囊性纤维变性。A027748号（没有重复）。

囊性纤维变性。A000010美元.

上下文中的序列：A305822型 A326190型 A086436号*A257091型 A351418型 A359909型

相邻序列：A001219号 A001220号 A001221号*A001223号 A001224号 A001225号

关键词

非n,容易的,美好的,核心

作者

N.J.A.斯隆

扩展

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状态

经核准的