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Jacobi Theta函数

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雅可比θ函数是指数函数，可用于表示雅各比椭圆函数θ函数是准双周期的通常表示θn（z，q）在现代文本中，尽管符号θ_n（z，q）和θn（z，q）（Borwein和Borwein1987）有时也会用到。Whittaker和Watson（1990年，第487页）给出了一个表格，总结了使用的符号由许多早期作家创作。

θ函数在Wolfram语言通过椭圆Theta[n个,z（z）,q个]，其导数由下式给出椭圆ThetaPrime[n个,z（z）,q个].

理想气体的平移配分函数可以用椭圆θ函数导出（Golden 1961，第119和133页；Melzak 1973，第122页；Levine 2002，第838页）。

θ函数可以用诺姆 q个，表示θn（z，q），或半衰期比率 陶,表示θn（zτ）,哪里|q |<1和q个和陶与…相关

q=e^（ipitau）。
（1）

让多值函数 q^λ被解释为代表e^（λ）然后对于复数z（z），雅可比θ函数定义为

θ1（z，q）=sum_（n=-infty）^（infty）（-1）^（n-1/2）q^（（n+1/2）^2）e^（（2n+1）iz）
（2）
θ2（z，q）=sum_（n=-infty）^（infty）q^（（n+1/2）^2）e^（2n+1）iz）
(3)
θ_3（z，q）=sum_（n=-infty）^（infty）q^（n^2）e^（2niz）
(4)
θ4（z，q）=sum_（n=-infty）^（infty）（-1）^nq^（n^2）e^（2niz）。
(5)

将双无穷和写成单无穷和，可以得到稍微不对称的形式

θ1（z，q）=2sum_（n=0）^（infty）（-1）^nq^（（n+1/2）^2）sin[（2n+1）z]
(6)
=2q^（1/4）sum_（n=0）^（infty）（-1）^nq^，（n（n+1））sin[（2n+1）z]
(7)
θ2（z，q）=2sum_（n=0）^（infty）q^（（n+1/2）^2）cos[（2n+1）z]
(8)
=2q^（1/4）和_（n=0）^（infty）q^，（n（n+1））cos[（2n+1）z]
(9)
θ3（z，q）=1+2sum_（n=1）^（infty）q^（n^2）cos（2nz）
(10)
θ4（z，q）=1+2sum_（n=1）^（infty）（-1）^nq^（n^2）cos（2nz）
(11)

（Whittaker和Watson，1990年，第463-464页）。明确写出这个系列给出了

θ1（z，q）=2q^（1/4）sinz-2q^。。。
(12)
θ2（z，q）=2q^（1/4）cosz+2q^。。。
(13)
θ3（z，q）=1+2qcos（2z）+2q^4cos（4z）+2q ^9cos（6z）+。。。
(14)
θ4（z，q）=1-2qcos（2z）+2q^4cos（4z）-2q^9cos（6z）+。。。
(15)

（博文和博文1987年，第52页；惠塔克和沃森1990年，第464页）。θ1（z，q）是一个古怪的功能属于z（z）,而其他三个是的偶数函数z（z）.

下表说明了雅可比θ函数的准双周期性。

θiθi（z+pi）/thetai（z）θi（z+taupi）/θi
θ_1-1-N个
θ_2-1N个
θ_31N个
θ_41-N个

在这里，

N=q^（-1）e^（-2iz）。
（16）

对于以下特定情况，可以建立准周期性θ_4,

θ4（z+pi，q）=sum_（n=-infty）^（infty）（-1）^nq^（n^2）e^（niz）e^（2nipi）
(17)
=sum_（n=-infty）^（infty）（-1）^nq^（n^2）e^（2niz）总和
(18)
=θ4（z，q）
(19)
θ4（z+pitau，q）=sum_（n=-infty）^（infty）（-1）^nq^（n^2）e^（2nipit）e^（2niz）
(20)
=sum_（n=-infty）^（infty）（-1）^nq^（n^2）q^
(21)
=-q^（-1）e^（-2iz）sum_（n=-infty）^（infty）（-1）^
(22)
=-q^（-1）e^（-2iz）sum_（n=-infty）^（infty）（-1）^nq^
(23)
=-q^（-1）e^（-2iz）θ4（z，q）。
(24)

雅可比θ函数可以相互表示：

θ1（z，q）=-即^（iz+piitau/4）theta_4（z+1/2pitau，q）
(25)
θ2（z，q）=θ1（z+1/2pi，q）
（26）
θ3（z，q）=θ4（z+1/2pi，q）
(27)

（Whittaker和Watson，1990年，第464页）。给定参数的任意雅可比θ函数都可以用其他两个具有相同参数的雅可比函数来表示。

功能θ3（z，q）和θ4（z，q）满足身份

θ4（z，q）=θ3（z，-q）。
(28)
JacobiTheta函数

定义

θ_i（q）=θ_i（z=0，q）
(29)

是带参数的雅可比θ函数z=0，如上图所示。然后是双无穷和(◇)至(◇) 采取特别简单的形式

θ_1（q）=0
(30)
θ2（q）=sum_（n=-infty）^（infty）q^（（n+1/2）^2）
(31)
=q^（1/4）（2+2q^2+2q^6+2q^
(32)
θ3（q）=总和_（n=-infty）^（infty）q^（n^2）
(33)
=1+2q+2q^4+2q^9+2q^（16）+2q^2（25）+。。。
(34)
θ4（q）=sum_（n=-infty）^（infty）（-1）^nq^（n^2）
(35)
=1-2q+2q^4-2q^9+2q^（16）-2q^（25）+。。。
(36)

（组织环境信息系统A089800型,A000122号,和A002448号; 博文和博文1987年，第33页）。

功能θ3（q）也由以下公式给出

θ3（q）=（（-q，-q）_infty）/（（q，-q）_inft），
(37)

哪里（a；q）_自由是一个q个-Pochhammer符号.

功能

θ（x）=sum_（n=-infty）^（infty）e^（-n^2pix）
(38)
=θ3（0，e^（-pix））
(39)
=θ3（0|ix）
(40)

有时在数论背景下定义（Davenport 1980，p.62）。同样，函数

磅/平方英寸（x）=sum_（n=1）^（infty）e^（-n^2pix）
(41)
=1/2[theta_3（0，e^（-pix））-1]
(42)

有时也有定义（Edwards 2001，第15页）。此函数满足

（1+2psi（x））/（1+2 psi（x^（-1）））=1/（平方英尺（x）
(43)

（雅各比1828；黎曼1859；爱德华兹2001，第15页），雅各比将其归因于泊松，并从泊松和公式.也是满足身份

1/2+psi（1）+4psi^'（1）=0
(44)

（爱德华兹2001年，第17页）。

特殊值包括

θ3（e^（-pi））=（pi^（1/4））/（伽马（3/4））θ_3（e^（-pisqrt（2）））=（γ（9/8））/（γ（5/4））平方θ3（e^（-pisqrt（6））=[-（伽马（1/（24）））伽马（5/（24θ_4（-e^（-pi））=（pi^（1/4））/（伽马（3/4））θ_4（e^（-pi））=（pi^（1/4））/（2^（1/4）伽马（3/4））
(45)

和

（θ_2（-e^（-pisqrt（3）））/，
(46)

哪里伽马（z）是伽马函数，大多数都很特别案例Ramanujanθ函数.

O.Marichev的特殊衍生价值（pers.comm.，2008年7月）如下所示

θ_4^'（e^（-pi））=-（e^pi[pi^2-2Gamma^4（3/4）]）/（8.2^（1/4）pi^（3/4。
(47)
雅各比·泰塔ZQ

上面的曲线图显示了作为参数函数绘制的雅可比θ函数z（z）和诺姆 q个限制为实际值。

雅可比Theta1雅各比·泰塔2
雅各比·塔塔3雅可比Theta4

通过检查真实的和假想部分属于θi（z，q）用于固定z（z）在复杂平面中|q |<1，如上图所示。

雅可比θ函数满足了几乎令人困惑的大量恒等式，涉及四个函数、它们的导数、它们的参数倍数以及它们的参数和。Whittaker和Watson（1990）给出的不寻常身份包括

θ3（z，q）=θ3（2z，q^4）+θ2（2z
(48)
θ4（z，q）=θ3（2z，q^4）-θ2（2z
(49)

（Whittaker和Watson，1990年，第464页）和

（θk ^'（z+pi））/（θk（z+π））=（θk（z））/（θ
(50)
（θk ^'（z+pitau））/（θ=-2i+（θ_k^'（z））/（θ_ k（z）
(51)

（惠塔克和沃森1990年，第465页）k=1, ..., 4，其中θk（z）=θk和θi=θi（0，q）.涉及正方形的一类恒等式雅可比θ函数的

θ_1^2（z）θ_4^2=θ_3^2（z）θ_2^2-theta_2^2（z）θ_3 ^2
（52）
θ2^2（z）θ4^2=θ_4^2（z）θ_2^2θ_1^2（z）θ_3^2
(53)
θ3^2（z）θ4^2=θ_4^2（z）θ_3^2θ_1^2（z）θ_2^2
(54)
θ_4^2（z）θ_4 ^2=θ_3^2（z）θ_3 ^2θ_2^2（z）θ_2 ^2
(55)

（Whittaker和Watson，1990年，第466页）。拿z=0英寸(55)给出了特殊情况

θ_4^4=θ_3^4-θ_2^4，
(56)

这是此类型的唯一标识。

此外，

θ_3^2（x）=1+4（x/（1-x）-（x^3）/（1-x^3）+（x^5）/（1-x^5）-（x^7）/（1-x^7）+…）
（57）
θ_3^4（x）=1+8（x/（1-x）+（2x^2）/（1+x^2。
(58)

雅可比θ函数遵循加法规则，例如

θ1（y+z）θ1=θ_3^2（y）θ_2^2（z）-theta_2^2
(59)
=theta_1^2（y）theta_4^2（z）-theta_4^2（y）theta_1^2（z）
(60)
θ2（y+z）θ2=θ4^2（y）θ2^2（z）-θ1^2（y）θ3^2（z）
(61)
=θ2^2（y）θ4^2（y）-θ3^2（x）θ1^2（z）
(62)
θ3（y+z）θ3=θ4^2（y）θ3^2（z）-θ1^2（y）θ2^2（z）
(63)
=θ_3^2（y）θ_4^2（z）-θ_2^2（y）θ_1^2（z）
(64)
θ4（y+z）θ4=θ_3^2（y）θ_3 ^2（z）-θ_2 ^2（y）θ_2（z）
(65)
=θ_4^2（y）θ_4（z）-θ_1^2（y）θ_1（z）
(66)

（Whittaker和Watson，1990年，第487页），

θ3（y+z）θ3=θ_3^2（y）θ_2^2（z）+θ_4^2（y）θ_1^2（z）
(67)
=θ2^2（y）θ3^2（z）+θ1^2（y）θ4^2（z）
(68)
θ3（y+z）θ3=θ_1^2（y）θ_1 ^2（z）+θ_3^2（y）θ_3 ^2
(69)
=θ2^2（y）θ2*2（z）+θ4^2（y）θ4*2（z）
(70)
θ4（y+z）θ4=θ4^2（y）θ2^2（z）+θ3^2（y）θ1^2（z）
（71）
=θ2^2（y）θ4^2（z）+θ1^2（y）θ3^2（z）
(72)
θ4（y+z）θ4=θ4^2（y）θ3^2（z）+θ2^2（y）θ1^2（z）
(73)
=θ_3^2（y）θ_4^2（z）+θ_1^2（y）θ_2^2（z）
(74)

（Whittaker和Watson，1990年，第488页），以及

theta1（y+/-z）theta2（y∓z）theta 3 theta4=θ1（y）θ2（y）theta3（z）θ4（z）+/-θ3（y）Theta4（y）heta1（z）theta2（z）theta1（y+/-z）theta3（y∓z）theta 2 theta4=θ1（y）θ3（y）theta2（z）θ4（z）+/-θ2（y）Theta4（y）heta1（z）theta3（z）theta1（y+/-z）theta4（y∓z）theta 2 theta3=θ1（y）θ4（y）theta2（z）theta3（z）+/-θ2（y）Theta3（y）heta1（z）Theta4（z）theta2（y+/-z）theta3（y∓z）theta 2 theta3=θ2（y）θ3（y）theta2（z）theta3（z）θ1（y）heta4（y）Theta1（z）Theta4（z）θ_2（y+/-z）θ_4（y∓z）θ_2θ_4=θ2（y）θ4（y）theta2（z）theta4（z）θ1（y）heta3（y）Theta1（z）Theta3（z）theta3（y+/-z）theta4（y∓z）theta 3 theta4=theta_3（y）theta_4（y）theta_3（z）theta_4（z）∓theta_1（y）theta_2（y）theta_1（z）theta_2（z）
(75)

（Whittaker和Watson，1990年，第488页）。

还有一系列重复公式:

θ3（2z）θ3^3=θ3^4（z）+θ1^4（z）
(76)
θ2（2z）θ2θ4^2=θ2^2（z）θ4^2
(77)
θ3（2z）θ3θ4^2=θ_3^2（z）θ_4^2（z）-θ_1^2（x）θ_2（z）
(78)
θ4（2z）θ4^3=θ3^4（z）-θ2^4（z）
(79)
=θ_4^4（z）-θ_1^4（z）
(80)
θ1（2z）θ2θ3θ4=2θ1（z）θ2（z）theta3（z）Theta4（z）
(81)

（Whittaker和Watson，1990年，第488页）。

雅可比θ函数导数与函数本身的比值具有简单形式

（θ_1^'（z））/（θ_（z）=cotz+4sum_（n=1）^（infty）（q^（2n））/（1-q^
(82)
=cotz+4sum_（n=1）^（infty）（q^（2n）sin（2z））
(83)
（θ2^'（z））/（θ2（z）=-tanz+4sum_（n=1）^（infty）（-1）^n（q^（2n））/（1-q^
(84)
=-tanz-4sum_（n=1）^（infty）（q^（2n）sin（2z））
(85)
（θ3^'（z））/（θ3（z）=4sum_（n=1）^（infty）（-1）^n（q^n）/（1-q^（2n））sin（2nz）
(86)
=-4sum_（n=1）^（infty）（q^（2n-1）sin（2z））/（2q^
(87)
（θ_4^'（z））/（θ_ 4（z）=4sum_（n=1）^（infty）（q^（2n-1）sin（2z））/（1-2q^
(88)
=4sum_（n=1）^（infty）（q^nsin（2nz））/（1-q^（2n））
(89)

（Whittaker和Watson，1990年，第489页）。

雅可比θ函数可以表示为乘积而不是和

θ_1（z）=2Gq^（1/4）sinzproduct_（n=1）^（infty）[1-2q^
(90)
θ2（z）=2Gq^（1/4）coszproduct_（n=1）^（infty）[1+2q^
(91)
θ_3（z）=Gproduct_（n=1）^（infty）[1+2q^（2n-1）cos（2z）+q^
(92)
θ4（z）=Gproduct_（n=1）^（infty）[1-2q^（2n-1）cos（2z）+q^（4n-2）]，
(93)

哪里

G=产品_（n=1）^系数（1-q^（2n））
(94)

（Whittaker和Watson，1990年，第469-470页）。

Zucker（1990）给出了其他漂亮的产品（“欧拉”）形式，部分总结在下表中，其中

（n） =产品_（k=1）^输入（1-q^（kn））
(95)

和q个-产品都是书面的w=Q_0,x=Q_1,y=Q_2、和z=Q_3.

θ函数组织环境信息系统欧拉学派雅可比（Jacobian）
θ3（q）A000122号((2)^5)/((1)^2(4)^2)wz^2（周^2）
θ4（q）A002448号((1)^2)/((2))第^2周
θ4（q^2）A089798号((2)^2)/((4))wyz公司
θ2（q^（1/2））A089799号2q^（1/8）（2）^2）/（1）2q^（1/8）wxz
θ2（q）A089800型2q^（1/4）（（4）^2）/（2）2q^（1/4）wx^2
1/2[θ_3（q^（1/3））-θ_3（q^3）]A089801号q^（1/3）（（2）^2（3）（12）/（1）（4）（6））q^（1/3）z|wxy|q^3
1/2[θ_4（q^3）-θ_3（q^（1/3））]A089802号q^（1/3）（（1）（6）^2）/（2）（3））q^（1/3）y|wxz|q^3
1/2[θ_4（q^6）-θ_3（q^（2/3））]A089805号q^（2/3）（（2）（12）^2）/（4）（6））q^（2/3）yz|wx^2|q^3
1/2[θ_2（q^（1/6））-θ_2A080995号q^（1/24）（（2）（3）^2）/（1）（6））q^（1/24）xz|wy^2 | q^3
1/2[theta_2（q^（1/3））-theta_2（q^3）]A089806号q^（1/12）（（4）（6）^2）/（2）（12））q^（1/12）x|wyz|q^3
1/2[3theta_3（q^9）-theta（q）]A089807号（（1）（4）（6）^2）/（（2）（3）（12））wxy|z|q^3
1/2[3θ_4（q^9）-θ_3（q）]A089810型((2)^2(3))/((1)(6))wxz|y|q^3
1/2[3θ_4（q^（18））-θ_3（q^2）]A089811号((4)^2(6))/((2)(12))wx^2|yz|q^3
1/2[θ_2（q^（1/2））-3theta_2（q_（9/2））]A089812号q^（1/8）（（1）^2（6））/（2）（3））q^（1/8）wy^2|xz|q^3
1/2[θ_2（q）-3theta_2（q^9）]A089813号q^（1/4）（（2）^2（12））/（（4）（6））q^（1/4）wyz|x|q^3

其他身份包括

θ4（q）=（2） 产品_（k=1）^（infty）（1-q^（2k-1））^2
(96)
θ_4^3（q）=（1）^4）/（2））产品_（k=1）^（infty）（1-q^（2k-1））^2。
(97)

在这里，

产品_（k=1）^系数（1-q^（2k-1））^2=1-2q+q^2-2q^3+4q^4+。。。
(98)

（组织环境信息系统A022597号).

雅可比θ函数满足部分微分方程

1/4pii（部分^2y）/（部分^2）+（部分）/（局部au）=0，
(99)

哪里y=θj（zτ）.雅可比θ函数与θ_4在中分母也满足微分方程

d/（dz）[（θ1（z））/（θ4（z）
(100)
d/（dz）[（θ2（z））/（θ4（z）
(101)
d/（dz）[（θ3（z））/（θ4（z）。
（102）

雅可比虚变换快件θi（z/tau|-1/tau）依据θ_i（z |τ）.有大量漂亮的恒等式涉及雅可比θ函数个参数（共个）w个,x个,年,和z（z）和w^’,x ^’,是^',和z ^',相关人员

2w^'=-w+x+y+z
(103)
2x^英寸=w-x-y+z
(104)
2y^'=w+x-y+z
(105)
2z^'=w+x+y-z
(106)

（Whittaker和Watson，1990年，第467-469、488和490页）。使用符号

θi（w+pi/2，q）θj（x+pi/2
(107)
θi（w^'，q）θj（x^'，q）θk（y^'+π/2，q）theta_l（z^'+pi/2，q）=ijkl，
（108）

给出了惊人的288个表单身份

+/-[a_1a_2a_3a_4]+/-[b_1b_2b_3b_4]=+/-a_1^'a_2^'a_3^'a_4^'+/-b_1^'b_2^'b_3^'b_4^'。
(109)

完整的第一类椭圆积分和第二类可以用雅可比θ函数表示。让

xi=（θ1（z））/（θ4（z），
(110)

并插入(◇)

（（dxi）/（dz））^2=（θ_2^2-xi^2θ_3^2）。
(111)

现在写

xi（θ3）/（θ2）=y
(112)

和

ztheta_3^2=u。
(113)

然后

（（dy）/（du））^2=（1-y^2）（1-k^2y^2，
(114)

其中椭圆模量由定义

k=k（q）=（θ_2^2（q））/（θ_3^2（q））。
(115)

还定义补充椭圆模量

k^'=k^'（q）=（θ_4^2（-q））/（θ_3^2（q））。
(116)

现在，因为

θ_2^4+θ_4^4=θ_3^4，
(117)

我们已经展示了

k^2+k^（'2）=1。
（118）

方程的解是

y=（θ3）/（θ2）（θ1（utheta3^（-2）|tau））/，
(119)

这是一个雅可比椭圆函数具有时期

4K（k）=2pitheta_3^2（q）
(120)

和

2iK^'（k）=皮塔乌塔_3^2（q）。
(121)

出租K（K）成为完全椭圆积分第一类具有模量k个，然后

θ2^2（q）=（2kK（k））/pi
(122)
θ_3^2（q）=（2K（k））/pi
(123)
θ_4^2（q）=（2k^'K（K））/pi，
(124)

哪里k^'=平方（1-k^2）是互补模量.

雅可比θ函数为数学和数学物理中的许多棘手问题提供了解析解。例如，雅可比θ函数是与平方和函数 r2（n）给出的表示数n个通过两个正方形

θ_3^2（q）=和（n=0）^（infty）r2（n）q^n
(125)
θ_4^2（q）=sum_（n=0）^（infty）（-1）^nr_2（n）q^n
(126)

（博文和博文1987年，第34页）。将军五次方程可以用雅可比θ函数求解，这些函数还提供了一致收敛形式的格林的功能矩形区域（Oberhettinger和Magnus 1949）。

最后，雅可比θ函数可用于使均匀化全部的椭圆曲线Jacobi椭圆函数也可用于统一某些超椭圆曲线，尽管只有两条这样的曲线示例是已知的。经典的例子是伯恩赛德曲线第二个是Farkas和Kra在1995年左右发现的。

另请参阅

Blecksmith-Brillhart-Gerst定理,Dedekind Eta函数,椭圆形功能,半周期比率,雅各比椭圆函数,雅各比想象转型,雅可比三乘积,兰登公式,嘲弄Theta函数,模块化方程式,莫代尔完整的,Neville Theta函数,诺姆,五边形的数字定理,庞加莱-富克斯-克莱因自守函数,五元组乘积身份,Ramanujan Theta函数,薛定谔公式,总和平方函数,Weber函数

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参考Wolfram | Alpha

Jacobi Theta函数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Jacobi Theta函数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/JacobiThetaFunctions.html

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